Đây là chuyên đề môn Lý thuyết số, viết về lý thuyết chia hết và áp dụng. Chuyên đề bao gồm định nghĩa, tính chất cơ bản, định lý và phương pháp chứng minh chia hết. Tài liệu phù hợp với giảng dạy Toán THCS và nghiên cứu phương pháp giảng dạy toán số trong ĐH.
Tổ 1- Lớp Sư phạm Toán K35 CHUYÊN ĐỀ LÍ THUYẾT SỐ : LÍ THUYẾT CHIA HẾT VÀ ÁP DỤNG Trong lý thuyết số, chia hết quan hệ hai tập số nguyên Quan hệ mở rộng cho phần tử vành Quan hệ chia hết gắn liền với nhiều khái niệm quan trọng lý thuyết số số nguyên tố, hợp số, định lý số học I ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT – MỘT SỐ ĐỊNH LÍ A- ĐỊNH NGHĨA - Giả sử a b hai số nguyên với b ≠ Tồn cặp số a = bq + r nguyên q r cho 0 ≤ r < b - Nếu r = 0, ta nói a chia hết cho b hay a bội b, kí hiệu a Mb - Mặt khác, người ta nói b chia hết a hay b ước a, kí hiệu b a - Nếu r ≠ phép chia có dư + Ví dụ: -3 chia hết 12 hay 12 chia hết cho -3 12=-3.(-4) bội số nguyên b ≠ = b.0 -1 ước số nguyên a a = 1.a = (-1).(-a) + Chú ý: Nếu b a a ≠ từ a = bq ta có q ≠ q ≥ a = b q ≥ b B- TÍNH CHẤT a Số nguyên a ước (ước đơn vị) a=1 a=-1 b Nếu b/a ± b / ±a b / a c Ta có a/a ( ∀a, b ∈ Z ) d Nếu a/b b/a b = ±a(∀a, b ∈ Z) e Nếu b / a1 , b / a , , b / a n (b, a1 , a , , a n ∈ Z) b / a1x1 + a x + + a n x n (∀x1 , x , , x n ∈ Z) C- MỘT SỐ ĐỊNH LÍ THƯỜNG DÙNG a Mm - Nếu a ± b Mm bMm a Mm Nếu a + b Mm b Mm - Tổng quát, tổng S = (a1 + a + + a n −1 + a n ) Mm , có tổng (n-1) số hạng tổng chia hết cho m số hạng lại chia hết cho m Ví dụ: Các số 10 15 chia hết tổng 10 + 15 = 25 chia hết cho Phản ví dụ: Điều ngược lại chưa đúng: Tổng 29 + = 30 chia hết cho 29 không chia hết cho - a Mm Nếu ab Mm bMm - Nếu thừa số tích chia hết cho m tích chia hết cho m - Nếu a Mm a n Mm ( n tự nhiên ) Ví dụ: Chứng minh chia hai số cho số thứ ba mà chúng có số dư hiệu hai số chia hết cho số thứ ba đảo lại a = cq1 + r (0 ≤ r < c) Giải : Giả sử ta có: b = cq + r (0 ≤ r < c) Khi a − b = cq1 + r − (cq + r) = c(q1 − q ) Như a − b chia hết cho c a = cq1 + r1 (0 ≤ r1 < c) Đảo lại : Giả sử hiệu a − b chia hết cho c b = cq + r2 (0 ≤ r2 < c) c Từ a − b = c(q1 − q ) + (r1 − r2 ) Vì a − b Mc nên (r1 − r2 ) M r1 − r2 < c nên r1 = r2 - Định lý phép chia với dư Giả sử cho hai số nguyên a d, với d ≠ Khi tồn số nguyên q r cho a = qd + r ≤ r < | d |, | d | giá trị tuyệt đối d Các số nguyên định lý gọi sau: • q gọi thương chia a cho d Đôi gọi thương hụt • r gọi dư chia a cho d • d gọi số chia • a gọi số bị chia - Phép toán tìm q r gọi phép chia với dư Ví dụ • • • • Nếu a = d = 3, q = r = 1, = (2)(3) + Nếu a = d = −3, q = −2 r = 1, = (−2)(−3) + Nếu a = −7 d = 3, q = −3 r = 2, −7 = (−3)(3) + Nếu a = −7 d = −3, q = r = 2, −7 = (3)(−3) + Chứng minh Chứng minh định lý gồm hai phần: chứng minh tồn q r, thứ hai, chứng minh tính q r Sự tồn Xét tập hợp S = { a − nd : n ∈ Z} Ta khẳng định S chứa số nguyên không âm Có hai trường hợp sau • • Nếu d < 0, −d > 0, theo tính chất Archimede, có số nguyên n cho (−d)n ≥ −a, nghĩa a − dn ≥ Nếu d > 0, theo tính chất Archimede, có số nguyên n cho dn ≥ −a, nghĩa a − d(−n) = a + dn ≥ Như S chứa số nguyên không âm Theo nguyên lý thứ tự tốt, S có số nguyên không âm nhỏ nhất, ta gọi số r Đặt q = (a − r)/d, q r số nguyên a = qd + r Ta phải ≤ r < |d| Tính không âm r rõ ràng theo cách chọn r Ta chứng tỏ dấu bất đẳng thức thứ hai Giả sử nguợc lại r ≥ |d| Vì d ≠ 0, r > 0, nên d > d < • Nếu d > 0, r ≥ d suy a-qd ≥ d Từ a-qd-d ≥0, lại dẫn tới a-(q+1)d ≥ Do đó, đặt r’='a-(q+1)d r’ thuộc S r’=a-(q+1)d=r-d