bồi dưỡng học sinh trung học cơ sở về chuyên đề tìm cực trị của biểu thức đại số

Trường THCS Eayông Sáng kiến kinh nghiệm PHÒNG GD – ĐT HUYỆN KRÔNGPẮC TRƯỜNG THCS EAYÔNG  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: BỒI DƯỠNG HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ VỀ CHUN ĐỀ TÌM CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ I) LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. Trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi ở các lớp THCS thì bộ môn Toán có nhiều chuyên đề cần bồi dưỡng. Về việc này, người giáo viên không những đưa ra những kiến thức mở rộng mà đòi hỏi những kiến thức đó phải có hệ thống, phù hợp với kiến thức đã học và phù hợp với tiến độ chương trình SGK. Như vậy nhằm giúp cho các em học sinh đựơc bồi dưỡng phát huy đựơc khả năng của mình mà không bò nhồi nhét, đồng thời người giáo viên thể hiện mình là một tấm gương cho học sinh về tính nghiên cứu có hệ thống để học sinh noi theo. II) ĐỐI TƯNG, CƠ SỞ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. 1. Đối tượng nghiên cứu . p dụng cho học sinh giỏi lớp 9 là chủ yếu. 2. Cơ sở nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu. - Dựa trên cơ sở có học sinh giỏi có đủ khả năng tiếp thu kiến thức mở rộng hơn sách giáo khoa. - Tìm tòi và nghiên cứu ở các sách tham khảo, chọn lọc và soạn thành hệ thống cho phù hợp với học sinh. - Học hỏi và tiếp thu ý kiến, kiến thức và phưong pháp giảng dạy của bạn bè, đồng nghiệp. - Không ngừng tự học để nâng cao kiến thức và rèn luyện tay nghề. III) NỘI DUNG VÀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU. 1. Nội dung. A. Hệ thống kiến thức, gồm các phần: i/ Đònh nghóa: - Đònh nghóa. - Các bước giải một bài toán cực trò. ii/ Một số dạng thường gặp và phương pháp giải.  Tam thức bậc hai.  Đa thức có chứa dấu giá trò tuyệt đối. Giáo viên: Nguyễn Thành Luân Trang 1 Trường THCS Eayông Sáng kiến kinh nghiệm  Một số đa thức dạng khác hay gặp.  Phân thức có tử là hằng số, mẫu thức là tam thức bậc hai.  Phân thức có mẫu là bình phương của nhò thức.  Dạng phân thức khác.  Tìm cực trò của một biểu thức biết quan hệ giữa các biến.  Vận dung các bất đẳng thức đã biết: Côsi, Bunhiacôpxki.  Dùng tính chất số đối, số nghòch đảo và bình phương.  Sử dụng tính chất khác.  Phương pháp tìm miền giá trò. iii/ Một số sai lầm thường gặp.  Sai lầm khi chứng minh điều kiện 1: Có hai ví dụ.  