tài liệu word bồi dưỡng học sinh giỏi toán cấp 2
Phương trình với nghiệm nguyên Dạng toán dạng toán khó môn Toán Số , phần mà nêu dạng Tuy nhiên, để hiểu trước hết cần nắm Lý thuyết số Dạng Phương trình ẩn - hệ số nguyên Dạng tổng quát : anxn + an - 1xn - + + a1x + ao = (1) Cách giải : vận dụng tính chất sau Nếu x = b nghiệm phương trình (1) b ước ao Nếu an = nghiệm hữu tỉ có (1) số nguyên Qui tắc tìm nghiệm : Tìm ước ao Thử ước ao vào vế trái (1) Phương trình bậc hai ẩn ( Phương trình Diophante - Giải tích Diophante) {Diophante - Người nghiên cứu có hệ thống Phương trình vô đònh , sống kỷ thứ III.Tập sách “Số học “ ông có ảnh hưởng lớn đến phát triển Lý thuyết Số} Dạng tổng quát : ax + by = c (2) Cách giải : vận dụng tính chất sau Giả sử a, b, c ∈ Z ; a, b ≠ d = (a , b) Khi : Phương trình (2) có nghiệm d ∈Ư( c ) Nếu (xo , yo) nghiệm ax + by = với (a , b) = (cxo , cyo) nghiệm phương trình (2) Nếu (xo , yo) nghiệm nguyên (2) với (a , b) = nghiệm nguyên xác đònh hệ thức : x = xo + bt y = yo - at ; với t ∈ Z Thật , (xo , yo) nghiệm nguyên (2) ⇒ axo + byo = ⇒ axo + byo = ax + by ax o + by o − by b( y o − y) y −y = t ∈ Z ⇒ y = yo - at } ⇒x= = xo + ⇒ { (a , b) = ⇒ o a a a Phương trình vô đònh dạng x + y = z ( Phương trình Pithago ) 2 Cách giải : 2 Phương trình vô đònh dạng x + y = z có vô số nghiệm nguyên xác đònh công thức ( Đònh lý tìm nghiệm biết từ Euclide ) : u2 − v u2 + v x = u.v ; y = ;z= 2 với u , v ∈ Z ; u , v lẻ ; u > v ; (u, v) = Ví dụ * Khi u = ; v = ⇒ x = ; y = ; z = * Khi u = ; v = ⇒ x = 15 ; y = ; z = 17 Phương trình vô đònh dạng x - Py = ( Phương trình Pell ) ( P ∈Z+ , không số phương ) { Đây dạng phương trình Diophante bậc 2, xuất phát từ toán Archimède đặt ra, toán có ẩn số thỏa mãn phương trình, đưa đến việc tìm nghiệm nguyên phương trình : x 4729494y2 = (1) Năm 1880 người ta tìm nghiệm nguyên dương nhỏ (1) với x số có 45 chữ số , y có 38 chữ số } 2 Cách giải : Phương trình Pell có nghiệm x = ± , y = gọi nghiệm tầm thường Phương trình Pell có vô số nghiệm không tầm thường Giả sử xo , yo số nguyên dương nghiệm phương trình Pell, cặp số (xo , -yo) ; (-xo , yo) ; (-xo , yo) nghiệm Do để tìm nghiệm không tầm thường phương 1 trình Pell, ta cần tìm nghiệm nguyên dương phương trình Tất nghiệm nguyên dương (xk ; yk ) phương trình xác đònh từ đẳng thức : vớiù k = 1, 2, 3, (x1 , y1) nghiệm nguyên dương nhỏ Với P nhỏ , việc tìm (x , y1) không khó khăn - việc thử y = 1, 2, 3, 4, để tìm x2 = Py2 + số phương Tại P số nguyên dương không phương ? Ta xét phương trình tổng quát hơn, phương trình : x2 - Py2 = (*) P số nguyên dương cho trước Vì x, y có mặt vế trái (*) dạng bình phương nên ta hạn chế việc tìm nghiệm nguyên không âm Hiển nhiên x = ; y = nghiệm - gọi nghiệm tầm thường (*) Ta phải tìm nghiệm không tầm thường (x, y > 0) Nếu phương trình P số phương P = k (k∈Z+) (*) có nghiệm tầm thường, (*) có dạng x2 - (ky)2 = ý hiệu hai số phương hai số phương ⇒ x2 = ; (ky)2 = ⇒ x = ; y = Như : Điều kiện cần để phương trình (*) có nghiệm không tầm thường P số phương @ Để tìm thú vò nghiên cứu phương trình nghiệm nguyên , mời Bạn nghiên cứu kỹ dãy minh họa sau : Minh họa Tìm nghiệm nguyên x2 - 5x + = Nghiệm nguyên có phải ước 6, bao gồm số : ± ; ± ; ± ; ± Đặt f( x ) = x2 - 5x + ⇒ f( ) = f( ) = ⇒ Phương trình có nghiệm nguyên x = ; Tìm nghiệm hữu tỉ 3x2 - 5x + = (1) Ta có (1) ⇔ 9x2 - 5.3x - = ; đặt 3x = t ⇒ t2 - 5t - = (2) Nghiệm nguyên có (2) phải ước ; dễ thấy (2) có hai nghiệm t = -1 , t = Khi t = -1 ⇔ 3x = -1 ⇔ x = - Khi t = ⇔ 3x = ⇔ x = {Phương pháp đặt liên tiếp ẩn phụ } Tìm nghiệm nguyên phương trình 8x + 11y = 73 Vì (8 , 11) = nên phương trình có nghiệm nguyên 8x = 73 - 11y ⇒ x = - y + − 3y 1+ t = t ∈ Z ⇒ Ta có : 3y + 8t = ⇒ 3y = - 8t ⇒ y = -3t + 1+ t Đặt = u ∈ Z ⇒ Ta có : t = 3u - − 3y Đặt Vậy : x = - y + t ; y = -3t + u ; t = 3u - ⇒ x = 11u + ; y = -8u + với u ∈ Z Tìm nghiệm nguyên dương , nhỏ ( x , y ) phương trình 17x - 29y = 100 (1) Vì (17 , 29) = ⇒ phương trình có nghiệm nguyên (1) ⇒ x = + 2y +1 t -1 t -1 + 5y + 5y Đặt = t ∈ Z ⇒ y = 3t + ; đặt = u ∈ Z ⇒ t = 5u 17 17 5 Vậy : x = 29u + 11 ; y = 17u + Vì x , y > ⇒ 29u + 11 > 17u + > ⇒ u > -3 u ∈ Z ⇒ u = , , , 17 Nghiệm nguyên dương nhỏ x = 11 ; y = u = {Sử dụng tính chia hết đa thức } x2 − x + Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : z = xy +1 1+ 2y - x Ta có yz = x - + ⇒ + 2y - x = + 2y - x ≥ xy + xy + Nếu + 2y - x = yz = x - nên yz = 2y ⇒ z = ; y = t ∈ N* ; x = + 2t 2 Nếu + 2y - x ≥ xy + 2y ≥ x(y + 1) hay x ≤ 2y =2− nên x + 9y > ⇒ x - 9y > ⇒ x + 9y = ⇒ ; x - 9y = ⇒ x = thỏa ; y = : giá trò không ⇒ phương trình cho có nghiệm : (x , y) = (1 , 0) ; (-1 , 0) ⇒ Tổng quát : Phương trình x2 - k2y2 = với k∈ N có nghiệm tầm thường x = ±1 ; y = Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 + 3y2 = 6xy - (1) (1) viết lại sau : x2 - 6xy + 3y2 + = Để phương trình có nghiệm x nguyên điều kiện cần đủ (do hệ số x2 1) ∆ = 6y2 - = m2 : số phương Rõ ràng m2 bội ⇒ m bội ⇒ xem m = 6t với t ∈Z ⇒ y2 - 6t2 = : Phương trình Pell ⇒ Nghiệm tầm thường (y , t) = (1 , 0) ; (-1 , 0) nghiệm nguyên dương nhỏ y = ; t1 = 3 ⇒ Các y k +t k nghiệm nguyên =(5 +2 dương 6) (yk , tk) xác đònh từ đẳng thức : k Giải phương trình tập số nguyên : 3x2 + 48y2 = 1003 + 30xy (1) 2 Xem (1) phương trình bậc II theo x : 3x - 30xy + 48y - 1003 = ⇒ ∆‘ = 81y2 + 3009 = k2 : số phương để có x nguyên ( k∈Z+) ⇒ k2 - 81y2 = 3009 ⇒ (k + 9y)(k - 9y) = 3.17.59 Vì k + 9y > k - 9y ⇒ Xảy khả sau : k − 9y = k + y = 3009 k − y = 17 k + y = 177 k − 9y = k + y = 1003 k − y = 51 k + y = 59 Trong trường hợp ta thấy y không nguyên ⇒ Bài toán vô nghiệm ! { Chú ý , dễ dàng kết luận toán vô nghiệm 1003 không chia hết cho } Tìm nghiệm nguyên phương trình sau : 9x2 - 15xy + 4y2 + 38 = (1) Xem (1) phương trình có ẩn x tham số y Để x nguyên , điều kiện cần ∆ = 81y2 - 1368 = k2 : phương (k ≥ 0) (2) Nhận thấy 81y2 - k2 = 1368 chứa lũy thừa bậc chẵn nên việc tìm nghiệm nguyên dương suy nghiện lại Từ (2) viết lại : (9y + k)(9y - k) = 3.32.19 Vì y, k > ⇒ 9y + k > ⇒ 9y - k > (9y + k) + (9y - k) = 18y ⇒ Ta xét trường hợp tổng hai số bội 18 y + k = 228 ⇒ y = 13 ; k = 111 9y − k = 1513 ± 111 = 17 ⇒x= 18 15y ± k 15.7 ± 51 = =3 ⇒x= 18 18 ⇒ nghiệm (x , y) = (3 , 7) ; (-3 , -7) 2 ⇒ nghiệm (x , y) = (17 , 13) ; (-17 , -13) Tìm nghiệm nguyên phương trình : 2x + 3y - 5xy + 3x - 2y - = (1) Xem phương trình bậc II x Khi (1) ⇔ 2x2 + (3 - 5y)x + 3y2 - 2y - = Để có x nguyên điều kiện cần ∆ = y2 - 14y + 33 = k2 ( k nguyên không âm) (2) Xem (2) phương trình bậc II y ⇒ { (2) ⇔ y2 - 14y + 33 - k2 = } δ‘(2) = 16 + k2 = m2 ( m ∈Z+) Vì m > k ≥ ; 16 = (m + k)(m - k) mà m + k > ⇒ m - k > Để ý (m + k) + (m - k) = 2m nên chúng đồng thời chẵn hay lẻ Ta có bảng : m+ k =8 ⇒m=5;k=3 m− k = ⇒ ( x , y ) = (15 , 12) ; (1 , 2) ( Sử dụng tính chất số nguyên tố ) m+ k = m− k = ⇒ ( x , y ) = (13 , 11) ; (3 , 3) Tìm số nguyên tố khác biết tích số gấp lần tổng chúng Gọi số nguyên tố a , b , c ⇒ abc = 3( a + b + c ) ⇒ abc 3 ⇒ có số chia hết cho 3, giả 3+ c sử số a M3 Vì a nguyên tố nên a = ⇒ b + c = + b + c ⇒ b( c - ) = + c ⇒ b = =1+ c −1 ⇒ c - 14 Từ tính c = ⇒ b = ; c = ⇒ b = Tìm nghiệm nguyên phương trình : x53 + y53 = 53z (1) Vì z ∈Z ⇒ x53 + y53 53 Vì 53 số nguyên tố nên theo đònh lý Fermat : x53 - x 53 y53 - y 53 Khi (1) ⇔ 53z = (x53 - x) + (y53 - y) + (x + y) có nghiệm ⇔ x + y = 53t ( t ∈ Z ) ⇒ Nghiệm toán : x = u (u ∈Z) ; y = 53t - u ; z = u53 + (53t − u)53 53 Giải phương trình + p + p2 + p3 + p4 = x2 (1) ( p nguyên tố , x nguyên ) Ta có (1) ⇔ 4x2 = + 4p + 4p2 + 4p3 + 4p4 (2) Mặt khác : (2x)2 = 4x2 > 4p4 + 4p3 + p2 = ( 2p2 + p)2 (2x)2 = 4x2 < 4p4 + p2 + + 4p3 + 8p2 + 4p = ( 2p2 + p + 2)2 ⇒ (2x)2 = ( 2p2 + p + 1)2 (3) Từ (2) & (3) ⇒ p2 - 2p - = ⇒ p = -1 (loại) p = Với p = ⇒ x = 121 ⇒ nghiệm phương trình ( p , x ) = ( , 11 ) ; ( , -11) 4 Có hay không số nguyên tố x , y , z thỏa mãn phương trình : x + y3 = z4 (1) ( Vô đòch LX lần thứ 14 - 1980 ) Từ (1) , ta thấy số x, y, z không lẻ ⇒ có số Nếu z = x2 + y3 = 16 ⇒ y < ⇒ x2 = (vô lý !) Nếu y = = (z2 + x)(z2 - x) , mà z2 + x > ⇒ z2 - x > (z2 + x) + (z2 - x) = 2z2 ⇒ phân tích = 2.4 , + = 2z2 ⇒ z không nguyên (loại) Nếu x = y3 = (z2 + 2)(z2 - 2) do(z2 + 2) - (z2 - 2) = ⇒ y = z2 - = 1(loại) x = ⇒ y = ⇒ z chẵn ⇒ z = : không nghiệm phương trình ⇒ Bài toán vô nghiệm ! Tìm hai số x, y nguyên số nguyên tố p cho : x4 + 4y4 = p (1) Ta thấy để p nguyên tố x ≠ hay y ≠ ; (1) chứa lũy thừa bậc chẵn x, y nên trước hết ta xét x, y nguyên dương Ta có p = (x2 + 2y2)2 - 4x2y2 = [(x - y)2 + y2][(x + y)2 + y2] Vì (x + y)2 + y2 > ⇒ (x - y)2 + y2 = ⇒ x = y = ; z = ⇒ có nghiệm ! Tìm nghiệm nguyên phương trình : + x + x2 + x3 = y3 ( Thi Toàn quốc lớp - 1982 ) Nhận thấy : + x + x2 = (x + )2 + > ⇒ y3 > x3 ⇒ y > x ⇒ y ≥ x + Nếu y = x + + x + x2 + x3 = (x + 1)3 ⇒ 2x (x + 1) = ⇒ (x , y) = (0 , 1) ; (-1 , 0) Nếu y > x + 2x2 + 2x < ⇒ -1 < x < : loại ! Tìm nghiệm nguyên phương trình : x2 = y(y + 1)(y + 2)(y + 3) Đặt a = y2 + 3y ⇒ x2 = (y2 + 3y)( y2 + 3y + 2) = a2 + 2a Nếu a > a2 < x2 = a2 + 2a < a2 + 2a + = (a + 1)2 ⇒ x2 : không phương ( Vô lý ! ) Vậy a ≤ ⇒ y2 + 3y ≤ ⇔ -3 ≤ y ≤ ⇒ (x , y) = (0 , 0) ; (0 , -1) ; (0 , -2) ; (0 , -3) Tìm số (x , y , u , v) nguyên thỏa mãn đẳng thức : 1 1 + + + = (1) x y u v 1 1 Dễ thấy : ; ; ; ≤ ⇒ Vế trái (1) ≤ x y u v Vậy dấu ‘=‘ xảy x=y=u=v= ⇒ x , y , u , v nhận giá trò tùy ý -2 Tìm nghiệm nguyên phương trình : 12x2 - 3x - 2= 5y - 8x - 2x2 (1) - ≤ x ≤ 11x + 2 Từ (1) ⇒ 5y = 4x + 5x − x ≤ − ;x ≥ Xét x = 0, 1, ⇒ 5y = 2, 13, 24 ⇒ y không