Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 Chuyên đề Dãysố

Trang 1

Dãy Số Viết theo quy luật : Tính các tổng sau I A=l1+2+22+21+2f+2?+25+27+2#+29+2!9 2.B=I+3+32+33+32+ +43!9 Giải : 1 2A=2+22+21+ +2!9+2!!, Khi đó:2A— A=2"—1 2 3B=3+37+3})+ +3!9+3!! Khi đó: 3B—B=2B=3'9'—1 gi01_4 Vay B= 5

Ta nghĩ tới bài toán tống quát là :

Tinh tong S=1+at+at+a't ta",aiZ,a>lva nuZz

Nhan 2 vé cia S voiatacé aS=ata+aeta't ta" ta" Roi trir cho S ta được : lạn†1_ 1| aS—S=(a—1)S=a"*—I Vậy: | +a+a?+a°+ +a” = a-1i Từ đó ta có công thức : ga I=(a-I)(l+a+a°+a`+ +a") Bài tập áp dụng : Tớnh cỏc tông sau: a)A=l+7+7?+7+ +7 b)B=lI+4+4 '+4'+ +4e

c) Chứng minh rằng : 14'*~ 1 chia hết cho 3

d) Ching minh rang: 2009° — 1 chia hét cho 2008 [Bai todn 2 :| Tính các tong sau

1) A=14+374+344+394+384 431

2)B=7+7+71+77+7?+ +7

Giải :

1) A=14374+3°4+3°4384 4+3' Vấn đề đặt ra là nhân hai về của A với số nào để khi trừ cho A thì một loạt các lũy thừa bị triệt tiêu ?.Ta thấy các số mũ liền nhau

cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai về với 3, rồi trừ cho A ta được :

3?A= 374.344 35438 4 + 3100 4 3102 A=1437°4+344+3°4+38+ 4+31

; 3ŸA—A=3”—1 Hay A(3Ÿ—1)=3”°—1 Vậy A=(3'"-1):8 Từ kết quả này suy ra 3'” chia hét cho 8 `

2 ) Tương tự như trên ta nhân hai về của B với 7” rồi trừ cho B, ta được :

7B=7?Ì+7Ì+77+77+ + 77+ 700 B=7+7+7+71+7?+ +7

7B-B=7''~7, hay B(7ˆ-1)=7'"!~7 Vậy B=(7''—7):48 Tương tự như trên ta cũng suy ra 7'”'— 7 chia hết cho 48 ; 7'°°- 1 chia hết cho 48 Bài tập áp dụng : Tính các tông sau :

A=2+21+21+27+2+ +2»

B=I+22+21+29+21+2" + +2

Trang 2

Oguyén Oiét Cuong Qrường FICS Phiie Doug

(eee eee

— D=13 +139 +13°+ 137+ 13° + + 13”

Tong quot : Tonh *

b) S,=l+a° +a +a°+ +a”, voi (a22, nEN)

c) S)=atatat ta”" với(a>2, neN”) Bài tập khác : Chứng minh rằng : a A= 2+2?7+2`+21+ + 2” chia hết cho 21 va 15 b B= 1+3+3”+3`°+3'+ +3”' chia hết cho 52 c C= 5+52+5`+5†+ +5!” chia hết cho 30 và 31 [Bai toon 3 :| Tớnh tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 +9.10 Lời giải l :

Nhận xột : Khoảng cỏch giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng là 1 Nhõn 2 về của A với 3 lần khoảng cỏch này ta được : 3A=3.(1.2+2.3+3.4+4.5 +5.6 +6.7+7.8 + 8.9+9.10) = 1.2.03 - 0) +2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + 5.6.(7 - 4) + 6.7.(8 - 5) + 7.8.9 - 6) + 8.9.(10 - 7)+9.10.(11 - 8) = 1.2.3 - 1.2.3+2.3.4-2.3.4+ 3.4.5- + 8.9.10 - 8.9.10+9.10.11 =9.10.11= 990 A = 990/3 =330

