tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán 12 chuyên đề loga,hàm số mũ

tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán 12 chuyên đề loga,hàm số mũ tham khảo

CHUYÊN ĐỀ - HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Lũy thừa thức: an  (với a  n  ¥ * ) n a m n a  a  n a m (với a  r  r m ,n ,nƠ *) n a lim a rn (với a  0,  ¡ , rn  ¤ lim rn   ) Khi n lẻ, b  n a  bn  a (với a) b  Khi n chẵn, b  n a   n b  a (với a  ) - Biến đổi lũy thừa: Với số a  0, b  0,  tùy ý, ta có: a a   a   ; a : a   a  ;  a   a   a.b    a b ;  a : b   a : b  - So sánh: Nếu  a  b thì: a  b    0; a  b    Lôgarit: - Lôgarit số a:   log a b  a  b (  a  b  ) - Lôgarit số 10: log10 b  lg b hay logb - Lôgarit số e: loge b  ln b  e  2,7183 - Tính chất: log a  log a ab  b với a  0, a  aloga b  b với a  0, b  0, a  - Biến đổi lôgarit điều kiện xác định: log a  b.c   log a b  log a c log a b 1  log a b  log a c,log a     log a c c c L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo log a b   log a b (với  ), log a n b  log a b ( n  ¥ * ) n - Đổi số điều kiện xác định: logb x  log a x hay log a b.logb x  log a x log a b logb a  1 hay log a b.logb a  1;log a b  log a b  log a b Hàm số lũy thừa y  x : Liên tục tập xác định     Đạo hàm x '  ax 1 , u '   u 1u ' ;   n x /  nn x  x  0 ,  n u  n 1 /  u' n n u n1 , với u  u  x   Hàm số y  x đồng biến  0;    ; nghịch biến  0;    Hàm số mũ: Liên tục tập xác định ¡ , nhận giá trị thuộc  0;   lim a x   x  0 a  0 ; lim a x    a  x  a   a       a  '  a u 'ln a;  e  '  e u ' với u  u  x  Đạo hàm: a x '  a x ln a; e x '  e x ; u u u u Đồng biến ¡ a  , nghịch biến ¡  a  Hàm số lôgarit y  log a x : Liên tục tập xác định  0;  , nhận giá trị thuộc ¡  lim log a x   x   Đạo hàm  log a x  '   log a u  '  a   ; lim log a x    a  x0  a   a  1 1 ;  ln a  '  ;  ln x  '  x ln a x x u' u' u' ;  ln u  '  ;  ln u  '  với u  u  x  u ln a u u L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Hàm số y  log a x đồng biến  0;  a  , nghịch biến  0;   a  Giới hạn: ln 1  x  ex 1  1 lim 1    e;lim  1;lim 1 x  x 0 x x  x x x 0 CÁC BÀI TỐN Bài tốn 4.1: Thực phép tính  0,75 A  81   1 2     3   ; B  0,001   64           125   32  Hướng dẫn giải    A   3   3 B  10 3   3    5                    4 1  3 1 80 1 1      58  3   27 27 27 5 2 3     2 3   2    10  22  24    111  16 16 Bài toán 4.2: Đơn giản biểu thức điều kiện xác định: a 1 P a a  a a a a a a a  1; Q    a 1 3 a a a a 4 Hướng dẫn giải  P   a  a  1 a  a  1  a  1 a 1 4 Q a 1 a 1  a 3 a 1  a 1 1  a   a 1  a   1  a   1  a   2a a 1  a   a   a  1 Bài toán 4.3: Trục mẫu L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo 233 a) b)  13  48 Hướng dẫn giải 3   233 2 a)  nên   1 3   13  48  b) Vì  13  48     33   1   42     1 1  32     Bài tốn 4.4: Khơng dùng máy, tính giá trị đúng: a) 15  6  