tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán 12 chuyên đề phương trình mũ, logarit

tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán 12 chuyên đề phương trình mũ, logarit tham khảo

CHUN ĐỀ - PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Phương pháp chung: - Đưa số, đặt ẩn phụ, biến đổi tích,… - Lơgarit hóa, mũ hóa - Sử dụng bất đẳng thức, tính đơn điệu hàm số, định lý Lagrange,… Phương trình mũ lơgarit - Dạng: a x  b  a  0, a  1 Nếu b  , phương trình vơ nghiệm Nếu b  , phương trình có nghiệm x  log a b - Dạng: log a x  b ( a  0, a  ) Phương trình ln có nghiệm x  ab f  x a g x a   a  0    a    f  x   hay g  x   log a f  x   log a g  x  ,  a  0, a  1     f  x  g  x  a  1, f  x   g  x  Bất phương trình mũ lôgarit a x  m  x  log a m (với m  a  ) a x  m  x  log a m (với m   a  ) log a x  m   x  a m (với a  ) log a x  m  x  a m (với  a  ) Nếu a  : a f  x Nếu  a  : a g g  x  f  x  g  x f  x a g  x  f  x  g  x Nếu a  : loga f  x   loga g  x    f  x   g  x  Nếu  a  : loga f  x   loga g  x   f  x   g  x   L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Hệ phương trình mũ lơgarit Việc giải hệ phương trình mũ lơgarit giống giải hệ phương trình đại số rút thế, cộng đại số, đặt ẩn phụ, biến đổi tích, đánh giá, tính chất đơn điệu hàm số, … phối hợp với biến đổi biểu thức mũ lơgarit, mũ hóa, lơgarit hóa CÁC BÀI TỐN Bài tốn 5.1: Giải phương trình sau: a) 3x1  18.3 x  29  b) 27 x  12x  2.8x Hướng dẫn giải a) Đặt t  3x , t  PT: 3t  18  29 t  3t  29t  18   t  t  Giải nghiệm x  c  log3  x x  27   12  b) Chia vế cho  PT:        8 x 3x x x 3 3  3         Đặt t    , t  2 2  2   PT: t  t     t  1 t  t    t   x  Bài toán 5.2: Giải phương trình sau: a)  4x 3x x b) x x1  36 Hướng dẫn giải a) Hai vế dương, lơgarit hóa theo số 10: x log 4 log3  log      x  log  log3  log3 3 x x x b) PT: 3x x 1 x 2    x11    3.2    2 x 2 x 1 1 x 2   x   3.2 x1 1 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo  x  x 1   x  x  1  log3 Bài tốn 5.3: Giải phương trình sau: a)  cos72   cos36   3.2 x x x b) e   sin  x    4  tan x Hướng dẫn giải a) Phương trình:  2cos72   2cos36   x Vì: 2cos 72.2cos36  x 2sin 36.cos36.cos 72 1 sin 36 t Đặt t   2cos72 , t  PT: t   3   1  t  3t    t      2 1 suy nghiệm x  2 Ta có: 2cos 72  2sin18  b) Điều kiện cos x  , sin x  không thỏa mãn nên PT:  sin x cos x  e  sin x 2 cos x sin x e e   cos x sin x cos x Đặt u  sin x, v  cos x, u, v   1;1 , u.v  PT: e 2u u  e 2v v  2t   1 e   y'   t Xét y  f  t   2t    2t  e e 2t t 2t 2t , với t   1;0    0;1  suy hàm số nghịch biến khoảng  1;0   0;1 Vì u, v dấu nên u, v thuộc khoảng  1;0   0;1 PT: f  u   f  v   u  v  tan x   x    k (chọn) Bài tốn 5.4: Giải phương trình sau: L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo   a) x.2 x  x   x   2 x  b) x  x  Hướng dẫn giải a) PT: x.2x  x   x   2.2x   2x  x    x  3x    2x  x     x  1 x      x    x  x  1   x   2x  x   x  x  (Vì f  x   x  x đồng biến ¡ f    ) b) PT  2x  x   Xét f  x   x  x  , D  ¡ Ta có: f '  