Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Hằng đẳng thức và ứng dụng

* Chú ý: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức Lop8.net... Chứng minh rằng xy + 4 là số chính phương..[r]

Chuyên đề : HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG A Áp dụng nhựng đẳng thức Bình phương tổng: A  B   A  AB  B = A  B   AB 2 Bình phương hiệu: A  B   B  A  A  AB  B = A  B   AB 2 Hiệu hai bình phương: A  B  A  B A  B  Lập phương tổng: A  B   A  A B  AB  B  A  B  ABA  B  Lập phương hiệu: A  B   A  A B  AB  B  A  B  ABA  B    A  B A   ( A  B) Tổng hai lập phương: A  B  A  B  A  AB  B  A  B   AB.( A  B ) Hiệu hai lập phương: A  B  AB  B 3  AB.( A  B ) * Một số đẳng thức tổng quát an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b + … + abn-2 + bn-1) a2k – b2k = (a + b )(a2k-1 – a2k-1b + … + a2k-3b2 –b2k-1) a2k+1 – b2k+1 = (a + b )(a2k – a2k-1b + a2k-2b2 - … + b2k) (a + b)n = an + nan-1b + (a -b)n = an - nan-1b + n(n  1) n-2 n(n  1) n-2 a b +…+ a b +nabn-1 + bn 1.2 1.2 n(n  1) n-2 n(n  1) n-2 a b - …a b +nabn-1 - bn 1.2 1.2 Bài tập1: Chứng minh các đẳng thức sau : A  B  C   A  B  C  2AB  BC  AC  2 A  B  C   A  B  C  3A  B  B  C  A  C  A   X A  B  A  B   A  B   B2 2   Y  AX  BY   AX  BY  2 Bài tập Tính : a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052 b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 Giải a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052 A = + (32 – 22) + (52 – 42)+ …+ ( 20052 – 20042) A = + (3 + 2)(3 – 2) + (5 + )(5 – 4) + … + (2005 + 2004)(2005 – 2004) A = + + + + + … + 2004 + 2005 A = ( + 2002 ) 2005 : = 2011015 b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B = (22 - 1) (22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B = ( 24 – 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B=… B =(232 - 1)(232 + 1) – 264 Lop8.net B = 264 – – 264 B=-1 * Chú ý: Quan sát và biến đổi bài toán cách sử dụng đẳng thức A2 – B2 Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ hay giá trị lớn các biểu thức sau: a/ A = x2 – 4x + b/ B = x2 + 8x c/ C = - 2x2 + 8x – 15 Giải a/ A = x2 – 4x + = x2 – 4x + + = ( x - 2)2 + > Dấu “ =” xảy  x – =  x = Vậy giá trị nhỏ biểu thức A là x = b/ B = x2 + 8x = (x2 + 8x + 16 ) – 16 = (x – 4)2 – 16 > - 16 Dấu “ =” xảy  x – =  x = Vậy giá trị nhỏ biểu thức A là -16 x = c/ C = - 2x2 + 8x – 15 = – 2(x2 – 4x + 4) – = – 2( x - 2)2 – < - Dấu “ =” xảy  x – =  x = Vậy giá trị lớn biểu thức A là - x = * Chú ý:  Để tìm giá trị nhỏ biểu thức A ta cần: - Chứng minh A > m với m là số - Chỉ dấu “=” có thể xảy - Kết luận: Giá trị nhỏ A là m ( kí hiệu minA )  Để tìm giá trị lớn biểu thức A ta cần: - Chứng minh A < t với t là số - Chỉ dấu “=” có thể xảy - Kết luận: Giá trị lớn A là t ( kí hiệu maxA ) Bài tập 4: Chứng minh ( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac ) thì a = b = c Giải ( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac )  a2 + 2ab + b2 + 2bc + 2ac + c2 = 3ab + 3bc + 3ac  a2 + b2 + c2- ab - bc – ac =  2a2 + 2b2 + 2c2- 2ab - 2bc – 2ac =  ( a2 – 2ab + b2) + ( b2 – 2bc + c2) + ( c2 – 2ac + a2) =  ( a – b)2 + ( b – c)2 + ( c – a)2 =  ( a – b)2 =0 hay ( b – c)2 = hay ( c – a)2 =  a = b hay b = c hay c = a  a=b=c * Chú ý: Quan sát và biến đổi bài toán cách sử dụng các đẳng thức Lop8.net (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 Bài tập Chứng minh rằng: a/ 7.52n + 12.6n  19 ( n  N) b/ 11n+2 + 122n+1  133 ( n  N) Giải a/ 7.52n + 12.6n = 7.