15  6 b) 75  75 Hướng dẫn giải  a) Ta có  nên   18  12  12  30  12 15  6  15  6  2 3 2  6 2 15  6  15  6  x; x  Cách khác: Đặt Ta có x  30  225  216  36 nên chọn x   b) Ta có:      2    Tương tự    Do         1  1  2 Cách khác: Đặt x     Ta có:   x3       10                      10  3x L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Ta có phương trình:    x3  3x  10   x  2 x  2 x    x  2 Bài tốn 4.5: Tính gọn a) 49  20  49  20 b) 2 2 2  2 2 2 Hướng dẫn giải a) Ta có 49  20  25  10 24  24   Tương tự: Suy 4  3  4 5    3 49  20   (do 3 2) 49  20  49  20  b) Đặt M    2  , N    2  Ta có: MN  2       1 M  N    M  N  2M N      1  1  M  N    M  N  2MN        Vậy 2 2 2 2 2  2 2 2  M  N  1 Bài toán 4.6:   23  513 23  513   1 Tính A  x3  x2   3 4   a) Cho x   b) Tính B  4 6 2k  k  200  9999      1 2 k 1  k  99  101 Hướng dẫn giải L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo a) Đặt a  23  513 23  513 ,b  4  a  b3  23 , ab  3x   a  b Vì  3x  1  27 x3  27 x  x   27  x3  x  1  3 3x  1  29 nên  3x  1 A   3x  1  29  a  b    a  b   29  27 27 23 a3  b3  3ab  a  b    a  b   29  29    27 27 b) Với k    2k  k   k 1  k 1  B    k  1  k 1  k 1   k  1   k  1   k  1 k  1   k 1  k 1  k 1  k 1  k 1   Do 1 3  13  43  23  53  33  63  43   1013  993    1 999  1013  3 3  1   101  100   2 999  101 101  2  a x  a x a x  a x a x  a x ; ch  x   ; th  x   x với a  0, a  Chứng minh 2 a  a x 2th  x  ch2  x   sh2  x   , th  x    th  x  Bài toán 4.7: Cho sh  x   Hướng dẫn giải L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo  a x  a x   a x  a x  Ta có ch  x   sh  x       2      2 a x  a 2 x   a x  a 2 x   1 4  a x  a 2 x   a x  a x  Ta có:  th  x     x  2x x  a  a 2 x  a a  2 nên  2th  x  a x  a  x a x  a 2 x    th2  x  a x  a  x  a x  a 2 x   a x  a  x  a x  a  x  2  a x  a  x  a x  a 2 x   a x  a 2 x  th  x  a x  a 2 x Bài toán 4.8: Cho số tự nhiên n lẻ, chứng minh: 1 1 1 1 n  n  n  n    a b c a  bn  cn a b c abc a) Nếu b) Nếu ax n  by n  cz n , 1    thì: x y z ax n1  by n1  cz n1  n a  n b  n c n Hướng dẫn giải a) Từ giả thiết suy 1 1    a b abc c   a  b   a  b  c  c  abc  ab  a  b  c    a  b b  c  c  a    có số đối mà ta có n lẻ  đpcm b) VT = n 1 1 ax n by n cz n    n ax n      n ax n  x n a  y n b  z n c x y z x y z 1 1  VT      n a  n b  n c  đpcm x y z Bài tốn 4.9: Tính: a) 3log3 18  18;35log3  3log3  25  32 1   8 log   23  log  2 3 log 3  2log2  53  125 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo      32  b) log 0,5   5           log 25  25  32   2 log 36  log 14  3log 21  log    log 7  2  14.21  Bài toán 4.10: Rút gọn biểu thức: a) A  log3 2.log 3.log6 5.log7 6.log8 b) B  a log a b b logb a Hướng dẫn giải a) A  log3 2.log4 3.log5 4.log6 5.log7 6.log8  log log3 log log5 log log log 1   log8  log 2  log3 log log5 log log log8 log8 3 b) Đặt x  log a b  