x   x.ln  , f ''  x   x.ln x  0, x Vậy f  x   có tối đa nghiệm mà f    f 1  nên tập nghiệm S  0;1 Bài tốn 5.5: Giải phương trình sau: 5x  x  x   x.5x  x   52 x a)     b) x  x 1  2 x  sin 2x  y    Hướng dẫn giải a) Điều kiện x  Phương trình tương đương với   1   log x  2log2 x  x  xx  x     1   1  1  1 x2    x Ta có:   x log x log x      1 log x  1  1 log x      x  1 1 log x   x  1 1 log x   x  1  1  1  1   log x  log x log x   x  1 1 log x log x a  b a  b2     a  b  ab  1    a b  ab  L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo - Nếu x    1 log x  log x  log    log x  log x   x  1: chọn - Nếu x   1 log x  log x 1  log     log x  log x.log   1       log x   x  : chọn  Vậy phương trình cho có nghiệm x  Cách khác: đặt t    1  log x   1 log x  x t  Phương trình: xt  x  t  x        b) PT: 22 x  2.2 x   2 x  sin x  y      x  1   x  1 sin  x  y  1  sin  x  y  1  cos  x  y  1    x   sin  x  y  1  cos  x  y  1  2 x  sin  x  y  1    x  cos   y  1      Vì cos x  y    sin x  y   1  - Nếu sin    y  1  1 - Nếu sin x  y   x  , vô nghiệm x Suy sin  y  1  1  y   Vậy nghiệm là: x  1, y    x   x 1    k 2   k , k   Bài tốn 5.6: Giải phương trình:   a) 1  cos x   4cos x  3.4cos x L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo  b)   sin x   2  cos x   2  cos x  2  1     cos x Hướng dẫn giải a) Đặt cos x  y; 1  y  Phương trình: 3.4 y  y 1  1  y      3.4 hay f  y   với f  y    4y y y 6.ln 4.4 y Ta có: f '  y   2   y  1, f '  y    6ln 4.4 y    y  Đây phương trình bậc hai theo y nên có khơng q hai nghiệm Theo định lý Rolle phương trình f  y   có khơng q ba nghiệm Mặt khác ta thấy y  0, y  , y  ba nghiệm f  y   Suy PT cho có nghiệm x  2k , x   b) PT:   sin x   2  cos x   k , x    2  1     cos x   2k  k  ¢    2  cos x - Nếu cos x   cos2 x  sin x ,   nên  VT    sin x  2 VP = 1     cos x      2  2 cos2 x 0 cos x  : loại - Nếu cos x  , lập luận tương tự trường hợp trên: loại - Nếu cos x  PT thỏa mãn phương trình cho có nghiệm x   k  ,k ¢ Bài tốn 5.7: Giải phương trình sau: a) 5x  x  3x  x  1  x  x  x3  x  x  16 x b) 2x  6x  3x  5x Hướng dẫn giải L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo  1 1  x  x   x3  x  x  16, x  ¡ x 2  a) Xét f  x   5x  x  3x  x    ln ln ln   x  x   12 x  x   x   f '  x   5x ln  x ln  3x ln  x ln   Nên f đồng biến f 1  nên phương trình cho có nghiệm x  b) Ta có 2x  6x  3x  5x  6x  5x  3x  2x Gọi a nghiệm phương trình có 3a  2a  6a  5a Xét hàm số f  t    t  1  t a , f  t  liên tục  2;5 a f '  t   a  t  1  a 1  t a 1  Ta có f    f  5  Áp dụng định lý Rolle a  c  1  a 1  2;5  2;5 tồn số c thuộc cho f '  c    c a 1     a   c  1 a 1  c a 1 Vì c thuộc  2;5  nên a  a  Thử lại đúng, phương trình có nghiệm x  x  Bài tốn 5.8: Giải phương trình: ln x 1 a) 6 ln x ln x2   2.3 log x  0 b) log x  3  x Hướng dẫn giải a) ĐK: x  , PT: 4.22ln x  6ln x  18.32ln x  ln x Chia hai vế cho 2 , đặt t    3 4t  t  18  Chọn nghiệm t  ln x PT:  x  e2 b) ĐK: x  , đặt t  log3 x x  4t PT: 3.3t  t  2t  4.3t  3.2t