tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toan chuyên đề hàm hữu tỉ,lượng giác

tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toan chuyên đề hàm hữu tỉ,lượng giác tham khảo

CHUYÊN ĐỀ - NGUYÊN HÀM, HÀM HỮU TỈ, HÀM LƯỢNG GIÁC KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Nguyên hàm Cho K khoảng  a; b  , nửa khoảng  a; b ,  a; b  hay đoạn  a; b  Hàm số F  x  gọi nguyên hàm hàm số f  x  K nếu: F '  x   f  x  , x  K Neesu F  x  nguyên hàm f  x  họ nguyên hàm f  x  là:  f  x  dx  F  x   C , C số - Phương pháp đổi biến số: Nếu x  u  t  có đạo hàm liên tục K thì:  f  x  dx   f u t .u ' t dt Nếu t  v  x  có đạo hàm liên tục K thì: f  x  dx  g  t  dt thì:  f  x  dx   g t  dt - Phương pháp nguyên hàm phần: Nếu u  x  , v  x  có đạo hàm liên tục K udv  uv  vdu   Tích phân: Giả sử f  x  liên tục khoảng K a, b  K F  x  nguyên hàm f  x  thì:  f  x  dx  F b   F  a   F  x  b b a a - Phương pháp tích phân đổi biến số:  f  x  dx   f u t .u ' t .dt  b a Nếu t  v  x  có đạo hàm liên tục f  x  dx  g  t  dt thì:  b a f  x  dx   v b  v a  g  t  dt - Phương pháp tích phân phần: Nếu u  x  , v  x  có đạo hàm liên tục đoạn  a; b   b a b udv  u.v a   v.du b a L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Tổng tích phân Cho f hàm số xác định  a; b  a  b  Phân hoạch T đoạn  a; b  thành n đoạn nhỏ điểm chia tùy ý a  x0  x1   xn  b , đoạn  xi 1 , x j  ta lấy điểm  i lập tổng tích phân  T   f  j  x j  xi 1  n i 1   Kí hiệu d T   max x j  xi 1 1i  n Nếu tồn giới hạn I  lim d T 0  f   x n j i 1 đoạn  a; b  kí hiệu là: I  Ta chọn phân hoạch xi  a  j  xi 1  giới hạn gọi tích phân xác định hàm f  f  x  dx b a i  b  a  , tổng tích phân n Sn   f  j  x j  xi 1  lim Sn   f  x  dx n b i 1 a Nguyên hàm đa thức phân thức:  kdx  kx  C với k số  dx  x  C u'  u dx  ln u  C  x dx  ln x  C Với   1   x dx  x 1 u 1  C;  u u '.dx  C  1  1 Các biến đổi: chia tách, thêm bớt, khai triển tích số, đẳng thức, phân tích thành phân số đơn giản,… Tổng quát với hàm hữu tỉ, bậc tử lớn bậc mẫu phải chia tách phần đa thức, lại hàm hữu tỉ với bậc tử bé mẫu  Nếu bậc tử bé bậc mẫu phân tích mẫu thừa số bậc  x  a  hay x  px  q bậc hai vô nghiệm đồng hệ số theo phần tử đơn giản:  A Bx  C ; ; Đồng hệ số tử x  a x  px  q thức tính số A, B, C, … Kết hợp với biến đổi sai phân, thêm bớt đặc biệt để phân tích nhanh Các dạng tích phân đa thức, phân thức hữu tỉ: L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo b  P  x  dx : Chia miền xét dấu P  x  , a b  x  mx  n   dx : Đặt u  mx  n phân tích, a b   mx  n   px  qx  r   dx : Đặt u  px  qx  r , a b     x  m   x  m  dx : Nếu    đặt u  x  n a b - Dạng  px a dx : Lập   q  pr  qx  r b  0 a b 0 a b  0 a  mx  n  : Dùng công thức dx : Đặt x  k tan t x  k2 1  1  dx : Biến đổi     2 x k 2k  x  k x  k  x k mx  n dx : Lập   q  pr  qx  r b - Dạng dx  px a    Phân tích dùng công thức A  px  qx  r  ' mx  n B 0   2 px  qx  r px  qx  r x    k2 b - Dạng  x 1 x a  x n1dx b dx  n m  a x 1  x n  n m : đặt t   x n Chú ý: Cho hàm số f  x  liên tục đoạn  a; a  Nếu f lẻ a a a a a  f  x  dx  Nếu f chẵn  f  x   2 f  x  dx Nguyên hàm lượng giác: L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo  cos xdx  sin x  C  cos u.u '.dx  sin u  C  sin xdx   cos x  C  sin u.u '.dx   cos u  C dx  cos x dx  sin x u'  tan x  C  cos   cot x  C  sin u u' u dx  tan u  C dx   cot u  C Các biến đổi: hạ bậc lượng giác, tích thành tổng, theo góc phụ t  tan x ,… sin  x  a    x  b   1   sin  x  a  sin  x  b  sin  a  b  sin  x  a  sin  x  b  1  2 a sin x  b cos x a  b sin  x    a sin x  b cos x  a  b  sin x   cos x   a sin x  b cos x  c  1 a  b  cos  x     A  a sin x  b cos x  c  ' B  a sin x  b cos x  c a sin x  b cos x  c 1  2 a sin x  b sin x cos x  cos x a tan x  b tan x  c cos x a sin x cos x sin x  b cos x  2   A  a sin x  b cos x  ' a sin x  b cos x   Đặc biệt cận tích phân: đối, bù, phụ đặt tương ứng t   x, t    x, t    x Tích phân liên kết, để tính I đặt thêm J mà việc tính tích phân I  J I  J I  kJ I  mJ dễ dàng lợi Tích phân truy hồi I n theo I n 1 hay I n2 sin n x,cos n x tách lũy thừa dùng phương pháp tích phân phần tan n x,cot n x tách lũy thừa dùng phương pháp tích phân đổi biến số Nếu hàm số f  x  liên tục đoạn  a; b  thì:  /2  /2  0    f  sin x  dx   f  cos x  dx;  xf sin x  dx   f sin x  dx L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Các dạng tích phân lượng giác: b b a a  P  x  sin  xdx,  P  x .cos xdx : đặt u  P  x  , v '  sin cos x  /2   R  x,sin x,cos x  dx : đặt x   t   R  x,sin x,cos x  dx : đặt x    t 2  R  x,sin x,cos x dx : đặt x  2  t b x  R  sin x,cos x  dx : đặt t  tan , đặc biệt: a Nếu R   sin x,cos x    R  sin x,cos x  đặt t  cos x Nếu R  sin x,  cos x    R  sin x,cos x  đặt t  sin x Nếu R   sin x,  cos x    R  sin x,cos x  đặt t  tan x,cot x CÁC BÀI TOÁN Bài tốn 7.1: Tính giới hạn dãy un xác định bởi: a) un  i3  i 1 n n b) un  i2  3 i 1 i  n n Hướng dẫn giải a) Xét hàm số f  x   x3 Tổng tích phân hàm số f đoạn  0;1 là: n  i  n i3 S n   f      un n i 1  n  i 1 n  Ta có: lim Sn  x3dx  1 Vậy lim un  4 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo 1   n n x2 i n  b) Ta viết un   nên un tổng tích phân hàm số f  x     x 1 n i 1  3 i 1 i  n   1 n đoạn  0;1 1 x2 ln Do đó: lim un   dx  ln  x3  1  x 1 3 0 Bài tốn 7.2: Tính giới hạn dãy un xác định bởi: 1 1 un       2n  n Hướng dẫn giải Đặt S  n  i Ta có: i 1 2n n n n 1 n 1 n un    2      S2 n  Sn     n i 1 i  i 1 i i 1 2i i 1 i i 1 i i 1 i  n n Do un tổng tích phân hàm số f  x   Suy lim un   x  dx  ln  x  1 1 đoạn  0;1 x 1  ln Bài toán 7.3: Chứng minh:  a) lim x n sin  xdx  0 b) f  x   x  t 1 t4 dt hàm số chẵn Hướng dẫn giải a) Với x  0;1  x n sin  x  x n   Do đó:  x sin  xdx  x n dx  n n 1 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Vì