loga b  x  b  a x 1  logb a  x x Mặt khác logb a  Do đó: B  a x  a x2 x  Bài toán 4.11: a) Cho log6 15  x,log12 18  y , tính log 25 24 theo x, y b) Cho a  log 3, b  log3 5, c  log7 , tính log140 63 theo a, b, c Hướng dẫn giải log 2.32  2log log 3.5 log  log   a) Ta có x  y  log 2.3  log log 22.3  log Suy log  y 1 x   y  xy ;log  2 y 2 y log 23.3 5 y Do log 25 24   log  x   y  xy    b) log140 63  log140 32.7  2log140  log140 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo  2    log3 140 log 140 log3  5.7  log  22.5.7    2log3  log3  log3 2log  log  Ta có log3  log3  1  ,log  log 2.log 3.log3  cab ; log a 1   log log 2.log ca Vậy log140 63  b a ca  2ac   2c  cab  abc  2c  Bài toán 4.12: Cho số thực a, b, c thỏa mãn: alog3  27, blog7 11  49, clog11 25  11 Tính T  a  log3 72  b log7 11  c log11 25 Hướng dẫn giải Ta có:  T  alog3  27 log3  log3  49   blog7 11 log7 11   log7 11  11   clog11 25 log11 25  log11 25   11  25  469 Bài toán 4.13: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh: a) a b) logc b  blogc a n  n  1 1 1      log a b log a2 b log a3 b log an b 2log a b Hướng dẫn giải log b log a a) a c  b b b) VT = logc b  blogc b.logb a  blogc a n     log a b log a b log a b log a b  1     n  n  n  1  log a b 2log a b L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Bài toán 4.14: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh: a) Nếu a  c  b2 logbc a  logbc a  2logbc a.logbc a b) Nếu a, b, c lập cấp số nhân log a d  logb d log a d  logb d  log c d log c d Hướng dẫn giải a) Theo giả thiết: a   b  c  b  c  Xét a  : Xét a  log a  b  c   log a  b  c    1  2 logbc a logbc a nên logbc a  logbc a  2logbc a.logbc a c log d   1 b b) Ta có log a d  logb d    log d a log d b  log d a  log d b  c log d   1 a Tương tự: logb d  log c d    log d b log d c  log d b  log d c  Vì a, b, c lập thành cấp số nhân nên Do c b c b   log d    log d   a a b a log a d  logb d log d c log a d   logb d  log c d log d a log c d Bài toán 4.15: Cho x, y, z, a số thực dương đôi khác khác Chứng minh: a) Nếu log a x   log a x.log a z , log a y   log a y.log a x thì: a A  log x.log a y.log a z.log x a.log y a.log z a  x y z b) Nếu x  y  z  x y  z  x  y  z  x  y  z    x y y x  y z z y  z x x z log x log y log z Hướng dẫn giải a) Từ giả thiết, ta có: log a x   log a x.log a z L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo BBT  x − y' +  y  − 4e2  Vậy hàm số đồng biến khoảng  0;2  , nghịch biến khoảng  ;0   2;  , đạt CĐ  2;4e  , CT  0;0 2 Bài tốn 4.32: Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số:   b) y  x  ln 1  x  a) y  ln x  Hướng dẫn giải a) D   ; 1  1;   , y '  2x x2  Khi x  1 y '  nên hàm số nghịch biến  ; 1 Khi x  y '  nên hàm số đồng biến 1;  Hàm số khơng có cực trị b) D   1;   , y '   y  , y'   x  1 x 1 x y '  0, x   0;   nên hàm số đồng