L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo t log 3 3 Vậy x      t  log 4 2 Bài tốn 5.9: Giải phương trình: x2 a) log  x   x  3   log 2 x3 b) log3 x log 27 x  log9 3x log81 27 x Hướng dẫn giải  x   x  3   x  3  a) ĐK:  x   0 x   x3 x  2   PT: log  x   x  3  log 16  x   16  x3   x2  20  x  2 (chọn) b) ĐK: x  , x  , x  , đặt t  log3 x PT: 27 22  t  t   t  3t    t  t  4  t 33  t  Suy nghiệm x  x  81 Bài toán 5.10: Giải phương trình sau: a) log1 x  x   log x   x      2log  1  log 3x 1 b) x Hướng dẫn giải a) Điều kiện  x  Đặt a  log 1  x  , b  log x Ta có 1 a  b  log 1  x   log x  log  x 1  x   log    2 4  ab2  PT: log 2  log x log 2  log 1  x   0 log 1  x  log x L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo  1 b 1 a    a  b2  a  b  a b   a  1   b  1  a  b  2   a  1   b  1   a  b  1 2  log 1  x   log x  1  x  1 Vậy nghiệm x  2 b) Điều kiện 3x    x  Đặt a  log 3, y  2x   PT: 3x  log   x  1 log3 21   y a  1   y  1 a   a  y a   1    y a a   Xét hàm số f  t   t a  1, t  PT f f f  y    y Khảo sát hàm số f  t   t  t a  t  1, t  ta suy f  t   t , t  2; f  t   t ,0  t  2; f      Suy phương trình f f f  y    y có nghiệm y  , suy x  Vậy phương trình cho có nghiệm x  Bài toán 5.11: Giải phương trình  a) log3 x  log  x     b) log3  x  x  log x Hướng dẫn giải a) ĐK: x  Ta có f  x   log3 x  log  x   hàm đồng biến nên f  x   f  3  với x  f  x   f  3  với  x  Vậy x  nghiệm b) ĐK: x  , đặt x  212 y PT: log3 1  26 y  24 y   log 26 y  log 1  26 y  24 y   y y  1  6y 4y y y    64   16            1  81   81   81  4y L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo y y y    64   16  Ta có y  thỏa mãn hàm số f  y           nghịch biến ¡ nên y   81   81   81  nghiệm nhất, PT cho có nghiệm x  212 Bài toán 5.12: Giải phương trình sau:      a) log x  x   log3 x  x   log x  x   b) log  log3  log x    log  log3  log x   Hướng dẫn giải a) Điều kiện x  Đặt t  x  x   x  x   t t t PT: log t  log3  log6  log t  log3 t  log6 t   log t 1  log3  log6 2   log t   t  Do đó: x  x    x   x2   x2  x   x2   x  : chọn Vậy nghiệm x  b) Điều kiện x  Phương trình tương đương với log  log3  log x    log  log3  log x     log3  log x    log3  log x    log3  log x    log3  2log x  2   log3  log x    log3  log x   log3   log3  log x     4log3 Từ suy nghiệm x Bài tốn 5.13: Giải phương trình sau: a)   1 log x x   1 log x  x2  b)  x   log  x  3  log3  x    15  x  1 Hướng dẫn giải a) Điều kiện 5x  x, x   L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo - Nếu xy  y  x  , ta có x x log log3    log x  1  log3 x  1  1 3x  log x.log3 x  log3 x  log x   log x  log x 3x   log x 1  1 log x log3 x 2 1 x  3 2 3 3 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm 1;1 ,  6;6  ,  ;  Bài tốn 5.31: Giải hệ phương trình sau:  y  x2 x   e y 1 a)  3log  x  y    2log  x  y     1 log y  log y   x    log3 y  log3 y x   b)  x cot x  cot y  log y  1  2  2 Hướng dẫn giải a) Điều kiện x  y   0, x  y   1 : e x x  1  e y  y  1 Xét f  t   et  t  1 , t      Ta có f '  t   et  et  