Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 chuyên đề tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán CHUYÊN ĐỀ: TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC MỤC LỤC I LÝ THUYẾT II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN Phương pháp Sử dụng phép biến đổi đồng Dạng Tìm GTNN GTLN đa thức bậc hai đơn giản .3 Dạng Tìm GTNN GTLN đa thức bậc bốn đơn giản 10 Dạng Tìm GTNN GTLN biểu thức dạng Dạng Tìm Min, Max biểu thức có điều kiện biến 31 Dạng Sử dụng bất đẳng thức bản: 41 Dạng Tìm Min, Max cách sử dụng bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối .44 A 14 B Phương pháp Phương pháp chọn điểm rơi 47 Phương pháp Sử dụng phương pháp đặt biến phụ 54 Phương pháp Sử dụng biểu thức phụ 56 Phương pháp Phương pháp miền giá trị .59 Phương pháp Phương pháp xét khoảng giá trị 61 Phương pháp Phương pháp hình học 64 Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán I LÝ THUYẾT Định nghĩa  M gọi GTLN f(x,y, ) miền xác định D điều kiện sau đồng thời thoả mãn : f(x,y, )  M (x,y, )  D  (x0, y0, )  D cho f(x0, y0 ) = M Ký hiệu : M = Max f(x,y, ) = fmax với (x,y, )  D  M gọi GTNN f(x,y, ) miền D đến điều kiện sau đồng thời thoả mãn : f(x,y, )  M (x,y, )  D  (x0, y0, )  D cho f(x0, y0 ) = M Ký hiệu : M = Min f(x,y, ) = fmin với (x,y, )  D Các kiến thức thường dùng 2.1 Luỹ thừa: a) x2  x  R  x2k  x  R, k  z   x2k  Tổng quát : f (x)2k  x  R, k  z   f (x)2k  Từ suy : f (x)2k + m  m x  R, k  z M  f (x)2k  M b) x  x   ( x )2k  Tổng quát : ( A )2k  x  0; k z  A  (A biểu thức) 2.2 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán a) |x|   xR b) |x + y|  |x| + |y| ; "=" xảy  x.y  c) |x  y|  |x|  |y| ; "=" xảy  x.y  |x|  |y| 2.3 Bất đẳng thức côsi: ai  ; i = 1, n : a1  a   a n  n a1 a .a n n nN, n  dấu "=" xảy  a1 = a2 = = an 2.4 Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : Với n cặp số a1, a2, , an ; b1, b2, ,bn ta có : (a1b1 + a2b2 + + anbn)2  ( a12  a 22   a n2 ).(b12  b22   bn2 ) Dấu "=" xảy  a1 a a    n  Const = Const b1 b bn Nếu bi = xem = 2.5 Bất đẳng thức Bernonlly : Với a  : (1 + a)n  + na n N Dấu "=" xảy  a = II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN Phương pháp Sử dụng phép biến đổi đồng Bằng cách nhóm, thêm, bớt, tách hạng tử cách hợp lý, ta biến đổi biểu thức cho tổng biểu thức không âm (hoặc khơng dương) số Từ : Để tìm Max f(x,y, ) miền D ta : f (x, y ) �M � �  (x , y ) �� � cho f(x0,y0, ) = M Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán Để tìm Min f(x,y, ) miền D ta : f (x, y ) �m � �  (x , y ) �� � cho f(x0,y0, ) = m  Phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức đại số cách đưa dạng A(x) �0 { A(x) �0 }  Để tìm giá trị nhỏ biểu thức A(x) ta cần: + Chứng minh A(x) �k với k số + Chỉ dấu "=" xảy  Để tìm giá trị lớn biểu thức A(x) ta cần: + Chứng minh A(x) �k