TÍNH CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP SỐ NGUYÊN và SỐ NGUYÊN TỐ ppt

TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2010-2011 1 PHẦN SỐ HỌC Bài 1: TÍNH CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP SỐ NGUYÊN. SỐ NGUYÊN TỐ. A. Nhắc lại và bổ sung các kiến thức cần thiết: I. Tính chia hết: 1. Định lí về phép chia: Với mọi số nguyên a,b (b ≠ 0), bao giờ cũng có một cặp số nguyên q, r sao cho : a = bq + r với br <≤0 . a gọi là số bị chia , b là số chia, q là thương và r là số dư. Trong trường hợp b > 0 và r ≠ 0 có thể viết: a = bq + r = b(q +1)+ r - b. Ví dụ: Mọi số nguyên a đều có dạng: a = 2q ± 1 (xét phép chia cho b = 2) a = 3q ; 3q ± 1 (xét phép chia cho b = 3) a = 4q ; 4q ± 1 ; 4q ± 2 (xét phép chia cho b = 4). a = 5q; 5q ± 1; 5q ± 2 (xét phép chia cho b = 5) 2. Tính chia hết: Nếu a chia b mà số dư r = 0, ta nói : a chia hết cho b hay a là bội của b (kí hiệu a M b) b chia hết a hay b là ước của a (kí hiệu b\ a) Vậy: a M b (b\ a) khi và chỉ khi có số nguyên q sao cho a = bq. 3. Các tính chất: 1) Nếu a M b thì ± a M ± b (b ≠ 0) 2) a M a; 0 M a với mọi a ≠ 0 3) a M ± 1 với mọi a 4) Nếu a M m thì a n M m (m ≠ 0, n nguyên dương). 5) Nếu a M b và b M a thì |a| = |b| 6) Nếu a M b và b M c (b,c ≠ 0) thì a M c. 7) Nếu a M c và b M c(c ≠ 0) thì (a ± b) M c. Điều ngược lại không đúng. 8) Nếu a M m hoặc b M m thì ab M m(m ≠ 0). Điều ngược lại không đúng. 9) Nếu a M p và a M q, (p, q)= 1 thì a M pq 10) Nếu a = mn; b = pq và m M p n M q thì a M b 11) Nếu ab M m và (b,m) = 1 thì a M m 12) Nếu a ± b M m và a M m thì b M m II. Số nguyên tố: 1.Định nghĩa: Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó. Hợp số là số tự nhiên lơn hơn 1 có nhiều hơn hai ước. Số 1 và số 0 không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số. 2. Định lí cơ bản của số học: Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất(không kể thứ tự các thừa số). Số nguyên tố được coi như là tích chỉ gồm một thừa số là chính nó. Có vô số số nguyên tố (không có số nguyên tố lớn nhất). Số hoàn chỉnh: là số bằng tổng các ước của nó không kể bản thân nó. Ví dụ: 6 , 28, , 2 n-1 (2 n - 1) III. Một số phương pháp thông thường để giải bài toán về chia hết: Cách 1: Để chứng minh A(n) chia hết cho k, có thể xét mọi trường hợp số dư khi TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2010-2011 2 chia n cho k. Ví dụ 1: Chứng minh rằng: a) Tích của hai số nguyên liên tiếp chia hết cho 2. b) Tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 3. Giải : a) Viết tích của hai số nguyên liên tiếp dưới dạng A(n) = n(n + 1). Có hai trường hợp xảy ra : * n M 2 => n(n + 1) M 2 * n không chia hết cho 2 (n lẻ) => (n + 1) M 2 => n(n +1) M 2 b) Chứng minh tương tự a. Cách 2: Để chứng minh A(n) chia hết cho k, có thể phân tích k ra thừa số: k = pq . + Nếu (p, q) = 1, ta chứng minh A(n) M p và A(n) M q. + Nếu (p, q) ≠ 1, ta phân tích A(n) = B(n) .C(n) rồi chứng minh: B(n) M p và C(n) M q . Ví dụ 2: a) Chứng minh: A(n) = n(n +1)(n + 2) M 6. b) Chứng minh: tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8. Giải : a) Ta có 6 = 2.3; (2,3) = 1 . Theo chứng minh trên đã có A(n) chia hết cho 2 và 3. Do đó A(n) chia hết cho 6. b) Ta viết A(n) = 2n(2n + 2) = 2n. 2(n +1) = 4n(n + 1). 