tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán 12 chuyên đề đồ thị tham khảo

tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán 12 chuyên đề đồ thị tham khảo

CHUYÊN ĐỀ - BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐỒ THỊ KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Sự tương giao: Cho đồ thị hàm số: y  f  x  , y  g  x  Phương trình hoành độ giao điểm: f  x   g  x   f  x   g  x   phương trình đại số, tùy theo số nghiệm mà có quan hệ tương giao Vơ nghiệm: khơng có điểm chung, nghiệm (đơn): cắt nhau, nghiệm kép: tiếp xúc, nghiệm phân biệt: giao điểm,… Chú ý: 1) Phương trình bậc 3: ax3  bx2  cx  d , a    Nếu có nghiệm x  x0 phân tích:  x  x0  Ax  Bx  C  Nếu đặt hàm số f  x   ax3  bx  cx  d điều kiện: có nghiệm: đồ thị khơng có cực trị yC Ð yCT  , có nghiệm: yC Ð yCT  , có nghiệm phân biệt: yCÐ yCT   yC Ð yCT   Phương trình bậc có nghiệm dương khi:  xC Ð , xCT  a f     2) Hai điểm nhánh đồ thị y  g  x , ta thường lấy hai hoành độ k  a k  b với a, b  xk Góc khoảng cách: xx ' yy '   r r - Góc vectơ: cos u, v  x  y x '2  y '2   r ur - Góc đường thẳng: cos   cos n, n '  - Khoảng cách AB   xB  xA    yB  y A  AA ' BB ' A2  B A '2  B '2 - Khoảng cách từ M  x0 ; y0  đến    : Ax  By  C  : d Ax0  By0  C A2  B L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo - Đồ thị hàm bậc 3: y  f  x  cắt trục hoành điểm A, B, C theo thứ tự có khoảng cách AB  BC tức nghiệm x1 , x2 , x3 lập cấp số cộng điểm uốn thuộc trục hồnh - Phương trình trùng phương ax  bx  c  0, a  có nghiệm phân biệt lập cấp số cộng  t1  t2 , t2  9t1 Tiếp tuyến tiếp xúc: - Tiếp tuyến điểm M  x0 ; y0  đồ thị  C  : y  f  x  y  y0  f '  x0  x  x0  , hệ số góc: f '  x   k  tan  x, t  - Điều kiện đồ thị y  f  x  y  g  x  tiếp xúc hệ phương trình:  f  x   g  x  có nghiệm   f '  x   g '  x  - Tiếp tuyến qua điểm K  a; b  : Lập phương trình tiếp tuyến x0 cho tiếp tuyến qua điểm K  a; b  tìm x0 Chú ý: Với hai đường thẳng d : y  ax  b, d ' : y  a ' x  b ' có: d  d ' a  a ' , b  b ' ; d / / d ' a  a ' , b  b ' ; d  d ' a.a '  1 Yếu tố đối xứng: - Hàm số chẵn: x  D   x  D f   x   f  x  Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung - Hàm số lẻ: x  D   x  D f   x    f  x  Đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc O uur - Công thức chuyển hệ trục phép tịnh tiến OI  x  X  x0  y  Y  y0  Oxy    IXY  với I  x0 ; y0  :  - Điều kiện  C  nhận I  x0 , y0  tâm đối xứng y0  f  x0  x   f  x0  x  , x0  x, x0  x  D , chuyển trục phép tịnh tiến đến gốc I nói hàm số lẻ - Điều kiện  C  nhận d : x  a làm trục đối xứng; L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo f  a  x   f  a  x  , a  x, a  x  D , chuyển trục phép tịnh tiến đến S  a;0  hàm số chẵn Quỹ tích điểm M: Tìm tọa độ x, y M, khử tham số x y Giới hạn: Chuyể ndk có tham số điều kiện x (hay y) Đặc biệt: Nếu M  x; y   V  cần tìm x rút tham số để thế, khử tham số CÁC BÀI TOÁN Bài toán 3.1: Chứng minh đồ thị hàm số y  x  