TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2010-2011 PHẦN SỐ HỌC Bài 1: TÍNH CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP SỐ NGUYÊN SỐ NGUYÊN TỐ A Nhắc lại bổ sung kiến thức cần thiết: I Tính chia hết: Định lí phép chia: Với số nguyên a,b (b ≠ 0), có cặp số nguyên q, r cho : a = bq + r với ≤ r < b a gọi số bị chia , b số chia, q thương r số dư Trong trường hợp b > r ≠ viết: a = bq + r = b(q +1)+ r - b Ví dụ: Mọi số nguyên a có dạng: a = 2q ± (xét phép chia cho b = 2) a = 3q ; 3q ± (xét phép chia cho b = 3) a = 4q ; 4q ± ; 4q ± (xét phép chia cho b = 4) a = 5q; 5q ± 1; 5q ± (xét phép chia cho b = 5) Tính chia hết: Nếu a chia b mà số dư r = 0, ta nói : a chia hết cho b hay a bội b (kí hiệu a M b) b chia hết a hay b ước a (kí hiệu b\ a) Vậy: a M b (b\ a) có số nguyên q cho a = bq Các tính chất: 1) Nếu a M b ± a M ± b (b ≠ 0) 2) a M a; M a với a ≠ 3) a M ± với a 4) Nếu a M m an M m (m ≠ 0, n nguyên dương) 5) Nếu a M b b M a |a| = |b| 6) Nếu a M b b M c (b,c ≠ 0) a M c 7) Nếu a M c b M c(c ≠ 0) (a ± b) M c Điều ngược lại không 8) Nếu a M m b M m ab M m(m ≠ 0) Điều ngược lại không 9) Nếu a M p a M q, (p, q)= a M pq 10) Nếu a = mn; b = pq m M p n M q a M b 11) Nếu ab M m (b,m) = a M m 12) Nếu a ± b M m a M m b M m II Số nguyên tố: 1.Định nghĩa: Số nguyên tố số tự nhiên lớn 1, có hai ước Hợp số số tự nhiên lơn có nhiều hai ước Số số số nguyên tố hợp số Định lí số học: Mọi số tự nhiên lớn phân tích thừa số nguyên tố cách nhất(không kể thứ tự thừa số) Số nguyên tố coi tích gồm thừa số Có vô số số nguyên tố (không có số nguyên tố lớn nhất) Số hoàn chỉnh: số tổng ước không kể thân Ví dụ: , 28, , 2n-1(2n - 1) III Một số phương pháp thông thường để giải toán chia hết: Cách 1: Để chứng minh A(n) chia hết cho k, xét trường hợp số dư TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2010-2011 chia n cho k Ví dụ 1: Chứng minh rằng: a) Tích hai số nguyên liên tiếp chia hết cho b) Tích ba số nguyên liên tiếp chia hết cho Giải : a) Viết tích hai số nguyên liên tiếp dạng A(n) = n(n + 1) Có hai trường hợp xảy : * n M => n(n + 1) M * n không chia hết cho (n lẻ) => (n + 1) M => n(n +1) M b) Chứng minh tương tự a Cách 2: Để chứng minh A(n) chia hết cho k, phân tích k thừa số: k = pq + Nếu (p, q) = 1, ta chứng minh A(n) M p A(n) M q + Nếu (p, q) ≠ 1, ta phân tích A(n) = B(n) C(n) chứng minh: B(n) M p C(n) M q Ví dụ 2: a) Chứng minh: A(n) = n(n +1)(n + 2) M b) Chứng minh: tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho Giải : a) Ta có = 2.3; (2,3) = Theo chứng minh có A(n) chia hết cho Do A(n) chia hết cho b) Ta viết A(n) = 2n(2n + 2) = 2n 