8 = 4 . 2. Vì 4 M 4 và n(n +1) M 2 nên A(n) M 8 Ví dụ 3 : Chứng minh rằng n 5 - n chia hết cho 10, với mọi số nguyên dương n. (Trích đề thi HSG lớp 9 cấp tỉnh năm học 2005 - 2006) Giải : A(n) = n 5 - n = n(n 4 - 1) = n(n 2 - 1)(n 2 + 1) = n(n - 1)(n + 1)(n 2 +1) M 2 n = 5k + 1 => (n - 1) M 5 n = 5k + 4 => (n + 1) M 5. n = 5k + 2 => n 2 + 1 = (5k + 2) 2 + 1 = (25k 2 + 20k + 4 + 1) M 5 n = 5k + 3 => n 2 + 1 = (5k + 3) 2 + 1 = (25k 2 + 30k + 9 + 1) M 5 Vậy : A(n) chia hết cho 2 và 5 nên phải chia hết cho 10. Cách 3: Để chứng minh A(n) chia hết cho k , có thể biến đổi A(n) thành tổng(hiệu) của nhiều hạng tử , trong đó mỗi hạng tử đều chia hết cho k . ( Đã học trong tính chất chia hết của một tổng ở lớp 6) (Liên hệ: A(n) không chia hết cho k ) Ví dụ 4: Chứng minh n 3 - 13n (n > 1) chia hết cho 6. (Trích đề thi HSG cấp II toàn quốc năm 1970). Giải : n 3 - 13n = n 3 - n - 12n = n(n 2 - 1) - 12n = (n - 1)n(n + 1) - 12n (n - 1)n(n + 1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6 ; 12n M 6 . Do đó A(n) M 6 Ví dụ 5: Chứng minh n 2 + 4n + 5 không chia hết cho 8 , với mọi số n lẻ. Giải : Với n = 2k +1 ta có: A(n) = n 2 + 4n + 5 = (2k + 1) 2 + 4(2k + 1) + 5 = 4k 2 + 4k + 1 + 8k + 4 + 5 = 4k(k + 1) + 8(k + 1) + 2. A(n) bằng tổng của ba hạng tử, trong đó hai hạng tử đầu đều chia hết cho 8 , duy chỉ có hạng tử 2 không chia hết cho 8. Vậy A(n) không chia hết cho 8. Cách 4: Viết A(n) được dưới dạng: A(n) = k.B(n) thì A(n) chia hết cho k. Hệ quả: Nếu A(n) = B(n).C(n) mà B(n)và C(n) đều không chia hết cho k thì A(n) TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2010-2011 3 không chia hết cho k Ví dụ 6: Chứng minh : 2 + 2 2 + 2 3 + + 2 60 chia hết cho 15. Giải: Ta có: 2 + 2 2 +2 3 + + 2 60 = (2 + 2 2 + + 2 4 ) + (2 5 + +2 8 )+ +(2 57 + 2 60 ) = 2(1+2+4+8) +2 5 (1+2+4+8) + + 2 57 (1+2+4 + 8) = 15.(2 + 2 5 + + 2 57 ) M 15. IV. Một số phương pháp đặc biệt để giải toán chia hết: Cách 5: Dùng nguyên tắc Dirichlet: Nguyên tắc Dirichlet phát biểu dưới dạng hình ảnh như sau: Nếu nhốt k chú thỏ vào m chuồng mà k> m thì phải nhốt ít nhất hai chú thỏ vào chung một chuồng. Ví dụ 7: Chứng minh rằng trong m + 1 số nguyên bất kì thế nào cũng có hai số có hiệu chia hết cho m. Giải: Chia một số nguyên bất kì cho m ta được số dư là một trong m số 0; 1 ; 2; 3; ; m - 1. Theo nguyên tắc Dirichlet, chia m + 1số cho m thì phải có ít nhất hai số có cùng số dư . Do đó hiệu của hai số này sẽ chia hết cho m. Cách 6: Dùng phương pháp qui nạp toán học: Để chứng minh A(n) M k ta làm theo trình tự sau: Thử với n = 1 hoặc 2(Tức số n nhỏ nhất chọn ra).Nếu sai => Dừng.Nếu đúng A(1) M k.Tiếp tục: Giả sử A(k) M k. Chứng tỏ A(k + 1) M k. Nếu đúng => Kết luận : A(n) M k Ví dụ 8: Chứng minh : 16 n - 15n - 1 chia hết cho 225. Đặt A(n) = 16 n - 15n -1 , ta có : A(1) = 16 - 15 - 1 = 0 M 225 => A(1) đúng. Giả sử A(k) đúng : A(k) = 16 k - 15k -1 M 225. Ta chứng minh A(k + 1) đúng, tức là c/m: 16 k + 1 - 15(k + 1) - 1 M 225. Thật vậy, 16 k+1 - 15(k + 1) - 1 = 16. 