(25n – 6n) + 19.6n  19 Vì ( 25n – 6n )  ( 25 – 6) nên ( 25n – 6n )  19 và 19.6n  19 Vậy 7.52n + 12.6n  19 ( n  N) b/ 11n+2 + 122n+1  133 = 112 11n + 12.122n = 12.( 144n – 11n) + 133.11n  133 Vì (144n – 11n)  (144 – 11) nên (144n – 11n)  133 * Chú ý: Quan sát và biến đổi bài toán cách sử dụng các đẳng thức an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b + … + abn-2 + bn-1) đó (an – bn)  (a- b) Bài tập Tìm x, y, z biết rằng: 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = Giải 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 =  (x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz) + (x2 + 10x + 25) + (y2+ 6y + 9) =  ( x + y + z)2 + ( x + 5)2 + (y + 3)2 =  ( x + y + z)2 = ; ( x + 5)2 = ; (y + 3)2 =  x = - ; y = -3; z = * Chú ý: Quan sát và biến đổi bài toán cách sử dụng các đẳng thức (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 Bài tập 7: Cho x = 11  15 ; y = 11  19 Chứng minh xy + là số chính phương   n chữ số n chữ số Ta có : y = 11  19 = 11  15 + = x +   n chữ số n chữ số Do đó: xy + = x(x + 4) + = x2 + 4x + = ( x + )2 hay xy + = 11   17   là số chính phương n chữ số B Ứng dụng đẳng thức Xét bài toán phân tích đa thức sau thành nhân tử: a3 + b3 + c3 – 3abc Ta có: a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 – 3ab(a+b) + c3 – 3abc = [(a+b)3+c3 ] – 3ab(a+b+c) = (a+b+c) [(a+b)2–c(a+b)+c2 ]– 3ab (a+b+c) Lop8.net = (a+b+c) (a2 + 2ab + b2 – ac- ab + c2- 3ab) = (a +b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac) = (a + b + c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2] Nhận xét: Nếu a3 + b3 + c3 = 3abc thì a3 + b3 + c3 – 3abc = => (a+b+c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2] = a  b  c  a  b  c  =>  =>  2 a  b  c (a  b)  (b  c)  (a  c)  Áp dụng nhận xét trên vào giải số dạng toán: Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử Dạng 2: Tính giá trị biểu thức Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình Dạng 4: Chứng minh đẳng thức DẠNG 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH PHÂN TỬ Bài 1: Phân tích đa thức (x-y)3 + (y – z)3 + (z - x)3 thành phân tử Ta thấy : x – y + y – z + z – x = => áp dụng nhận xét ta có: (x-y)3 + (y – z)3 + (z - x)3 = 3(x-y) (y-z) (z-x) Bài 2: Phân tích đa thức (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 thành nhân tử Ta có (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 = (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 + (-y2 - z2)3 Ta thấy x + y2 + z2 – x2 – y2 – z2 = => áp dụng nhận xét ta có: (x2+y2)3+ (z2-x2)3+ -y2-z2)3 = 3(x2 + y2) (z2 –x2) (-y2 – z2) = 3(x2+y2) (x+z)(x-z)(y2+z2) Bài : Phân tích đa thức (x+y+z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử (x+y+z)3 – x3-y3-z3 =[(x +y) +z]3 – x3 – y3 – z3 = (x+y)3 + (x+y) (x+y+z) – x3-y3-z3 = x3 + y3+3xy(x+y)+z3+3z(x+y)(x+y+z) –x3-y3-z3 = 3(x+y) (xy+ yz +xz +z2) = 3(x+y)(y+z)(z+x) Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử (x+y+z)3 –(x+y-z)3-(x-y+z)3 -(-x+y+z)3 Đặt x+y-z=a; x-y+z=b, -x+y+z=c Lop8.net =>x+y+z = a+b+c =>(a+b+c)3 - a3- b3-c3 = 3(a+b)(b+c)(a+c) = 24xyz DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC: Bài 1: Cho Từ 1    tính P = x y z xy yz zx   z x2 y 1 1 1    =>    x y z xyz x y z => P = 1 xy yz zx xyz xyz xyz 1  xyz3       xyz     3 z x y z x y y z  xyz x  a  b  c  Bài 2: Cho abc  0, a3+b3+c3 = 3abc tính A = 1  1  1    b  c  a  a  b  c  Từ a3 + b3 + c3 = 3abc =>  a  b  c  a  b  b  c  a  c   c  a  b  1 Nếu a+b+c = thì A =      b  c  c  b c  Nếu a = b = c thì A = (1+1) (1+1) (1+1) = => A có giá trị: -1 và  x  y  z  Bài 3: Cho xyz  thoả mãn x3y3 + y3z3 + x3z3 = 3x2y2z2 Tính P = 1  1  1   y  z  x   Đặt a= xy, b = yz, c =zx a  b  c  Ta có x3y3 + y3z3 + x3z3 = 3x2y2z2 => a3 + b3 + c3 = 3abc =>  a  b  c Nếu a + b + c = hay xy + yz + xz = thì (x+z) y = -xz P= =  x  y  z   x  y  y  z  z  x  x  y z y  z x x  z y 1  1  1        y  x  x   y  z  x  yz zx xy   xy  yz  zx   1 zx.xy yz Nếu a = b = c hay xy = yz = zx => x = y = z => P =8 Bài 4: Cho a + b + c = tính giá trị biểu thức A = (a-b)c3 + (b-c)a3+(c-a)b3 Ta biến đổi b-c = b-a+a-c Ta A = (a-b)c3 + (b-a)a3 + (a-c)b3 = (a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c) Lop8.net Vì a+b+c=0 -> A=0 x3  y  z Bài 5: Cho x+y+z=0 tính giá trị biểu thức B =  xzy vì x+y+z=0 => x3+y3+z3 x  y  z 3 xyz = 3xyz => B =   3  xyz  xyz Bài 6: Cho a3+b3+c3 = 3abc và a+b+c  tính giá trị biểu thức M= a  b2  c2 a  b  c 2 ta có a3+b3+c3- 3abc = (a+b+c) (a2+b2+c2 –ab-bc-ca) = =   a  b  c a  b 2  b  c 2  c  a 2  Mà a+b+c  => (a+b)2+ (b-c)2 + (c-a)2 = => a=b=c a  a  a 3a => M =   9a 3a 2 Bài 7: Cho a+b+c=0 (a  0; b  0; c  0) tính giá trị biểu thức A= a b2 c2   ; cb ca ab Ta có A = B= a2 b2 c2   a  b2  c2 b2  c2  a c2  a  b2 a  b3  c vi a+b+c=0 => a3 + b3 + c3 = 3abc abc A= 3abc 3 abc B= a2 b2 c2   a  b2  c2 b2  c2  a c2  a  b2 Từ a+b+c= => a+b = -c => a2+b2+2ab=c2 -> c2-a2-b2= 2ab TT: a2-b2-c2 =2bc; b2-c2-a2=2ac Nên B= -> B = a2 b2 c2 a  b3  c    ta có a+b+c=0 => a3+b3+c3 = 3abc a 2bc 2ac 2ab 2abc 3abc  2abc Bài 8: Cho a+b+c= tính giá trị biểu thức: a b  a b b c c  a  c     A=    a b   a  b b  c c  a   c Đặt B = ab bc ca   c a b Lop8.net Ta có B c c bc ca c  b  bc  ac  a   1      1  ab ab a b  ab  ab  c a  b c  a  b  2c 2c  1  1 =1+ ab ab ab abc Tương Tự B a 2a b 2b3  1 ; B  1 ; ca abc bc abc  2c 2a 2b3 a  b3  c 1 1 3 Bậy A =  abc abc abc abc  Vì a+b+c = => a3 + b3 + c3 = 3abc => A = + 2.3abc 9 abc DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: Giải phương trình (3x – 2)2 – (x-3)3 = (2x+ 1)3 (3x-2)3 – (x-2)3 = (2x+1)3 => (3x-2)3 – (x-3)3 – (2x+1)3 = => (3x-2)3 + (-x+3)3 + (-2x-1)3 = => => Nhận xét: Ta có 3x -2 -x +x-2x-1 = => Áp dụng nhận xét ta có (3x-2)3 + (-x+3)3+(-2x-1)3 = 3(3x-2)(-x+3)(-2x-1)=0 =>(x+y)(-x+2)(-y-2) =2 Vì x;y Z ta có: 2=1.1.2=(-2)(-1).1=(-1)(-1).2=(-1) 2(-1)  x  y  1  xảy trường hợp  x    y.2  1  x    y  1  Chú ý:x=2;y=-2 =>phương trình vô nghiệm KL: Phương trình có nghiệm x=0; y=-1 Bài 2: Tìm các nghiệm nguyên phương trình: x3 +y3+z3- 3xyz=1 Ta có x3+y3+z3-3xyz=1 <=>  (x+y+z) (x2 +y2+z2-xy-xz-yz)=1 Ta xét x2+y2+z2-xy-xz= [(x-y2 +(y-z)2+(z-x)2 ]  nên có thể xảy  x  y  z  1(1)  2  x  y  z  xy  yz  zx  1(2) Lop8.net Từ ta có: x2+y2+z2+2(xy+yz+xz) = Từ 2,3 => xy + yz + zx = <2-3> Nên x2 +y2 + z2 = giả sử x2  y2  z2 =>z = 0; y = 0; x =  x   Nếu  y   không t/m z   x   Nếu  y   T/m phương trình z   x   và TH:  y   z   x   và  y  z   DẠNG 4: CHỨNG MINH HẰNG ĐẲNG THỨC Bài 1: Cho tam giác ABC có cạnh tương ứng là a,b,c thoả mãn a3+b3+c3 = 3abc Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? a  b  c  Ta có a3 +b3+c3 = 3abc   a  b  c Vì a,b,c là cạnh tam giác ABC nên a+b+c  nên ta có a=b=c (a,b,c >0) => ABC Là tam giác Bài 2: Cho a+bc+c+d = cmr a3+b3+c3+d3 = (d+c) (ab-cd) Đặt c+d= x ta có a+b+x=0 => a3+b3+x3= 3abx hay a3+b3 +(c+d)3 =3ab(c+d) => a3+b3+c3+d3 = 3ab (c+d)- 3cd(c+b) = 3(c+d)(ab-cd) Bài 3: CMR x+y+z = thì 2(x5+y5+z5) = 5xyz(x2+y2+z2) từ x+y+z = => -x= y+z => (y+z)5= -x5 =>y5+5y4z + 10y3z2 + 10y2z3 + 5yz4 + z5 = -x5 =>x5 +y5+z5+5yz (y3 + 2yzz+2yz2+z3) = =>x5+y5+z5+5yz(y+z)(y2+yz+z2)= => 2(x3+y5+z5)- 5yzx((y2+z2)+ (y+z)2)= Lop8.net => 2(x3+y5+z5)- 5yzx((x2 +y2+z2)= 2(x5+y5+z5)= 5yzx (x2+y2+z2) => đpcm C Sử dụng đẳng thức biến đổi đồng chất Bài tập : Cho a  b  , biết a/ 3a  3b  10ab Tính P  ab ab b/ 2a  2b  5ab Tính Q  ab ab a  2ab  b 3a  3b  6ab 10ab  6ab ab a Xét P       Mà P   P   2 2 a  2ab  b 3a  3b  6ab 10ab  6ab ab b ( Tương tự ) Xét E   E  Bài tập 2: a/ Cho a  b  c  và a  b  c  14 Tính A  a  b  c b/ Cho x  y  z  và x  y  z  a Tính B  x  y  z theo a  a/ Ta có: 14  a  b  c  a Ta có: a  b  c   a  b  c    b  c  196  a b  b c  c a  a2  b2  c2   ab  bc  ac    7  ab  bc  ac   49  a b  b c  a c  2abc(a  b  c)  49  a b  b c  a c  49 Vậy A  a  b  c  196  2.49  98  b/ x  y  z   x  y  z   x  y  z  yz  x  y  z 2      4y  x  y  z  2x y  y z  2x z  x  y  z  x  y  z Bài tập 3: Cho x  và x  A  x2  x2 z2  a B a4  a Tính các biểu thức sau theo a x B  x3  x3 C  x6  Dể dàng chứng minh được, n>1, ta có: x n 1  Ta tính A  a  2 B  a  3a x n 1 x6 D  x7  x7  1      x n  n  x     x n 1  n 1  x  x  x   C  a  6a  9a  D  a  a 15  14a  a Bài tập 4: Phân tích các số sau thừa số Lop8.net a/ a b  c  b c  a  c a  b  b/ a  4a  29a  24 à c/ x  x  x  x  d/ x  x  11x  x  3 x  5 x   15 e/ x  1 f/ x  y   y  z   z  x  3 Gợi ý: a/ Thay b  c  (c  a )  (a  b)      c  a  b  a  a  b c  a c  b  Sau thay, ta a  b  c  a  c  a  b  a  a  b c  a  b/ Đáp số: a  1a  3a  8   c/ Đáp số: x  x  d/ Đáp số: x  1x  x  3   e/ Đáp số: x  x  10 x   x  2 f/ Đặt x  y  a yz b zxc  a  b  c   a  b  c  a  b   c 3  a  b  3aba  b   c  a  b  c  3ab(a  b)  3abc VT  3x  y y  z z  x  Lop8.net 10