PHẦN THỨ NHẤT : NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG CỦA ĐỀ TÀI 1. TÊN ĐỀ TÀI Hướng dẫn giải dạng “toán chia hết” trong chương trình toán THCS 2. TÍNH CẤP THIẾT CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 2.1 Lí do về mặt lí luận: Nghò quyết hội nghò lần thứ IV Ban chấp hành Trung ưng Đảng Cộng Sản Việt Nam (khoá VII, 1993) đã chỉ ra: Mục tiêu GD – ĐT phải hướng vào đào tạo những con người lao động, tự chủ, sáng tạo có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đó mà góp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất nước là dân giàu, nước mạnh, xã hội cơng bằng văn minh. Nghị quyết Hội nghị lần thứ II Ban chấp hành Trung ương Đảng Cộng Sản Việt Nam (khóa VII, 1997) khẳng định rõ hơn. Cuộc cách mạng về phương pháp giáo dục phải hướng vào người học, rèn luyện và phát triển khả năng suy nghĩ, khả năng giải quyết vấn đề một cách năng động, độc lập sáng tạo ngay trong q trình học tập ở nhà trường phổ thơng . . . Áp dụng những phương pháp giáo dục hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề. Điều 24 Luật giáo dục (1998) viết: Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, mơn học. RajaRoy singh trong cuốn “Nếu giáo dục cho thế kỷ XXI. Những trển vọng của Châu Á – Thái Bình Dương” đã khảng đònh . Để đáp ứng được những đòi hỏi mới được đặt ra cho sự bùng nổ kiến thức và sáng tạo kiến thức mới, cần phải phát triển năng lực tư duy, năng lực giải quyết vấn đề và tính sáng tạo . . . Các năng lực này có thể quy gọn về năng lực giải quyết vấn đề. Khả năng giáo dục của môn Toán rất to lớn, nó có khả năng phát triển tư duy lôgíc, khái quát hoá, phân tích tổng hợp, so sánh dự đoán, chứng minh và bác bỏ. Nó còn có vai trò rèn luyện phương pháp suy nghó, suy luận,… bậc trung học cơ sở việc dạy dạng “toán chia hết” cho học sinh là rất cần thiết nhằm mục đích phát triển cho học sinh đầy đủ các yếu tố nêu trên. 2.2 Lí do về mặt thực tiễn: Thực tiễn dạy và học bộ môn Toán ở Trường THCS Tân Thanh – Lâm Hà có nhiều vấn đề phải quan tâm, giải quyết lâu dài, kỹ năng giải toán, các phép 1 biến đổi cơ bản, phương pháp giải toán, của học sinh khối 6 còn yếu rất nhiều, theo cuộc điều tra về việc giải toán của học sinh hai lớp sáu vừa qua thì có tới hơn 50% học sinh đạt điểm dưới trung bình. Còn các lớp trên cũng được liệt kê rất nhiều học sinh yếu toán. Vậy vấn đề đặt ra là nếu chúng ta cứ lo phụ đạo học sinh yếu toán mà không chăm lo bỗi dưỡng học sinh học khá, giỏi môn toán thật là một thiệt thòi lớn đối với các em vấn đề này phải thực hiện song song với nhau. Nhận thức vấn đề trên, Tôi muốn truyền đạt cho các em nhiều dạng toán để cung cấp cho các em những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo để giải toán,… Một trong dạng toán đó là “Dạng toán chia hết”. 