biến  0;  y '  0, x   1;0  nên hàm số nghịch biến  1;0  Ta có y ''  1  x   nên đạt cực tiểu x  0, yCT  Bài toán 4.33: Cho a, b, c thực dương Chứng minh hàm số ax bx cx f  x  x   đồng biến với x dương b  cx cx  ax ax  bx x x x x x x  a x  a ln a  b  c   a  b ln b  c ln c  ' Ta có  x x  b  c   bx  c x  L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo  a xb x  ln a  ln b   a x c x  ln a  ln c  b  cx  x /  a xb x ln a  ln b  a x c x ln a  ln c   ax      Do f '  x     x   x   sym  b  c  sym  bx  c x     a xb x ln a  ln b a xb x ln a  ln b        2 x x sym   a x  c x    b  c   a b x sym  a  b  a  b  2c    ln a  ln b   a  c  b  c  x x x x x x x x x x Bài toán 4.34: So sánh số: a) 13 23 b)  15 10  28 Hướng dẫn giải a) 13  20 135  20 371293; 23  20 234  20 279841 Ta có 371293  279841 nên b) 13  23  15      10  28 Bài toán 4.35: So sánh số: 600 a)   b)    3 400 33 Hướng dẫn giải   a) Ta có: 3600  33 5400   52    b) Ta có    3 200 200  27200  25200 Vậy 3600  5400 1    3  33 Ta có   2 1    3   2  2  18  20 : L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo 1 Vì số   nên    3 1    3      3  33 Bài toán 4.36: Hãy so sánh số: a) log3 log b) 3log6 11 7log6 0,99 Hướng dẫn giải a) Ta có log3  log 1  , suy log3  log 3 b) Ta có log6 1,1  nên 3log6 1,1  30  (vì  ) log6 0,99  nên 7log6 0,99  70  (vì  1) log6 1,1 Suy  7log 0,99 Bài toán 4.37: Hãy so sánh số: b) log  log9 25 a) log8 27  log9 25 Hướng dẫn giải a) log8 27  log8 25  log9 25 b) log  log  log8 27  log9 25 Bài toán 4.38: a) So sánh hai số     1000 1000 N2 b) Chứng minh với n số 2, n  22 22 22  222 2222 Hướng dẫn giải a) Ta thấy 22 22 24  22  22 16 Mà 210  1024  1000,26  64   2  64000 nên 16 10 22 22  264000 Mặt khác: 12  22  33   10001000  1000.10001000  10001001   210  1001 Từ suy 22 22  210010  264000  12  22  33   10001000 b) Ta chứng minh quy nạp 2n2  n, n  L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Với n số 2, đặt an  2nN , bn  222 2222 2 Ta có 222  10n  24 n nên bn   24 n  24 n  24 n.2  22 4n 5n Và mặt khác an2  5n  22N  8.2n2  22 Nên an  22 an  n2  2n1   22  bn Ta có đpcm 5n Bài tốn 4.39: Chứng minh: a) log n  n  1  log n1  n  2 với số nguyên n  b) a m  bm  c m , m  1, a  b  c với a  0, b  Hướng dẫn giải   a) A  log n  n  1  log n n 1  1  1    log n 1   n  n     B  log n1  n    log n1  n  1 1     log n1 1    n 1  n 1 Ta có    1   1   1  log n 1    log n 1   n n 1  n  n 1 log n 1       log n1 1   n 1  n 1   1   log n 1    log n1 1   Do A  B  n  n 1 m m a b b) Ta có a  b  c        c c m m m Mà a  b  c, a  0, b  nên  m a b  1,0   c c m a a b b Suy với m       ;      c c c c m m a b a b Từ ta có:         c c c c L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Bài toán 4.40: a) Cho a, b, c  Chứng minh a a bb cc  ab bc c a b) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác nhọn Chứng minh: 2     3 b  b   c  c   a  a     Hướng dẫn giải a) Giả sử a  max a; b; c - Xét a  b  c : BĐT  a ab bbc  cac Vì a  b  c  nên a ab bbc  c ab bbc  c ac - Xét a  c  b : BĐT  a ab  bcb c ac Vì a  c  b  nên bcb cac  acb a ac  a ab b) Không tính tổng quát, ta giả sử a cạnh lớn cạnh tam giác Khi đó, ta có 2 a  b2  c2 , a  b  c nên: 2 2 2         2 3 3 3  a  a    b  b   c  c  a  a    c  c   b  b         Do a, b, c độ dài cạnh tam giác nhọn nên b2  c  a 3 x  a ; y  b ; z  c y  z  x3  Ta có: y  z   y  z  y z  y  z   y  z  y z   y  z    x3   x 2 3 2 Suy y  z  x hay b  c  a  đpcm 2 Bài toán 4.41: a) Cho a, b, c  Chứng minh  abc  a b  c  a a bb cc 1  4  b) Cho số x, y, z , t   ;1 Chứng minh: 1 1 1    1  log x  y    log y  z    log z  t    log t  x    4 4 4    4  Hướng dẫn giải L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo a) BĐT  log  abc  a b  c  log  a a bb c c    a  b  c  log  abc   3 log a a  log bb  log cc    a  b  c  log a  log b  log c    a log a  b log b  c log c    a  b  log a  log b    b  c  log b  log c    c  a  log c  log a   BĐT số 10  nên x  y   log x  log y  x  y  log x  log y nên  x  y  log x  log y   , x  0, y  1  b) Ta có:  a     a   a với a 2  Và  x, y, z, t  nên hàm nghịch biến, đó: VT  log x y  log y z  log z t  logt x   log x y  log y z  log z t  logt x   log x y.log y z.log z t.logt x   Bài toán 4.42: Chứng minh: a) nn1   n  1 , n  ¥ , n  n b) n x n  y n  n1 x n1  y n1 với n nguyên, n  x, y  Hướng dẫn giải a) Với n  ¥ , n  , bất đẳng thức tương đương  n  1 ln n  n ln  n  1  Xét f  x   n 1 n  ln  n  1 ln n x ln x   3;  f '  x    ln x ln x Do f đồng biến  3;  nên: n   n   f  n  1  f  n  (đpcm) b) Với x  y  , bất đẳng thức Với xy  , bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo n x x n 1    n1     y  y n 1 Xét f  t   t n1 1  t  Ta có f '  t   n 1 1  t  n 1 n  n 1  t  n n 1 n n 1 1 tn  t n1 với t   0;   ; f 't    t  BBT x f 't   + − f t  1 Suy f  t   với t   0;    đpcm Bài toán 4.43: Chứng minh bất đẳng thức sau với x  b) e x   x  a) e x  x  x2 x2 c) ln 1  x   x  Hướng dẫn giải a) Xét hàm số f  x   e x  x  1, x  f '  x   e x   0, x  nên f đồng biến  0;  f liên tục  0;  nên f đồng biến 0;   : x   f  x   f    : đpcm b) Xét f  x   e x  x2  x  1, x  f '  x   e x  x  Theo câu a) f '  x   nên f đồng biến  0;  x   f  x   f  0  : đpcm c) BĐT: ln 1  x   x  x2  0, x  x2 x2 0 Xét f  x   ln 1  x   x  , x  0, f '  x   1 x L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo f liên tục  0;  nên f đồng biến  0;  Do đó: x   f  x   f    : đpcm Bài toán 4.44: Chứng minh:     2 a) 4sin x  2tan x  23 x 2 , x   0; b) e x  x với x x  2x  2 Hướng dẫn giải a) Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 4sin x  2tan x  4sin x.2tan x  22sin xtan x 2 Ta cần chứng minh: 22sin x tan x2  23 x2  2sin x  tan x  3x Xét f  x   2sin