Sai lầm khi chứng minh điều kiện 2: Có hai ví dụ. iv/ Hệ thống bài tập. B. Phương pháp: Kèm theo trong phần hệ thống bài tập. 2. Kết quả nghiên cứu: Học sinh phát huy được khả năng của mình và hệ thống kiến thức về phần này tương đối tốt. ****************************** Giáo viên: Nguyễn Thành Luân Trang 2 Trường THCS Eayông Sáng kiến kinh nghiệm CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ I/ Đònh nghóa giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của một biểu thức đại số. 1. Đònh nghóa: + ĐN 1: Cho biểu thức f(x,y…) xác đònh trên miền D. Ta nói M là giá trò lớn nhất của f(x,y…) trên miền D nếu hai điều kiện sau thỏa mãn. - Với mọi x, y … thuộc D thì f(x,y…) ≤ M với M là hằng số. - Tồn tại x 0 , y 0 , … Thuộc D sao cho f(x 0 ,y 0 …) = M + ĐN 2: Cho biểu thức f(x,y…) xác đònh trên miền D. Ta nói m là giá trò nhỏ nhất của f(x,y…) trên D nếu hai điều kiện sau thỏa mãn. - Với mọi x, y … thuộc D thì f(x,y…) ≥ m với m là hằng số. - Tồn tại x 0 , y 0 … thuộc D sao cho f(x 0 ,y 0 …) = m 2. Như vậy để tìm giá trò lớn nhất của biểu thức A ta cần: - Chứng minh rằng A ≤ M với M là hằng số. - Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra. Để tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức A ta cần: - Chứng minh rằng A ≥ m với m là hằng số. - Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra. Ta kí hiệu: GTLN của A là MaxA GTNN của A là Min A II/ Một số dạng thường gặp và phương pháp. 1. Tam thức bậc hai: Ví Du 1: Tìm minA với A = 2 3 12 1x x+ + Giải: A 2 2 3( 4 4) 11 3( 2) 11 11x x x= + + − = + − ≥ − Vậy minA = - 11 2x⇔ = − Ví dụ 2: Tìm maxB với B = 2 2 1x x− + + Giải: B = 2 2 1 1 9 1 9 9 2 2 2 4 16 8 4 8 8 x x x     − − × + + = − − + ≤  ÷  ÷     Vậy maxB = 9 8 1 4 x⇔ = + Bài toán tổng quát: Cho tam thức bậc hai C = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) Tìm maxC; nếu a < 0 Tìm min C; nếu a > 0 Giải: C = ax 2 + bx + c = 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 b b b b b a x x c a x c a a a a a       + × + + − = + + −    ÷  ÷         Đặt k = 2 4 b c a − . Do 2 0 2 b x a   + ≥  ÷   nên: Giáo viên: Nguyễn Thành Luân Trang 3 Trường THCS Eayông Sáng kiến kinh nghiệm - Nếu a < 0 thì 2 0 2 b a x a   + ≤  ÷   , do đó C ≤ k maxC = k 2 b x a ⇔ = − - Nếu a > 0 thì 2 0 2 b a x a   + ≥  ÷   , do đó C ≥ k MinC = k 2 b x a ⇔ = − 2. Đa thức có dấu giá trò tuyệt đối. VD1: Tìm GTNN của E = 5 7x x− + − Giải: + Cách 1: Khi x <5 thì E = 5 – x + 7 – x = 12 – 2x Do x < 5 nên – 2x > -10 Do đó: 12 – 2x > 2 ⇔ E > 2 (1) * Khi 5 7x≤ ≤ thì E = x – 5 + 7 – x = 2 (2) * Khi x > 7 thì E = x – 5 + x – 7 = 2x – 12 Do x > 7 nên 2x > 14 Do đó 2x – 12 > 2 ⇔ E > 2 (3) Từ (1), (2), (3) ta đựơc minE = 2 ⇔ 5 7x≤ ≤ . + Cách 2: Sử dụng tính chất A B A B+ ≤ + Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi AB ≥ 0. Ta có E = 5 7x x− + + = 5 7 5 7 2x x x x− + − ≥ − + − ≥ 2E⇔ ≥ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ( 5)(7 ) 0 5 7x x x− − ≥ ⇔ ≤ ≤ Vậy minE = 2 5 7x⇔ ≤ ≤ Ví Dụ khác: Cho a) (0,5x 2 + x) 2 2 3 0,5x x− + b) 2 2 1 2x x x x− + + − − Tìm GTNN của các biểu thức đã cho ? 