3. ĐỐI TƯNG NGHIÊN CỨU: Hướng dẫn giải dạng toán “chia hết” cho học sinh khá, giỏi trong chương trình toán bậc trung học cơ sở. 4. PHẠM VI NGHIÊN CỨU. Thời gian nghiên cứu từ 10 tháng 9 năm 2005 đến 25 tháng 11 năm 2006. Đòa điểm tại trường THCS Tân Thanh gồm các khối lớp 6 đến lớp 9. 5. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU. Giúp các em học sinh nắm chắc các phương pháp giải dạng toán “chia hết”, hình thành cho các em các kỹ năng suy luận, biến đổi, nhận dạng và thể hiện tốt lời giải bài toán. PHẦN THỨ II: NỘI DUNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI Phương pháp giải toán: 2 Là toàn bộ những thủ thuật toán được sắp xếp theo trình tự nhất đònh và vận dụng sáng tạo để tìm ra kết quả bài toán. Thủ thuật : Phép giải mang tính linh hoạt, hợp lí, sáng tạo để giải quyết một khâu hay cả bài toán. Giải bài toán: Là việc làm tìm ra ẩn số, tức tìm ra đáp số của bài toán. Muốn tìm ra ấn số phải là một quá trình suy luận. Chính vì thế nên gọi việc giải toán là một quá trình hoạt động trí tuệ của học sinh. Trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán giáo viên cũng phải truyền thụ cho học sinh những tri thức phương pháp để học sinh biết cách học, biết cách suy luận, vận dụng cái đã biết để tìm những kiến thức mới có tính chất thuật toán. Đặc biết khi hướng dẫn giải toán giải toán cần coi trọng phương pháp có tính chất tìm tìm đoán, và ngầm thể hiện cho học các bước giải toán của “Polya”. Học sinh cần được rèn luyện các thao tác tư duy, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự, quy lạ về quen. Trong chương trình toán (THCS), có rất nhiều dạng toán thể hiện mục tiêu trên, một trong số đó có dạng “Toán chia hết” là một trong số các dạng toán quan trọng trong chương trình toán THCS. Nó có mặt nhiều trong các lần kiểm tra đònh kỳ, thi học kỳ, thi học sinh giỏi, thi vào trường chuyên, lớp chất lượng cao, và một số đề thi cấp Huyện, Tỉnh ,… Điều này còn được thể hiện ở chỗ lượng bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập khá nhiều và rất phong phú. Dạng toán chia hết được đề cập ngay từ học kỳ I của lớp 6 và nó trải xuyên suốt cả chương trình toán THCS và ở mỗi khối học, yêu cầu về mặt kiến thức cũng khác nhau, mức độ yêu cầu cũng khác nhau. Nhưng kiến thức đòi hỏi có sự kế thừa, cái này là cơ sở của cái kia, chúng bổ trợ cho nhau. Chính điều này yêu cầu người học phải nắm chắc được kiến thức cơ bản, được cụ thể hoá trong từng bài và tóm tắt trong từng chương của sách giáo khoa từng khối lớp, biết vận dụng linh hoạt các phương pháp để giải quyết tốt được bài tập dạng này. Có thể nói rằng dạng “toán chia hết” luôn là dạng toán khó đối với học sinh và không ít học sinh cảm thấy sợ khi học dạng toán này. Là