nguyên Xét 5y = 4x2 + 5x - ⇒ 4x2 - 4x2 - 2 ⇒ 2x2 ≡ (mod 10) ⇒ x ∉ Z ⇒ Bài toán vô nghiệm ! Tìm nghiệm nguyên phương trình : x3 = y3 + 2y2 + 3y + (1) Từ (1) ⇒ x3 + y2 = (y + 1)3 ⇒ x ≤ y + Vì x3 - y3 = 2y2 + 3y + ≥ với y nguyên ⇒ x ≥ y ⇒ x = y x = y + ⇒ nghiệm phương trình : ( x , y ) = (-1 , -1) ; (1 , ) Tìm nghiệm (x , y , z) nguyên thỏa mãn đẳng thức : 4xy - x - y = z2 (1) Ta có : (1) ⇔ (4x - 1)(4y - 1) = 4z2 + Gọi p ước nguyên tố 4x - (hiển nhiên p ước 4z2 + 1) ⇒ 4z2 ≡ -1 (mod p) ⇒ (2z)p - ≡ (mod p) {đònh lý nhỏ Fermat } ⇒ (4z ) p −1 ≡ (−1) p −1 (mod p) p −1 + Từ : ≡ ( −1) (mod p) ⇒ p - = 4k (k∈Z ) ⇒ p = 4k + Vậy ước nguyên tố 4x - có dạng 4k + ⇒ 4x - có dạng 4k + hay 4x - = 4k + ⇒ 4(x - k) = ⇒ ( vô lý ! ) ⇒ Vno ! Tìm nghiệm x , y nguyên dương phương trình : y2 = x2 + 12x + 1995 (1) Từ phương trình (1), ta có y2 = (x + 6)2 + 1959 ≥ 1959 ⇒ y ≥ 45 Mặt khác -1959 = (x + 6)2 - y2 = (x + y + 6)(x - y + 6) với x + y + ≥ 52 1959 = 653 ⇒ x + y + = 653 ; x - y + = -3 x + y + = 1959 ; x + - y = -1 ⇒ nghiệm phương trình : ( x , y ) = ( 319 , 328) ; (937 , 944) Tìm số tự nhiên n cho : k2 = n2 + 6n + 1989 (1) số phương Từ (1) ⇒ k ≥ 45 (n + k + 3)(n - k + 3) = -22.32.5.11 5 Mặt khác n + k + > n - k + (n + k + 3) + (n - k + 3) số chẵn ⇒ (n + k + , n - k + 3) = (990 , -2) ; (330 , -6) ; (198 , -10) ; (110 , -18) ; (90 , -22) ; (66 , -30) ⇒ n ∈ { 491 , 159 , 91 , 43 , 31 , 15 } Giải phương trình tập Z : xy.(y + 4) = 4.(289y - x) (1) Nếu x = y = Nếu y ≠ (1) ⇔ x (y + 2)2 = 1156 = 22.172 y ⇒x y (y + 2)2 ước phương 1156 ⇒ (y + 2)2 = , , 172 ⇒ có nghiệm ! 4x + = y3 + 8y (2) Ta có (2) ⇔ 4(x - 2y) = y3 - ⇒ { x - 2y nguyên ⇔ y - = 4t , t∈Z} ⇒ y = 4t + x = 16t3 + 12t2 + 11t + ; t∈Z Giải phương trình nghiệm nguyên sau : x2 + y2 + z2 = x2y2 (1) 2 2 2 { Theo mod 4, x2 ≡ y2 ≡ ⇒ x y ≡ ⇒ x + y + z ≡ ⇒ z ≡ ( vô lý ! ) } ⇒ x, y 2 2 số lẻ ⇒ x chẵn y chẵn ⇒ x y 4⇒x +y +z ⇒ x = 2x1 ; y = 2y1 ; z = 2z1 ⇒ x12 + y12 + z12 = 4x12y12 (2) Như vậy, (x, y, z) nghiệm (1) x ; y1 ; z1 nghiệm (2) Tiếp tục vậy, ta có : x2 = x1 x y y z z (= ); y = (= ); z = (= ) nghiệm x22 + y22 + z22 = 16x22y22 (2) Quá trình 4 x y z ; ; chẵn với k ⇒ (x, y, z) (0, 0, 0) 2k 2k 2k Giải phương trình nghiệm nguyên sau : x6 + 3x3 + = y4 (x + 2)4 - x4 = y3 (1) tiếp tục số Nếu x > (x3 + 1)2 < x6 + 3x3 + = y4 < x6 + 4x3 + = ( x3 + 2)2 ⇒ ∃ y2 : (x3 + 1)2 , ta có 10x - = lấy chia cho số dương x nhỏ thỏa đề x x x = hay A = 999999 ⇒ số AA AA số ⇒ nghiệm phương trình y = BB BB , với B = 142857 (ứng với x = 6) ; x = 6n ( n ∈Z , n ≥ ) n d) px = y2 - = (y + 1)(y - 1) ⇒ x ≥ ; p nguyên tố nên y + , y - lũy thừa p ⇒ Xem y - = pk ; y + = pk + l ( k , l nguyên không âm ) Mà (y + 1) - (y - 1) = pk ( pl - ) ⇒ p = ; k = ; l = Vậy y = + pk = ; x = 38) Tìm nghiệm nguyên phương trình : (4x - 7 x ) + ( )2 = (x2 + )2 y 2 x2 5 2 Ta có : = ( x + + x − )( x + − x + ) ⇒ y2 = x2[(x + 2)2 - 3](x - 2)2 y 2 2 ⇒ { y nguyên ⇔ x = x = (x + 2)2 - = k2 số phương ( k ∈Z+ ) } Xét (x + 2)2 - = k2 ⇒ = (x + + k)(x + - k) : tích hai số nguyên dấu ; xét trường hợp xảy ra, có thêm nghiệm x = -4 Vậy nghiệm phương trình (x , y) ∈ { (0 , 0) ; (2 , 0) ; (-4 , 24) ; (-4 , -24) } 39) Tìm nghiệm nguyên phương trình : (2x + 1) - = 384y (1) (2x − 1) − Từ (1) ⇒ 384y = (4x2 + 4x)(4x2 - 4x) ⇒ 24y = x2.(x - 1)(x + 1) Nếu x lẻ (x - 1)(x + 1) số x , x - , x + có số chia hết cho ⇒ x2.(x - 1)(x + 1) = 24t ( t ∈Z ) ⇒ nghiệm x = 2k + ; y = k.(k + 1).(2k + 1)2 ( k ∈Z ) Nếu x chẵn x - , x + số lẻ ⇒ điều kiện để phương trình có nghiệm x2 ⇒ x2 k.(4k - 1).4k.(4k + 1) 2 2 40) Giải phương trình nghiệm nguyên : x + x y + xy + y = 8(x + xy + y + 1) (Vô đòch BalanVậy : nghiệm phương trình : x = 4k ; y = = 1981) Nhận xét x , y tính chẵn - lẻ x = y phương trình trở thành x - 6x2 - = ⇒ nghiệm nguyên có (ước -2) ±1 ; ±2 , giá trò thỏa mãn ! Do x , y tính chẵn - lẻ ⇒ x - y ≥ ⇒ (x - y)2 ≥ ⇒ x2 + y2 ≥ + 2xy ⇒ x2 + y2 ≥ 2 + 2xy (1) ( Pt cho ) ⇔ (x2 + y2)(x + y) = 8(x2 + y2) + 8(xy + 1) ⇔ (x2 + y2)(x + y - 8) = 8xy + ⇒ Pt hệ : (x2 + y2)(x + y - 8) = 4xy + 2 ⇒ { (1) ⇒ x + y - 8 < } ⇒ < x + y < 12 ⇒ x + y = , , 10 Với x + y = , ⇒ vô nghiệm ! Với x = 10 ⇒ xy = 14 ⇒ x , y hai nghiệm phương trình : a2 - 10a + 16 = ⇒ (x , y) = (2 , 8) ; (8 ; 2) 41) Tìm nghiệm nguyên phương trình sau : a) xy2 + 2y(x - 14045) + x = b) 7x2 + 7y2 = 1820 c) x2 - 38y = 23 13 51 d) y = x + x − x ( HSG Lớp - 1994 ) x a) Nếu y = x = ; xét y ≠ Khi phương trình đưa dạng : ( y + ) = 28090 y x Điều kiện cần để y + ∈Z ∈Z ⇒ (y + 1)2 ước số phương 28090 = 532.2.5 y ⇒ (y + 1)2 532 ♦ Nếu (y + 1)2 = y = -2 ⇒ x = - 56180 532 10y = 10y = 520 ; − 540 ♦ Nếu (y + 1) = 53 y = 52 ; - 54 ⇒ x = 532 b) Nhận thấy 13 ước 1820 nên x2 13 ⇒ x 13 ; y2 7⇒y Xem x = 13u ; y = 7v ( u, v ∈Z) ⇒ 13u2 + 7v2 = 20 ⇒ 13u2 ≥ 13 ; 7v2 ≥ ⇒ 13u2 + 7v2 ≥ 20 ⇒ đẳng thức xảy u2 = v2 = ⇒ (x , y) = (13 , 7) ; (13 , -7) ; (-13 , 7) ; (-13 , -7) c) Phương trình cho viết dạng : x2 - = 38y + 19 = 2(2y + 1) ⇔ (x + 2)(x - 2) = 19(2y + 1) ⇒ x lẻ ⇒ x + x - chia hết cho 19 ♦ Nếu x + = 19t ( t nguyên dương lẻ ) x = 19t - y = x − 23 (19 t − 2) − 23 19 t − t − = = 38 38 19 t + t − 13 51 x ( x + )( x + ) x + x − x = 2x3 + 25x2 - 2x + d) Ta có : y = ∈ Z , với x ∈Z 6 (Chú ý : với x ∈Z : x( x + 1)( x + 2) chia hết cho ) ♦ Nếu x - = 19t ( t nguyên dương lẻ ) x = 19t + y = 8 42) Chứng minh phương trình nghiệm y nguyên âm với m nguyên : 5y2 - 7y - 32 + 8m2 = 7±k Nghiệm phương trình phải có dạng y = với k = ∆ = 49 + 160(4 - m2) mà dễ thấy k 10 + k − k ∈Z+ ( k = ⇒ y ∉Z ) ⇒ y = y = < ⇔ k > Khi ∆ = k2 > 49 ⇒ m2 < ⇒ m2 = ; 10 10 Nếu m2 = ∆ = 689 : không phương ⇒ y ∉Z Nếu m2 = ∆ = 529 = 232 ⇒ y = − 23 ∉Z ⇒ đpcm ! 10 Áp dụng Bài 65 : Tìm nghiệm nguyên phương trình a) 12x - 5y = 21 b) 12x + 17y = 41 c) x + 3y = d) 2x - y = e) 3x + 2y = a) b) c) d) e) x = + 5t ; y = + 12t , t ∈ Z x = + 17t ; y = - 12t , t ∈ Z x = -3t ; y = t , t ∈ Z x = t ; y = 2t - , t ∈ Z x = 2t ; y = - 3t , t ∈ Z Bài 66 : Tìm nghiệm nguyên dương , nhỏ phương trình f) 16x - 25y = a) x = 11 ; y = g) 41x - 37y = 187 b) x = 19 ; y = 16 Bài 67 : Tìm nghiệm nguyên phương trình 2 a) (x - 5y)(x - y) = 121 h) x - 6xy + 5y = 121 14 i) x + 2x y - x - y = (x, y∈Z+) b) c) j) 2x + 2xy - x + y = 112 (x, y∈Z+) k) xy + 2xy - 243y + x = (x, y∈Z+) d) l) 6x + 5y = 74 m) xy + 3x - 5y = -3 e) f) g) h) n) x = y + 2y + 13 2 (x2 - x7 + y)(x2 + x7 - y) = y = -x + + 111 : (2x + 1) x.(y + 1)2 = 243y 6(x2 - 4) = 5(10 - y2) (x - 5)(y + 3) = -18 (x - y - 1)(x + y + 1) = 12 Vô nghiệm ! o) 19x + 28y = 729 Bài 68 : Giải phương trình sau tập số nguyên : a) -6x2 - 2y2 + 6xy + 8x + 3y = 168 a) δ (x) = -3[(y - 7)2 + 5:3] < b) Vô nghiệm ! 1987x2 + 1988y2 = 3000 - 2x2y2 2 c) 6y2 = 42 - k2 ⇒ y2 = - k2 : ≤ ⇒ k2 = 36 c) 2x + 3y = 19 - 4x d) 3(2x2 + 1) = 5(y2 - 8x) ⇒ 2x2 + 5 ⇒ Vno ! d) 6x2 - 5y2 = -40x - Bài 69 : Giải phương trình sau tập số nguyên : a) Vô nghiệm ! e) 4x2 + 231y2 = 1631 2 b) (x , y) = (1 , 0) ; (-1 , 0) f) x - 100y = 2 2 c) Dẫn đến pt Pell đối Pell g) (x + y ) = 8x y + 4xy + d) x = 12 h) x + x + x + x = 271440 + e) (x, y, z, t) = (4, 2, 1, 1) hoán i) x + y + z + t = xyzt (x, y, z, t∈Z ) vò Bài 70 : Giải phương trình sau tập số nguyên : a) T/c chia hết cho j) x3 - 3y3 - 9z3 = 3 b) T/c chia hết cho 13 k) 5x + 11y + 13z = b) 9 Chun đề SỐ CHÍNH PHƯƠNG I ĐỊNH NGHĨA: Số phương số bình phương số ngun II TÍNH CHẤT: Số phương có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, ; khơng thể có chữ số tận 2, 3, 7, Khi phân tích thừa số ngun tố, số phương chứa thừa số ngun tố với số mũ chẵn Số phương có hai dạng 4n 4n + Khơng có số phương có dạng 4n + 4n + (n ∈ N) Số phương có hai dạng 3n 3n + Khơng có số phương có dạng 3n + (n ∈ N) Số phương tận chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục Số phương tận chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục chữ số lẻ Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho 25 Số phương chia hết cho chia hết cho 16 III MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG A DẠNG1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Chứng minh với số ngun x, y A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 số phương Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t ∈ Z) A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 V ì x, y, z ∈ Z nên x2 ∈ Z, 5xy ∈ Z, 5y2 ∈ Z ⇒ x2 + 5xy + 5y2 ∈Z Vậy A số phương Bài 2: Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp cộng ln số phương Gọi số tự nhiên, liên tiêp n, n + 1, n+ 2, n + (n ∈ N) Ta có n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + = (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + (*) Đặt n2 + 3n = t (t ∈ N) (*) = t( t + ) + = t2 + 2t + = ( t + )2 10 Các ước của –5 ± 1, ± Thử trực tiếp ta thấy các số khơng nghiệm của f(x) Như f(x) khơng có nghiệm nghun Xét các số , ta thấy đa thức, đa thức có nhân tử 3x – Ta phân tích sau : nghiệm của f(x) = (3x3 – x2) – (6x2 – 2x) + (15x – 5) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5) IV PHƯƠNG PHÁP THÊM VÀ BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ Thêm bớt hạng tử làm xuất hiệu hai bình ph ương Ví dụ 12 Phân tích đa thức x4 + x2 + thành nhân tử Lời giải Cách : x4 + x2 + = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) Cách : x4 + x2 + = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1) = x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) Cách : x4 + x2 + = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1) = x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) Ví dụ 13 Phân tích đa thức x4 + 16 thành nhân tử Lời giải