t  1  et  t    nên f hàm đồng biến Phương trình f x  f y  x2  y  x   y - Nếu x  y phương trình (2) trở thành 3log3  3x    2log  3x     log3  x    log  x  1 Đặt log3  x    log  x  1  t t t  2 1 x   , x 1    1         3  3 t t t t L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Vế trái hàm số nghịch biến t  thỏa mãn nên phương trình có nghiệm t  , suy x    x  Suy y  - Nếu x   y    3log3   x   2log 2   log3   x     x   x  Suy y  3 b) Điều kiện  x, y  3, y  1,log y   x   0,log3 y x   2 : sin  y  x   log x  log y sin x.sin y Vì 3  y  x  a   3;3    ;   nên: sin a   a  0,sin a   a  Do phương trình tương đương với x  y Thay vào nên 1 : log3 x  log3 x x   log x  log x   x    log3 x  log3 x x   log3 x  log x   x   log3 x x Đặt t  log3 x x  PT: log3 x t   log3 x t t   t  1 log3 x t   log3 x t   t   log3 x x   x   x  x  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x  y  Bài toán 5.32: Giải hệ phương trình sau: e x  e x  y  y  a) e y  e y  z  z  z zx e  e  x 1  2  3 5x  y   2log  y  1  b) 5 y  z   2log  z  1  z 5  x   2log  x  1 Hướng dẫn giải a) Nếu x  1 :1  e y  y   e y  y  Bằng cách xét f  y    e y  y phương trình f  y   có nghiệm y  , x  y  z  L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo t.et Nếu x  y  0, z  Đặt f  t   t , t  hệ: e 1  x y.e y e  e y  e x  f  y   z  z.e  y  e y  f  z  e  z e 1   z x   z e  f  x  x.e e  x e 1  Ta có f '  t   et  et  t  1  e  1 t  0, t  Lập BBT f  t   1, t  f  t   1, t  nên hệ tương đương x  y  z  t , et  t   (vô nghiệm) Vậy hệ có nghiệm x  y  z  b) Điều kiện xác định: x, y, z   Xét hàm số f  t   5t g  t   2t   2log5  4t  1 , t   hai hàm số đồng biến     ;      f  x  g  y  Hệ phương trình cho viết lại là:  f  y   g  z    f  z  g  x Khơng tính tổng qt, ta giả sử x số lớn Khi x  y, x  z Do x  y  f  x   f  y   g  y   g  z   y  z  f  y  f  z   g  z   g  x  z  x  x  y  z Đưa PT: 5t  2t   2log5  4t  1 Đặt s  log5  4t  1  5s  4t  5t  2t  2s  Suy ra: 5s  5t   t  s   5t  2t  5s  2s Vì hàm số h  y   y  y đồng biến nên t  s  5t  4t  Suy phương trình có hai nghiệm t  0, t  L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  0;0;0  , 1;1;1 Bài tốn 5.33: Tìm nghiệm dương hệ phương trình:  x  y  xy  z  z  4 x  y  2z  z 1 x y  x  y    z  1 Hướng dẫn giải Đặt z  a  Hai phương trình đầu hệ viết lại là:  x  1 y  1   a  12   x  y  xy  a  2a    4 4 4    x  y  2a  x  y  2a  x y  Áp dụng bất đẳng thức:  x  1 y  1    1    x y  có:  a  1    1  2a  x  y   2 x4  y  x  y   x y Và    a  x  y  2a  có      4 suy 2a  x  y  2a nên đẳng thức bất đẳng thức phải xảy ra, tức 2a  x  y, x  y  x  y  a PT:  x  y  z 1 x  y  1   x  y  hay z   - Nếu x  y  x  y  1 z   z  2 - Nếu z  a   x  y   1 1 ; ;   2 2 Vậy hai nghiệm là: 1;1;1 ,  Bài tốn 5.34: Giải hệ bất phương trình sau:   x  y   log x  y 1  3.42 y 1   ln  ln  a)  L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo 1  2 4032 2016   20162 x  2016 x x  x b)  4030 2015  20152 x  2015x  x  x Hướng dẫn giải  a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: ln  ln x  y 1  3.42 y 1         ln x y 1.3.42 y 1  ln x3 y 2ln  ln 40  ln Do dấu = xảy nên giải nghiệm: 1 x  log 12, y  log 2 b) Đặt 2016  y 1  x2 y  y x  x y  y x    x y  y x  x y  y x   x y  y x    x y  y z  x y  y x  1   x y  y x  y ln x  x ln y  ln x ln y ln x ln 2016    x y x 2016 Đặt 2015  z    x z  x z  z x  z x Biến đổi tương tự ta được: Do hệ tương đương: Xét hàm số f  t   ln x ln 2015  x 2015 ln 2016 ln x ln 2015   2016 x 2015 ln t  ln t , t   f '  t    0, t  t t Suy hàm số nghịch biến  3;  Do đó, ln 2016 ln x ln 2015    2015  x  2016 2016 x 2015 Đây nghiệm hệ phương trình cho  Bài tốn 5.35: Cho x nghiệm PT:  2 Chứng minh x nghiệm PT:    x  x  x 1    2cos  L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Hướng dẫn giải Đặt t    x   t    t  3t   t Xét nghiệm thuộc  2;2 , đặt t  2cos  ,   0;  , Ta có: 8cos3   6cos     cos3      k   3    k 2 2 ,k ¢ Trong đoạn  0;   , có giá trị  thỏa mãn 2cos  5 7 , , , tức phương trình có ba nghiệm 2cos 5 7  , 2cos , có 2cos  nên suy t  9   x   2cos   , Bài tốn 5.36: Chứng minh phương trình:   a) x x   có ba nghiệm phân biệt b) x x 1   x  1 có nghiệm dương x Hướng dẫn giải     a) PT: x x    Xét hàm số f  x   x x   1, D  ¡     Ta có f '  x   x ln 4 x   x.4 x  x ln 4 x   x    f '  x    ln 4. x  1  x    4ln  x  x  ln  * PT (*) có biệt thức   nên có nghiệm phân biệt Từ bảng biến thiên f  x  suy phương trình f  x   có khơng q ba nghiệm phân biệt 1 2 Mặt khác: f    0, f    0, f  3 f  2   Do phương trình f  x   có ba nghiệm phân biệt: x1  0, x2   , x3   3; 2  b) Với x  , PT:  x  1 ln x  x ln  x  1 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo   x  1 ln x  x ln  x  1  Xét hàm số f  x    x  1 ln x  x ln  x  1 , x  f '  x   ln x  x 1 x x 1  ln  x  1   ln   x x 1 x 1 x x 1   f ''  x       0, x  nên f ' nghịch biến  0;  , lim f '  x   nên x  x   x  12  xx f '  x   , x Do f  x  nghịch biến ¡ nên f  x   có tối đa nghiệm Mà hàm f  x  liên tục khoảng  0;  , f    3ln  2ln  ln8  ln  f  3  4ln  3ln  ln81  ln 64   đpcm Cách khác: Xét hàm f  t   ln t ,t  t Bài toán 5.37: Cho phương trình cos x  x 1 ;sin  cos x   x  2 ;cos  sin x   x  3 Chứng minh phương trình có nghiệm  ,  ,  thỏa mãn:  ln    ln    ln  Hướng dẫn giải Xét hàm số tương ứng với PT (1) f  x   x  cos x, D  ¡ Ta có f '  x    sin x  0, x nên f hàm đồng biến Mà f    0, f 1  f hàm liên tục nên phương trình f  x   có nghiệm    0;1 Chứng minh tương tự ta có nghiệm  ,  ,    0;1 Bất đẳng thức  ln  Xét hàm số g  t     ln    ln  *  ln t  ln t ,0  t  Ta có g '  t    nên hàm số đồng biến  0;1 t t Giả sử      sin  cos    cos   cos   , vô lý nên    Giả sử      cos  sin    cos   cos   , vô lý nên    Vậy      hay ln    ln    ln   Bài toán 5.38: Chứng minh hệ phương trình L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo 2 x  y  z  10  a) 2 x3 y z  30 có nghiệm phân biệt  xyz   y  x 1 e  2016  y2 1  b)  có hai nghiệm phân biệt x e y  2017   2  x2  Hướng dẫn giải a) Xét số  x, y, z    log a,log3 b,log5 c  a, b, c hoán vị 