2m2 x  cắt đường thẳng y  x  hai điểm phân biệt với giá trị m Hướng dẫn giải Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị là: x  2m2 x   x   x  x3  2m2 x  1   x  x3  2m2 x   Xét hàm số f  x   x3  2m2 x  Ta có f    1  f '  x   3x  2m2  nên hàm số đồng biến ¡     Vì lim f  x   lim x3  2m2 x    x  x  lim f  x   lim x3  2m2 x    x x  nên phương trình f  x   ln có nghiệm x  : đpcm Bài tốn 3.2: Tìm m để đồ thị hàm số sau cắt trục hoành điểm phân biệt: a) y  x3   2m  1 x   3m   x  m  b) y  x3  3mx  m  Hướng dẫn giải a) Cho y   x3   2m  1 x   3m   x  m     x  1  x  2mx  m     x  1 f  x   x  2mx  m   1 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Đồ thị hàm số cho cắt trục hoành ba điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác −1  m  m    '    m  1 m  2, m    m    f  1  b) D  ¡ Ta có y '  3x  3m, y '   x  m Điều kiện  Cm  cắt trục hoành điểm phân biệt đồ thị có CĐ, CT yC Ð yCT     m   m  yC Ð yCT   f  m f     m   2m m m   2m m    m  1  4m3   4m3  m2  2m     m  1  4m2  3m  1   m  (vì    16  nên 4m2  3m   0, m ) Bài tốn 3.3: Tìm giá trị m để đường thẳng  d m  qua điểm A  2;2  có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số: y  2x 1 x 1 a) Tại hai điểm phân biệt? b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị? Hướng dẫn giải Phương trình  dm  : y  m  x     mx  2m  Phương trình hồnh độ giao điểm  d m  đường cong: mx  2m   2x 1   mx  2m   x  1  x  1, x  1 x 1  mx2  3mx  2m   0, x  1 1 a) Đường thẳng  d m  cắt đường cong cho hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác −1  m  a    m  m  12    0, g     m  12 m     L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo b) Hai nhánh đường cong cho nằm hai bên đường tiệm cận đứng x  1 đồ thị Đường thẳng  d m  cắt đường cong cho hai điểm thuộc hai nhánh phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 x1  1  x2 Đặt x  t  x1  1  x2  t1   t2 Phương trình trở thành: m  t  1  3m  t  1  2m    mt  mt     ĐK phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu  P   m  Bài tốn 3.4: Tìm tham số để đường thẳng a) y  m, m  cắt đồ thị  C  hàm số y  x  3x  hai điểm A, B cho tam giác OAB vuông gốc tọa độ O b) y  3x  m cắt đồ thị  C  hàm số y  x2 điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 x1  x2 đạt x 1 giá trị nhỏ Hướng dẫn giải a) Phương trình hồnh độ giao điểm: x4  3x2   m  x4  3x2   m  Với m  đường thẳng y  m cắt  C  hai điểm phân biệt A  xA ; m  B  xB ; m  đối xứng qua Oy, xA  xB uuur uuur Tam giác OAB vuông O nên OAOB   xA xB  m2  Mà xA  xB  nên xA  m; xB  m   Do m4  3m2  m     m   m3  2m2  m    m  (vì m  ) b) Phương trình hồnh độ giao điểm: x2  3x  m  x   m  3 x  m  0, x  x 1 Điều kiện có nghiệm phân biệt khác 1:   m  2m      : Đúng m   g         L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Ta có: x1  x2  b   b      2a 2a m  2m    4  m  1 8  2 Vậy giá trị x1  x2 nhỏ m  1 Bài tốn 3.5: Tìm giá trị m cho a) Đồ thị hàm số y  x   m  1 x  m cắt trục hoành bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài b) Đường thẳng d : y   x  m cắt  C  : y  2x 1 hai điểm A, B mà AB  10 x 1 Hướng dẫn giải a) Hoành độ giao điểm đường cong trục hồnh nghiệm phương trình: x   m  1 x  m   x  x  m Điều kiện m  m  Khi đó, phương trình có nghiệm x  1, x  1, x   m , x  m Đường cong cắt trục hoành điểm tạo thành ba đoạn thẳng khi: m m  1  m  m  (chọn) b) Phương trình hồnh độ giao điểm d  C  :  2x 1  x   m  1 x  m    x  m   x 1  x  Đường thẳng d cắt  C  điểm A, B phân biệt phương trình có nghiệm x1 , x2 phân biệt khác   m  6m   m     m  1   m  1     m  1  0, m  1   m  1  m   Khi A  x1;  x1  m  , B  x2 ;  x2  m  x1  x2  m  1; x1.x2  m  L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Ta có AB  10   x2  x1    x2  x1   10   x2  x1   2   x1  x2   x1 x2    m  1   m  1   2  m   1  m  (thỏa mãn)   m   m  Vậy m  hay m  x  3x Bài toán 3.6: Chứng minh đường thẳng d : y  m  x cắt đồ thị  C  : y  điểm M, N x 1 cắt tiệm cận  C  P, Q đồng thời hai đoạn MN, PQ có trung điểm Hướng dẫn giải Phương trình hồnh độ giao điểm d  C  : x  3x  m  x  x   m   x  m  0, x  x 1 Ta có x  khơng nghiệm   m2  16  , m nên d cắt  C  điểm phân biệt M, N x  3x  x2 Ta có y  nên TCĐ: x  , TCX: y  x  x 1 x 1 Do xP  , hồnh độ giao điểm Q d với TCX: m  x  x   xQ  xP  xQ m  xM  xN m2   Do : đpcm 2 2 Bài tốn 3.7: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: a) y  x  biết tung độ tiếp điểm y0  b) y   x3  x  3x  song song với d : y  x9 Hướng dẫn giải   a) Ta có phương trình tiếp tuyến điểm x0 , f  x0  : y  f '  x0  x  x0   f  x0  Vì y0   x    x0  L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo f ' x  1 nên f '  x0   x2 Thế vào: y  1  x  2   x  4 b) y '   x  x  Đường thẳng d có hệ số góc k  Tiếp tuyến song song với nên y '   x  16 x  15   x0   3   x2  4x   4 x0   2 Với x0   29 37 f  x0   nên có tiếp tuyến y  x  24 12 Với x0   3 f  x0    nên có tiếp tuyến y  x  4 Vậy có tiếp tuyến y  3 37 x  y  x  4 12 Bài toán 3.8: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị: a) y  x3  x  có hệ số góc bé b) y  f  x  thỏa mãn f 1  x   x  f 1  x  x  Hướng dẫn giải a) Ta có hệ số góc tiếp tuyến đạo hàm y '  x  12 x  6   x  1  6 , dấu = x0  nên max y '  6 , tiếp tuyến A 1; 1 y  6 x  b) Lấy đạo hàm vế, ta có: f 1  x  f ' 1  x    f 1  x  f ' 1  x  Thế x  : f 1 f ' 1   f  x  f ' 1 * Thế x  vào f 1  x   x  f 1  x   f 1   f 1  f 1 1  f 1    f 1  f 1  1 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Với f 1  * :  (loại) Với f 1  * : 4 f ' 1   f ' 1  f ' 1  Vậy phương trình tiếp tuyến y   1  x  1 Bài tốn 3.9: Viết phương trình tiếp tuyến  C  hàm số: a) y  x3 biết khoảng cách từ tâm đối xứng  C  đến tiếp tuyến 2 x 1 b) y  x3  3x  biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy điểm phân biệt A, B cho OB  9OA Hướng dẫn giải a) Ta có y '   x  1 , x  1 Phương trình tiếp tuyến d M  x0 ; y0    C  , x0  1 y  x0  1  x  x0   x0  x0   x   x0  1 y   x02  x0  3  nên 4   