Ta chỳ ý tới đỏp số 990 = 9.10.11, trong đú 9.10 là số hạng cuối cựng của A và 11 là số tự nhiờn kể sau của 10, tạo thành tớch ba số tự nhiờn liờn tiếp Ta có kết quả tổng quát sau : A=I.2+2.3+ +(n- IL).n = (n - I).n.(n + L)⁄3 | Lời giải khỏc : Lời giải 2 : 3.A=3.(12+2.3+3.4+ 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.0 + 9.10) =3.(0.1+1.2+2.3+3.4+ 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.0 +09.10) =[1.(0+2)+3.(2+4)+5.(4+6)+ 7.(6 +8) + 9.(8§ + 10)].3 =3.(1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + 7.7.2 +9.9.2) = (1?+3?+ 5?+ 7?+ 9”).2.3 =(1?+3?+5+7?+9?).6 = 990 =9.10.11

Trang 3

Theo cỏch tớnh A của bài toỏn 2, ta được kết quả là : C = 10.11.12/3 Theo cách giải 2 của bài toỏn 2, ta lại có : C=12+23+3.4+4.5+5.6+6.7+7.8+8.9+9.10+10.11 =(1⁄2+2.3) + (3.4 +4.5) + (5.6 + 6.7) + (7.8 + 8.9) + (9.10 + 10.11) =2(1+3)+4(3+5)+6(5+7)+8(7+9)+10(9+ 11) =2.4+48+ 6.12 + 8.16 + 10.20 =2.2.2 + 2.4.4 + 2.6.6 + 2.8.8 + 2.10.10 =2.22+2.4”+2.6?+ 2.8” + 2.10”= 2.( 2” + 4” + 6” + §” + 10”) Vậy C =2.(2 + 4° + 6 + 8° + 107) = 10.11.12/3 Tir dé taco: 2° + 4° + 6° +8°+ 10°= 10.11.12/6 Ta lại cú kết quả tổng quỏt là : |2+ 47 + 6? + + (2n)”= 2n.(2n + 1).(2n + 2)/6 | Bài tập áp dụng : 1 Tớnh tổng : 20° + 22” + + 487 + 50° 2 Cho n thuộc N* Tớnh tổng : nh +(n+2)“+(n+4)”+ + (n + 100)”

Trang 4

Oguyén Oiét Cuong Qrường FICS Phiie Doug

B=-1°+2?-3°+4?- - 19° +20",

Gợi ý:

Tỏch B =(2?+4?+ +20?)— (12+ 3ˆ + + 192) ; tớnh tổng cóc số trong mỗi ngoặc đơn rồi tỡm kết quả của bài toỏn

[Bài toán 3| Tính : A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + + 97.99

Nhân xột : Khoáng cóch giữa hai thừa số trong mỗi số hạng là 2 , nhõn hai về của A với 3 lần khoảng cỏch này ta được : 6A = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + + 97.99.6 = 1.3.5 + 1) + 3.5.(7-1) + 5.79-3) + + 97.99(101 - 95) =1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + + 97.99.101 - 95.97.99 =1.3.5 + 3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + + 97.99.101 - 95.97.99 =3 + 97.99.101 1+Ø7.33.101 A= an 161 651

Trong bài toán 2 ta nhan A voi 3 Trong bài toán 5 ta nhân 4A với 6 Ta có thể nhận thầy đê làm xuât hiện các hạng tứ đôi nhau ta nhân A với 3 lan khoảng cách k giữa 2 thừa sô trong môi hạng tử

Tớnh A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10

Lời giải :

Trở lại bài toỏn 2 mỗi hạng tử của tổng A cú hai thừa số thỡ ta nhõn A với 3 lần

Trang 5

154+ 95.97.99.101

A= «= 1517 600

Trong bài 6 tanhain A với 4 (bỗn lần khoảng cách) Ti rong bài 7 ta nhân A với 8 (bỗn lần khoáng cách) vì mỗi hạng tử của A cũng có 3 thừa số Tính A=1.2 + 3.4 + 5.6 + + 99.100 A=2 + (2+1)4 + (4+ 1)6 + + (98 + 1).100 =2 + 24+4 + 46+6+ + 98.100 + 100 =(24+ 46+ + 98.100) + (2+ 4+6+§+ + 100) = 98.100.102 : 6 + 102.50:2 = 166600 + 2550 = 169150 Cách khác : A=lL@ - l) + 3 - l) + 57 - 1)+ + 99(101 - 1) =1.3 - I+ 3.5 - 3 + 57 - 5 + + 99.101 - 99 =(13 + 3.5 + 5.7 + + 99.101) -(1+3+5+7+ + 099) = 171650- 2500 = 169150