Cách : x4 + = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2) Cách : x4 + = (x4 + 2x3 + 2x2) – (2x3 + 4x2 + 4x) + (2x2 + 4x + 4) = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2) Thêm bớt hạng tử làm xuất nhân tử chung Ví dụ 14 Phân tích đa thức x5 + x - thành nhân tử Lời giải Cách x5 + x - = x5 - x4 + x3 + x4 - x3 + x2 - x2 + x - = x3(x2 - x + 1) - x2(x2 - x + 1) - (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1) Cách Thêm bớt x2 : 27 x5 + x - = x5 + x2 - x2 + x - = x2(x3 + 1) - (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)[x2(x + 1) - 1] = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1) Ví dụ 15 Phân tích đa thức x7 + x + thành nhân tử Lời giải x7 + x2 + = x7 – x + x2 + x + = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2+ x + 1) = x(x3 + 1)(x - 1)(x2 + x + 1) + ( x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x5 - x4 – x2 - x + 1) Lưu ý : Các đa thức dạng x3m + + x3n + + x7 + x2 + 1, x4 + x5 + chứa nhân tử x2 + x + V PHƯƠNG PHÁP ĐỞI BIẾN Đặt ẩn phụ để đưa dạng tam thức bậc hai sử dụng phương pháp Ví dụ 16 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 Lời giải x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128 Đăât x2 + 10x + 12 = y, đa thức đã cho có dạng : (y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16 = (y + 4)(y - 4) = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8) = (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8) Nhận xét: Nhờ phương pháp đổi biến ta đã đưa đa thức bậc x thành đa thức bậc y Ví dụ 17 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + Lời giải Cách Giả sử x ≠ Ta viết đa thức dạng : 28 Đăât thì Do : A = x2(y2 + + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = (x2 + 3x - 1)2 = Dạng phân tích với x = Cách A = x4 + 6x3 - 2x2 + 9x2 - 6x + = x4 + (6x3 -2x2) + (9x2 - 6x + 1) = x4 + 2x2(3x - 1) + (3x - 1)2 = (x2 + 3x - 1)2 VI PHƯƠNG PHÁP HÊÊ SỚ BẤT ĐỊNH Ví dụ 18 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x4 - 6x3 + 12x2 - 14x - Lời giải Thử với x= ±1; ±3 khơng nghiệm của đa thức, đa thức khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỷ Như vâây đa thức phân tích thành nhân tử thì phải có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a + c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Đờng các hêâ số ta : Xét bd= với b, d Ỵ Z, b Ỵ {± 1, ± 3} Với b = thì d = 1, hêâ điều kiêân trở thành 2c = -14 - (-6) = -8 Do c = -4, a = -2 Vậy x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) VII PHƯƠNG PHÁP XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng các nhân tử chứa biến của đa thức, rời gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định các nhân tử lại Ví dụ 19 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : P = x2(y – z) + y2(z – x) + z(x – y) 29 Lời giải Thay x y P = y2(y – z) + y2( z – y) = Như P chứa thừa số (x – y) Ta thấy thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì p khơng đổi (đa thức P hoán vị vòng quanh) Do P đã chứa thừa số (x – y) thì chứa thừa số (y – z), (z – x) Vậy P có dạng k(x – y)(y – z)(z – x) Ta thấy k phải số P có bậc tập hợp biến x, y, z, tích z)(z – x) có bậc tập hợp biến x, y, z (x – y)(y – Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) với x, y, z nên ta gán cho biến x ,y, z giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = ta được: 4.1 + 1.(–2) + = k.1.1.(–2) suy k =1 Vậy P = –(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z) VIII PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ MƠÊT SỚ ĐA THỨC ĐĂÊC BIÊÊT Đưa đa thức : a3 + b3 + c3 - 3abc Ví dụ 20 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) a3 + b3 + c3 - 3abc b) (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 Lời giải a) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b)3 - 3a2b - 3ab2 + c3 - 3abc = [(a + b)3 + c3] - 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b)2 - (a + b)c + c2] - 3ab(a + b + c) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc -ca) b) Đăât x - y = a, y - z = b, z - x = c thì a + b + c Theo câu a) ta có : a3 + b3 + c3 - 3abc = Þ a3 + b3 + c3 = 3abc Vâây (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x) Đưa đa thức : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 Ví dụ 21 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 30 b) 8(x + y + z)3 - (x + y)3 - (y + z)3 - (z + x)3 Lời giải a) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = [(a + b) + c]3 - a3 - b3 - c3 = (a + b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c) - a3 - b3 - c3 = (a + b)3 + 3c(a + b)(a + b + c) - (a + b)(a2 - ab + b2) = (a + b)[(a + b)2 + 3c(a + b + c) - (a2 - ab + b2)] = 3(a + b)(ab + bc + ca + c2) = 3(a + b)[b(a + c) + c(a + c)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) b) Đăât