x0  1   x02  x0  3 d  I ,   2  16   x0  1 2 2 2   x0  1   x0  1  16    x0  1  4     x0    x0  1     x0  3 Với x0  ta có phương trình tiếp tuyến y  x  Với x0  3 , ta có phương trình tiếp tuyến y  x  b) Ta có y '  3x  x Tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy điểm phân biệt A, B cho OB  9OA nên hệ số góc tiếp tuyến d là: L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo k  tan OAB   OB  9 OA Do y '  9  3x  x  9  x2  x    x0  1    x  x   VN   x0  Với x0  , phương trình d y  x  Với x0  , phương trình d y  x  25 Bài toán 3.10: Viết phương trình tiếp tuyến  C  hàm số: y  tuyến tạo với hai trục tọa độ thành tam giác có diện tích S  x 1 điểm M có hồnh độ âm, biết tiếp x2 Hướng dẫn giải Ta có y '  3  x  2 ,x  Tiếp tuyến d với  C  M  x0 ; y0  , x0  d:y 3  x0    x  x0   x0  x0  Gọi A, B giao điểm d với Ox Oy  x02  x0    x02  x0    Ta có A ;0  , B  0;  x0       S 1 1 x02  x0  x02  x0   OA.OB    6  x0    x02  x0   x0  1  x0     x0  3x0    x0  4  x0  Chọn x0  nên có hai tiếp tuyến là: d1 : y   1  x  1 ; d2 : y   x  12 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Xét điểm A  0;1   C  d  nên d  , xét điểm có: x  , x 1  nên x 1  x  , đó: x 1 2  x 1  2   x  1   2  2 x 1 x 1 x 1 d  x Dấu = xảy x   2   x  1   x  1  x 1    Vậy có điểm M 1  2;1  , M ' 1  2;1   x2  Bài tốn 3.32: Tìm điểm M thuộc đồ thị  C  : y  có tổng khoảng cách đến trục bé x2 Hướng dẫn giải  Gọi M  x;  x2   x2  tổng khoảng cách đến trục d  x   , x  C    x2  x2   3 2 Xét điểm A  0;    C  d  3 , d  nên xét điểm có hồnh độ x  2 x2  x2   nên d  x  Khi x2 x2 Nếu  x  x2  x2  8x  , f ' x   d  f  x   x  x2  x  2 f ' x    x   Lập BBT d  f    Nếu  x2  1 , g ' x   0  x  d  g  x    x  x2  x  2     Do g nghịch biến   ;0   g  x   g    So sánh d   3 M  A  0;   2 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Bài tốn 3.33: Tìm hai điểm nhánh đồ thị  C  : y x2  x  có khoảng cách bé x2 Hướng dẫn giải Hàm số y  x2  x  1  x 1 ,x  x2 x2   Gọi A   a;3  a  1  1  , B   b;3  b   điểm thuộc nhánh với a, b  Ta có: a  b 2 1   2   BA   a  b    a  b      a  b  1  1    a b    ab   2   2    a  b    2   4ab    2 ab a b  ab a b         2ab     4.2 ab   Dấu = xảy a  b 2ab   Vậy A    1 ab ab 1    ;3    B   ;3    2 2 2  Bài toán 3.34: Tìm điểm M thuộc  P  : y  f  x   3x  8x  N thuộc  P ' : y  g  x   x  x  13 cho MN bé Hướng dẫn giải Ta có khoảng cách MN bé tiếp tuyến M N song song với chúng vng góc với đoạn MN Gọi M  x; f  x   , N  x1; g  x1   f '  x   g '  x1   6 x   x1   x1  3x   Do MN  36 x  192 x3  392 x  352 x  121  h  x   Ta có h '  x   64 x3  36 x  49 x  22  L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo  64  x  1  x  27 x  22  h '  x    x  Lập BBT h  x   h 1  Khi M 1;4  , N  3; 2  ; kiểm tra MN vuông góc với tiếp tuyến M, N: Vậy M 1;4  , N  3; 2  Bài toán 3.35: Chứng minh đồ thị  C  : a) y  x2  2x  có tâm đối xứng x3 b) y  x  x3  x có trục đối xứng Hướng dẫn giải nên  C  có TCĐ: x  TCX: y  x  , giao