Chuyen de: Tinh chat chia het

2 Chuyên đề: Chuyên đề: Tính chất chia hết trong tập N Tính chất chia hết trong tập N I. Lý thuyết: 1) Định nghĩa: Với 2 số tự nhiên a,b (b khác 0), luôn tồn tại 2 số tự nhiên q v r sao cho a=b.q+r v i )0( br < Nếu r=0 thì a=b.q => (a là bội của b và b là ước của a) Nếu thì ba và r là số dư của phép chia a cho b Với a,b,c là các số tự nhiên ta có: 2) Một số tính chất aa 0a a0 0a 1a Na ba cb cba 0c ca ca cb 0c ba 0r với 2.1 2.2 với ; với 2.3 Nếu và thì với 2.4 Nếu và thì với 3 Suy ra: NÕu cba ± vµ ca th× cb víi 0≠c NÕu vµ th× cba ± víi 0≠c 2.5NÕu ca th× cak . víi 0≠c Nk ∈ , Suy ra: NÕu ca vµ cb th× ( ) cbnam  ± víi 0≠c vµ Nnm ∈, NÕu ca th× nn ca  víi 0≠c , Nn ∈ 2.6NÕu ma nb nmba  * . Nnm ∈ vµ th× víi 2.7NÕu ba ca cba . 0, ≠cb vµ mµ b vµ c nguyªn tè cïng nhau th× víi 2.8NÕu cba . mµ b vµ c nguyªn tè cïng nhau th× ca víi 0≠c 2.9NÕu pa n  pa mµ p lµ sè nguyªn tè th× 2.10 NÕu ba vµ ca th× ),( cbBCNNa víi 0, ≠cb ca cb 4 3) Dấu hiệu chia hết của các số tự nhiên a. Dấu hiệu chia hết cho 2 (hoặc 5) 2Aa 2a (hoặc 5) (hoặc 5) b. Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9) 3 0121 aaaaa nnn ( ) 3 0121 aaaaa nnn +++++ (hoặc 9) (hoặc 9) c. Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25) 4Aab 4ab (hoặc 25) (hoặc 25) d. Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125) 8Aabc 8cab (hoặc 125) (hoặc 125) e. Dấu hiệu chia hết cho 11 11A Tổng các chữ số ở hàng chẵn trừ đi tổng các chữ số ở hàng lẻ của số A là một số chia hết cho 11 (với tổng các chữ số ở hàng chẵn lớn hơn tổng các chữ số ở hàng lẻ) 5 6 Chuyên đề: Tính chất chia hết trong tập N I. Lý thuyết: I. Lý thuyết: 1. Định nghĩa 2. Một số tính chất 3. Một số dấu hiệu chia hết II II . Một số dạng toán . Một số dạng toán 1.Dạng toán1: Chứng minh tính chất chia hết Ví dụ 1: Chứng minh dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5 Ví dụ 2: Chứng minh dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9 Ví dụ 3: Chứng minh tính chất: ba Nếu và cb ca thì 7 II. Một số dạng toán II. Một số dạng toán 1. Dạng toán 1: Chứng minh tính chất chia hết Ví dụ 4: Chứng minh tính chất: Nếu ca cb cba và thì với 0;,, cNcba Giải: Vì ca => a=k.c với Nk Vì cb => b=q.c với Nq => a+b=k.c+q.c=(k+q).c c Nqk + vì => a+b c * Với phép trừ và một số tính chất khác ta cũng chứng minh tương tự như vậy Ví dụ 5: Chứng minh dấu hiệu chia hết cho 25 2525 abAab Giải: Ta có: =Aab abA +.100 abA += .4.25 Nếu 25Aab 25).4.25( abA + mà 25.4.25 A 25ab Nếu 25ab mà 25.4.25 A 25).4.25( abA + 25Aab => Vậy 2525 abAab *Với các dấu hiệu chia hết cho 4; 8; và 125 ta cũng cm tương tự còn dấu hiệu chia hết cho 11 thì cm tương tự như dấu hiệu chia hết cho 3 và 9 8 2. Dạng toán 2: Chứng minh biểu thức chia hết cho một số Ví dụ 6: Chứng tỏ rằng: a) Tích của 2 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2 b) Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 Giải: a) Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp có dạng a, a+1 )( Na Vì Na nên a có thể chẵn hoặc lẻ Cách 1: Nếu a chẵn => 2a => 2)1.( +aa Nếu a lẻ => a+1 chẵn => 21+a => 2)1.( +aa Vậy tích của 2 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2 Cách 2: Vì Na nên a chia 2 có thể dư 0 hoặc 1, tức là a có dạng 2k hoặc 2k+1 )( Nk Nếu a=2k mà 22 k 2a=> => 2)1.( +aa Nếu a=2k+1 => a+1=2k+2 = 2.(k+1) 2 2)1.( +aa => Vậy tích của 2 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2 9 b) TÝch cña 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 3 Gäi 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ a, a+1, a+2 )( Na ∈ V× Na ∈ nªn a cã thÓ nhËn 1 trong c¸c d¹ng 3k, 3k+1, 3k+2 víi )( Nk ∈ NÕu a=3k mµ 33 k => 3a => 3)2).(1.( ++ aaa NÕu a=3k+1 => a+2= 3k+1+2=3k+3 =3.(k+1) 3 32+⇒ a => 3)2).(1.( ++ aaa NÕu a=3k+2 => a+1= 3k+2+1=3k+3 =3.(k+1) 3 31+a => => 3)2).(1.( ++ aaa Suy ra tÝch 3)2).(1.