x + y = a, y + z = b, z + x = c thì a + b + c = 2(a + b + c) Đa thức đã cho có dạng : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 Theo kết câu a) ta có : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Hay 8(x + y + z)3 - (x + y)3 - (y + z)3 - (z + x)3 = 3(x + 2y + z)(y + 2z + x)(z + 2x + y) II Bài tập: Bài tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 16x3y + 0,25yz3 21 (a + b + c)2 + (a + b – c)2 – 4c2 x – 4x3 + 4x2 22 4a2b2 – (a2 + b2 – c2)2 2ab2 – a2b – b3 23 a + b4 + c4 – 2a2b2 – 2b2c2 – 2a2c2 a + a2b – ab2 – b3 24 a(b3 – c3) + b(c3 – a3) + c(a3 – b3) x + x2 – 4x - 25 a – a4 + 2a3 + 2a2 x – x2 – x + 26 (a + b)3 – (a – b)3 x + x3 + x2 - 27 X – 3x2 + 3x – – y3 x 2y2 + – x2 – y2 28 X m + + xm + – x - 10 x – x2 + 2x - 29 (x + y)3 – x3 – y3 31 11 3a – 3b + a2 – 2ab + b2 30 (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 12 a + 2ab + b2 – 2a – 2b + 31 (b – c)3 + (c – a)3 + (a – b)3 13 a – b2 – 4a + 4b 32 x3 + y3+ z3 – 3xyz 14 a – b3 – 3a + 3b 33 (x + y)5 – x5 – y5 15 x + 3x2 – 3x - 34 (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 16 x – 3x2 – 3x + 17 x – 4x2 + 4x - 18 4a2b2 – (a2 + b2 – 1)2 19 (xy + 4)2 – (2x + 2y)2 20 (a2 + b2 + ab)2 – a2b2 – b2c2 – c2a2 Bài tập 2: Phân tích đa thức thành nhân tử x2 – 6x + 23 x3 – 5x2y – 14xy2 x2 – 7xy + 10y2 24 x4 – 7x2 + a2 – 5a - 14 25 4x4 – 12x2 + 2m2 + 10m + 26 x2 + 8x + 4p2 – 36p + 56 27 x2 – 13x + 36 x3 – 5x2 – 14x 28 x2 + 3x – 18 a4 + a2 + 29 x2 – 5x – 24 a4 + a2 – 30 3x2 – 16x + x4 + 4x2 + 31 8x2 + 30x + 10 x3 – 10x - 12 32 2x2 – 5x – 12 11 x3 – 7x - 33 6x2 – 7x – 20 12 x2 – 7x + 12 34 x2 – 7x + 10 13 x2 – 5x – 14 35 x2 – 10x + 16 14 x2 – 3x – 36 3x2 – 14x + 11 15 x2 – 7x + 37 5x2 + 8x – 13 16 x2 – 7x + 38 x2 + 19x + 60 17 6x3 – 17x2 + 14x – 39 x4 + 4x2 - 32 18 4x3 – 25x2 – 53x – 24 40 x3 – 19x + 30 19 x4 – 34x2 + 225 41 x3 + 9x2 + 26x + 24 20 4x4 – 37x2 + 42 4x2 – 17xy + 13y2 21 x4 + 3x3 + x2 – 12x - 20 43 - 7x2 + 5xy + 12y2 22 2x4 + 5x3 + 13x2 + 25x + 15 44 x3 + 4x2 – 31x - 70 Bài tập 3: Phân tích đa thức thành nhân tử x4 + x2 + 17 x5 - x4 - x4 – 3x2 + 18 x12 – 3x6 + x4 + 3x2 + 19 x8 - 3x4 + 2x4 – x2 – 20 a5 + a4 + a3 + a2 + a + x4y4 + 21 m3 – 6m2 + 11m - 6 x4y4 + 64 22 x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + x4y4 + 23 x3 + 4x2 – 29x + 24 32x4 + 24 x10 + x8 + x6 + x4 + x2 + x4 + 4y4 25 x7 + x5 + x4 + x3 + x2 + 10 x7 + x2 + 26 x5 – x4 – x3 – x2 – x - 11 x8 + x + 27 x8 + x6 + x4 + x2 + 12 x8 + x7 + 28 x9 – x7 – x6 – x5 + x4 + x3 + x2 + + 3x4 + 29 a(b3 – c3) + b(c3 – a3) + c(a3 – b3) 13 14 x10 + x5 + 15 x5 + x + 16 x5 + x4 + Bài tập 4: Phân tích đa thức thành nhân tử x2 + 2xy – 8y2 + 2xz + 14yz – 3z2 3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + 12x2 + 5x – 12y2 + 12y – 10xy – 2x2 – 7xy + 3y2 + 5xz – 5yz + 2z2 x2 + 3xy + 2y2 + 3xz + 5yz + 2z2 x2 – 8xy + 15y2 + 2x – 4y – x4 – 13x2 + 36 33 x4 + 3x2 – 2x + x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + Bài tập 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 (a – x)y3 – (a – y)x3 – (x – y)a3 x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 3x5 – 10x4 – 8x3 – 3x2 + 10x + 5x4 + 24x3 – 15x2 – 118x + 24 15x3 + 29x2 – 8x – 12 x4 – 6x3 + 7x2 + 6x – x3 + 9x2 + 26x + 24 Bài tập 6: Phân tích đa thức thành nhân tử a(b + c)(b2 – c2) + b(a + c)(a2 – c2) + c(a + b)(a2 – b2) ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) (x – y)5 + (y – z)5 + (z – x)5 (x + y)7 – x7 – y7 ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + abc (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5 a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) + 2abc a3(b – c) + b3(c – a) + c3(a – b) 10 abc – (ab + bc + ac) + (a + b + c) – Bài tập 7: Phân tích đa thức thành nhân tử (x2 + x)2 + 4x2 + 4x – 12 (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2 (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 (x2 + 2x)2 + 9x2 + 18x + 20 34 x2 – 4xy + 4y2 – 2x + 4y – 35 (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16 (x2 + x)2 + 4(x2 + x) – 12 4(x2 + 15x + 50)(x2 + 18x + 72) – 3x2 Chun đề Tính chia hết với số ngun I Mục tiêu Sau học xong chun đề học sinh có khả năng: 1.Biết vận dụng tính chất chia hÕt cđa sè nguyªn dể chứng minh quan hƯ chia hÕt, t×m sè d vµ t×m ®iỊu kiƯn chia hÕt Hiểu bước phân tích tốn, tìm hướng chứng minh Có kĩ vận dụng kiến thức trang bị để giải tốn II Các tài liệu hỗ trợ: - Bài tập nâng cao số chun đề tốn - Tốn nâng cao chun đề đại số - Bồi dưỡng tốn - Nâng cao phát triển tốn -… III Nội dung Kiến thức cần nhớ Chøng minh quan hƯ chia hÕt Gäi A(n) lµ mét biĨu thøc phơ thc vµo n (n ∈ N hc n ∈ Z) a/ §Ĩ chøng minh A(n) chia hÕt cho m ta ph©n tÝch A(n) thµnh tÝch ®ã cã mét thõa sè lµ m + NÕu m lµ hỵp sè ta ph©n tÝch m thµnh tÝch c¸c thõa sè ®«I mét nguyªn tè cïng råi chøng minh A(n) chia hÕt cho tÊt c¶ c¸c sè ®ã + Trong k sè liªn tiÕp bao giê còng tån t¹i mét sè lµ béi cđa k b/ Khi chøng minh A(n) chia hÕt cho n ta cã thĨ xÐt mäi trêng hỵp vỊ sè d chia m cho n * VÝ dơ1: C/minh r»ng A=n3(n2- 7)2 – 36n chia hÕt cho 5040 víi mäi sè tù nhiªn n Gi¶i: Ta cã 5040 = 24 32.5.7 A= n3(n2- 7)2 – 36n = n.