3. Một số đa thức dạng khác hay gặp. Ví dụ: Tìm GTNN của A = x( x – 3 )( x – 4 )( x – 7 ) Giải: A = ( x 2 – 7x) (x 2 – 7x + 12) Đặt y = x 2 – 7x + 6 Thì A = (y – 6) (y + 6) = y 2 – 36 ≥ -36 MinA = -36 ⇔ y = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 6 Ví dụ: Tìm GTNN của B = 2x 2 + y 2 – 2xy – 2x + 3 Giải: B = x 2 + y 2 – 2xy + x 2 – 2x + 1 + 2 = (x – y) 2 + (x – 1) 2 + 2 ≥ 2 MinB = 2 ⇔ x = y = 1 Ví dụ khác: Tìm GTNN của các biểu thức sau: a) M = x 2 – 2xy + 2y 2 + 2x – 10y +17 b) P = x 2 – xy + y 2 – 2x – 2y c) F = x 2 + xy + y 2 – 3x – 3y 4. Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai. Giáo viên: Nguyễn Thành Luân Trang 4 Trường THCS Eayông Sáng kiến kinh nghiệm Ví dụ: Tìm GTNN của A = 2 2 6 5 9x x− − Giải: A = 2 2 2 2 9 6 5 (3 1) 4x x x − − = − + − + Ta có: (3x 2 – 1) ≥ 0 nên (3x 2 – 1) + 4 ≥ 4 Do đó theo tính chất a ≥ b; a, b cùng dấu ⇒ 1 1 a b ≤ ta có: 2 2 1 1 2 2 1 (3 1) 4 4 (3 1) 4 4 2x x − − − ≤ ⇒ ≥ = − + − + Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 3x – 1 = 0 ⇔ x = 1 3 . Vậy min A = 1 2 − ⇔ x = 1 3 . 5. Phân thức có mẫu là bình phương của một nhò thức. Ví dụ: Tìm GTNN của A = 2 2 2 8 6 2 1 x x x x − + − + Giải: + Cách 1: A = 2 2 2 3( 2 1) 2( 1) 1 2 1 3 ( 1) 1 ( 1) x x x x x x − + − − + = − + − − − Đặt y = 1 1x ⇒ − A = 3 – 2y + y 2 = (y – 1) + 2 ≥ 2 Min A = 2 ⇔ y = 1 ⇔ 1 1x − = 1 ⇔ x = 2. + Cách 2: Viết A dưới dạng tổng của 2 với một biểu thức không âm. A = 2 + 2 2 ( 2) 2 ( 1) x x − ≥ − Vậy min A = 2 ⇔ x = 2. 6. Các dạng phân thức khác. Ví dụ: Tìm GTNN và GTLN của A = 2 3 4 1 x x − + Giải: A = 2 2 2 2 2 4 4 1 ( 2) 1 1 1 1 x x x x x x − + − − − = − ≥ − + + . Vậy Min A = -1 ⇔ x = 2 Ta có: A = 2 2 2 2 2 4 4 4 4 1 (2 1) 4 4 1 1 x x x x x x + − − − + = − ≤ + + . Vậy max A = 4 1 2 x − ⇔ = 7. Tìm GTLN, GTNN của một biểu thức biết quan hệ giữa các biến. Ví dụ: Tìm giá trò nhỏ nhất của A = x 3 + y 3 + xy biết x + y = 1 Giải: Sử dụng điều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A. A = (x + y) (x 2 – xy + y 2 ) + xy = x 2 + y 2 + Cách 1: Thay y = -x + 1 đưa về tam thức bậc 2 biến x. + Cách 2: Sử dụng điều kiện đã cho làm xuất hiện biểu thức A = x 2 + y 2 Ta có: x + y = 1 ⇒ x 2 +2xy+ y 2 = 1 (1) Mặt khác: (x – y) 2 ≥ 0 ⇔ x 2 - 2xy+ y 2 ≥ 0 (2) Cộng (1) và (2) theo vế ta được: 2(x 2 + y 2 ) ≥ 1 ⇔ x 2 + y 2 ≥ 1 2 Giáo viên: Nguyễn Thành Luân Trang 5 Trường THCS Eayông Sáng kiến kinh nghiệm Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = 1 2 . Vậy min A = 1 2 ⇔ x = y = 1 2 . 