lim   đpcm n 1 b) Đặt t  s tích phân f   x   x  ta f   x   x x t  1 t4 dt   t 1 t4 s  s4 dt ds  f  x   đpcm Bài tốn 7.4: Tính đạo hàm hàm số: a) f  x   x b) g  x    cos tdt t 1 2 x t  dt 3x Hướng dẫn giải a) f '  x   cos x  x  '  cos2 xx t 1 Gọi F nguyên hàm f, theo định nghĩa tích phân, ta có: t2 1 g  x   F  3x   F  x  nên g '  x   3F '  3x   2F '  x   f  3x   f  x  f t   b) Đặt   x  1 9x2    x  1 x2  Bài toán 7.5: x2 a) Cho  f  t  dt  x cos  x  Tính f  4 b b) Tìm số b dương để tích phân   x  x  dx có giá trị lớn a Hướng dẫn giải   a) Lấy đạo hàm vế có xf x   x sin  x   cos  x  Cho x  : f    2 sin 2  cos 2  f    b) Xét hàm số f  x   x   t  t  dt L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Ta có F '  x   x  x , F '  x    x  Lập bảng biến thiên F  x   0;  F  x  đạt giá trị lớn x  , b  Bài toán 7.6: Chứng minh rằng: a) 1 0  f  x  dx   f 1  x  dx 1 1 b)  f  x  dx    f  x   f   x dx Hướng dẫn giải a) Đặt u   x du  dx, x   u  1, x   u  1 1 0  f  x  dx   f 1  u  du   f 1  u  du   f 1  x  dx b)  f  x  dx  1  1 Do f  x  dx   f  x  dx 1 1 0  1 1 f  x  dx    f  u  du   f   x  dx  f  x  dx    f  x   f   x  dx Bài toán 7.7: Cho hàm số f  x  liên tục  a; a  Chứng minh: a a) Nếu f hàm số lẻ  f  x  dx  a a b) Nếu f hàm số chẵn  a a f  x   2 f  x  dx Hướng dẫn giải I a a a a  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx Đổi biến x  t đổi với tích phân  f  x  dx ta được: a a) Nếu f lẻ 0 a a a a 0  f  x  dx    f  t  dt   f t  dt   f  x  dx I 0 b) Nếu f chẵn  a a a a 0 f  x  dx   f  t  dt   f  x  dx  I  2 f  x  dx L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Bài toán 7.8: Cho hàm số f  x  liên tục đoạn  a; b  Chứng minh:  /2 a)   /2  f  sin x  dx   f  cos x  dx b)   xf  sin x  dx   f  sin x  dx 0  Hướng dẫn giải a) Đặt x    t dx  dt , x   t   /2  f  sin x  dx   /2     f  sin   t   dt     ,x   t   /2  /2 0  f  cos t  dt   f  cos x  dx b) Đặt x    t dx  dt , x   t   , x    t    xf  sin x  dx     t  f  sin t  dt     0 0    f  sin t  dt   tf  sin t  dt    f  sin x  dx   xf  sin x  dx   0 Do xf  sin x  dx   f  sin x  dx  đpcm   Bài tốn 7.9: Tính: a) x 1   x  2 x  3 dx b) x4   x3  x dx Hướng dẫn giải a) Đặt x 1 A B nên x   A  x  3  B  x      x   x  3 x  x  Do x    A  B  x   A  2B  , đồng hệ số A  B  1,3 A  2B  nên A  Do đó: x 1  3 ,B  5    x  2 x  3 dx     x  2   x  3  dx    ln x   ln x   C 5 b) x4  x2  x2   x   x  x3  x x3  x x  x  1 x  1 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo x2  A B C Đặt nên x    A  B  C  x   B  C  x  A , đồng hệ số    x  x  1 x  1 x x  x  1 2 A  2, B   , C   , đó:  1 1   f  x  dx    x     dx  x  2ln x  ln x   C x x 1 x 1  2  Bài tốn 7.10: Tính: a)  x 3  x  57  x3  b)  x   1 dx  18  dx Hướng dẫn giải a) Đặt u   x  x   u  dx  du  x   5 dx     u  u du    u  3u  du 1  3 x  u7  u6  C  3  x    C 2  b) Đặt u  x3 x2   du  dx  x dx  6du 18 57 58  x3  