16 k - 15k - 15 - 1 = (15 + 1) 16 k - 15k - 15 - 1 = 15.16 k + 16 k - 15k -15 - 1 = (16 k - 15k - 1) + 15(16 k - 1) = (16 k -15k-1)+15(16 - 1)(16 k-1 + +1) = (16 k - 15k - 1) + 225(16 k-1 + + 1) M 225 Cách 9: Phương pháp phản chứng: Để chứng minh A(n) M k ta chứng minh A(n) không chia hết cho k là sai. B. PHẦN BÀI TẬP: Chứng minh: 1. a) 19 2007 - 19 2006 chia hết cho 9. b) 9 2n + 14 chia hết cho 5. c) Tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, tổng của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho5. 2. Tích của một số chính phương và một số tự nhiên đứng liền trước nó là một số chia hết cho 12. 3. (n 2 - 1)n 2 (n 2 + 1) chia hết cho 60 4. a) n 2 + 11n + 39 không chia hết cho 49 b) n 2 + 3n +5 không chia hết cho 11 5. a) n 4 + 6n 3 + 11n 2 + 6n chia hết cho 24. b) n 4 - 4n 3 - 4n 2 - 16n (chẵn, n > 4) chia hết cho 384. 6. 4 n + 15n - 1 chia hết cho 9. 7. n 2 + 4n + 3 (n lẻ) chia hết cho 8. 8. n 3 + 3n 2 - n - 3 chia hết cho 48. 9) 3 6n -2 6n chia hết cho 35 TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2010-2011 4 10) ab(a 2 + b 2 )(a 2 - b 2 ) chia hết cho 30 với mọi số nguyên a,b. 11) a) (6 2n + 19 n - 2 n+1 ) chia hết cho17. b) (7.5 2n + 12.6 n ) chia hết cho 19. c) (5 n+2 + 26.5 n + 8 2n+1 ) chia hết cho 59. 12) a)a 2 + b 2 chia hết cho 7 thì a và b cũng chia hết cho 7. b) a 2 + b 2 chia hết cho 3 thì a và b cũng chia hết cho 3 Bài 2: ĐỒNG DƯ THỨC . A. Tóm tắt lý thuyết: I. Định nghĩa: 1.Định nghĩa: Cho số nguyên m > 0.Nếu hai số nguyên a và b khi chia cho m có cùng số dư thì ta nói rằng a đồng dư với b theo môđun m và viết: a ≡ b (modm). 2. Ví dụ: 3 ≡ 5 (mod2) 14 ≡ 0 (mod 7) II. Tính chất : 1. Nếu a ≡ b (mod m) thì a - b M m 2. Nếu a ≡ b (mod m) và b ≡ c (mod m) thì a ≡ c (mod m) 3. Nếu a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) thì a ± c ≡ b ± d (mod m) 4. Nếu a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) thì ac ≡ bd (mod m) 5. Nếu a ≡ b (mod m) thì a n ≡ b n (mod m) 6. Nếu a ≡ b (mod m) thì ka ≡ kb (mod m) với k > 0 7. Nếu ka ≡ kb (mod km) thì a ≡ b (mod m) với k > 0 8. Nếu ka ≡ kb (mod m) và (k , m) = 1thì a ≡ b (mod m) . 9. Định lí Fermat: Nếu p là số nguyên tố thì : n p ≡ n (mod p) ; n ∈ Z Hoặc : Nếu p là số nguyên tố thì : n p-1 ≡ 1 (mod p), với (n,p) = 1 10. Định lí Euler : Cho m là một số nguyên dương bất kì và (m) là số các số dương nhỏ hơn m và nguyên tố với m. Thế thì : n  (m) ≡ 1 (mod m) * Cách tính (m) : phân tích m ra thừa số nguyên tố : m = a 1 α . a 2 β a n λ . Thế thì : (m) = m         −         −         − n aaa 1 1 1 1 1 1 21 III. Bài tập ứng dụng: Bài 1: Chứng minh 2 100 - 1 chia hết cho 5 Giải : Ta có 2 4 ≡ 1(mod 5) =>(2 4 ) 25 ≡ 1 25 (mod 5) =>2 100 ≡ 1(mod 5) hay 2 100 - 1 M 5 Bài 2: Tìm số dư của phép chia 2 99 cho 3. Giải : Có 2 3 ≡ -1 (mod 3) ⇔ (2 3 ) 33 ≡ (-1) 33 (mod 3) ⇔ 2 99 ≡ -1 (mod 3) . Vậy 2 99 chia 3 dư 2. Bài 3 : Tìm chữ số cuối cùng của 2 999 Bài 4: Chứng minh 2 2008 không chia hết cho 10. Bài 5: Chứng minh rằng trong các số tự nhiên thế nào cũng có số k sao cho 1983 k - 1 chia hết cho 10 5 . Giải: Cách 1: Áp dụng nguyên tắc Dirichlet: Cho k lần lượt lấy 10 5 + 1 giá trị liên tiếp từ 1 trở đi, ta được 10 5 + 1 giá trị khác nhau của 1983 k - 1. Chia 10 5 +1 số này cho 10 5 , ta có nhiều nhất là 10 5 số dư, do đó TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2010-2011 5 theo nguyên tắc Dirichlet, phải có hai số cho cùng số dư