với k số + Chỉ dấu "=" xảy Dạng Tìm GTNN GTLN đa thức bậc hai đơn giản Phương pháp: Áp dụng đẳng thức bình phương tổng hiệu Bài Tìm giá trị nhỏ đa thức sau: a) A = x2 + 4x + b) R = 3x2 – 5x + c) M  x2  x  d) A = x2 + 2x + y2 + e) A(x)  x  4x  24 f) B(x)  2x  8x  g) C(x)  3x  x  h) A   2x  1   3x    x  11 i) P   x  x2 k) N = x - 4x +1 l) D  3x  6x  m) K = x - 2x + y - 4y + n) B = x2 + y2 + 2xy + o) Q  4x  3x  p) M = 5x2 – |6x – 1| – q) A  9x  6x  3x   j) Q = 4x + 4x +11 r) B   x  1   x     x  3 2 2 HD: 2 2 q) Đặt 3x   t � t  9x  6x  � A  t  4t   (t  2)  �1 x 1 � � Dấu “=” xảy t =  3x   � � x � Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi tốn Bài Tìm giá trị lớn đa thức sau a) A = – x2 + 6x – 15 b) B =  5x2  4x + c) C = – x2 + 4x – < d) D = 4x – 10 – x2 e) E   x  x2 f) F  5x  4x  g) G  3x  x  h) H   x  4x  i) K  5x  7x  j) L   x  x  k) M   x  2x  l) N   x  x  Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) B  2x  2y  5y  b) D(x)  2x  3y  4z  2(x  y  z)  c) A  x  4y  4x  32y  2018 d) A  3x  y  4x  y e) A  x  2x   4y  4y f) B  4x  y  12x  4y  15 g) C  5x  y  z  4xy  2xz h) D  x  17  4y  8x  4y i) E  16x   8x  4y  y j) F  x  y  2x  6y  k) I  x  4xy  5y  6y  11 l) M  x  2xy  2y  2y  m) R  x  2y  2xy  2y n) A  4x  5y  4xy  16y  32 o) B  x  5y  5z  4xy  4yz  4z  12 p) C  5x  12xy  9y  4x  q) E  x  5y  4xy  2y  r) Q  x  4y  z  2x  8y  6z  15  s) A  2x  y  2xy  2x  t) B  2x  y  2xy  8x  2028 Bài Tìm giá trị lớn biểu thức sau: a) B   5x  y  4xy  2x b) A  4x  5y 8xy  10y  12 c) A  x  y  z  (x  2y  4z ) d) B  3x  16y  8xy  5x  e) N   x  4y  6x  8y  f) P  3x  5y  2x  7y  23 g) R  7x  4y  8xy  18x  h) Q = xy + yz + zx  x2  y2  z2 HD: h) Ta có : Q = xy + yz + zx  x2  y2  z2 =  (2x2 + 2y2 + 2z2  2xy  2yz  2xz) Q =  [(x  y)2 + (y  z)2 + (z  x)2]  x,y,z  MaxQ =  x = y = z Vậy: MaxQ =  x = y = z Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau cách đưa HĐT  a �b ;  a �b �c Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán a) A  x  2xy  2y  2x  10y  17 b) B  x  xy  y  2x  2y c) C  x  xy  y  3x  3y d) D  x  2xy  6y  12x  2y  45 e) E  x  xy  3y  2x  10y  20 f) K  x  y  xy  3x  3y  20 g) N  x  2xy  2y  x h) A  x  2xy  3y  2x  1997 i) Q  x  2y  2xy  2x  10y 2 j) G  x  xy  y   x  y   k) H(x)  x  y  xy  x  y  l) D  2x  2xy  5y  8x  22y m) E  2x  9y  6xy  6x  12y  2004 n) Q  a  ab  b  3a  3b  o) A  x  6y  14z  8yz  6zx  4xy p) B(x)  x  xy  y  3x  3y q) C(x)  2x  3y  4xy  8x  2y  18 r) E(x)  2x  8xy  11y  4x  2y  s) C = a2 + ab + b2 – 3x – 3b + 1989 u) A = x2 + 2y2 + 2xy + 2x – 4y + 2013 t) A = 3x + 4y2 + 4xy + 2x – 4y + 26 v) A = 5x2 + 9y2 – 12xy + 24x – 48y + 82 w) B  x  2y  3z  2xy  2xz  2x  2y  8z  2000 x) G   x  ay    x  ay   x  16y  8ay  2x  8y  10 2 2 2 2 2 y) F = 2x + 6y + 5z – 6xy + 8yz – 2xz + 2y + 4z + z) B = 3x + 3y + z + 5xy – 3yz – 3xz – 2x – 2y + aa) B = 2x + 2y + z + 2xy – 2xz – 2yz – 2x – 4y HD: a) A  x  2xy  2y  2x  10y  17 2 2y2  10y  17  y  1 � A  x2  2x  y  1  2y2  10y  17  x2  2x y  1   y  1  � � �   A   x  y  1  y2  8y  16   x  y  1   y  4 2 b) B  x  xy  y  2x  2y �2 y  y2  4y  4� y2 B  x2  x y  2  y2  2y  � x  2.x   y  2y   y1 � 4 � � 4B   x  y  2  4y2  8y  y2  4y    x  y  2  3y2  12y  2     x  y  2  y2  4y    x  y  2  3 y  2  15 �15 �B � 2 15 Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán c) C  x  xy  y  3x  3y �2 y  y2  6y  9� y2  6y  C  x  x y  3  y  3y  � x  2.x  � y  3y  4 � � 2 4C   x  y  3  � 4y2  12y  y2  6y  9� � � d) D  x  2xy  6y  12x  2y  45 D  x2  2x(y  6)  6y2  2y  45  x2  2x.(y  6)  (y  6)2  6y2  2y  45 (y2  12y  36)  (x  y  6)2  5y2  10y   (x  y  6)2  5(y  1)2  �4 e) E  x  xy  3y  2x  10y  20 E  x2  x y  2  3y2  10y  20 y  y2  4y  y2  4y   x  2x   3y  10y  20  4       4E   x  y  2  12y2  40y  80  y2  4y    x  y  2  11y2  36y  76 2 f) K  x  y  xy  3x  3y  20 2 4K  4x2  4y2  4xy  12x  12y  80  � 4x2  4x  y  3   y  3 � � 4y2  12y  80  y  3 � �� � � 4K   2x  y  3  3y2  18y  71 g) N  x  2xy  2y  x  2y  1 2y   2y  1 N  x  x 2y  1  2y  x  2x   2y2  4 2 2   4N   x  2y  1  8y2  4y2  4y  h) A  x  2xy  3y  2x  1997   A  x2  2x y  1  3y2  1997  x2  2x y  1   y  1  3y2  1997 y2  2y  Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán i) Q  x  2y  2xy  2x  10y   Q  x2  2x y  1  2y2  10y  x2  2x  y  1   y  1  2y2  10y  y2  2y  2 j) G  x  xy  y   x  y   4G  4x2  4xy  4y2  12x  12y  12     4G  4x2  4x y  3   y  3  4y2  12y  12  y2  6y  4G   2x  y  3  3y2  6y    2x  y  3  3 y  1 �0 2 k) H(x)  x  y  xy  x  y  H(x)  x  y  xy  x  y  � 4H(x)  (2x)  2.2x.y  y  3y  4x  4y   (2x  y)  2(2x  y)  3y  2y    (2x  y  1)  3(y  y  1) 8  (2x  y  1)  3(y  )2  � 3 � Min4H(x)  1 � x  ;y  � MinH(x)  3 3 l) D  2x  2xy  5y  8x  22y 2D  4x2  4xy  10y2  16x  44y  4x2  4x y  4  10y2  44y 2D  4x2  2.2x y  4   y  4  10y2  44y  y2  8y  16 m) E  2x  9y  6xy  6x  12y  2004 2E  4x2  18y2  12xy  12x  24y  4008   2E  4x2  12x y  1  9 y  1  18y2  24y  4008 y2  2y  2E   2x  y  1  9y2  42y  3999 Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán n) Q  a2  ab  b2  3a  3b    4Q  a2  2ab  b2  a2  b2   2ab  4a 4b   a  b  3 a  b  2 �0 2 o) A  x  6y  14z  8yz  6zx  4xy A  x2  2x 2y  3z  6y2  14z2  A  x2  2x 2y  3z   2y  3z  6y2  14z2  4y2  12yz  9z2  A   x  2y  3z  2y2  12yz  23z2 p) B(x)  x  xy  y  3x  3y B(x)  (x  2x  1)  (y  2y  1)  x(y  1)  (y  1)   (x  1)  (y  1)  (x  1)(y  1)  y 1 y 1  (x  1)  2(x  1) .