58  x3  57  x  18  1 dx  6 u du  29 u  C  29  18  1  C Bài toán 7.11: Tính a) dx  x 1  x8  b) x2   x4  x2  dx Hướng dẫn giải d x  dx x dx 1 x8 a)     ln C x 1  x8   x8 1  x8   x8 1  x8   x 1  dx  x 1 x2  x  x  dx    ln C b)  x  x2  x  x 1 1   x   1 x  Bài tốn 7.12: Tính: a) A    x  2  x  3 dx 2 b) B  x  x  dx 1 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo 1/ B  t4 dt  1 t2 t 1 1 dt  1 t2 1/  1/  t3 t 1      t  ln  t 1   1/   1    t   dt 1  t   t  1     10  ln   Bài tốn 7.31: Tính:  /2 a) I    /2 cos xdx 13  7sin x  cos x dx   2sin x  cos x  b) J  Hướng dẫn giải a) Đặt t  sin x  dt  cos xdx, x   t  0, x   /2  I   t  1 cos xdx dt dt   sin x  7sin x  12 t  7t  12  t  3 t    t 4      dt  ln t 4 t 3 t 3 0 1  ln   sin x  cos x   sin  x      b) Ta có 2sin x  cos x   2     Vì   cos  ,  sin      nên có số  để 5  5  5  /2 J   /2 dx 1    cot  x           5sin  x    5  2 Bài tốn 7.32: Tính:   /2 3sin x  cos x  a) K   dx sin x  2cos x  b) L   cos x  dx Hướng dẫn giải a) Xét 3sin x  cos x   A  sin x  2cos x  3  B  cos x  2sin x    A  2B  sin x   A  B  cos x  A Đồng A  2B  0,2 A  B  0,3 A  nên A  1, B  1 , đó: L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo   cos x  2sin x   K   1  dx   x  ln sin x  2cos x      ln sin x  2cos x   0 b) Đặt u  tan x 1 x 2du  du  1  tan  dx  dx  2 2  u2      1 d 3u 2du du  L    2 2    u  u u  0 3u  2 1 u2 Bài tốn 7.33: Tính:  /2  a) A   b) B   cos xdx  0 3sin x  2cos x dx 8sin x  Hướng dẫn giải 2 20 a) A   2sin xdx   sin x dx 0   2    2    sin xdx   sin xdx     cos x   cos x    0  t 1 b) Đặt t  8sin x   sin x   cos x.dx  tdt  Khi x   t  1, x   /2 B  t 3 2cos x  3sin x  1 8sin x  3 1 dx    3t  11 dt   t  11t   16 16 Bài tốn 7.34: Tính  sin x  E  dx   sin x  cos x      /3   /2 a)  b) F  x sin x   cos x dx Hướng dẫn giải a) Đặt x    t  dx  dt; x   t   ,x   t 0  /2 cos t    cos x  E dt   dx     cos t  sin t sin x  cos x          /2 0   L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo  /2 Do E  E     dx   E  b) Đặt x    t  dx  dt , x   t   , x    t  F     t  sin t dt     cos t  Do J   sin t   cos 2  dt  J t sin t dt  0  cos t 1  u du Đặt u  tan t tính F  2 Bài tốn 7.35: Tính:  /2  /2   x  1 cos a) C  b) D  xdx   x  sin x  cos xdx 0 Hướng dẫn giải  /2 a) C    cos x dx   x  1 2  /2  /2 0     x  1 dx    x   cos xdx  /2  /2 1 1   x  1   x    2 20  /2     sin xdx    1   /2 b) D    x  sin x  d  sin x    x  sin x  sin x   /2  /2   1  2sin x.cos x  sin xdx  /2  /2       1   cos x    sin x    3 2  0  /4  /4 Bài tốn 7.36: Tính: I   x tan b) J  xdx  x sin xdx Hướng dẫn giải  /4 a) I     x  1dx   cos x   /4  xdx  cos x  /4  xdx L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo   /4  /4 0  xd  tan x    xdx  x tan x b) Đặt t   /4 x  /4    /4 x2 tan xdx  x  2   ln  32 x  x  t  dx  2dt Khi x   t  0, x  2 t    /2 nên J   t sin tdt Đặt u  t , dv  sin tdt Khi du  3t dt , v   