x  tan x  3x,0  x  f '  x   2cos x   1   2cos x  3 2 3  cos x cos x    : x   f  x   f    : đpcm  2 nên f đồng biến 0; b) Nếu x  BĐT Nếu x  , x  x   0, x nên BĐT  x  x   x Xét f  x   x  x  2, x  x e f '  x   x  2, f '  x    x  Lập BBT f  x   f 1  x e x  xe x  x  x ; g ' x   x  Xét g  x   x , x  0, g '  x   e e2 x e Lập BBT max g  x   g  x   Vì f  x   max g  x   đpcm e Bài toán 4.45: Chứng minh bất đẳng thức sau: a) e x  cos x   x   x2 , x  b) e x  e x  2ln x   x , x  L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Hướng dẫn giải x2 a) Xét hàm số f  x   e  cos x   x  , D  ¡ x f '  x   e x  sin x   x; f '  x    x  f ''  x   e x   cos x  0, x nên f '  x  đồng biến ¡ , ta có: f '  x   f '  0  0, x; f '  x   f '    0, x  BBT:  x  f ' x  −  f  x Vậy f  x   e x  cos x   x  x2  0, x   b) Xét hàm số f  x   e x  e x  2ln x   x , D  0;   f '  x   e x  e x  Vì e x  e x  1 x 2 1 x : f ' x   x   nên f '  x   0, x  Do f  x  đồng biến  0;  nên f  x   f     đpcm Bài toán 4.46: Cho  x  1;0  y  x  y Chứng minh rằng:  y x   ln  ln 4 y  x  1 y 1 x  Hướng dẫn giải Do x  y , không giảm tổng quát, giả sử y  x Xét hàm số  2t  1  t f t    4t , với  t   f '  t   1 t t 1  t  L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Vậy ln f t  hàm đồng  0;1 biến mà yx nên ta có f  y  f  x hay y x  y  ln  x y  x  nên suy ra: 1 y 1 x  y x   ln  ln    đpcm y  x  1 y 1 x  b   1  Bài toán 4.47: Cho a  b  Chứng minh  2a  a    2b  b      a Hướng dẫn giải Với a  b  , bất đẳng thức tương đương b b b a  4a    4b   a b  a    b     1    1      b.ln   1  a.ln   1  a Xét f  x   f ' x  b ln 1  x  x ln 1  4a  a  ln 1  4b  b ,x   1  x ln x  ln 1  x    x.ln x  1  x .ln 1  x    x x  1  x   nên f nghịch biến: a  b   f  a   f  b  : đpcm Bài toán 4.48: Cho p  1, q  thỏa p  q  pq a, b  Chứng minh ab  a p bq  p q Hướng dẫn giải Xét hàm số f  a   f ' a   a p 1 a p bq   ab với a  p q  b, f '  a    a p 1 bab p 1 Mà p   pq   p  1 q  1  nên a  bq 1   Lập BBT f  f bq 1   đpcm L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Bài toán 4.49: Cho a, b  a  b  Chứng minh bất đẳng thức eaxby  a.e x  b.e y , x, y Hướng dẫn giải Ta có b   a  a  nên BĐT: e ax 1 a  y  e y e  a.e x  1  a  e y a x  y   e y  a  e x y  1 e a x  y   a.e x y  a   f '  t   a  eat  et  , f ' t   t  Xét f  t   eat  a.et  a  1, t  ¡ BBT x   f' + f − Suy f  t   0, t  đpcm Bài toán 4.50: Cho a, b, c  Chứng minh b)  a  b    b  c    c  a   a) ab  ba  c a b Hướng dẫn giải a) Nếu a  b  ab  ba  Nếu  a, b  Xét f  x   1  x     x, x  0,0     f '  x    1  x   1        0  1  x 1    nên x   f  x   f     1  x     x  Áp dụng a  (*) 1 a 1 , x   ab   1 x  xb a  b  ab Tương tự: b a  b 1   ab  ba  1  ya a  b  ab L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo b) Trong a  b, b  c, c  a có số, chẳng hạn a  b  số b  c   c  a  a b  a  b c   ba  ab  suy