(y  1)  ( ) ( )  (y  1)  2 2 y  � y  2y  � � x 1   y  2y   � � � q) C(x)  2x  3y  4xy  8x  2y  18 C(x)  2x  4xy  2y  y  8x  2y  18  � (x  y)  2(x  y)2  � � � (y  6y  9)   2(x  y  2)  (y  3)  �1 � A  � y  3; x  r) E(x)  2x  8xy  11y  4x  2y  E(x)  2(x  4xy  4y )  3y  4x  2y   � 2(x  2y)  4(x  2y)  � � � 3y  6y  x3 �x  2y   �  2(x  2y  1)  3(y  1)  �1 � � �� �y   �y  1 s) C  a  ab  b  3x  3b  1989 b   b  3  b  3 C  a  a  b  3  b  3b  1989  a  2.a   b  3b  1989  4 2 2 4C  4a  4ab  4b  12a  12b  7956 Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 2 � 4a  4a  b  3   b   � 4b  12b  7956   b   � �   2a  b  3  3b  6b  7947 2 t) A  4y   4xy  4y   3x  2x  26 2 � 4y  2.2y  x  1   x  1 � 3x  2x  26   x  1 � � A   2y  x  1  2x  4x  25   x  2y  1   x  2x  1  23 �23 2 u) A  x 2y  2xy  2x  4y  2013 A  x 2y  2xy  2x  4y  2013  x  2x(y  1)  (y  1)  (y  3)  2003 �2003 � x  4; y  v) A  5x  9y 12xy  24x  48y  82 A  5x  9y 12xy  24x  48y  82  9y  12y(x  4)  4(x  4)  4(x  4)  5x  24x  82   3y  2(x  4)   (x  4)  �2x, y �R � x  4; y  16 w) B  x  2y  3z  2xy  2xz  2x  2y  8z  2000 B  x2  2x y  z  1  2y2  3z2  2y  8z  2000    x2  2x y  z  1   y  z  1  2y2  3z2  2y  2z  2000  y2  z2  1 2yz  2z  2y     x  y  z  1  y2  2z2  4y  2yz  1999   2   x  y  z  1  � y2  2y z  2   z  2 � 2z2  z2  4z   1999 � �     x  y  z  1   y  z  2  z2  4z  1995 2 x) G   x  ay    x  ay   x  16y  8ay  2x  8y  10 Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi tốn Phương pháp Sử dụng biểu thức phụ I Phương pháp Để tìm cực trị biểu thức đó, đơi người ta xét cực trị biểu thức khác so sánh với nó, biểu thức phụ dễ tìm cực trị Ví dụ : Để tìm cực trị biểu thức A với A > 0, ta xét cực trị biểu thức : ,  A, kA, A k + A, |A| , A2 (k số) II Bài tập vận dụng x2 x4  x2 1 Bài Tìm GTLN A = HD: a) Xét x =  A = giá trị khơng phải GTLN A với x  ta có A > b) Xét x  đặt P = Amax  Pmin A với cách đặt ta có : P = ta có : x2 + x4  x2 1 x   x x 1 2 x 2 (theo côsi) x x  P  + =  Pmin =  x = Do : Amax =  x=1 Bài Tìm GTNN B =  x với x > ( x  2002) HD: Đặt P1 =  B P1max  Mmin Ta có : P1 = x với x >  P > ( x  2002) Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi tốn Đặt P2 = > với x > P2 Min  P1 Max P1 P2 = ( x  2002) x  2.x.2002  2002  x x P2 = x  2.x.2002  2002  4.x.2002 x P2 = (do ( x  2002)  4.2002 4.2002 8008 x ( x  2002)  x > 0) x  P2 Min = 8008  x = 2002  P1 Max =  x = 2002 8008  BMin =  8008  x = 2002 Vậy BMin =  8008  x = 2002 Bài Cho a,b, c dương a + b + c = 5a  4b  5b  4c  5c  4a Tìm GTLN C = HD: Do a, b, c >  C > Đặt : P = C2 PMax  CMax Ta có : P = ( 5a  4b  5b  4c  5c  4a )2  P  (12 + 12 + 12) (5a + 4b + 5b + 4c + 5c + 4a) theo Bunhiacôpxki P  3.9(a + b + c) = 81 a + b + c =  PMax = 81  a = b = c =  C Max = 81  a = b = c =  CMax =   a = b = c = Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán Vậy CMax =   a = b = c = Bài Cho x, y, z, t > Tìm GTNN D = y t y xy x tx t      y t x tx y xy t HD: Đặt P = 2D ta có : P= 2y 2(t  x) 2( x  y ) x 2( y  t ) 2t      y t x tx y xy t  2x y  t   2y x  y 3 y t t  x x t t  x   2t               2x   t  x 2y   x  y 2t   x y t   y t P =   2x