cos t J   t cos t   /2  /2  /2   t cos tdt   t cos tdt 0 Áp dụng tích phân phần lần J     Bài tốn 7.37: Tính:  /6 x cos5 x a) A   dx  tan x 1 b) B   sin x dx sin x  cos x Hướng dẫn giải a) Đặt x  t dx  dt , x  1  t  1, x   t  1 1 A   t cos5t x cos5 x dt    dx   A  A  2  tan t  tan x 1  /6 b) Xét C   BC  cos x , ta có sin x  cos x  /6  dx    sin  x   6     ln tan  x   6   /6 B  3C    sin x   /6  /6      d  tan  x       tan  x     6  1  ln  cos x dx   nên B  1 ln  16 Bài toán 7.38: L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo  /2 a) Tính  max sin x,cos x dx x t  b) Giải phương trình: sin cos t dt   Hướng dẫn giải a)  /2  /4 0  /2  max sin x;cos x dx   cos xdx   sin xdx /4     /4  /2 2   sin x    cos x   /4    0     2     x b) x x 1 t t t sin cos dt  sin dt  1  cos t  dt 0 4 0 0 x 1   t  sin t    x  sin x  8 Phương trình  x  sin x     x  sin x  8  x  8 Bài tốn 7.39: Tìm hàm số y  f  x  biết:   a) dy  12 x 3x  dx f 1  3 b) y '  sin x.cos3 x f    79 Hướng dẫn giải a) Đặt u  3x  du  xdx nên 12 xdx  2du 3x  1  u4 f  x    dy   2u du   C  C 2 Vì f  t    C  nên C  5 Vậy  3x f  x   1 5 b) Đặt t  sin x dt  cos xdx f  x    y ' dx   sin x 1  sin x  cos xdx   t 1  t  dt L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo t t10 sin8 x sin10 x    t  t  dt    C   C 10 10 Vì f    79 nên C  79 Vậy f  x   sin x sin 10 x   79 10 Bài toán 7.40: Tính I n theo I n2 , n    a) I n  tan n xdx, n  ¥ * b) I n  sin n xdx, n  ¥ * Hướng dẫn giải     a) Với n  : I n  tan n2 x tan xdx  tan n2 x tan x   dx   tan n2 xdx  t   I n2  tan n1 x  I n2 n 1 b) I n  sin n1 x.sin xdx   sin n1 xd  cos x      sin n1 x.cos x   n  1  sin n2 x.cos2 xdx   sin n1 x.cos x   n  1  sin n2 x 1  sin x  dx   sin n1 cos x   n  1 I n2   n  1 I n n Do I n   sin n1 x.cos x  n 1 I n2 n Bài toán 7.41: Đặt I  m,n   x m 1  x  dx, m, n  ¥ *  n Chứng minh I  m,n   x m 1  x  dx, m  0, n   n Hướng dẫn giải Đặt u  1  x  , dv  x m dx Khi du  n 1  x  n I  m,n  n 1 ,v  x m1 m 1 x m1 n n n n 1  x m1 1  x  dx  I 1  x    m 1 m 1 m   m1,n1 a Bài toán 7.42: Đặt I n   x dx a  n , với a  0, n  ¥ , n  L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Chứng minh I n  1 2n   .I n1 n n 1 a 2n   n  1 a Hướng dẫn giải x2  a2  x2 1  I  n  n a 0  x  a  a2 a2 a In  Đặt u  x, dv  x xdx a a  x x dx  a2  Khi du  dx, v   n n 1  n  1  x  a n1 a a  x x dx a x   n  n  1  x  a Bài toán 7.43: Đặt I n   1  x  n   n 1 I n1 ⇒ đpcm  n  1 dx, n  ¥ Tính I n suy hệ thức:  1 C n  2.4  2n  1 1 Cn  Cn  Cn  Cn   n 2n  3.5  2n  1 n Hướng dẫn giải  Với n  1, đặt u   x  n dv  dx thì: I n   1  x  dx  x 1  x  n n1 0 1   2nx 1  x  dx n 1    2n   x   11  x  dx  2nI n  2nI n1 nên n 1 In  2n 2n 2n  2n 2n  2 I n1  I n2   I 2n  2n  n  2n  2n  Mà I  nên có: I n  2.4  2n  3.5  2n  1 Khai triển nhị thức dấu tích phân: I n    C   x n k 0 k n  k n dx    1 C  x k dx k 0 k k n L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo n  x k 1   1 C k    1 Cnk     n k 0  2k   k  2k  1 n k k So sánh ta có điều phải chứng minh:  1 C n  2.4  2n  1 1 Cn  Cn  Cn  Cn   n 2n  3.5  2n  1 n  /2 Bài toán 7.44: Đặt I n   cos n xdx, n  ¥ * Tính I n theo I n2 , n  suy   n  1  In   2n Hướng dẫn giải  /2 In   cos n1 x.cos xdx   x cos  /2  cos x.d  sin x  n 1 n 1 x  /2   n  1  /2  cos n2 x.sin xdx    n  1  /2  cos n2 x 1  cos x  dx   n  1  I n2  I n  Do đó: I n  n 1 4 I n2 Suy ra: I  I  I1  n 5 15 n  2m  I m  2m  2m  2m   I m2   2m 2m 2m  2 n  2m   I m1  2m 2m 2m  2 I m1   2m  m  2m  1 Xét dãy f  n    n  1 I n I n1 f  n  1  f  n   f  n   f    Do  n  1 I n I n1  Mà I n  I n1  Và I n1  I n     , nI n1.I n     n  1 I n2  I n   nI n2  I n    2n   n  1  đpcm L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Bài toán 7.45: Cho hàm số f liên tục  a; b  Chứng minh tồn điểm c   a; b cho b f  x  dx  f  c  b  a a Hướng dẫn giải Giả sử m M tương ứng giá trị bé lớn hàm số f  a; b Ta có m  f  x   M x   a; b nên: b b b b a a a a  mdx   f  x  dx   Mdx  m b  a    f  x  dx  M b  a  Vì f hàm liên tục nên tồn c   a; b để f  c   b f  x  dx b  a a Bài toán 7.46: Chứng minh: Nếu f, g liên tục  a; b  thì: b b  b 2   f  x  g  x  dx    f  x  dx. g  x  dx a a  a Hướng dẫn giải  Ta có yf  x   g  x    0, y  y f  x   y f  x  g  x   g  x   0, y nên b y b b  f  x  dx  y  f  x  g  x dx   g  x   0, y a a a b b  b Do  '    f  x  g  x dx    f  x  dx. g  x  dx   đpcm a a  a Bài toán 7.47: Chứng minh rằng:  11 a) 54  b)    x   11  x dx  108 7 e x sin x  dx  x 1 12e Hướng dẫn giải L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo x   11  x  7;11 a) Xét f  x   Với 7  x  11 f '  x   1 11  x  x    x  11  x  x  11  x  f '  x    x  Lập BBT  f  x   6, x   7;11 11 3 Do 2dx  7 11 11 7 7  f  x  dx   6dx  đpcm b) x  1;      e x sin x dx  x 1 e Do  e x sin x e1   2 x 1 x  e  x  1  x 1  dx  1 12e Bài toán 7.48: Chứng minh: x2 xn   , x  a) e   x  2! n! x m b)  n  n  1.2 n 1 n   ln 2, m  ¥ , m  Hướng dẫn giải a) Ta chứng minh quy nạp x x Khi n  BĐT: e   x, x  : Đúng e  1, y   0; x   e dy  dy  e x   x x y  y  Giả sử BĐT n  k Ta chứng minh BĐT n  k  x2 xk   , x  Vì e   x  2! k! x nên e y   y  y2 yk   , y   0; x  2! k!  y2 yk    e dy   1  y     dy 2! k!  0 x x y  ex 1  x  x x3 x k 1 : đpcm    2! 3!  k  1! L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo  x k 1 b) Với k  ¥ , x   0;1 :  x  x   x   1 x 1 x * k Do với y   0;1 , ta có: y k  1  x   x  dx   dx 1 k 1  y  y   y   ln 1  y   x k  0 Tiếp tục với z   0;1 ta có: k 1   0  y  y   k  y dy  0   ln 1  y   dy z  z z  z   z k   z  1  z  ln 1  z  1.2 2.3 k  k  1 Chọn z  k  m  đpcm Bài toán 7.49: Xác định đa thức f  x   n a k 1 k cos kx biết f  x   0, x  0;2  Hướng dẫn giải Với số nguyên p, q ta có: 2 I   cos px.cos qxdx  2  cos  p  q  x  cos  p  q  x dx p  q I  , p  q I   Vì f  x   n a k 1 k cos kx  0, x  0;2  