đpcm Còn số bé dùng bất đẳng thức (*) BÀI LUYỆN TẬP Bài tập 4.1: Thực phép tính 1 A  27     16  0,75 B   0,5  250,5 4  1  6250,25     4 1  19  3 3 Hướng dẫn Dùng quy tắc mũ Kết A  12, B  10 Bài tập 4.2: Rút gọn biểu thức: 2  ax3  a3 x  ax  a a a) R     với a  0, x  0, a  x  1   x x a  x ax   a  a2  b a  a2  b b) S  , với a, b  0, a  b  2 Hướng dẫn  a) Kết R  ax 1   b) Kết S  a  a x  x a  a  a2  b a  a2  b  2 Bài tập 4.3: Tính gọn a) 42  42  b)  80   80  Hướng dẫn a) Viết bình phương đủ thức hay đặt ẩn phụ VT bình phương Kết 42  42  b) Viết lập phương đủ thức hay đặt ẩn phụ VT lập phương Kết  80   80  L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo  a Bài tập 4.4: Trong khai triển nhị thức:   b  21 b   , tìm hệ số số hạng chứa a b có số mũ b Hướng dẫn Dùng nhị thức Niutơn:  a  b   n C a k 0 Kết C21  k n nk bk 21!  293 930 9!12! Bài tập 4.5: a) Tính log 50 theo log3 15  a,log3 10  b b) Tính ln 6, 25 theo c  ln 2, d  ln Hướng dẫn a) Đưa số Kết 2a  2b  b) Đưa số e Kết 2d  2c Bài tập 4.6: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh: a) Nếu a  b2  7ab log ab   log a  log b  b) Nếu log12 18  a,log 24 54  b , ab   a  b   Hướng dẫn a) a  b2  7ab   a  b   9ab biến đổi tương đương điều cần chứng minh b) Đưa số 2: log  3b  2a  log  3b 2a Bài tập 4.7: Tìm giới hạn sau: sin x x 0 e x  x b) lim a) lim x 0  2x   x tan x Hướng dẫn a) Chia tử mẫu thức cho x Kết  ln b) Thêm bớt tử thức chia tử mẫu thức cho x Kết 12 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Bài tập 4.8: Tìm đạo hàm hàm số sau: a) y  x  1.log3 x b) y  ln  x  1 x Hướng dẫn a) Kết y '  x log3 x x2  x2  ln x  ln  x  1 b) Kết y '   x 1 x2   f  x  1 x , x, y  ¡ Tính f '  x  f x  y  f x f y         Bài tập 4.9: Cho f liên tục ¡ :  Dùng định nghĩa kẹp giới hạn Kết f '  x   e x Bài tập 4.10: So sánh số: a)  30 3 63 b)  3  31 Hướng dẫn a) So trung gian Kết  3 b) Kết   31  30   27   64  63 Bài tập 4.11: a) Không dùng bảng số máy tính, so sánh: log log  log 5 2 b) Cho số không âm x, y, z thỏa mãn x  y  z  Tìm GTNN K 1    2ln 1  x   y  2ln 1  y   z  2ln 1  z   x Hướng dẫn a) Đặt a  log 5 log  log b  2 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Suy 5  10a Kết log  10b  log  log  2 b) Dùng bất đẳng thức AM-GM L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo ... Bài tốn 4. 5: Tính gọn a) 49  20  49  20 b) 2 2 2  2 2 2 Hướng dẫn giải a) Ta có 49  20  25  10 24  24   Tương tự: Suy 4  3  4 5    3 49  20   (do 3 2) 49  20  49 ... toán 4. 34: So sánh số: a) 13 23 b)  15 10  28 Hướng dẫn giải a) 13  20 135  20 371293; 23  20 2 34  20 279 841 Ta có 371293  279 841 nên b) 13  23  15      10  28 Bài toán 4. 35: So. .. 4. 27: Tìm đạo hàm hàm số sau: b) y  a) y  x e4 x  x  2 x x  2 x c) y  x5  5x  x x Hướng dẫn giải a) y '  x e b) 2 y'  2  x x 4x 1  x 2e4 x e4 x   x  x  1 e4 x  1 e4