y  t   2y x y 3 y t t x x y t  x   2t                   y  t x t  x y x  y t       2 x x y y t t  P =  P + + + 6 P  15  PMin = 15  x = y = t >  DMin = 15  x = y = t Bài Cho x, y > 7x + 9y = 63 Vậy DMin = 15 x=y=t Tìm GTLN E = x.y HD: Đặt : P = 63.E ta có :  7x  y  P = 63xy = 7x.9y    (theo côsi)   3969  63   PMax  =  2 P  = Dấu "=" xảy  7x = 9y =  EMax = 3969 �x  4,5 63 � �y  3,5  x 4,5 3969 63 : 63 =  4  y 3,5 Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com (theo cơsi) Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán Bài Cho x2 + y2 = 52 Tìm GTLN F = 2x + 3y HD: Xét : P1 = |F| P1 = |2x + 3y| Đặt : P2 = P P2 = (2x + 3y)2 Theo Bunhiacôpxky : P2  (4 + 9) (x2 + y2) = 13.13.4  x 4  x    y 6  y   P2 Max = 13.13.4    x 4  y 6  P1 Max = 26 Do F  |F| = P  FMax = 26    x 4  y 6 Vậy FMax = 26   y x4 y4 x2 y2 x  Bài Cho x, y > Tìm GTNN G =     y x y x y x HD: Đặt : P = G  ta có : P = y x4 y4 x2 y2 x      -2 y x y x y x  x4   y4   x2 x2 y2 x y y2   x                2   x4   y2 y x x   y y2 x2 y     P =  2 y  x   x2   y2   x y ( x  y)       0 P =   1    1      xy  y x y  x   PMin =  x = y > Vậy GMin =  x = y > III Bài tập vận dụng Cho x,y, z > x2 + y2 + z2 = Tìm GTNN A  xy yz zx   z x y Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán Cho x  Tìm GTNN B = x8  x 1 x4 Cho x  Tìm GTLN C = x8 x 16  x  Cho a2 + b2 + c2 = Tìm GTLN D = a + 2b + 3c   Cho a,b > a + b = Tìm GTNN E = 1  Cho a, b, c, d > Tìm GTNN F = Cho a,b  |R Tìm GTNN G =   1   a  b  a b bc cd d a    bc d c d a d a b a bc a  (1  b)  b  (1  a ) Phương pháp Phương pháp miền giá trị I Phương pháp Trong số trường hợp đặc biệt, biểu thức đại số cho có hai biến số đưa dạng tam thức bậc ta sử dụng kiến thức miền già trị hàm số để giải thấy hiệu  Đường lối chung : Giải sử ta phải tìm cực trị hàm số f(x) có miền giá trị D Gọi y giá trị f(x) với x  D Điều có nghĩa điều kiện để phương trình f(x) = y có nghiệm Sau giải điều kiện để phương trình f(x) = y có nghiệm (x biến, coi y tham số) Thường đưa đến biểu thức sau : m  y  M Từ  Min f(x) = m  Max f(x) = M với x  D với x  D II Bài tập vận dụng Bài Tìm GTNN f(x) = x2 + 4x + HD: Bieân soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán Gọi y giá trị f(x) Ta có :y = x2 + 4x +  x2 + 4x +  y = (có nghiệm)  ' =  + y   y1 Vậy f(x) Min =  x =  Bài Tìm GTLN f(x) =  x2 + 2x  HD: Gọi y giá trị f(x) Ta có : y =  x2 + 2x   x2  2x + y +  ' =  y    y  (có nghiệm) Vậy f(x)Max =   x = Bài Tìm GTLN, GTNN f(x) = x  4x  x  2x  HD: Gọi y giá trị f(x) Ta có : y = x  4x   yx2 + 2yx + 3y  x2  4x  = x  2x   (y  1)x2 + (y  2).x + 3y  = (có nghiệm) * Nếu y =  x =  * Nếu y   ' = (y  2)2 + (3y  6)(1  y)  Biên soạn: Trần Đình Hoàng tdhoangclassic@gmail.com Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán  y2  4y +  3y2 + 3y + 6y     2y2 + 5y +    y  2 Ta thấy :