Trong bài tốn này ta khơng nhân A với một số mà tách ngay một thừa số trong mỗi số hạng làm xuất hiện các dãy số mà ta đã biết cách tính hoặc dễ dàng tính được

Trang 6

Oguyén Oiét Cuong Qrường FICS Phiie Doug

7 Tính E=1,3°+3.5°+5.77+ +49.51° § Tính F=1.992+2.98?+3.972+ +49.517

Tính tổng S = 13 +23 +33 +43 +53 + + n2

Lời giải :

Trang 8

Oguyén Oiét Cuong Qrường FICS Phiie Doug

Bài toán I Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100

Để tính A ta biến đổi A để xuất hiện các hạng tử đối nhau Muốn vậy ta cần tách một thừa sô trong môi hạng tử thành một hiệu : a=b - c 3A =1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + .+ 99.100.3 = 1.2.3 + 2.3.4 - 1) + 3.4.5 - 2) + + 99.100 (101 - 98) =1.2.3 + 23.4 - 1.2.3 + 3.4.5-2.3.4 + + 99.100.101 - 98.99.100 =99.100.101 => A =33.100.101 = 333 300 2) Một số dãy số dễ dàng tính được I+2+3+*+ +n a+ (a + k) + (a + 2k) + + (a+ nk) k là hằng số

ID) Khai thác bài toán 1

Trang 9

1+97.33.101 2

=> A=

= 161 651

Trong bài toán | ta nhân A với 3 (a = 3) Trong bài toán 2 ta nhân A với 6 (a =6) Ta có thể nhận thấy để làm xuất hiện các hạng tử đối nhau ta nhân A với 3 lần khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi hạng tử

Trang 10

(quên (0iê† Cuong Cường ©7200 !ƒ)luúc Dong A= 15+95.97.99.101

8 = 11517 600

Trong bài 3 ta nhân A với 4 (bốn lần khoảng cách) Trong bài 4 ta nhân A với § (bốn lần khoáng cách) Như vậy để giải bài toán dạng Y n(n+ k)(n+2k) ta nhan voi 4k (4 lần khoảng cách) sau đó tách " 4kn(n + k)(n + 2k)=n(n + k}(n + 2k)(n + 3k) - (n - k)(n + k)n(n + 2k) Thay đối sự kế tiếp lặp lại ở các thừa số trong bài toán I ta có bài toán: Bài toán 5 : Tính A=1.2 + 3.4 + 5.6 + + 99.100 A=2 + (2+1).4 + (4+ 1)6 + + (98 +1).100 =3 + 24+4 + 46+6+ + 98.100 + 100 =(24+ 4.6+ + 98.100) + (2+ 4+6+§+ + 100) = 98.100.102 : 6 + 102.50:2 = 166600 + 2550 = 169150 Cách khác A=1.3 - 1) + 3(5 - 1) + 577 - l)+ + 99(101 - 1) =13-1+35-3+5.7-5 + + 99.101 - 99 =(13 + 3.5 + 5.7 + + 99101) - (1 +3 4+5 +74 + 99) = 171650 — 2500 = 169150

Trong bài toán nay ta khong nhan A véi mot số hạng mà tách ngay một thừa số trong tích làm xuât hiện các dãy sô mà ta đã biệt cách tính hoặc dê dàng tính được Làm tương tự với các bài toán:

Trang 12

Oguyén Oiét Cuong Qrường FICS Phiie Doug —(1.3.34+3.5.3+ +99.101.3 ) = (15 + 99.101.103.105): 8 — 3( 1.34+3.5+5.7+ + 99.101) = 13517400 — 3.171650 = 13002450 Thay đổi số mũ của bài toán 7 ta có bài toán: Bài foán 9 : Tính A=l+2+3'+ + 100 Giái Sử dụng : (n - 1)n(n + 1) =n-n = n`=n + (n- I)n(n + I1) => A=lI+2+1.23+3+2.3.4+ + 100 + 99.100.101 =(I+2+3+ + 100) + (1.2.3 +2.3.4+ + 99.100.101) = 5050 + 101989800 = 101994850 Thay đổi khoảng cách giữa các cơ số ở bài toán 8 ta có bài toán Bài toán 10: Tính A=P4+3 457+ 499° Giải : Sử dung (n - 2)n(n + 2) = n-4n = nÌ=(n-2)n(n + 2) + 4n => A=141.3.5+4.34+3.5.7+4.5 + +97.99.101 + 4.99 =1+(1.3.5+3.5.7+ +97.99.101) + 4(3 +5+7+ + 99) = 1 + 12487503 + 9996 = 12497500