một giáo viên dạy toán tôi muốn các em chinh phục được nó, và không chút ngần ngại khi gặp dạng toán này. Nhằm giúp cho các em phát triển tư duy suy luận, óc phán đoán, kỹ năng trình bày linh hoạt. HƯ thèng c¸c bµi tËp t«i ®a ra ®Ịu tõ dƠ ®Õn khã, bªn c¹nh ®ã cßn cã c¸c bµi tËp n©ng cao cho häc sinh giái. Lỵng bµi tËp ¸p dơng t¬ng tù còng t¬ng ®èi nhiỊu, nên các em có thể tự học, tự chiếm lónh tri thức thông qua hệ thống bài tập áp dụng này ®iỊu ®ã gióp c¸c em høng thó häc tËp h¬n rÊt nhiỊu. 3 II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Dạng toán “Chia hết” được đề cập trong sách giáo khoa ngay từ đầu lớp 6 đến lớp 9, và mỗi lớp có yêu cầu khác nhau nên làm cho người học và người dạy rất vất vả nhất là các em học sinh khối 8 và khối 9. Thông thường khi dạy dạng toán này giáo viên lại phải nhắc lại các kiến thức cơ bản học ở lớp dưới làm mất rất nhiều thời gian cho tiết dạy. Kỹ năng biến đổi để làm xuất hiện các yếu tố chia hết trong biểu thức số hay biểu thức đại số của các em còn chưa linh hoạt, có những bài toán rất đơn giản mà các em biến đổi chứng minh rất dài dòng và phức tạp, thực chất nếu các em nắm chắc các phương pháp giải dạng toán chia hết thì chứng minh rất đơn giản. Trong quá trình giảng dạy nhiều giáo viên không hay để ý tới dạng toán này, vì dạng toán này thường được đặt dưới bài toán cụ thể trong sách giáo khoa nên không nghó đó là trọng tâm của bài. Bên cạnh đó nếu có giải thì cũng chưa yêu cầu học sinh làm thêm trong sách bài tập hay ra ngoài phạm vi sách giáo khoa để rèn luyện kỹ năng, phát triển tư duy cho học sinh. Mặt khác tài liệu tham khảo viết về dạng toán này hầu như không có trong thư viện nhà trường, các chủ đề tự chọn cũng chưa được giáo viên nào đề cập tới mà yêu cầu về bồi dưỡng học sinh giỏi lại có dạng toán “ Chia hết” trong chương trình. Từ những suy nghó đó và thực tế giảng dạy tôi đã mạnh dạn viết đề tài này. 1.TÝnh chÊt chia hÕt cđa mét tỉng, mét hiƯu, mét tÝch. - NÕu mb ma mba +→ 4 - Nếu mb ma mba - Nếu mb ma a .b m - Nếu ma a n m (n là số tự nhiên). 2.Dấu hiệu chia hết cho 2; 4; 5; 6; 3; 9; 8. * Dấu hiệu chia hết cho 2 là: Một số chia hết cho 2 khi và chỉ chi số ấy có chữ số tận cùng là chữ số chẵn (0, 2, 4, 6, 8) *Dấu hiệu chia hết cho 5 là:Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi số ấy có chữ chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. *Dấu hiệu chia hết cho 3: Một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số đó chia hết cho 3. *Dấu hiệu chia hết cho 9: Một số chia hết cho 9 khi và chỉ khi tổng các chữ số đó chia hết cho 9. *Dấu hiệu chia hết cho 6: Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó đồng thời chia hết cho 2 và cho 3. *Dấu hiệu chia hết cho 4: Một số chia hết cho 4 khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng lập thành một số chia hết cho 4. *Dấu hiệu chia hết cho 8: Một số chia hết cho 8 khi và chỉ khi số đó có ba chữ số tận cùng lập thành một số (có 3 chữ số) chia hết cho 8. *Dấu hiệu chia hết cho 10: Một số chia hết cho10 thì có chữ số tận cùng bằng 0 và đảo lại. * Dấu hiệu chia hết cho 11: Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số của nó đứng ở vị trí lẻ và tổng các chữ số đứng ở vị trí chẵn (kể từ trái sang phải) chia hết cho 11 3. Đồng d: *Hai số a và b đồng d với nhau theo mô đun m khi và chỉ khi a b chia hết cho m. 5 *Cã thĨ “céng ” c¸c ®ång d thøc cã cïng m« ®un. Tøc lµ: NÕu a ≡ b (mod m), c ≡ d ( mod m ) th× a ± c ≡ b ± d (mod m) *Cã thĨ nh©n tõng vÕ c¸c ®ång d thøc cã cïng m« ®un. Tøc lµ: NÕu a ≡ b (mod m) , c ≡ d ( mod m) th× ac ≡ bd (mod m) 4. Nguyªn t¾c ®irichlª: Néi dung nguyªn t¾c nµy ®ỵc ph¸t biĨu díi d¹ng bµi to¸n sau: NÕu nhèt n thá vµo m lång (víi n > m) nghÜa lµ sè thá nhiỊu h¬n sè lång th× Ýt nhÊt còng cã mét lång nhèt kh«ng Ýt h¬n 2 con thá. 5.Ph¬ng ph¸p chøng minh quy n¹p: Muốn chứng minh một khẳng đònh A n đúng với mọi n = 1,2,3,… ta chứng minh như sau: • Khẳng đònh A 1 đúng. • Giả sử khẳng đònh A k đúng với mọi k ≥ 1, ta cũng suy ra khảng đònh A k + 1 đúng. Kết luận : Khẳng đònh A n đúng với mọi n = 1,2,3 … 6. Chøng minh b»ng ph¬ng ph¸p ph¶n chøng Muốn chứng minh khẳng đònh P đúng bằng phương pháp phản chứng, ta làm như sau: • Bước 1: Giả sử ngược lại P sai. • Bước 2: Từ giả sử P sai, chúng ta suy ra điều vô lý. • Bước 3: điều vô lý đó chứng tỏ rằng P không sai, tức là khẳng đònh P đúng. 6 1. Dạng1: Tìm các chữ số cha biết của một số Bài toán 1: Tìm các chữ số a và b sao cho ab19 chia hết cho 5 và chia hết cho 8. Để tìm đợc a và b học phải thấy đợc 2 dấu hiệu cơ bản đó là số đó chia hết cho 5 và cho 8. Vì ab19 chia hết cho 5 nên chữ số tận cùng b = 0 hoặc b = 5. Vì ab19 chia hết cho 8 nên suy ra b = 0. Mặt khác 019a chia hết cho 8 suy ra 019a chia hết cho 4. 019a chia hết cho 4 0a chia hết cho 4 suy ra a { 0, 2, 4, 6, 8}. Ta có 019a chia hết cho 8 09a chia hết cho 8 nên a = 2 hoặc a = 6. Nếu a = 2 thì b = 0 Nếu a = 6 thì b = 0 KL: Vậy số phải là 1920, 1960. Bài toán 2: Chữ số a là bao nhiêu để 96aaaaa vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 8. Vì 96aaaaa 8 96a 8 100a + 96 8 suy ra 100a 8 vậy a là số chẵn a { 2, 4, 6, 8} (1). Vì 96aaaaa 3 (a + a + a + a + a + 9 + 6 ) 3 5a + 15 3 Mà 15 3 5a 3 Mà (5, 3) = 1 Suy ra a 3 vậy a { 3, 6 ,9} (2). Từ (1) và (2 ) suy ra a = 6 KL: Vậy số phải tìm là 6666696. 