khi chia cho 10 5 . Giả sử đó là hai số 1983 m -1 và 1983 n - 1 (m > n). Thế thì hiệu của hai số này phải chia hết cho 10 5 : (1983 m - 1) - (1983 n -1) = 1983 m - 1983 n = 1983 n (1983 m-n -1) M 10 5 . Do 1983 không chia hết cho 10 5 => 1983 n cũng không chia hết cho 10 5 . Vì vậy 10 m-n - 1 chia hết cho 10 5 . Như vậy tìm được số k = m-n sao cho 1983 k - 1 chia hết cho 10 5 . Cách 2: Áp dụng định lí Euler: Vì 1983 không chia hết cho 2 và không chia hết cho 5 , còn 10 5 = 2 5 5 5 nên (1983, 10 5 ) = 1 . Áp dụng định lí Euler: 1983  (10 5 ) ≡ 1 (mod 10 5 ) Mà (10 5 ) = 10 5 (1 - 2 1 ) (1 - 5 1 ) = 4. 10 4 . Nên ta có 1983 4.10 4 ≡ 1 (mod 10 5 ). số 4.10 4 là số k phải tìm. Đề bài áp dụng: 1. Tìm số dư khi :a) chia 8! Cho 11; b) chia 1532 5 -1 cho 9 c) chia 3 40 cho 83.; d) chia 2 1000 cho 25; e) chia 3012 93 cho 13 2. Chứng minh rằng : a) 2 4n - 1 M 15; b) 2 70 + 3 70 M 13 c) 12 2n+1 - 11 n+2 M 133; d) 2222 5555 + 5555 2222 M 7 e) 1 4k + 2 4k + 3 4k + 4 4k không chia hết cho 5 TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2010-2011 KẾ HOẠCH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 9 Năm học 2011-2012 Chuyên đề 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a. ( ) ( ) 11 22 +−+ axxa b. nn xxx −+− +3 1 . Giải: a. Dùng phương pháp đặt nhân tử chung ( ) ( ) 11 22 +−+ axxa = xxaaax −−+ 22 ( ) ( ) ( ) ( ) 1−−=−−−= axaxaxaxax b. Dùng phương pháp đặt nhân tử chung rồi sử dụng hằng đẳng thức nn xxx −+− +3 1 . ( ) ( ) 11 3 −+−= xxx n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 11 111111 12 22 +++−= +++−=−+++−= ++ nnn nn xxxx xxxxxxxxx Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử : a. x 8 + 3x 4 + 4. b. x 6 - x 4 - 2x 3 + 2x 2 . Giải: a.Dùng phương pháp tách hạng tử rồi sử dụng hằng đẳng thức x 8 + 3x 4 + 4 = (x 8 + 4x 4 + 4)- x 4 = (x 4 + 2) 2 - (x 2 ) 2 = (x 4 - x 2 + 2)(x 4 + x 2 + 2) TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2010-2011 6 b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung ,tách hạng tử ,nhóm thích hợp để sử dụng hằng đẳng thức x 6 - x 4 - 2x 3 + 2x 2 = x 2 (x 4 - x 2 - 2x +2) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] 221 11111 1212 2 2 2 22 2 2 2 22 2242 ++−= ++−=−+−= +−++−= xxxx xxxxxx xxxxx Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử : a. abcbccbaccaabba 42442 222222 −+−+−+ b. 200720062007 24 +++ xxx Giải: a.Dùng phương pháp tách hạng tử rồi nhóm thích hợp: abcbccbaccaabba 42442 222222 −+−+−+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )( )( ) cacbba cbccbababccacabba babcbacbaacbaab abcbccbacabccaabba abcbccbaccaabba −−+= −−−+=−+−+= +−+++−+= =−+−+−−+= −+−+−+ 22 222222 222222 224242 42442 2 2 222222 222222 b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung rồi sử dụng hằng đẳng thức 20072062007 24 +++ xxx ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 20071 1200711 200720072007 22 22 24 +−++= +++++−= +++−= xxxx xxxxxx xxxx Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử : a. abccba 3 333 −++ b. ( ) 333 3 cbacba −−−++ . Giải: Sử dụng các hằng đẳng thức ( ) ( ) abbababa −++=+ 2233 ( ) ( ) [ ] abbaba 3 2 −++= ( ) ( ) baabba +−+= 3 3 .Do đó: =−++ abccba 3 333 ( ) [ ] ( ) abcbaabcba 33 3 3 −+−++= ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) cabcabcbacba cbaabccbabacba −−−++++= ++−++−+++= 222 2 2 3 b. ( ) ( ) [ ] ( ) 3 3 3 333 3 cbacbacbacba +−−++=−−−++ ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) bacacbcabcabacb cbcbcbacbaacbacb +++=++++= +−+−+++++++= 33333 2 222 2 Ví d ụ 5: Cho a + b + c = 0. Ch ứ ng minh r ằ ng :a 3 + b 3 + c 3 = 3abc. TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2010-2011 7 Gi ả i: Vì a + b + c = 0 ( ) ( ) abc c b a abc c b a cbaabbacba 3 0 3 3 333333 3333 3 = + + ⇒ = − + + ⇒ −=+++⇒−=+⇒ Ví d ụ 6: Cho 4a 2 + b 2 = 5ab, và 2a > b > 0. Tính 22 4 b a ab P − = Gi ả i: Bi ế n đổ i 4a 2 + b 2 = 5ab ⇔ 4a 2 + b 2 - 5ab = 0 ⇔ ( 4a - b)(a - b) = 0 ⇔ a = b. Do đ ó 3 1 3 4 2 2 22 == − = a a b a ab P Ví d ụ 7:Cho a,b,c và x,y,z khác nhau và khác 0. Ch ứ ng minh r ằ ng n ế u: 1;0 =++=++ c z b y a x z c y b x a thì 1; 2 2 2 2 2 2 =++ c z b y a x Gi ả i: 000 =++⇒= + + ⇒=++ cxybxzayz xyz cxybxzayz z c y b x a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2. 1 1 x y z x y z x y z ayz bxz cxy x y z a b c a b c a b c abc a b c + +   + + = ⇒ + + = + + + = ⇒ + + =     Chuyên đề 2:.BẤT ĐẲNG THỨC CÔ – SI 1. Ch ứ nh minh : a 2 + b 2 ≥ 2ab (V ớ i a , b ≥ 0) (B Đ T Cô-si) Gi ả i:( a – b ) 2 = a 2 - 2ab + b 2 ≥ 0 ⇒ a 2 + b 2 ≥ 2ab . Đẳ ng th ứ c x ả y ra khi a = b 2. Ch ứ ng minh: ( a + b ) 2 ≥ 4ab . (V ớ i a , b ≥ 0) Gi ả i:( a+b ) 2 = (a 2 - 2ab + b 2 )+ 4ab = (a-b) 2 + 4ab ≥ 0 + 4ab ⇒ ( a + b ) 2 ≥ 4ab . Đẳ ng th ứ c x ả y ra khi a = b. 3. Ch ứ ng minh: 2(a 2 + b 2 ) ≥ ( a+b ) 2 (V ớ i a , b ≥ 0) Gi ả i:2(a 2 + b 2 ) – ( a+b ) 2 = a 2 -2ab+b 2 = (a-b) 2 ≥ 0 ⇒ 2(a 2 + b 2 ) ≥ ( a+b ) 2 . Đẳ ng th ứ c x ả y ra khi a = b. 4. Ch ứ ng minh: a b + b a ≥ 2 .(V ớ i a.b > 0) Gi ả i: a b + b a = (a 2 +b 2 ) ab .Do ab ≤ a 2 +b 2 2 ⇒ (a 2 +b 2 ) ab ≥ 2 .Hay a b + b a ≥ 2 . Đẳ ng th ứ c x ả y ra khi a = b 5. Ch ứ ng minh: a b + b a ≤ - 2 .(V ớ i a.b < 0) Gi ả i: a b + b a = - a 2 +b 2 | | a.b .Do a 2 +b 2 | | a.b ≥ 2 ⇒ - a 2 +b 2 | | a.b ≤ -2. Hay a b + b a ≤ - 2. Đẳ ng th ứ c x ả y ra khi a = -b. TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2010-2011 8 6. Ch ứ ng minh: 1 a + 1 b ≥ 4 a+b . (V ớ i a , b > 0) Gi ả i: 1 a + 1 b - 4 a+b = (a+b).a+(a+b).b-4ab (a+b).ab = (a-b) 2 (a+b).ab ≥ 0 ⇒ 1 a + 1 b ≥ 4 a+b . Đẳ ng th ứ c x ả y ra khi a = b. Ch ứ ng minh r ằ ng: a 2 +b 2 +c 2 ≥ ab+bc+ca . Gi ả i:2(a 2 +b 2 +c 2 ) – 2(ab+bc+ca) =(a-b) 2 +(b-c) 2 +(c-a) 2 ≥ 0 7. ⇒ 2(a 2 +b 2 +c 2 ) ≥ 2(ab+bc+ca) .Hay a 2 +b 2 +c 2 ≥ ab+bc+ca . Đẳ ng th ứ c x ả y ra khi a = b;b = c;c = a ⇔ a = b= c. Chuyên đề 3:TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT D Ạ NG P = ax 2 + bx + c • •• • N ế u a > 0 : 2 2 2 4ac-b ax + bx +c = 4a 2 b P a x a   = + +     Suy ra 2 4ac-b = 4a MinP Khi b x=- 2a • •• • N ế u a < 0 : 2 2 2 4 a c+b ax + bx +c = 4 a 2 b P a x a   = − −       Suy ra 2 4 a c+b ax 4 a M P = Khi b x= 2 a M ộ t s ố ví d ụ : 1. Tìm GTNN c ủ a A = 2x 2 + 5x + 7 Gi ả i:A = 2x 2 + 5x + 7 = 2 5 25 25 2( 2. ) 7 4 16 16 x x + + − + = 2 2 2 5 25 56 25 5 31 5 2( ) 7 2( ) 2( ) 4 8 8 4 8 4 x x x − = + − + = + + = + + . 2. Suy ra 31 5 8 4 MinA Khi x = = − . 