điểm tiệm cận I  3;4  x 3 uur  x  X  Chuyển hệ tọa độ phép tịnh tiến theo vectơ OI :  Thế vào  C  được: y  Y  a) Ta có y  x   Y   X  1 5 Y  X  X 33 X Vì Y  F  X   X  hàm số lẻ  đpcm X  b) y '  x3  12 x  x  x x  3x   y '   x  2 x  1 x  uur x  X 1 Thế hàm số: y  Y   Xét điểm I  1;1 Chuyển hệ trục phép tịnh tiến theo vectơ OI :  Y    X  1   X  1   X  1  Y  X  X hàm số chẵn  đpcm Bài tốn 3.36: Tìm hai điểm E, F thuộc đồ thị hàm số y  x2  x  đối xứng qua điểm x 1  5 I  0;   2 Hướng dẫn giải Ta có y  x   Gọi E  x1; y1  , F  x2 ; y2  theo đề bài: x 1 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo  x1  x2   x1  x2  x  x     4   y1  y2   x1 x2  9  x1  x2   x   x    Do x1   x2 , x12  9 nên E  3; 2  F  3;7  x2  2x  Bài tốn 3.37: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y  đối xứng qua đường thẳng x 1 d : y  x  Hướng dẫn giải Xét đường thẳng d ' vng góc với d d ' : y   x  b PT hoành độ giao điểm d '  C  : x2  x    x  b, x  x 1  x   b  3 x   b  Điều kiện    b  3    b   b2  2b   Hoành độ giao điểm I d d ' : x    x  b  xI  I trung điểm đoạn AB: xI   b3 x A  xB b3 b3   b  (chọn)  Vậy A    14 14   14 14  ;6  ;6  , B 3   2   2  x2   m  2 x  m Bài tốn 3.38: Tìm m để đường thẳng y   x  cắt đồ thị hàm số y  hai điểm đối x 1 xứng qua y  x Hướng dẫn giải Điều kiện PT hồnh độ giao điểm có nghiệm phân biệt khác −1: x2   m  2 x  m   x   x   m   x   m  1 x 1 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo   2  1   m     m  m   Đk:        m      m   m  11  104 hay m  11  104 Gọi x1 , x2 hồnh độ hai giao điểm, ta có x1 , x2 nghiệm (1) theo định lí Viet: x1  x2   m7 Hai giao điểm đối xứng qua đường thẳng y  x vng góc với đường thẳng y   x  nên tung độ hai giao điểm x2 , x1 Do x2   x1   x1  x2  4  m    m  (thỏa mãn) Bài tốn 3.39: Tìm cặp điểm ngun  C  : y  x3  x  đối xứng với qua đường thẳng y  x khơng nằm đường thẳng Hướng dẫn giải Nếu gọi A  x; y  điểm đối xứng A qua đường thẳng y  x có tọa độ  y; x  Vì u cầu tốn tương đương với việc tìm nghiệm nguyên  x; y  với x  y hệ phương trình  y  x3  x    x  y  y    nên  x  y  x  xy  y    x  xy  y  Phương trình x  xy  y  có nghiệm nguyên x  y  2; 1 ,  1;2  ,  2;1 , 1; 2  Thử lại vào hệ, ta chọn nghiệm  2; 1 ,  1;2 Vậy cặp điểm nguyên đối xứng với qua đường thẳng y  x không nằm đường thẳng  2; 1  1;2  Bài toán 3.40: Cho f  x  hàm đa thức bậc Chứng minh đồ thị f  x  có trục đối xứng x  a khi: f '  a   f '''  a   Hướng dẫn giải Ta khai triển f  x  theo x  a : f  x   a4  x  a   a3  x  a   a2  x  a   a1  x  a   a0 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo f   a đó:  nên đồ thị đa thức f  x  có trục đối xứng x  a i! g  x   f  x  a  hàm số chẵn: i  f  3  a  0  a3   3!  f '  a       1  a1   f '''  a    f a   1!  