7 Bài toán 3 : Tìm chữ số a để 11aaa 11. HD: Tổng các chữ số hàng lẻ là 2 + a . Tổng các chữ số hàng chẵn là 2a. *Nếu 2a a + 2 a 2 thì 2a (a + 2) = a -2 9 2 = 7 Mà (a - 2) 11 nên a - 2 = 0 a = 2 *Nếu 2a a + 2 a <2 thì (a + 2) - 2a = 2 - a là 2 hoặc 1 không chia hết cho11. Keỏt luaọn : Vậy a = 2 Bài toán 4 Tìm các chữ số a, b để số ab1234 chia hết cho 8 và cho 9. *Cách 1: Nếu ab1234 chia hết cho 8 thì dấu hiệu chia hết cho 8 ta có ab4 8 hay ab4 = 400 + 10a + b = 8p (p Z) (*) Mặt khác nếu ab1234 9 thì (1 + 2 + 3 + 4 + a + b) 9 Hay (1 + a + b) 9 1 + a + b = 9q (q Z) ( **) Vì a và b là các chữ số nên a + b 18 Từ (**) suy ra 9q 28 (q>1) Vậy q = 2 hoặc q = 3 Trừ (*) với (**) ta có 390 + 9a = 8p 9q , hay p = 49 + a + q + 8 2 + qa Vì p nguyên nên 8 2 + qa nguyên hay a + q 2 8 +Nếu q = 2 thì a = 0 hoặc a = 8 Từ (**) ta có b = 9q a 10 do đó b = 8 hoặc b = 0 + Nếu q = 3 thì a = 7 suy ra b = 10 ( vô lí vì b 9) KL: Vậy có số thoả mãn đề bài là: 123480, 123408. *Cách 2 ab1234 = 123400 + ab = 72.1713 + 64 + ab Vì ab1234 chia hết cho 8 và cho 9 nên ab1234 chia hết cho 72 Vậy 64 + ab chia hết cho 72 . Vì 64 < 64 + ab 163 nên 64 + ab bằng 72 hoặc 144. + Nếu 64 + ab = 72 thì ab = 08 + Nếu 64 + ab = 144 thì ab = 80 KL: Vậy các số thoả mãn đề bài là: 123480, 123408. 8 Bài toán 5: Tìm các số a,b sao cho: 1) a b = 4 và 157 ba chia hết cho 3 2) a b = 6 và 74a + 51b chia hết cho 9 Giaỷi: 1) a b = 4 và 157 ba chia hết cho 3 Ta có: 157 ba chia hết cho 3 khi và chỉ khi ( 7 + a + 5 + b + 1) chia hết cho 3 hay ( a +b + 13) chia hết cho 3 suy ra ( a +b ) chia 3 d 2 (1) Ta có a b = 4 nên 4 a 9 ; 0 b 5 Suy ra 4 a+b 14 (2) Mặt khác a b là số chẵn nên a + b là số chẵn (3) Từ (1) (2) và (3) suy ra a + b {8;14} Với a + b = 8; a b = 4 ta đợc a = 6; b = 2. Với a + b = 14; a - b = 4 ta đợc a = 9; b = 5. KL: Vậy các số phải tìm là a = 6; b = 2 và a = 9; b = 5 2) 74a + 51b chia hết cho 9 khi và chỉ khi ( 4 + a + 7 + 1 + b + 5 ) chia hết cho 9 hay ( a + b + 8 ) chia hết cho 9 (a + b) chia cho 9 d 1 Do a + b a b = 6 nên a + b = 10 từ đó tìm đợc a = 8; b = 2. Bài tập t ơng tự : Bài 1: Tìm các số x, y sao cho xy1994 72 HD: xy1994 72 = 72. 2769 + 32 + xy 72 32 + xy 72 Vì 32 32 + xy 32 + 99 = 131 nên 32 + xy = 72 xy = 40 Vậy x = 4 , y = 0. Bài 2 : Tìm chữ số x để 1994x chia hết cho 3 nhng không chia hết cho 9. HD: Vì 1994x chia hết cho 3 (x + 1 + 9 + 9 + 4) chia hết cho 3 9 Hay (x + 25) chia hết cho 3 Vì 1 x 9 nên 24 23 + x 32 Trong các số tự nhiên từ 23 đến 32 có 24, 30, chia hết cho 3mà không chia hết cho 9. Bài 3 : Phải viết ít nhất mấy số 1994 liên tiếp nhau để đợc một số chia hết cho 3. HD: Tổng các chữ số của 1994 là 23 khi chia cho 3 thì d 2 Nếu viết k lần số 1994 liên tiếp nhau thì tổng các chữ số của số nhận đợc có cùng số d với 2k khi chia cho3.Để số nhận đợc chia hết cho 3 thì 2k phải chia hết cho 3, nên số nhỏ nhất là 3, tức là ít nhất phải viết 3 lần số 1994 liên tiếp nhau. Bài 4 : Tìm 3 chữ số tận cùng của tích 4 số tự nhiên liên tiếp khác không, bết rằng tích này chia hết cho 125. Tích này nhỏ nhất bằng bao nhiêu? HD: Tích 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 8 thì tích 4 số tự nhiên liên tiếp cũng chia hết cho 125 nên 3 chữ số tận cùng là 000. Trong tích của 4 số tự nhiên tiếp không thể có 2 số chia hết cho 5 nên phải có một số chia hết cho 125 Tích nhỏ nhất là: 125.126.127.128 Dạng 2: Chứng minh chia hết đối với biểu thức số. Bài toán 1:Chứng minh rằng: 21 39 + 39 21 chia hết cho 45. *Cách 1: Ta có 21 39 + 39 21 = (21 39 - 1 ) + (39 21 + 1) Vì 21 39 - 1 = 20 (21 38 + 21 37 + + 1) chia hết cho 5 Và 39 21 + 1 = 40 (39 20 - 39 19 + +1) chia hết cho 5 Suy ra: (21 39 - 1 ) + (39 21 + 1) chia hết cho 5 Mặt khác 21 39 - 39 21 = (21 39 - 3 39 ) + (39 21 - 3 21 ) + (3 39 + 3 21 ) Mà 21 39 - 3 39 = 18 (21 38 + +3 38 ) chia hết cho 9 21 39 - 3 39 = 36 (39 20 ++3 20 ) chia hết cho 9 Và 3 39 + 3 21 = 3 21 (3 18 + 1) = (3 3 ) 7 (3 18 + 1) chia hết cho 9 Mà ( 5,9) = 1 nên 21 39 + 39 21 45 10 [...]... 257.15 A = 15( 2 + 25 + … + 257) chia hÕt cho 15 KL: VËy A chia hÕt cho 3,7 vµ 15 Bµi tËp t¬ng tù: Bµi1 Cho B = 3 + 33 + 35 + …+ 31991 Chøng minh r»ng B chia hÕt cho 13 vµ 41 Bµi 2 Cho C = 119 + 118 + 11 7 + …+ 11 + 1 Chøng minh r»ng C chia hÕt cho 5 Bµi 3 Chøng minh r»ng A chia hÕt cho B víi A = 13 + 23 + 33 + …+ 993 + 1003 B = 1 + 2 + 3 + …+ 99 + 100 D¹ng 3: Chøng minh chia hÕt ®èi víi biĨu thøc chøa... n3 – n chia hÕt cho 3 KL: VËy n3 – n chia hÕt cho 6 víi n nguyªn Bµi to¸n 2: Chøng minh r»ng 2n + 11 1 chia hÕt cho 3 nchuso *chó ý: Sè n vµ sè cã tỉng c¸c ch÷ sè b»ng n cã cïng sè d trong phÐp chia cho 9, do ®ã 11 1 - n chia hÕt cho 9 nchuso Ta cã: 2n + 11 1 = 3n + ( 11 1 - n) chia hÕt cho 3 nchuso nchuso 13 Bµi to¸n 3: Chøng minh r»ng A = 10n + 18n – 1 chia hÕt cho 27 *C¸ch 1: A = 10n + 18n... *C¸ch 3 Ta cã: 21 ≡ 1 (mod 20) 39 ≡ -1 (mod 20) VËy 2139 + 3921 ≡ 139+ (-1)21 ≡ 0 (mod 20) Nh vËy 2139 + 3921 chia hÕt cho 20; do ®ã 2139 + 3921 chia hÕt cho 5 (*) T¬ng tù ta chøng minh 2139 + 3921 chia hÕt cho 9 KL: VËy 2139 + 3921 chia hÕt cho 45 Bµi to¸n 2: Chøng minh r»ng: 4343 - 1717 chia hÕt cho 5 +Ta cã: 4343= 4340 433= (434)10.4343 V× 433 cã tËn cïng bëi ch÷ sè 1 (34 cã tËn cïng bëi 1) nªn... 9n + 27n nchuso = 9( 11 1 - n) + 27n nchuso Mµ 27n chia hÕt cho 27 nªn ( 11 1 - n) chia hÕt cho 9 suy ra 9(11 1 - n) nchuso nchuso VËy 10n + 18n – 1 chia hÕt cho 27 C¸ch 2: (Ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc) + NÕu n = 1 th× A = 10 + 18 – 1 = 27 chia hÕt cho 27 VËy mƯnh ®Ị ®óng víi n = 1 + gi¶ sư mƯnh ®Ị ®óng víi n = k tøc lµ Ak = 10k + 18k -1 chia hÕt cho 27 Ta cÇn chøng minh mƯnh ®Ị ®óng víi n = k... n nguyªn d¬ng Bµi tËp t¬ng tù: Bµi 1: Chøng minh rằng : a)-10n + 72n -1 chia hÕt