3. Tìm GTLN c ủ a A = -2x 2 + 5x + 7 Gi ả i: A = -2x 2 + 5x + 7 = - 2 5 25 25 2( 2. ) 7 4 16 16 x x − + − + = 2 2 2 5 25 56 25 5 81 5 2( ) 7 2( ) 2( ) 4 8 8 4 8 4 x x x + = − − + + = − − = − − ≤ 81 8 . 4. Suy ra 81 5 8 4 MinA Khi x = = . 5. Tìm GTNN c ủ a B = 3x 2 + y 2 - 8x + 2xy + 16. Gi ả i: B = 3x 2 + y 2 - 8x + 2xy + 16 = 2(x - 2) 2 + (x + y) 2 + 8 ≥ 8. ⇒ MinB = 8 khi :      x-2=0 x+y=0 ⇔      x=2 y=-2 . 6. Tìm GTLN c ủ a C = -3x 2 - y 2 + 8x - 2xy + 2. Gi ả i: C = -3x 2 - y 2 + 8x - 2xy + 2 = 10 - [ ] 2(x-2) 2 +(x+y) 2 ≤ 10. TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2010-2011 9 ⇒ GTLNC = 10 khi:      x-2=0 x+y=0 ⇔      x=2 y=-2 . Chuyên đề 4: BIẾN ĐỔI PHÂN THỨC • Ví d ụ 1`: a. Rút g ọ n Bi ế u th ứ c 6 2 9124 2 2 − − ++ = a a aa B V ớ i a 2 3 −≠ b. Th ự c hi ệ n phép tính: ( ) aaa a a aa − + + − + ++ 2 2 2 8 : 5,01 25,0 32 (a ≠ ± 2.) Gi ả i:a. 6 2 9124 2 2 − − ++ = a a aa B ( ) ( )( ) 2 32 232 32 2 − + = −+ + = a a aa a b. ( ) ( ) aa a a a aa aaa a a aa − + − + ⋅ + ++ = − + + − + ++ 2 2 8 2 2 42 2 2 2 8 : 5,01 25,0 3 232 ( ) ( ) ( ) ( ) aaa a aa aaa aa 1 2 2 2 2 422 42 2 2 = − − = − − ++− ++ = • Ví d ụ 2 Th ự c hi ệ n phép tính: xyyx yx yx xyyx A 2 : 22 33 22 22 −+ + − −+ = .( V ớ i x ≠ ± y) Gi ả i: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 : 2 x y x y xy x y x y xy x y A x y x y xy x y x y x y x y xy x y − + − + + − − = = ⋅ = − + − − + + + − + • Ví d ụ 3 Cho bi ể u th ứ c : 1 2 1 234 34 + − + − +++ = x x x x xxx A . a. Rút g ọ n bi ể u th ứ c A. b. Ch ứ ng minh r ằ ng A không âm v ớ i m ọ i giá tr ị c ủ a x . 1 1 1 2 1 2234 34 234 34 +−++− +++ = +−+− +++ = x x x x x xxx x x x x xxx A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + − + + + + + = = = = − + + − + − + + − + + + b. ( ) ( ) 001;01; 1 1 2 2 2 2 ≥⇒>+≥+ + + = Axx x x A Ví d ụ 4 Tính giá tr ị bi ế u th ứ c : 8765 8765 −−−− + + + +++ a a a a aaaa v ớ i a = 2007.Gi ả i: ( ) ( ) 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 3 2 1 5 6 7 8 3 2 5 6 7 8 8 13 2 3 13 13 3 2 1 1 1 1 1 1 1 2007 1 a a a a a a a a a a a a a a a a a B a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a B a a a − − − − + + + + + + + + + + + + = = = = + + + + + + + + + + + + + + + = = ⇒ = + + + • Ví d ụ 5: Tính giá tr ị bi ế u th ứ c : 2 2 : 2510 25 223 2 −− − +− − yy y xxx x . TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2010-2011 10 Bi ế t x 2 + 9y 2 - 4xy = 2xy - 3−x . Gi ả i: x 2 + 9y 2 - 4xy = 2xy - 3−x ( ) 033 2 =−+−⇔ xyx    = = ⇔    = = ⇔ 1 3 3 3 y x x yx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 12 5 55 2 2 : 2510 25 2223 2 − +− ⋅ − +− = −− − +− − = y yy xx xx yy y xxx x C ( ) ( ) ( ) ( ) 3 8 2.3 2.8 5 15 −= − = − + + = xx yx Chuyên đề 5: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. Bài 1: Cho ph ươ ng trình ẩ n s ố x: x 2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0 (1) a) Gi ả i ph ươ ng trình khi m = 2. b) Ch ứ ng t ỏ r ằ ng ph ươ ng trình có nghi ệ m s ố v ớ i m ọ i m. c) Tìm m sao cho nghi ệ m s ố x 1, x 2 c ủ a ph ươ ng trình th ỏ a mãn đ i ề u ki ệ n 2 1 x + 2 2 x ≥ 10. Bài 2: Cho các s ố a, b, c th ỏ a đ i ề u ki ệ n: ( )    −+<+ > acbcabac c 2 0 2 Ch ứ ng minh r ằ ng ph ươ ng trình ax 2 + bx + c = 0 luôn luôn có nghi ệ m. Bài 3: Cho a, b, c là các s ố th ự c th ỏ a đ i ề u ki ệ n: a 2 + ab + ac < 0. Ch