8. Vận dụng bất đẳng thức đã biết. Ví dụ: Tìm GTLN của A = 1 2x y− + − với x + y = 4 Giải: Đ/k: 1, 2.x y≥ ≥ Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki 2 2 2 2 2 ( ) ( )( )ax by a b x y+ ≤ + + Ta có: A = 1 2x y− + − = 1. 1x − + 1. 2y − ≤ 2( 1 2) 2x y− + − = Max A = 2 1 2 1,5 4 2,5 x y x x y y − = − =   ⇔ ⇔   + = =   Ví dụ: Cho a, b, c ≥ 0, a+b+c = 1 Tìm Max B với B = a b b c a c+ + + + + (dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxi). Ví dụ: Tìm GTNN của: C = ( 2)( 3)x x x + + với x > 0. Giải: Ta có: C = 2 5 6 6 5 x x x x x + +   = + +  ÷   Theo BĐT Côsi ta có: 6 2 6x x + ≥ Do đó: C 2 6≥ + 5 Dấu “=” xảy ra 6 6x x x ⇔ = ⇔ = . Vậy minC = 2 6 + 5 6x⇔ = 9. Tìm GTLN, GTNN của một biểu thức thông qua cực trò của biểu thức khác bằng cách dùng tính chất. -A lớn nhất ⇔ A nhỏ nhất. 1 B lớn nhất ⇔ B nhỏ nhất ( vơí B > 0 ) C lớn nhất ⇔ C 2 lớn nhất ( Vơí C > 0) Ví dụ: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức A = 4 2 2 1 ( 1) x x + + Giải: Vì A > 0 ta có A lớn nhất ⇔ 1 A nhỏ nhất A nhỏ nhất ⇔ 1 A lớn nhất Xét biểu thức 1 A = 2 2 4 ( 1) 1 x x + + = 4 2 4 2 1 1 x x x + + + = 2 4 2 1 1 x x + + + Ta có: 2x 2 + 1 ≥ 0, x 4 + 1 > 0 nên 2 4 2 0 1 x x ≥ + Suy ra: 1 A ≥ 1. Nên Min 1 A = 1 ⇔ x = 0 Do đó: Max A = 1 ⇔ x = 0 + Ta có: (x 2 -1) 2 ≥ 0 ⇔ x 4 + 1 ≥ 2x 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x 2 = 1 Giáo viên: Nguyễn Thành Luân Trang 6 Trường THCS Eayông Sáng kiến kinh nghiệm Mà x 4 + 1 > 0 nên 4 2 1 1 x x ≤ + Suy ra: 1 A ≤ 2 Max 1 A = 2 ⇔ x 2 = 1 ⇔ x = ± 1. Do đó: Min A = 1 2 ⇔ x = ± 1. 10. Sử dụng tính chất. - Nếu hai số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau. - Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau. Ví dụ: Tìm GTLN của A = (x 2 – 3x+1)(-x 2 +3x + 21) Ta có: x 2 – 3x + 1 + 21 + 3x – x 2 = 22 = Const Nên A lớn nhất ⇔ x 2 – 3x + 1 = 21 + 3x – x 2 ⇔ x = 5 hoặc x = -2. Khi đó A = 11.11 = 121. Vậy max A = 121 ⇔ x = 5 hoặc x = -2 11. Phương pháp miền giá trò của hàm số. Ví dụ: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức A = 2 3 4 1 x x − + Giải: Xét hàm số y = 2 3 4 1 x x − + ; TXĐ: R Gọi y 0 = a là giá trò của hàm số tương ứng với y 0 ∈ R Do đó: a = 2 3 4 1 x x − + (1) có nghiệm. (1) ⇔ ax 2 + a = 3 – 4x ⇔ ax 2 + 4x + a - 3 = 0 (2) * Nếu a = 0 thì (2) có nghiệm x = 3 4 . * Nếu a ≠ 0 thì (2) có nghiệm khi và chỉ khi 0 ′ ∆ ≥ nghóa là: 4 – a(a – 3) ≥ 0 ⇔ 2 3 4 0a a− + + ≥ 1 4a ⇔ − ≤ ≤ . Vậy hàm số có miền giá trò là [ ] 1;4− nên min A = -1 Max A = 4 (Hiển nhiên x∃ ∈ TXĐ thỏa dấu “ =”) III/ Một số sai lầm thường gặp trong lập luận. 1. Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1. Ví dụ 1: Tìm GTLN của B = 2 1 4x − + Lời giải sai: B là phân thức có tử không đổi nên B đạt GTLN khi x 2 – 4 có giá trò nhỏ nhất. Mà x 2 – 4 ≥ - 4 dấu “=” xảy ra khi x = 0. Lúc đó B = 1 4 − Suy ra max B = 1 4 − ⇔ x = 0. Điều này sai Ví dụ: x = 3 ta có: B = 1 5 > 1 4 − Sai ở chỗ dùng phép biến đổi bất đẳng thức sai. Ví dụ 2: Tìm GTNN của A = x 2 + y 2 biết x + y = 4. Giáo viên: Nguyễn Thành Luân Trang 7 Trường THCS Eayông Sáng kiến kinh nghiệm + Lời giải sai: A = x 2 + y 2 ≥ 2xy [do (x – y) 2 ≥ 0 ] Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y; mà x + y = 4 nên ta suy ra x = y = 2. Do đó: A ≥ 2.2.2 = 8. Vậy min A = 8 ⇔ x = y = 2. Mặc dù kết quả đúng nhưng lập luận sai. Sai ở chỗ: A ≥ 2xy; mà 2xy là biểu thức phụ thuộc vào biến ( xem đònh nghóa). Giải đúng: Theo giả thiết x + y =4 ⇔ x 2 + 2xy + y 2 = 16 (1) Mặt khác: (x – y) 2 ≥ 0 ⇔ x 2 - 2xy + y 2 ≥ 0 (2) Cộng (1) và (2) theo vế ta được: 2(x 2 + y 2 ) ≥ 16 ⇔ x 2 + y 2 ≥ 8 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y mà x + y = 4 suy ra x = y = 2 . Vậy min A = 8 ⇔ x = y = 2. 2. Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2. Ví dụ 3: Tìm GTNN của A = x x+ Lời giải sai: Ta có A = x x+ = 1 1 1 2 4 4 x   + − ≥ −  ÷   Vậy min A = 1 4 − Ví dụ 4: Tìm GTNN của biểu thức B = (x – 1) 2 + (x – 3) 2 Lời giải sai: ta có (x – 1) 2 ≥ 0 (1) (x – 3) 2 ≥ 0 (2) Nên B = (x – 1) 2 + (x – 3) 2 ≥ 0 (3) Vậy min B = 0. Sai dấu bằng ở (1) xảy ra khi x = 1 Dấu bằng ở (2) xảy ra khi x = 3 Nên không có giá trò x thỏa dấu bằng ở (3). IV/ PHẦN KẾT LUẬN CHUNG. Trên đây là kinh nghiệm mà tôi đã thực hiện và đã rút ra được trong thực tế giảng dạy. Cụ thể: phương pháp này đã thực hiện trên 15 học sinh lớp 9 có học lực khá trở lên vào năm 2006 thì 13 em nắm tốt phương pháp này( Đạt 87%). Tôi mong rằng kinh nghiệm này góp phần vào việc tìm cực trò của môn Đ số được nhanh chóng và không bò mắc phải sai lầm khi giải một bài toán cực trò. Rất mong được sự góp ý của q thầy cô và đồng nghiệp. Eayông, ngày 19/02/2008 Người thực hiện Nguyễn Thành Luân Giáo viên: Nguyễn Thành Luân Trang 8 . NGHIỆM ĐỀ TÀI: BỒI DƯỠNG HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ VỀ CHUN ĐỀ TÌM CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ I) LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. Trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi ở các lớp THCS thì bộ môn Toán có nhiều chuyên. Một số đa thức dạng khác hay gặp.  Phân thức có tử là hằng số, mẫu thức là tam thức bậc hai.  Phân thức có mẫu là bình phương của nhò thức.  Dạng phân thức khác.  Tìm cực trò của một biểu. Eayông Sáng kiến kinh nghiệm CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ I/ Đònh nghóa giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của một biểu thức đại số. 1. Đònh nghóa: + ĐN 1: Cho biểu thức f(x,y…) xác đònh trên