[ n2(n2-7)2 – 36 ] = n [n.(n2-7 ) -6].[n.(n2-7 ) +6] = n.(n3-7n – 6).(n3-7n +6) Ta l¹i cã n3-7n – = n3 + n2 –n2 –n – 6n -6 = n2.(n+1)- n (n+1) -6(n+1) =(n+1)(n2-n-6)= (n+1 )(n+2) (n-3) T¬ng tù : n3-7n+6 = (n-1) (n-2)(n+3) d Do ®ã A= (n-3)(n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3) Ta thÊy : A lµ tÝch cđa sè nguyªn liªn tiÕp mµ sè nguyªn liªn tiÕp: - Tån t¹i mét béi sè cđa (nªn A M5 ) - Tån t¹i mét béi cđa (nªn A M7 ) - Tån t¹i hai béi cđa (nªn A M9 ) - Tån t¹i béi cđa ®ã cã béi cđa (nªn A M16) VËy A chia hÕt cho 5, 7,9,16 ®«i mét nguyªn tè cïng ⇒ A M 5.7.9.16= 5040 VÝ dơ 2: Chng minh r»ng víi mäi sè nguyªn a th× : a/ a3 –a chia hÕt cho b/ a5-a chia hÕt cho Gi¶i: a/ a3-a = (a-1)a (a+1) lµ tÝch cđa c¸c sè nguyªn liªn tiÕp nªn tÝch chia hÕt cho b/ A= a5-a = a(a2-1) (a2+1) • C¸ch 1: 35 Ta xÕt mäi trêng hỵp vỊ sè d chia a cho - NÕu a= k (k ∈ Z) th× A M (1) - NÕu a= 5k ± th× a -1 = (5k2 ± 1) -1 = 25k2 ± 10k M ⇒A M (2) - NÕu a= 5k ± th× a2+1 = (5k ± 2)2 + = 25 k2 ± 20k +5 ⇒ A M (3) Tõ (1),(2),(3) ⇒ A M 5, ∀ n ∈ Z C¸ch 2: Ph©n tÝch A thµnh mét tỉng cđa hai sè h¹ng chia hÕt cho : + Mét sè h¹ng lµ tÝch cđa sè nguyªn liªn tiÕp + Mét sè h¹ng chøa thõa sè Ta cã : a5-a = a( a2-1) (a2+1) = a(a2-1)(a2-4 +5) = a(a2-1) (a2-4) + 5a(a2-1) = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2)- 5a (a2-1) Mµ = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2) M (tÝch cđa sè nguyªn liªn tiÕp ) 5a (a2-1) M Do ®ã a5-a M * C¸ch 3: Dùa vµo c¸ch 2: Chøng minh hiƯu a 5-a vµ tÝch cđa sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho Ta cã: a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) = a5-a – (a2- 4)a(a2-1) = a5-a - (a3- 4a)(a2-1) = a5-a - a5 + a3 +4a3 - 4a = 5a3 – 5a M ⇒ a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) M Mµ (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) M ⇒ a5-a M 5(TÝnh chÊt chia hÕt cđa mét hiƯu) c/ Khi chøng minh tÝnh chia hÕt cđa c¸c l thõa ta cßn sư dơng c¸c h»ng ®¼ng thøc: an – bn = (a – b)( an-1 + an-2b+ an-3b2+ …+abn-2+ bn-1) (H§T 8) an + bn = (a + b)( an-1 - an-2b+ an-3b2 - …- abn-2+ bn-1) (H§T 9) - Sư dơng tam gi¸c Paxcan: 1 1 1 3 1 … Mçi dßng ®Ịu b¾t ®Çu b»ng vµ kÕt thóc b»ng Mçi sè trªn mét dßng (kĨ tõ dßng thø 2) ®Ịu b»ng sè liỊn trªn céng víi sè bªn tr¸i cđa sè liỊn trªn Do ®ã: Víi ∀ a, b ∈ Z, n ∈ N: an – bn chia hÕt cho a – b( a ≠ b) a2n+1 + b2n+1 chia hÕt cho a + b( a ≠ -b) (a+b)n = Bsa +bn ( BSa:Béi sè cđa a) (a+1)n = Bsa +1 (a-1)2n = Bsa +1 (a-1)2n+1 = Bsa -1 * VD3: CMR víi mäi sè tù nhiªn n, biĨu thøc 16 n – chia hÕt cho 17 vµ chØ n lµ sè ch½n Gi¶i: + C¸ch 1: - NÕu n ch½n: n = 2k, k ∈ N th×: A = 162k – = (162)k – chia hÕt cho 162 – 1( theo nhÞ thøc Niu T¬n) Mµ 162 – = 255 M 17 VËy AM 17 n - NÕu n lỴ th× : A = 16 – = 16n + – mµ n lỴ th× 16 n + M 16+1=17 (H§T 9) ⇒ A kh«ng chia hÕt cho 17 +C¸ch 2: A = 16n – = ( 17 – 1)n – = BS17 +(-1)n – (theo c«ng thøc Niu T¬n) - NÕu n ch½n th× A = BS17 + – = BS17 chia hÕt cho 17 - NÕu n lỴ th× A = BS17 – – = BS17 – Kh«ng chia hÕt cho 17 VËy biĨu thøc 16n – chia hÕt cho 17 vµ chØ n lµ sè ch½n, ∀ n ∈ N d/ Ngoµi cßn dïng ph¬ng ph¸p ph¶n chøng, nguyªn lý Dirichlª ®Ĩ chøng minh quan hƯ chia hÕt • VD 4: CMR tån t¹i mét béi cđa 2003 cã d¹ng: 2004 2004….2004 Gi¶i: XÐt 2004 sè: a1 = 2004 a2 = 2004 2004 a3 = 2004 2004 2004 ……………………… 36 a2004 = 2004 2004…2004 2004 nhãm 2004 Theo nguyªn lý Dirichle, tån t¹i hai sè cã cïng sè d chia cho 2003 Gäi hai sè ®ã lµ am vµ an ( ≤ n nªn 3n – > Ta l¹i cã: 3n – < 4n +5(v× n ≥ 0) nªn ®Ĩ 12n2 – 5n – 25 lµ sè ngyªn tè th× thõa sè nhá ph¶i b»ng hay 3n – = ⇒ n = Khi ®ã, 12n2 – 5n – 25 = 13.1 = 13 lµ sè nguyªn tè 39 VËy víi n = th× gi¸ trÞ cđa biĨu thøc 12n2 – 5n – 25 lµ sè nguyªn tè 13 b/ 8n2 + 10n +3 = (2n – 1)(4n + 3) BiÕn ®ỉi t¬ng tù ta ®ỵc n = Khi ®ã, 8n2 + 10n +3 lµ sè nguyªn tè 3 c/ A = n + 3n Do A lµ sè tù nhiªn nªn n(n + 3) M 4 Hai sè n vµ n + kh«ng thĨ cïng ch½n VËy hc n , hc n + chia hÕt cho - NÕu n = th× A = 0, kh«ng lµ sè nguyªn tè - NÕu n = th× A = 7, lµ sè nguyªn tè -NÕu n = 4k víi k ∈ Z, k > th× A = k(4k + 3) lµ tÝch cđa hai thõa sè lín h¬n nªn A lµ hỵp sè - NÕu n + = th× A = 1, kh«ng lµ sè nguyªn tè - NÕu n + = 4k víi k ∈ Z, k > th× A = k(4k - 3) lµ tÝch cđa hai thõa sè lín h¬n nªn A lµ hỵp sè VËy víi n = th× n + 3n lµ sè nguyªn tè Bµi 7: §è vui: N¨m sinh cđa hai b¹n Mét ngµy cđa thËp kû ci cïng cđa thÕ kû XX, mét nhê kh¸ch ®Õn th¨m trêng gỈp hai häc sinh Ngêi kh¸ch hái: - Cã lÏ hai em b»ng ti nhau? B¹n Mai tr¶ lêi: - Kh«ng, em h¬n b¹n em mét ti Nhng tỉng c¸c ch÷ sè cđa n¨m sinh mçi chóng em ®Ịu lµ sè ch½n - VËy th× c¸c em sinh n¨m 1979 vµ 1980, ®óng kh«ng? Ngêi kh¸ch ®· suy ln thÕ nµo? Gi¶i: Ch÷ sè tËn cïng cđa n¨m sinh hai b¹n ph¶I lµ vµ v× trêng hỵp ngùoc l¹i th× tỉng c¸c ch÷ sè cđa n¨m sinh hai b¹n chØ h¬n kÐm lµ 1, kh«ng thĨ cïng lµ sè ch½n Gäi n¨m sinh cđa Mai lµ 19a9 th× +9+a+9 = 19 + a Mn tỉng nµy lµ sè ch½n th× a ∈ {1; 3; 5; 7; 9} HiĨn nhiªn Mai kh«ng thĨ sinh n¨m 1959 hc 1999 VËy Mai sinh n¨m 1979, b¹n cđa Mai sinh n¨m 1980 40 41 [...]