ứ ng minh r ằ ng ph ươ ng trình ax 2 + bx + c = 0 có hai nghi ệ m phân bi ệ t. Bài 4: Cho ph ươ ng trình x 2 + px + q = 0. Tìm p, q bi ế t r ằ ng ph ươ ng trình có hai nghi ệ m x 1 , x 2 th ỏ a mãn:    =− =− 35 5 3 2 3 1 21 xx xx Bài 5: CMR v ớ i m ọ i giá tr ị th ự c a, b, c thì ph ươ ng trình (x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = 0 luôn có nghi ệ m. Bài 6: CMR ph ươ ng trình ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có nghi ệ m bi ế t r ằ ng 5a + 2c = b Bài 7: Cho a, b, c là độ dài các c ạ nh c ủ a m ộ t tam giác. CMR ph ươ ng trình sau có nghi ệ m: (a 2 + b 2 – c 2 )x 2 - 4abx + (a 2 + b 2 – c 2 ) = 0 Bài 8: CMR ph ươ ng trình ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có nghi ệ m n ế u 4 2 +≥ a c a b Bài 9: Cho ph ươ ng trình : 3x 2 - 5x + m = 0. Xác đị nh m để ph ươ ng trình có hai nghi ệ m th ỏ a mãn: 2 1 x - 2 2 x = 9 5 Bài 10: Cho ph ươ ng trình: x 2 – 2(m + 4)x +m 2 – 8 = 0. Xác đị nh m để ph ươ ng trình có hai nghi ệ m x 1 , x 2 th ỏ a mãn: a) A = x 1 + x 2 -3x 1 x 2 đạ t GTLN b) B = x 1 2 + x 2 2 - đạ t GTNN. c) Tìm h ệ th ứ c liên h ệ gi ữ a x 1 , x 2 không ph ụ thu ộ c vào m. Bài 11: Gi ả s ử x 1 , x 2 là hai nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình b ậ c 2: 3x 2 - cx + 2c - 1 = 0. Tính theo c giá tr ị c ủ a bi ể u th ứ c: [...]... Ht Số nguyên tố I Kiến thức cần nhớ: 1 Dịnh nghĩa: * Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ớc là 1 và chính nó * Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ớc 2 Tính chất: * Nếu số nguyên tố p chia hết cho số nguyên tố q thì p = q * Nếu tích abc chia hết cho số nguyên tố p thì ít nhất một thừa số của tích abc chia hết cho số nguyên tố p * Nếu a và b không chia hết cho số nguyên tố. .. không chia hết cho số nguyên tố p 3 Cách nhận biết một số nguyên tố: a) Chia số đó lần lợt cho các số nguyên tố đã biết từ nhỏ đến lớn - Nếu có một phép chia hết thì số đó không phải là số nguyên tố - Nếu chia cho đến lúc số thơng nhỏ hơn số chia mà các phép chia vẫn còn số d thì ssó đó là số nguyên tố b) Một số có 2 ớc số lớn hơn 1 thì số đó không phải là số nguyên tố 4 Phân tích một số ra thừa số nguyên. .. rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 Tổng của 25 số nguyên tố là số chẵn hay số lẻ HD: Trong 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 có chứa một số nguyên tố chẵn duy nhất là 2, còn 24 số nguyên tố còn lại là số lẻ Do đó tổng của 25 số nguyên tố là số chẵn VD2: Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012 Tìm số nguyên tố nhỏ nhất trong ba số nguyên tố đó HD: Vì tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012, nên trong 3 số nguyên tố đó tồn... một số nguyên tố chẵn Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 và là số nguyên tố nhỏ nhất Vậy số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó là 2 VD3: Tổng của 2 số nguyên tố có thể bằng 2003 hay không? Vì sao? HD: Vì tổng của 2 số nguyên tố bằng 2003, nên trong 2 số nguyên tố đó tồn tại 1 số nguyên tố chẵn Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 Do đó số nguyên tố còn lại là 2001 Do 2001 chia hết cho 3 và 2001... a) Nếu p và q là hai số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 q2 M 24 b) Nếu