Với khoảng cách là a ta tách : (n - a)n(n + a) = nỶ - a”n ở bài toán 8, 9 ta có thể làm như bài toán 6, 7

Thay đối số mũ của một thừa số trong bài toán l ta có: Bai todn 11: Tinh

Trang 13

A=1.27+2.3°+3.47 + + 99.1007 Giải : A=1.2./3-1)+2.3(4- 1) +3.4(6 - I)+ + 99.100.(101 - 1) =1.2.3- 1.2+2.3.4- 2.3 + 3.4.5 - 3.4+ + 99.100.101 - 99.100 =(1.2.3+2.3.4+ + 99.100.101) - (1.2 + 2.3 + 3.4+ + 99.100) = 25497450 — 333300 = 25164150

„ Với cách khai thác như trên ta có thé khai thác, phát triển các bài toán trên thành rât nhiêu bài toán hay mà trong quá trình giải đòi hỏi học sinh phải có sự linh hoạt, sáng

tạo

Trong các bài toán trên ta có thể thay đổi số hạng cuối cùng của dãy bằng số hạng tông quát theo quy luật của dãy

Trang 14

Oguyén Oiét Cuong Qrường FICS Phiie Doug

một số phương pháp tính tổng

I> Phương pháp dự đoán và quy nap:

Trong một số trường hợp khi gặp bài toán tính tổng hữu hạn Sn= ai +az+ an (l)

Bằng cách nào đó ta biết được kết quả (dự đoán , hoặc bài toán chứng minh khi đã cho biết kêt quả) Thì ta nên sử dụng phương pháp này và hâu như thê nào cũng chứng minh được Ví dụ 1: Tính tổng Sạ=l+3+5 + + (2n -l ) Thử trực tiếp ta thấy : S¡ = I S¿=1+3 =2” S; = 14+3+5=9=3" Ta du don Sn =”

Với n= 1;2;3 ta thấy kết quả đúng

Trang 15

2 _ nữn+ (2n + Ủ) 6 2,12+2”+ +n 3, 12222+ + nỀ= [meen] = Snel)? (2n?+2n-1)

IL> Phwong phap khir lién tiếp :

Trang 18

Oguyén Oiét Cuong Qrường FICS Phiie Doug IV > Phuong phap tinh qua cac tong da biét

Trang 19

taco: Sn= [( 1° +2° +39 +4? + 4+(2n+1)* ] -[2°+47 +6° + 4(2n)] = [19+23 433 +4340 + (2n +L }] -8 (12 423 +39 +48 4.4m) _ (2n+D°@n+2)” 8n° (n+l)? S " 4 4 ( theo ()— 3 ) =(n+1) ?(2nt1) “— 2n” (n+1)Ÿ =(n+I Ÿ 2n +4n +I) V/ Vận dụng trực tiếp công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều ( Học sinh lớp 6)

e© Cơ sở lý thuyết :

+ để đếm số hạng của 1 đãy số mà 2 số hạng liên tiếp của dãy cách nhau cùng 1 số đơn vị , ta dùng công thức:

Số số hạng = ( số cuối - số đầu 0 : ( khoảng cách ) + 1

Trang 22

Oguyén Oiét Cuong Qrường FICS Phiie Doug Sp = 3+4+5 S,= 10411 +12 +13 + 14

Tinh Si00 =?

Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi , tôi đã kết hợp các dạng toán có liên quan đên dạng tính tông đề rèn luyện cho các em , chăng hạn dạng toán tìm x : 14, a, (x+1) + (x†2) + (x†3) + + ( x+100 ) = 5070 b,I+2+3+4+ +x= 820 1 2 1989 + + =l—— 10 x(x+1) 1991

Hay các bài toán chứng minh sự chia hết liên quan

15, Chứng minh :a, A=4+ 2?+2 +2! + + 2” là luỹ thừa của 2 b, B=2+27+2}+ +2?:3:7; 15

c C=3+3123'+ +3"”':13; 4I

d, D=IIP+IIŸ+I17+ +11+1 : 5