... 1 )2 19 (xy + 4 )2 (2x + 2y )2 20 (a2 + b2 + ab )2 a2b2 b2c2 c2a2 Bi tp 2: Phõn tớch a thc thnh nhõn t 1 x2 6x + 8 23 x3 5x2y 14xy2 2 x2 7xy + 10y2 24 x4 7x2 + 1 3 a2 5a - 14 25 4x4 12x2 + 1 4 2m2 + 10m + 8 26 x2 + 8x + 7 5 4p2 36p + 56 27 x2 13x + 36 6 x3 5x2 14x 28 x2 + 3x 18 7 a4 + a2 + 1 29 x2 5x 24 8 a4 + a2 2 30 3x2 16x + 5 9 x4 + 4x2 + 5 31 8x2 + 30x + 7 10 x3 10x - 12 32 2x2... + 2y + z)(y + 2z + x)(z + 2x + y) II Bi tp: Bi tp 1: Phõn tớch a thc thnh nhõn t 1 16x3y + 0 ,25 yz3 21 (a + b + c )2 + (a + b c )2 4c2 2 x 4 4x3 + 4x2 22 4a2b2 (a2 + b2 c2 )2 3 2ab2 a2b b3 23 a 4 + b4 + c4 2a2b2 2b2c2 2a2c2 4 a 3 + a2b ab2 b3 24 a(b3 c3) + b(c3 a3) + c(a3 b3) 5 x 3 + x2 4x - 4 25 a 6 a4 + 2a3 + 2a2 6 x 3 x2 x + 1 26 (a + b)3 (a b)3 7 x 4 + x3 + x2 - 1 27 X 3 3x2 +... 12 11 x3 7x - 6 33 6x2 7x 20 12 x2 7x + 12 34 x2 7x + 10 13 x2 5x 14 35 x2 10x + 16 14 4 x2 3x 1 36 3x2 14x + 11 15 3 x2 7x + 4 37 5x2 + 8x 13 16 2 x2 7x + 3 38 x2 + 19x + 60 17 6x3 17x2 + 14x 3 39 x4 + 4x2 - 5 32 18 4x3 25 x2 53x 24 40 x3 19x + 30 19 x4 34x2 + 22 5 41 x3 + 9x2 + 26 x + 24 20 4x4 37x2 + 9 42 4x2 17xy + 13y2 21 x4 + 3x3 + x2 12x - 20 43 - 7x2 + 5xy + 12y2 22 2x4... n2 +2) khụng l s chớnh phng hay A khụng l s chớnh phng Bi 8: Chng minh rng s cú dng n6 n4 + 2n3 + 2n2 trong ú n N v n>1 khụng phi l s chớnh phng n6 n4 + 2n3 +2n2 = n2.( n4 n2 + 2n +2 ) = n2.[ n2(n-1)(n+1) + 2( n+1) ] = n2[ (n+1)(n3 n2 + 2) ] = n2(n+1).[ (n3+1) (n2-1) ] = n2( n+1 )2. ( n22n +2) Vi n N, n >1 thỡ n2-2n +2 = (n - 1 )2 + 1 > ( n 1 )2 v n2 2n + 2 = n2 2( n - 1) < n2 Vy ( n 1 )2 < n2 2n... gii 3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 2x + 6x + 4 = (3x2 + 2x) + (6x + 4)= x(3x + 2) + 2( 3x + 2) = (x + 2) (3x +2) b) Cỏch 2 (tỏch hng t bc hai ax2) - Lm xut hin hiu hai bỡnh phng : f(x) = (4x2 + 8x + 4) x2 = (2x + 2) 2 x2 = (2x + 2 x)(2x + 2 + x) = (x + 2) (3x + 2) - Tỏch thnh 4 s hng ri nhúm : f(x) = 4x2 x2 + 8x + 4 = (4x2 + 8x) ( x2 4) = 4x(x + 2) (x 2) (x + 2) = (x + 2) (3x + 2) f(x) = (12x2 + 8x) (9x2 4)... 1)(x2 + x + 1) Cỏch 3 : x4 + x2 + 1 = (x4 + x3 + x2) (x3 1) = x2(x2 + x + 1) + (x 1)(x2 + x + 1) = (x2 x + 1)(x2 + x + 1) Vớ d 13 Phõn tớch a thc x4 + 16 thnh nhõn t Li gii Cỏch 1 : x4 + 4 = (x4 + 4x2 + 4) 4x2 = (x2 + 2) 2 (2x )2 = (x2 2x + 2) (x2 + 2x + 2) Cỏch 2 : x4 + 4 = (x4 + 2x3 + 2x2) (2x3 + 4x2 + 4x) + (2x2 + 4x + 4) = (x2 2x + 2) (x2 + 2x + 2) 2 Thờm v bt cựng mt hng t lm xut hin nhõn t chung... thc thnh nhõn t 1 (x2 + x )2 + 4x2 + 4x 12 2 (x2 + 4x + 8 )2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2 3 (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) 12 4 (x + 1)(x + 2) (x + 3)(x + 4) 24 5 (x2 + 2x )2 + 9x2 + 18x + 20 34 6 x2 4xy + 4y2 2x + 4y 35 7 (x + 2) (x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16 8 (x2 + x )2 + 4(x2 + x) 12 9 4(x2 + 15x + 50)(x2 + 18x + 72) 3x2 Chuyờn Tớnh chia ht vi s nguyờn I Mc tiờu Sau khi hc xong chuyờn hc sinh cú kh nng: 1.Bit... x 2y2 + 1 x2 y2 28 X m + 4 + xm + 3 x - 1 10 x 4 x2 + 2x - 1 29 (x + y)3 x3 y3 31 11 3a 3b + a2 2ab + b2 30 (x + y + z)3 x3 y3 z3 12 a 2 + 2ab + b2 2a 2b + 1 31 (b c)3 + (c a)3 + (a b)3 13 a 2 b2 4a + 4b 32 x3 + y3+ z3 3xyz 14 a 3 b3 3a + 3b 33 (x + y)5 x5 y5 15 x 3 + 3x2 3x - 1 34 (x2 + y2)3 + (z2 x2)3 (y2 + z2)3 16 x 3 3x2 3x + 1 17 x 3 4x2 + 4x - 1 18 4a2b2 (a2 + b2... x3 + x2 + 4 thnh nhõn t Li gii Ln lt kim tra vi x = 1, 2, 4, ta thy f (2) = (2) 3 + (2) 2 + 4 = 0 a thc f(x) cú mt nghim x = 2, do ú nú cha mt nhõn t l x + 2 T ú, ta tach nh sau Cỏch 1 : f(x) = x3 + 2x2 x2 + 4 = (x3 + 2x2) (x2 4) = x2(x + 2) (x 2) (x + 2) = (x + 2) (x2 x + 2) Cỏch 2 : f(x) = (x3 + 8) + (x2 4) = (x + 2) (x2 2x + 4) + (x 2) (x + 2) = (x + 2) (x2 x + 2) Cỏch 3 : f(x) = (x3 + 4x2 + 4x)... x7 + x2 + 1 26 x5 x4 x3 x2 x - 2 11 x8 + x + 1 27 x8 + x6 + x4 + x2 + 1 12 x8 + x7 + 1 28 x9 x7 x6 x5 + x4 + x3 + x2 + 1 + 3x4 + 1 29 a(b3 c3) + b(c3 a3) + c(a3 b3) 13 8 14 x10 + x5 + 1 15 x5 + x + 1 16 x5 + x4 + 1 Bi tp 4: Phõn tớch a thc thnh nhõn t 1 x2 + 2xy 8y2 + 2xz + 14yz 3z2 2 3x2 22 xy 4x + 8y + 7y2 + 1 3 12x2 + 5x 12y2 + 12y 10xy 3 4 2x2 7xy + 3y2 + 5xz 5yz + 2z2 5 x2 + 3xy