a, a + k, a + 2k (a, k N*) là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì k M 6 Bài 5: a) Một số nguyên tố chia cho 42 có số d r là hợp số Tìm số d r b) Một số nguyên tố chia cho 30 có số d r Tìm số d r biết rằng r không là số nguyên tố Bài 6: Hai số nguyên tố gọi là sinh đôi nếu chúng là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp Chứng minh rằng một số tự nhiên... là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: p + 8 là hợp số b) Cho p và 2p + 1 là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 4p + 1 là hợp số c) Cho p và 10p + 1 là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 5p + 1 là hợp số d) Cho p và p + 8 là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: p + 4 là hợp số e) Cho p và 4p + 1 là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 2p + 1 là hợp số f) Cho p và 5p +... một số ra thừa số nguyên tố: * Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là viết số đó dới dạng một tích các thừa số nguyên tố - Dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của mỗi số nguyên tố là chính số đó - Mọi hợp số đều phân tích đợc ra thừa số nguyên tố A = a b .c Với a, b, c là những số nguyên tố , , , N và , , , 1 5 Số các ớc số và tổng các ớc số của một số: 31 TrngTHCS Nguyn ỡnh... + 1 là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 10p + 1 là hợp số g) Cho p và 8p + 1 là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p - 1 là hợp số h) Cho p và 8p - 1 là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p + 1 là hợp số i) Cho p và 8p2 - 1 là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p2 + 1 là hợp số j) Cho p và 8p2 + 1 là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p2 - 1 là hợp số Bài 4:... hợp số - Nếu n = 4k + 2 n M 2 n là hợp số Vậy mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4k + 1 hoặc 4k 1 Hay mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4n + 1 hoặc 4n 1 với n N* VD7: Tìm ssó nguyên tố, biết rằng số đó bằng tổng của hai số nguyên tố và bằng hiệu của hai số nguyên tố HD: Giả sử a, b, c, d, e là các số nguyên tố và d > e Theo bài ra: a = b + c = d - e (*) Từ (*) a > 2 a là số nguyên tố. .. số hàng trăm bằng chữ số hàng chục và số đó viết đợc dới dạng tích của 3 số nguyên tố liên tiếp Bài 10: Tìm 3 số nguyên tố lẻ liên tiếp đều là các số nguyên tố Bài 11: Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp p, q, r sao cho p2 + q2 + r2 cũng là số nguyên tố Bài 12: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố a, b, c sao cho a.b.c < a.b + b.c + c.a Bài 13: Tìm 3 số nguyên tố p, q, r sao cho pq + qp = r Bài 14: Tìm các số . PHẦN SỐ HỌC Bài 1: TÍNH CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP SỐ NGUYÊN. SỐ NGUYÊN TỐ. A. Nhắc lại và bổ sung các kiến thức cần thiết: I. Tính chia hết: 1. Định lí về phép chia: Với mọi số nguyên a,b. nghĩa: Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó. Hợp số là số tự nhiên lơn hơn 1 có nhiều hơn hai ước. Số 1 và số 0 không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp. Cho m là một số nguyên dương bất kì và (m) là số các số dương nhỏ hơn m và nguyên tố với m. Thế thì : n  (m) ≡ 1 (mod m) * Cách tính (m) : phân tích m ra thừa số nguyên tố : m = a 1 α .