cho 91 b)- 22n +15n-1 chia hÕt cho 9 víi mäi n nguyªn d¬ng Bµi 2: Chøng minh r»ng víi mäi n tù nhiªn th×: (n+ 19931994 ) (n+ 19941993 ) chia hÕt cho 2 Bµi 4: Chøng mØnh»ng víi mäi sè tù nhiªn n th× 122n+1 + 11n+2 chia hÕt cho 133 + §©ylµ d¹ng to¸n chia hÕt mµ sè mò chøa ch÷ nªn khi lµm cÇn ®Þnh híng cho häc sinh c¸ch lµm... 3921 chia hÕt cho 45 th× ta chøng minh 2139 + 3921 chia hÕt cho 5.32 Ta cã: 2139 = (20 + 1)39 = 2039 + 39 2038 + …+ 39.20 + 1= 10M + 1.3921 = (30 + 9)21 = 3021+ 21.3020.9 + 9 +…+ + 21.30.920+ 921 = 10N + 9 Nh vËy: 2139 + 3921 = 10K + 1 + 9 = 10K + 10 chia hÕt cho 5 MỈt kh¸c 2139 + 3921 = (7.3)39 + (13.3)21 = 739.339+ 1321+ 321 = 321 739 318+ 1321 321 = 321 (739 318+ 1321) = (33)7 (739 318+ 1321) chia. .. VËy 4343 - 1717 chia hÕt cho 5 Bµi to¸n 3: Cho A = 2 + 22 + 23+ … + 260 Chøng minh r»ng: A chia hÕt cho 3,7 vµ 15 11 Ta cã: A =2 + 22 + 23+…+ 260 A = 2(1+2)+ 23 (1+2)+…+ 259 (1+2) = 3 (2 + 22 + 23+…+ 259) A = 3 (2 + 22 + 23+…+ 259) chia hÕt cho 3 Ta cã A = 2 + 22 + 23+…+ 260 A = 2 (1 + 2 + 22) + 24 (1 + 2 + 22) + … + 258 (1 + 2 + 22) A = 2 7 + 24.7 + … + 258.7 A = 7 (2 + 24 + …+ 258) chia hÕt cho 7... 121 =12( 144n – nn) + 12.11n + 121 nn = 12 133 M + 133 11n Mçi sè h¹ng ®Ịu chia hÕt cho 133 nªn 122n+1 + 11n+2 chia hÕt cho 133 15 C¸ch 2: (Dïng ph¬ng ph¸p quy n¹p) Víi n =1 th× tỉng 123 + 113 = (12 + 11) (122 -12 11 + 112) =22.133 chia hÕt cho 133 VËy mƯnh ®Ị ®óng víi n=1 Gi¶ sư mƯnh ®Ị ®óng víi n=k Tøc lµ 122k+1+11k+2 chia hÕt 133 Ta cÇn chøng minh mƯnh ®Ị ®óng víi n=k+1 ThËt vËy: 122k+3 +11k+3=144... thøc bÞ chia cã bËc ba, ®a thøc chia cã bËc nhÊt nªn th¬ng lµ mét ®a thøc bËc 2 cã h¹ng cao nhÊt : a2x3 : x =a2x2, sè h¹ng thÊp nhÊt lµ -2a : 1 = -2a Gäi th¬ng cđa phÐp chia lµ: a2x2 + bx - 2a, ta cã f(x) = (x+1) (a2x2 +bx -2a) a2 x3 +3ax2 -6x -2a =a2x3 +(a2 +b) x2 +(b-2a) x -2a a 2 + b = 3a ⇒ b − 2a = −6 Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh ta ®ỵc a=-2 th× b=-10 vµ a=3 th× b=0 21 +C¸ch 3: Gäi th¬ng cđa phÐp chia. .. (a-1) x + b –a Mn chia hÕt th× ®a thøc d ph¶i ®ång nhÊt b»ng 0, do ®ã a=1, b=a b) §Ỉt phÐp chia : TÝnh ®ỵc a=1, b=8 PHẦN THỨ III : KẾT LUẬN, KẾT QUẢ, KIẾN NGHỊ §Ĩ lµm tèt ®ỵc bµi tËp d¹ng “To¸n chia hÕt”nµy häc sinh cÇn ph¶i n¾m ch¾c c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n nh: TÝnh chÊt chia hÕt cđa 1 tỉng, hiƯu, 1 tÝch, dÊu hiƯu chia hÕt cđa 1 sè c¸c sè thêng gỈp nh: 2,3,4,5,6,8,10,11,… bªn c¹nh ®ã cßn hiĨu, n¾m ®ỵc . đó chia hết cho 3. *Dấu hiệu chia hết cho 9: Một số chia hết cho 9 khi và chỉ khi tổng các chữ số đó chia hết cho 9. *Dấu hiệu chia hết cho 6: Một số chia. hoặc b = 5. Vì ab19 chia hết cho 8 nên suy ra b = 0. Mặt khác 019a chia hết cho 8 suy ra 019a chia hết cho 4. 019a chia hết cho 4 0a chia hết cho 4 suy