Mở rộng cho đa thức bậc chẵn 2m mà đồ thị có trục đối xứng x  a f '  a   f '''  a    f  m1 a  Bài tốn 3.41: Tìm điểm cố định của: x   m   x  6m  a) Các đồ thị y  x2 b) Các đường thẳng qua CĐ, CT đồ thị: y  mx3  3mx   2m  1 x   m Hướng dẫn giải a) Gọi M  x0 ; y0  tọa độ điểm mà đồ thị qua m Ta có y0   x0  m, m   x02  1 m  y0  x02  x0  0, m   x0  1, y0   x0       x0  1, y0   y0  x0  x0 Vậy đồ thị có hai điểm cố định M 1;0  M '  1;0  b) y '  3mx2  6mx  2m  1,    m  m  Ta có y  y x 1  2m 10  m y ' x nên đường thẳng qua CĐ, CT là: 3  2m 10  m m x  10 x    x  1  3 3     Suy đường thẳng qua CĐ, CT qua điểm cố định A   ;3  Bài tốn 3.42: Tìm điểm M mà đồ thị sau không qua L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo a) y  mx  x 9   b) y  x3  3mx  2m2  x  m2  5m  với M thuộc d : x  Hướng dẫn giải a) Gọi M  x0 ; y0  điểm mà đồ thị không qua: y0   x0  mx0  , m   x0   x0  9, mx0   y0  x0   , m  x0  Vậy tập hợp điểm cần tìm đường thẳng: x  x  , bỏ điểm A  0; 1  x  0, y    b) Gọi M 1; y   d điểm cần tìm: y   3m  2m2   m2  5m  1, m  3m2  8m  1  y      16  1  y    y   Vậy điểm cần tìm M 1; y  với y   13 13 Bài toán 3.43: Chứng minh đồ thị y  1  m  x3  1  m  x  4mx  m qua điểm cố định thẳng hàng Hướng dẫn giải Gọi M  x0 ; y0  điểm cố định đồ thị: y0  1  m  x03  31  m  x02  4mx0  m, m  y0   x03  3x02  x0  1 m  x03  3x02 , m   x0  3x0  x0      y0  x0  3x0 1 (2) Ta chứng minh (1) có nghiệm phân biệt Xét hàm số f  x   x3  3x  x  f liên tục ¡ , ta có f  6   85  , f  1   , f    1  , f    11  nên (1) có nghiệm phân biệt thuộc khoảng  6; 1 ,  1;0  ,  0;2  L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Từ 1  x03  3x02  x0  nên    y0  x0  Vậy điểm cố định thẳng hàng đường thẳng y  x  Bài toán 3.44: Chứng minh đồ thị hàm số y   m  1 x  m , m  tiếp xúc với đường thẳng cố xm định điểm cố định Hướng dẫn giải Gọi M  x0 ; y0  điểm cố định: y0   m  1 x0  m , m  x0  m   m  1 x0  m  y0  x  m  , x0  m, m    x0   y0  m  x0 1  y0   0, x0  m, m   x0  0, y0  1 Ta có y '  m2  x  m , x  m  y '    1 Vậy đồ thị luôn tiếp xúc điểm cố định M  0; 1 , có tiếp tuyến chung y   x  Bài toán 3.45: Trên đồ thị  C  hàm số y   x3  3x  có cặp điểm mà tiếp tuyến có hệ số góc p, chứng minh trung điểm đoạn thẳng nối cặp điểm điểm cố định Hướng dẫn giải Tiếp tuyến với  C  có hệ số góc p, hồnh độ tiếp điểm nghiệm phương trình: y '  p  3x  x  p  3x  x  p  1 '   3p   p  Với p   C  có tiếp tuyến song song với hệ số góc p Gọi x1 , x2 nghiệm (1), với tiếp điểm M1 , M trung điểm M1M có hồnh độ: xI  x1  x2 1  yI  Vậy trung điểm M1M điểm cố định I 1;0  Bài tốn 3.46: Tìm điểm mặt phẳng cho có hai đường họ  Cm  : y   x  mx  m2 xm qua Hướng dẫn giải L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Giả sử  x0 ; y0  điểm mặt phẳng mà có hai đường cong  Cm  qua Khi phương trình sau có hai nghiệm phân biệt  x02  mx0  m2 y0   m2   x0  y0  m  x0  x0  y0   x0  m Điều kiện     x0  y0  y0  3x0   Vậy điểm cần tìm có tọa độ  x0 ; y0  thỏa mãn quan hệ  x0  y0  y0  3x0   Bài tốn 3.47: Tìm quỹ tích tâm đối xứng đồ thị  Cm  : a) y   m  1 x  m b) y  mx  6m   xm xm Hướng dẫn giải a) D  ¡ \ m Ta có Ta có lim y  lim x  x  lim  y  , lim  y   