2 0  f  x  cos pxdx  a  k với p  k , k  1,2, , n Do tất hệ số ak  Vậy f  x   BÀI LUYỆN TẬP Bài tập 7.1: Tìm: a) A  x  x  3 xdx  11 b) B  x  ax  b  dx , a   Hướng dẫn giải L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo  x  3 13 a) Đổi biến t  x  Kết 13  x  3  12 C b) Đổi biến t  ax  b Kết Khi   2 B  Khi   1 B  1   ln ax  b   C  a  ax  b   ax  b  ln ax  b   C a2  2  1 ax  b      ax  b  Khi   2, 1 B    C a       Bài tập 7.2: Tính a) I   x 2001dx b) I   x2  1 1002  x  3 dx  xx  3x   Hướng dẫn 1001  x2  a) Đổi biến t  x  Kết   2002  x   C       b) Kết  ln x  4ln x   ln x   C Bài tập 7.3: Tính: a)   x  1 dx b)  x3 1  x  dx Hướng dẫn giải a) Đổi biến t  x  Kết b) Kết 10  x  1  C 20 1  x4   C  16 Bài tập 7.4: Tính: a)  x 5x  4 dx b) B   x9 dx x10  x5  Hướng dẫn a) Đổi biến t  x  Kết L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo b) Kết  34 31   ln    51    Bài tập 7.5: Tính: a) I  cos5 x cos7 xdx b) J  cos3 xdx Hướng dẫn a) Biến đổi tích thành tổng Kết b) Kết 11   sin12 x  sin x   C 4  sin 3x  sin x  C 12 Bài tập 7.6: Tính a)  sin x dx b) cos x  sin x cos x a sin x  b cos x 2 2 dx, a  b Hướng dẫn a) Đổi biến t  cos x dt   sin xdx Kết 3 cos x  C b) Kết a sin x  b cos2 x  C 2 a b Bài tập 7.7: Tính a)  sin x dx b) x  sin x dx Hướng dẫn a) Nhân chia thêm sin x đổi biến t  cos x Kết x cos x ln tan  C 2 2sin x b) Kết  x cot x  ln sin x  C  /3  /3 Bài tập 7.8: Tính: a)  tan  xdx /4 b)  sin x tan xdx Hướng dẫn a) Tách tan x.tan x Kết  b) Kết ln  ln 2 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo  /2 Bài tập 7.9: a) A    /2 sin xdx 1  cos x  b) B  sin xdx   4sin x  cos x Hướng dẫn a) Đổi biến t  cos x Kết b) Kết ln  15 64 Bài tập 7.10: Tính 5 /4 a) C     /2 sin x  cos x dx  sin x b) D   2sin x cos x  4sin x dx Hướng dẫn a) Để ý  sin x  sin x  cos x  đổi biến t  sin x  cos x Kết b) Kết ln 2 Bài tập 7.11: Chứng minh rằng: x 1 2x 1 dx  1 x 1 x  dx a) b)  14  /2   dx    3cos x Hướng dẫn a) Chứng minh x  1;2 : x 1 2x 1  x x 1 1   :      3cos x b) Chứng minh x  0; Bài tập 7.12: Tính J   x dx  x  3 lập công thức truy hồi: Jn   x dx  x  3 n Hướng dẫn L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo J3   x2  x  x  3 Và tách J n1   x  3 x  2  x  x  3 dx  x  3 n 1  x  x 1 ln C 16 x   x  3 n dx x2  x  L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo ... tra ti t, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo t t10 sin8 x sin10 x    t  t  dt    C   C 10 10 Vì f    79 nên C  79 Vậy f  x   sin x sin 10 x   79 10 Bài tốn 7. 40:... 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra ti t, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo x7 256  ln129  ln  ln129  ln 7 1 x 129    x  1 x  Bài toán 7. 20: Cho hàm số f  x     k...   Từ P      x 1 x 1 x 1  8x7   x7  1 dx  dx  1 x 1  x7  1 x  x 1 x 1  x7  dx b) Q   ln  x  x  2 d x  x6  dx  ln129  7 1 x 1  x  x 1  x  2 L/H mua file