2;3;5 Với số xyz  nên phương trình thứ ba hệ ln thỏa mãn Ta có: 2x  3y  5z  2log2 a  log3 b  5log5 c  a  b  c     10 2x.3y.5z  2log2 a.3 5log5 c  abc  2.3.5  30 log3 b Do đó, xác định thỏa mãn hệ cho Vì có tất 3! hốn vị 2;3;5 nên tương ứng có nghiệm hệ phương trình cho b) Điều kiện xác định x , y  Từ hai PT hệ, ta có e x  Xét hàm số f  t   et  f '  t   et  t x2  t t 1 x  1 t   ey  y y2 1 , t 1  nên f hàm đồng biến Do f  x   f  y   x  y Ta có PT: e x  Hàm số g  t   et  t t 1 x x2   2017   2017 , t  , ta chứng minh g  t   có hai nghiệm khoảng 1;  Bài tốn 5.39: Tìm điều kiện để phương trình: a) log32 x  log32 x   2m   có nghiệm thuộc đoạn 1;3    L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo b) log  x  3  log3  ax  có nghiệm Hướng dẫn giải a) Đặt t  log32 x  1, x  1;3    t    PT: t   t  2m    t  t  2m  Xét f  t   t  t ,1  t  2, f '  t   2t   nên f đồng biến 1;2 Điều kiện có nghiệm: f 1  2m   f  2   2m     m  b) PT: 2log3  x  3  log3  ax   x      x  3  ax, x    log3  x  3  log3  ax   x2  x   ax, x  3 x2  6x  , x  3 Xét x  : Loại Xét x  có: a  x Đặt f  x   x2  x  x2  , x  3, x  0, f '  x   , f '  x   x  x x2 BBT: x −3 f' f 0  − −   +  12 Điều kiện có nghiệm nhất: a  hay a  12 Bài tốn 5.40: Tìm điều kiện để bất phương trình: a) x   m  3 x  3m   m   log x có nghiệm b) acos x  2cos2 x có nghiệm với x Hướng dẫn giải a) BPT:  x  m  x  3   m  x  log x   x  m  x   log x   L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Để ý: f  x   x   log x, x  f ' x    nên đồng biến  0;  f    x ln Do đó, bất phương trình tương đương:  x  m, x   log x   x  m,0  x   x  m, x   log x    x  m, x    Từ suy điều kiện có nghiệm m  b) Điều kiện a  Đặt t  2cos2 x   t  Yêu cầu tốn tương đương với việc tìm a  cho at 1  t , t  0;2 Với t  bất đẳng thức không phụ thuộc a Với  t  bất đẳng thức   t  1 ln a  ln t - Nếu t  bất đẳng thức - Nếu t   0;1 bất đẳng thức  ln a  ln a  lim x 1 ln t Bất đẳng thức phải với t   0;1 nên t 1 ln t 1 t 1 - Nếu t  1;2  bất đẳng thức  ln a  ln t t 1 Bất đẳng thức phải với t  1;2  nên ln a  lim x 1 ln t  t 1 Do đó, ta cần phải có ln a   a  e Thử lại, với a  e , ta cần chứng minh t   ln t , t   0;2 Xét hs f  u   u   ln u, u   0;2 , ta có: f 'u    f ''  u   u 1  , f 'u    u  u u  nên f  u  đạt giá trị nhỏ u  u2 Ta có f  u   f 1    ln1  nên ta t   ln t , t   0;2  Vậy giá trị cần tìm a  e L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo x    x  y  x  2m Bài tốn 5.41: Tìm m để hệ  có nghiệm nhất: 2 x  y    Hướng dẫn giải Giả sử  x; y  nghiệm   x; y  nghiệm, mà hệ có nghiệm nên x  Do đó: 1   y  2m  y  1   y   2m   y  Khi y  1  m  Khi y   m  x  2  x  y  x  Đảo lại, với m  hệ:  2  x  y  Hệ không nghiệm  0; 1 , 1;0  nghiệm 1  2 x  2  x  y  x Với m  hệ:  2  x  y  Từ    x  1, y    Và 1 : y   x  x   x  x   x x x Do y  x  : nghiệm Vậy m  Bài tốn 5.42: Tìm m để hệ sau có nghiệm: x  x 1   2 x 1  2017 x  2017 7    x   m   x  2m   1  2 Hướng dẫn giải Điều kiện x  1 BPT 1 : 72 x 1 7 x2  1  2017 1  x  - Nếu x  bất phương trình