( ++ aaa víi Na ∈ VËy tÝch cña 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 3 ? TÝch cña 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp cã chia hÕt cho 2 kh«ng? Suy ra tÝch cña 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp cßn chia hÕt cho sè nµo? V× sao? * NhËn xÐt: TÝch cña 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 6 TÝch cña n sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho n víi n kh¸c 0 10 *Dự đoán Tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho mấy ? Giải: Tích của 2 số chẵn liên tiếp có dạng 2k.(2k+2), )( Nk Ta có 2k.(2k+2) = 2k.2.(k+1) = 4.k.(k+1) mà k.(k+1) 2 => 4.k.(k+1) 8 Vậy tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 * Tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 ? Tích của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho số nào? Giải: Tích của 5 số tự nhiên liên tiếp có dạng A = a.(a+1).(a+2).(a+3).(a+4), )( Na Theo ví dụ 6 suy ra 3A 5A và mà trong 5 số tự nhiên liên tiếp có ít nhất 2 số chẵn liên tiếp nên tích của 2 số chẵn đó chia hết cho 8 8A Vì 3A ; 5 và 8 mà 3; 5 và 8 là các số nguyên tố cùng nhau )8.5.3(A 120A hay *Tích của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120 11 Ví dụ 7: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh (p-1).(p+1) chia hết cho 24 Giải: Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 Np và p >3 nên p-1, p, p+1 là 3 số tự nhiên liên tiếp => Tích (p-1).p.(p+1) 3 (theo VD6) mà p là số nguyên tố lớn hơn 3 => p là số lẻ và 3p => 3)1).(1( + pp (1) Vì p là số lẻ nên p-1 và p+1 là 2 số chẵn liên tiếp => 8)1).(1( + pp (2) Từ (1) và (2) => (p-1).(p+1) 24 (vì 3 và 8 là 2 số nguyên tố cùng nhau) Vậy với p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p-1).(p+1) chia hết cho 24 [...]... 10 n + 2 (đpcm) 3 ( n1) cso.0 chia 3 dư 1n = 1 -Cách 3: Vì 10 chia 3 dư 1 nên 10 => 10 n + 2 chia 3 dư 1+2=3 mà 3 chia 3 dư 0 => 10 n + 2 chia 3 dư 0 10 n + 2 12 3 (đpcm) n *Chứng minh: 10 n + 2 9 Ta có 10 n + 2 = 100 0 + 2 = 100 0 2 có tổng các chữ số là 3 n.cso.0 ( n1) cso 0 mà 3 không chia hết cho 9 => 10 n + 2 9 Vậy 10 n + 2 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 , n N * *Nhận xét:... một biểu thức M chia hết làm dư *Nhận xét: Để chứngcầu khác đặt yêu cầu mà khôngcho một ? đổi chia số 10 n bài toán?3, cho của phép lờiagiải của ta làm như sau: 9 , n N * số tự nhiên khác 0 + 2 cho *Vận dụng:Đưa biểudư của phépdạng M=a.K với8K N cho 9 - Cách 1: Tìm số thức M về chia số 10100 + cho 3, *Vậy để chứng minh một biểu thức M chia hết cho một số tự - Cách 2: Chứng tỏ rằng M chia a dư 0 nhiên... dẫn về nhà: thời Nắm có hạn, nên buổi học này các em tìm hiểu tập trung + gian vững kiến thức lí thuyết vào Biết chứng minh mộtminh biểu thứcdấu hiệu chia một số + dạng toán: Chứng số tính chất và chia hết cho hết + Ôn lại dạng toán: Chứng minh biểu thức chia hết cho một số tự nhiên khác 0 + Làm bài tập vận dụng Nội dung các buổi học tiếp theo: Dạng toán3: Tìm một số thoả mãn điều kiện cho trước Dạng... để chứng minh một biểu thức M chia hết cho một số tự - Cách 2: Chứng tỏ rằng M chia a dư 0 nhiên a khácDựa vào dấu hiệu nào? hết (trực tiếp hoặc gián tiếp) - Cách 3: 0 ta làm như thế chia (gián tiếp: Tức là chứng tỏ M chia hết cho tất cả các số tự nhiên x,y, khác 0 mà x,y, là các số nguyên tố cùng nhau và tích x.y = a) Ngoài ra còn có rất nhiều cách chứmg minh khác nữa, các em 13 sẽ được tìm hiểu dần...Ví dụ 8: Chứng minh rằng 10 + 2 chia hết cho 3 nhưng Trong 3 n N* không chia hết cho 9 với cách làm n *Chứng minh: 10 + 2 3 bên, theo em cách -Cách 1: Ta có 10 n + 2 = (10 n 1) + 3 = 999 9 + 3 = n n.cso.9 = 3.333 3 + 3.1 = 3.(33 3 + 1) 3 n.cso.3 . +⇒ n (®pcm) -C¸ch 3: V× 10 chia 3 d­ 1 nªn n 10 chia 3 d­ 11 = n 210 + n => chia 3 d­ 1+2=3 mµ 3 chia 3 d­ 0 => 210 + n chia 3 d­ 0 3210 +⇒ n (®pcm). Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25) 4Aab 4ab (hoặc 25) (hoặc 25) d. Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125) 8Aabc 8cab (hoặc 125) (hoặc 125) e. Dấu hiệu chia hết