nên TCĐ: x  m với m  x   m  x   m   m  1 x  m  m  nên TCN: xm y  m 1 uur  x  X  m Thế vào  y  Y  m 1 Giao điểm tiệm cận I  m; m  1 , chuyển hệ trục theo phép tịnh tiến OI :   Cm  được: m  1 X  m   m  m2 Y  m 1  Y  X  X  m  m m2 hàm số lẻ nên  C  có tâm đối xứng I có tọa độ x  m ; y  m  Khử tham X số m quỹ tích tâm đối xứng đường thẳng d : y   x  1, x  Ta có Y  F  x   b) Đồ thị  Cm  : y  mx  6m   , x  m có TCĐ: xm x  m TCX: y  mx  6m  nên giao điểm I  m; m2  6m  1 uur Chuyển hệ trục phép tịnh tiến OI tâm đối xứng I có tọa độ: x  m , y  m2  6m  Khử tham số m quỹ tích tâm đối xứng parabol  P  : y  x  x  L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Bài tốn 3.48: Tìm quỹ tích điểm: x  2mx  3m  a) Cực đại đồ thị y  x 1   b) Cực tiểu đồ thị y  x3  3mx  m2  x  m3  3m Hướng dẫn giải a) D  ¡ \ 1 , y '  x  2mx  3m  ,'  m  x 1 Điều kiện có cực trị   0,1   m    m  , hoành độ cực trị x   m  Lập BBT điểm cực đại A: x   m  4, y  f  x  Ta có x   m   m   1  x   P  : y  2x  6x  10 ,  vào y quỹ tích điểm cực đại thuộc x   m   nên giới hạn x   b) D  ¡ , y '  3x  6mx  m2  Vì  '   , m nên đồ thị ln có CĐ, CT có hồnh độ x  m  Lập BBT điểm cực tiểu B : x   m; y  f 1  m   2 Vậy quỹ tích điểm cực tiểu đường thẳng d : y  2 x2  x  Bài toán 3.49: Với giá trị m đường thẳng y  m  x cắt đồ thị y  hai điểm phân x 1 biệt A, B Khi đó, tìm tập hợp trung điểm M đoạn AB Hướng dẫn giải PT hoành độ giao điểm: x2  x   m  x  3x   m   x  m   0, x  x 1 Vì x  khơng phải nghiệm nên đường thẳng cắt đường cong cho hai điểm phân biệt khi:    m    12  m  1   m2  8m    m   m   Hoành độ trung điểm M đoạn thẳng AB là: xM  xA  xB m   Vì điểm M nằm đường thẳng y  m  x nên yM  m  xM L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Khử m, ta có m  xM  nên yM  xM   xM  5xM  Vậy tập hợp điểm M nằm đường thẳng y  5x  Giới hạn: m    x     x   m   6  6x     x   Bài toán 3.50: Tim quỹ tích điểm thuộc trục tung mà từ vẽ tiếp tuyến với đồ thị y x2  x  x 1 Hướng dẫn giải Ta có D  ¡ \ 1 , y '  y x0  x0    x0  1  x  1  x  x0   Cho x  y  Xét f  x   x  x  2 nên phương trình tiếp tuyến điểm M có hồnh độ x0  x02  x0  x0  x0   x0  1 2x 1  x  1 2 , x  f '  x   2 x  x  1 Cho f ' 1   x  Bảng biến thiên x  − y' y 0  − +   −1 Do y  1 , nên quỹ tích điểm thuộc trục tung cần tìm B  0; y  với y  Bài toán 3.51: Tìm quỹ tích điểm mà từ vẽ tiếp tuyến đến  C  : y  x   x mà tiếp x 1 tuyến vng góc với L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Hướng dẫn giải Gọi M  a; b  , phương trình đường thẳng d qua M có hệ số góc k: y  k  x  a   b Điều kiện d tiếp xúc  C  hệ sau có nghiệm x  1   x 1  x 1  k  x  a  b  x      1  x 1 k    x  1 Do  k  x  a  b x 1  k  x  1 x 1 2  k 1  a   b    k 1  a   b   k x 1 Ta có phương trình bậc theo hệ số góc k: g  k    a  1 k   1  a  b   k  b   0, k  Yêu cầu toán: a  1, k1k2  1, g 1   a  1, b2     a  1 ,  a  1   1  a  b    b2   2   a  1  b2  4, a  1, a  b  Vậy quỹ tích điểm cần tìm đường tròn     x  