thỏa - Nếu x  72 x2   0,1  x  BPT thỏa - Nếu x  72 x2   0,1  x  BPT khơng thỏa - Nếu 1  x    : m  x2  2x  x2 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo x2  2x  Xét f  x   , x   1;1 x2 Lập BBT f  x   2 nên bất phương trình có nghiệm m  2 Vậy điều kiện cần tìm m  2 BÀI LUYỆN TẬP Bài tập 5.1: Giải phương trình:  a)  15   tan x   15  tan x 8 b) 81sin x  81cos x  30 Hướng dẫn  a) Đặt ẩn phụ để ý  15 Kết x   b) Kết x      4  tan x  tan x 15 1  k , k  ¢  k x     k Bài tập 5.2: Giải phương trình sau: x 1 a)  8.4 x2 x 2 b) 3   5 x 1  53 x 4 Hướng dẫn a) Lơgarit hóa Kết x  x   log b) Lơgarit hóa Kết x   log5   4log5  Bài tập 5.3: Giải phương trình: a)    15 b)    x    x  15  2  x   13 x  4x Hướng dẫn a) Kết x  b) Chia vế cho x Kết x  L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Bài tập 5.4: Giải phương trình: a) cos x 2 cos x  cos x b) cot 2x  tan 2x  2tan x1 Hướng dẫn giải a) Đặt t  cos x ,0  t  dùng định lý Lagrange Kết x  k 2 x  b) Kết tan x      k   , từ suy nghiệm x Bài tập 5.5: Giải phương trình: a) log  x  12  log x  b) 1 log  x     log 3x  Hướng dẫn a) Đưa số Kết x  b) Đưa số Kết x  Bài tập 5.6: Giải phương trình: a) log log x  log log x  b) log x2 16  log x 64  Hướng dẫn a) Đưa số Kết x  16 b) Kết x  4, x  Bài tập 5.7: Giải phương trình:   a) log  x  log3 x b) log  cot x  tan 3x    log  tan 3x  Hướng dẫn   a) Đặt log  x  log3 x  t  x  2t x  3t Đưa phương trình  3t  2t có nghiệm Kết x  b) Kết x    k x  3  k , k  ¢ L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Bài tập 5.8: Giải bất phương trình: a)  3.2 x x x 4x b) x 4  3x 1 x 4 Hướng dẫn a) Chia vế cho x  Kết  x  b) Kết S   ;0   1;   Bài tập 5.9: Giải bất phương trình: a) ln x   ln x   3ln b) log3 x  log x Hướng dẫn a) Biến đổi tích Kết 1  17  x  2  x  1  17  x  x  3 b) Kết Bài tập 5.10: Giải hệ phương trình: 2  9 x  y  a)   log5  3x  y   log5  3x  y   2  x  y  b)   log  x  y   log3  x  y   Hướng dẫn a) Phân tích x  y   3x  y  3x  y  Kết x  1; y  b) Kết x  ;y  2 Bài tập 5.11: Tìm điều kiện m để phương trình: a) 9sin b)  x  9cos x  m có nghiệm  x   2m   x   x có nghiệm Hướng dẫn a) Đặt t  sin x,0  t  xét hàm số VT Kết  m  10 b) Kết m  m  Bài tập 5.12: Tìm tham số m để bất phương trình a) 49x  5.7 x  m  có nghiệm L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo     b)  log5 x   log5 mx  x  m có nghiệm với x Hướng dẫn a) Kết m  25 b) Đưa đánh giá tham số m bên Kết  m  L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo ... log3 x  log5 x  log5 x.log3 x  log3 x 1  log5 3  log3 x.log5 x  log3 x  hay log5 x  log5 15  x  hay x  15 Vậy hệ PT cho có nghiệm  x; y   1;1 ,  15; 15 Bài tốn 5. 26: Giải hệ... Đưa PT: 5t  2t   2log5  4t  1 Đặt s  log5  4t  1  5s  4t  5t  2t  2s  Suy ra: 5s  5t   t  s   5t  2t  5s  2s Vì hàm số h  y   y  y đồng biến nên t  s  5t  4t ... y x  5. 2 y x y Đặt a  , b  x , a, b  Ta có: 4a a  5b  5b2  4a  ab   a  b  4a  5b    a  b b L/H mua file word: 016338.222 .55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề