Bài 1: TÍNH CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP SỐ NGUYÊN SỐ NGUYÊN TỐ A Nhắc lại bổ sung kiến thức cần thiết: I Tính chia hết: Định lí phép chia: Với số nguyên a,b (b 0), có cặp số nguyên q, r cho : a = bq + r với r b a gọi số bị chia , b số chia, q thương r số dư Trong trường hợp b > r viết: a = bq + r = b(q +1)+ r - b Ví dụ: Mọi số nguyên a có dạng: a = 2q (xét phép chia cho b = 2) a = 3q ; 3q (xét phép chia cho b = 3) a = 4q ; 4q ; 4q (xét phép chia cho b = 4) a = 5q; 5q 1; 5q (xét phép chia cho b = 5) Tính chia hết: Nếu a chia b mà số dư r = 0, ta nói : a chia hết cho b hay a bội b (kí hiệu a b) b chia hết a hay b ước a (kí hiệu b\ a) Vậy: a b (b\ a) có số nguyên q cho a = bq Các tính chất: 1) Nếu a b a b (b 0) 2) a a; a với a 3) a với a 4) Nếu a m an m (m 0, n nguyên dương) 5) Nếu a b b a |a| = |b| 6) Nếu a b b c (b,c 0) a c 7) Nếu a c b c(c 0) (a b) c Điều ngược lại không 8) Nếu a m b m ab m(m 0) Điều ngược lại không 9) Nếu a p a q, (p, q)= a pq 10) Nếu a = mn; b = pq m p n q a b 11) Nếu ab m (b,m) = a m 12) Nếu a b m a m b m II Số nguyên tố: 1.Định nghĩa: Số nguyên tố số tự nhiên lớn 1, có hai ước Hợp số số tự nhiên lơn có nhiều hai ước Số số số nguyên tố hợp số Định lí số học: Mọi số tự nhiên lớn phân tích thừa số nguyên tố cách nhất(không kể thứ tự thừa số) Số nguyên tố coi tích gồm thừa số Có vô số số nguyên tố (không có số nguyên tố lớn nhất) Số hoàn chỉnh: số tổng ước không kể thân Ví dụ: , 28, , 2n-1(2n - 1) III Một số phương pháp thông thường để giải toán chia hết: Cách 1: Để chứng minh A(n) chia hết cho k, xét trường hợp số dư chia n cho k Ví dụ 1: Chứng minh rằng: a) Tích hai số nguyên liên tiếp chia hết cho b) Tích ba số nguyên liên tiếp chia hết cho Giải : a) Viết tích hai số nguyên liên tiếp dạng A(n) = n(n + 1) Có hai trường hợp xảy : * n => n(n + 1) * n không chia hết cho (n lẻ) => (n + 1) => n(n +1) b) Chứng minh tương tự a Cách 2: Để chứng minh A(n) chia hết cho k, phân tích k thừa số: k = pq + Nếu (p, q) = 1, ta chứng minh A(n) p A(n) q + Nếu (p, q) 1, ta phân tích A(n) = B(n) C(n) chứng minh: B(n) p C(n) q Ví dụ 2: a) Chứng minh: A(n) = n(n +1)(n + 2) b) Chứng minh: tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho Giải : a) Ta có = 2.3; (2,3) = Theo chứng minh có A(n) chia hết cho Do A(n) chia hết cho b) Ta viết A(n) = 2n(2n + 2) = 2n 2(n +1) = 4n(n + 1) = Vì n(n +1) nên A(n) Ví dụ : Chứng minh n5 - n chia hết cho 10, với số nguyên dương n (Trích đề thi HSG lớp cấp tỉnh năm học 2005 - 2006) Giải : A(n) = n5 - n = n(n4 - 1) = n(n2 - 1)(n2 + 1) = n(n - 1)(n + 1)(n2 +1) n = 5k + => (n - 1) n = 5k + => (n + 1) n = 5k + => n2 + = (5k + 2)2 + = (25k2 + 20k + + 1) n = 5k + => n2 + = (5k + 3)2 + = (25k2 + 30k + + 1) Vậy : A(n) chia hết cho nên phải chia hết cho 10 Cách 3: Để chứng minh A(n) chia hết cho k , biến đổi A(n) thành tổng(hiệu) nhiều hạng tử , hạng tử chia hết cho k ( Đã học tính chất chia hết tổng lớp 6) (Liên hệ: A(n) không chia hết cho k ) Ví dụ 4: Chứng minh n3 - 13n (n > 1) chia hết cho (Trích đề thi HSG cấp II toàn quốc năm 1970) Giải : n3 - 13n = n3 - n - 12n = n(n2 - 1) - 12n = (n - 1)n(n + 1) - 12n (n - 1)n(n + 1) tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho ; 12n Do A(n) Ví dụ 5: Chứng minh n2 + 4n + không chia hết cho , với số n lẻ Giải : Với n = 2k +1 ta có: A(n) = n2 + 4n + = (2k + 1)2 + 4(2k + 1) + = 4k2 + 4k + + 8k + + = 4k(k + 1) + 8(k + 1) + A(n) tổng ba hạng tử, hai hạng tử đầu chia hết cho , có hạng tử không chia hết cho Vậy A(n) không chia hết cho Cách 4: Viết A(n) dạng: A(n) = k.B(n) A(n) chia hết cho k Hệ quả: Nếu A(n) = B(n).C(n) mà B(n)và C(n) không chia hết cho k A(n) không chia hết cho k Ví dụ 6: Chứng minh : + 22 + 23 + + 260 chia hết cho 15 Giải: Ta có: + 22 +23 + + 260 = (2 + 22 + + 24) + (25+ +28)+ +(257 + 260) = 2(1+2+4+8) +25(1+2+4+8) + + 257(1+2+4 + 8) = 15.(2 + 25 + + 257) 15 IV Một số phương pháp đặc biệt để giải toán chia hết: Cách 5: Dùng nguyên tắc Dirichlet: Nguyên tắc Dirichlet phát biểu dạng hình ảnh sau: Nếu nhốt k thỏ vào m chuồng mà k> m phải nhốt hai thỏ vào chung chuồng Ví dụ 7: Chứng minh m + số nguyên có hai số có hiệu chia hết cho m Giải: Chia số nguyên cho m ta số dư m số 0; ; 2; 3; ; m - Theo nguyên tắc Dirichlet, chia m + 1số cho m phải có hai số có số dư Do hiệu hai số chia hết cho m Cách 6: Dùng phương pháp qui nạp toán học: Để chứng minh A(n) k ta làm theo trình tự sau: Thử với n = 2(Tức số n nhỏ chọn ra).Nếu sai => Dừng.Nếu A(1) k.Tiếp tục: Giả sử A(k) k Chứng tỏ A(k + 1) k Nếu => Kết luận : A(n) k Ví dụ 8: Chứng minh : 16n - 15n - chia hết cho 225 Đặt A(n) = 16n - 15n -1 , ta có : A(1) = 16 - 15 - = 225 => A(1) Giả sử A(k) : A(k) = 16k - 15k -1 225 Ta chứng minh A(k + 1) đúng, tức c/m: 16k + - 15(k + 1) - 225 Thật vậy, 16k+1 - 15(k + 1) - = 16 16k - 15k - 15 - = (15 + 1) 16k - 15k 15 - = 15.16k + 16k - 15k -15 - = (16k - 15k - 1) + 15(16k - 1) = (16k-15k-1)+15(16 - 1)(16k-1 + +1) = (16k - 15k - 1) + 225(16k-1+ + 1) 225 Cách 9: Phương pháp phản chứng: Để chứng minh A(n) k ta chứng minh A(n) không chia hết cho k sai B PHẦN BÀI TẬP: Chứng minh: a) 192007 - 192006 chia hết cho b) 92n + 14 chia hết cho