1  y  bỏ điểm A 1;2 , B 1; 2 ,  C  2; D  2;  BÀI LUYỆN TẬP Bài tập 3.1: Tìm m để đường thẳng a) y  2 x  m cắt đồ thị hàm số y  x2  x  hai điểm phân biệt A, B cho trung điểm đoạn x thẳng AB thuộc trục tung b) y  m cắt đồ thị y  x  x  điểm phân biệt có hồnh độ tạo thành cấp số cộng Hướng dẫn a) Phương trình hồnh độ giao điểm 3x  1  m  x    x  0 Vì a, c trái dấu nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác với m Hoành độ trung điểm I AB: x1  x1  x2 m   L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Kết m  b) Kết m  41 25 Bài tập 3.2: Tìm m cho đường thẳng a) y  m  x    cắt đồ thị hàm số y  x2   C  hai điểm thuộc hai nhánh x x2  b) y   x  m cắt đồ thị hàm số y  hai điểm phân biệt A, B cho AB  x Hướng dẫn a) Phương trình hồnh độ giao điểm có nghiệm dấu Kết m  b) Kết m  2 Bài tập 3.3: Cho hàm số y  x có đồ thị  C  Tìm tọa độ điểm M thuộc  C  cho tiếp tuyến  x  3  C  M cắt hai trục tọa độ Ox, Oy hai điểm A, B diện tích tam giác OAB Hướng dẫn Các tiếp điểm x0   3 , x0    Bài tập 3.4: Cho hàm số y  f  x   cos2 x  m sin x Tìm m để hai tiếp tuyến x    x   song song trùng Hướng dẫn   32     m  Kết  f '    1  4 3 Điều kiện f '   Bài tập 3.5: Tìm m để đồ thị y   2m  1 x  m2  tiếp xúc với đường phân giác góc phần tư thứ x 1 Hướng dẫn Đường phân giác góc phần tư thứ y  x Điều kiện đồ thị y  f  x  y  g  x  tiếp xúc hệ phương trình: L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo  f  x   g  x  có nghiệm Kết m    f '  x   g '  x  Bài tập 3.6: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị a) y   x  x  điểm uốn b) y   x3  3x có hệ số góc lớn Hướng dẫn a) y '  4 x3  x, y ''  12 x  Kết y   3 x 7 y  x 3 3 b) Kết y  3x  x  2m x  m Bài tập 3.7: Tìm m để đồ thị hàm số y  có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc O x 1 Hướng dẫn Điều kiện f   x    f  x  có nghiệm x  x  1 Kết m   1 m  , m  1 2 Bài tập 3.8: Tìm hai điểm nhánh đồ thị  C  : y  2x  có khoảng cách bé x 1 Hướng dẫn    Kết A  5;2  , B  5;2   Bài tập 3.9: Tìm điểm mà đồ thị không qua: y  x3   m  1 x   m2  3m  x    2m  m2  Hướng dẫn Kết đường thẳng x  , bỏ điểm A 1;7  điểm M  x; y  cho  x  1  x  1 x  2   x3  x   y     Bài tập 3.10: Tìm điểm M đồ thị  H  : y  4x  có tổng khoảng cách đến tiệm cận bé x 3 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Hướng dẫn Kết M  0;1 M  6;7  Bài tập 3.11: Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số: y  x3  mx  m  , giao điểm với trục Oy, tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Hướng dẫn Kết m  hay m  3  2 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo ... 1 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11 -12, sách tham khảo Đồ thị hàm số cho cắt trục hoành ba điểm phân...  m  12    0, g     m  12 m     L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11 -12, sách tham khảo b)... 1 ; d2 : y   x  12 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11 -12, sách tham khảo Bài toán 3.11: Viết phương