2(n +1) = 4n(n + 1) = Vì M n(n +1) M nên A(n) M Ví dụ : Chứng minh n5 - n chia hết cho 10, với số nguyên dương n (Trích đề thi HSG lớp cấp tỉnh năm học 2005 - 2006) Giải : A(n) = n5 - n = n(n4 - 1) = n(n2 - 1)(n2 + 1) = n(n - 1)(n + 1)(n2 +1) M n = 5k + => (n - 1) M n = 5k + => (n + 1) M n = 5k + => n2 + = (5k + 2)2 + = (25k2 + 20k + + 1) M n = 5k + => n2 + = (5k + 3)2 + = (25k2 + 30k + + 1) M Vậy : A(n) chia hết cho nên phải chia hết cho 10 Cách 3: Để chứng minh A(n) chia hết cho k , biến đổi A(n) thành tổng(hiệu) nhiều hạng tử , hạng tử chia hết cho k ( Đã học tính chất chia hết tổng lớp 6) (Liên hệ: A(n) không chia hết cho k ) Ví dụ 4: Chứng minh n3 - 13n (n > 1) chia hết cho (Trích đề thi HSG cấp II toàn quốc năm 1970) Giải : n3 - 13n = n3 - n - 12n = n(n2 - 1) - 12n = (n - 1)n(n + 1) - 12n (n - 1)n(n + 1) tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho ; 12n M Do A(n) M Ví dụ 5: Chứng minh n2 + 4n + không chia hết cho , với số n lẻ Giải : Với n = 2k +1 ta có: A(n) = n2 + 4n + = (2k + 1)2 + 4(2k + 1) + = 4k2 + 4k + + 8k + + = 4k(k + 1) + 8(k + 1) + A(n) tổng ba hạng tử, hai hạng tử đầu chia hết cho , có hạng tử không chia hết cho Vậy A(n) không chia hết cho Cách 4: Viết A(n) dạng: A(n) = k.B(n) A(n) chia hết cho k Hệ quả: Nếu A(n) = B(n).C(n) mà B(n)và C(n) không chia hết cho k A(n) TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2010-2011 không chia hết cho k Ví dụ 6: Chứng minh : + 22 + 23 + + 260 chia hết cho 15 Giải: Ta có: + 22 +23 + + 260 = (2 + 22 + + 24) + (25+ +28)+ +(257 + 260) = 2(1+2+4+8) +25(1+2+4+8) + + 257(1+2+4 + 8) = 15.(2 + 25 + + 257) M 15 IV Một số phương pháp đặc biệt để giải toán chia hết: Cách 5: Dùng nguyên tắc Dirichlet: Nguyên tắc Dirichlet phát biểu dạng hình ảnh sau: Nếu nhốt k thỏ vào m chuồng mà k> m phải nhốt hai thỏ vào chung chuồng Ví dụ 7: Chứng minh m + số nguyên có hai số có hiệu chia hết cho m Giải: Chia số nguyên cho m ta số dư m số 0; ; 2; 3; ; m - Theo nguyên tắc Dirichlet, chia m + 1số cho m phải có hai số có số dư Do hiệu hai số chia hết cho m Cách 6: Dùng phương pháp qui nạp toán học: Để chứng minh A(n) M k ta làm theo trình tự sau: Thử với n = 2(Tức số n nhỏ chọn ra).Nếu sai => Dừng.Nếu A(1) M k.Tiếp tục: Giả sử A(k) M k Chứng tỏ A(k + 1) M k Nếu => Kết luận : A(n) M k Ví dụ 8: Chứng minh : 16n - 15n - chia hết cho 225 Đặt A(n) = 16n - 15n -1 , ta có : A(1) = 16 - 15 - = M 225 => A(1) Giả sử A(k) : A(k) = 16k - 15k -1 M 225 Ta chứng minh A(k + 1) đúng, tức c/m: 16k + - 15(k + 1) - M 225 Thật vậy, 16k+1 - 15(k + 1) - = 16 16k - 15k - 15 - = (15 + 1) 16k - 15k - 15 - = 15.16k + 16k - 15k -15 - = (16k - 15k - 1) + 15(16k - 1) = (16k-15k-1)+15(16 - 1)(16k-1 + +1) = (16k - 15k - 1) + 225(16k-1+ + 1) M 225 Cách 9: Phương pháp phản chứng: Để chứng minh A(n) M k ta chứng minh A(n) không chia hết cho k sai B PHẦN BÀI TẬP: Chứng minh: a) 192007 - 192006 chia hết cho b) 92n + 14 chia hết cho c) Tổng số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, tổng số tự nhiên liên tiếp chia hết cho5 Tích số phương số tự nhiên đứng liền trước số chia hết cho 12 (n2 - 1)n2(n2 + 1) chia hết cho 60 a) n2 + 11n + 39 không chia hết cho 49 b) n2 + 3n +5 không chia hết cho 11 a) n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hết cho 24 b) n4 - 4n3 - 4n2 - 16n (chẵn, n > 4) chia hết cho 384 4n + 15n - chia hết cho n2 + 4n + (n lẻ) chia hết cho 8 n3 + 3n2 - n - chia hết cho 48 9) 36n -26n chia hết cho 35 TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu 2 Năm học2010-2011 10) ab(a + b )(a - b ) chia hết cho 30 với số nguyên a,b 11) a) (62n + 19n - 2n+1) chia hết cho17 b) (7.52n + 12.6n) chia hết cho 19 c) (5n+2 + 26.5n + 82n+1) chia hết cho 59 12) a)a2 + b2 chia hết cho a b chia hết cho b) a2 + b2 chia hết cho a b chia hết cho Bài 2: ĐỒNG DƯ THỨC A Tóm tắt lý thuyết: I Định nghĩa: 1.Định nghĩa: Cho số nguyên m > 0.Nếu hai số nguyên a b chia cho m có số dư ta nói a đồng dư với b theo môđun m viết: a ≡ b (modm) Ví dụ: ≡ (mod2) 14 ≡ (mod 7) II Tính chất : Nếu a ≡ b (mod m) a - b M m Nếu a ≡ b (mod m) b ≡ c (mod m) a ≡ c (mod m) Nếu a ≡ b (mod m) c ≡ d (mod m) a ± c ≡ b ± d (mod m) Nếu a ≡ b (mod m) c ≡ d (mod m) ac ≡ bd (mod m) Nếu a ≡ b (mod m) an ≡ bn (mod m) Nếu a ≡ b (mod m) ka ≡ kb (mod m) với k > Nếu ka ≡ kb (mod km) a ≡ b (mod m) với k > Nếu ka ≡ kb (mod m) (k , m) = 1thì a ≡ b (mod m) Định lí Fermat: Nếu p số nguyên tố : np ≡ n (mod p) ; n ∈ Z Hoặc : Nếu p số nguyên tố : np-1 ≡ (mod p), với (n,p) = 10 Định lí Euler : Cho m số nguyên dương (m) số số dương nhỏ m nguyên tố với m Thế : n (m) ≡ (mod m) * Cách tính (m) : phân tích m thừa số nguyên tố : m = a1α a2β anλ Thế : (m) = m 1 − 1 − a1 a 1 − an III Bài tập ứng dụng: Bài 1: Chứng minh 2100 - chia hết cho Giải : Ta có 24 ≡ 1(mod 5) =>(24)25 ≡ 125 (mod 5) =>2100 ≡ 1(mod 5) hay 2100 - M Bài 2: Tìm số dư phép chia 299 cho Giải : Có 23 ≡ -1 (mod 3) ⇔ (23)33 ≡ (-1)33 (mod 3) ⇔ 299 ≡ -1 (mod 3) Vậy 299 chia dư Bài : Tìm chữ số cuối 2999 Bài 4: Chứng minh 22008 không chia hết cho 10 Bài 5: Chứng minh số tự nhiên có số k cho 1983k - chia hết cho 105 Giải: Cách 1: Áp dụng nguyên tắc Dirichlet: Cho k lấy 105 + giá trị liên tiếp từ trở đi, ta 105 + giá trị khác 1983k - Chia 105 +1 số cho 105 , ta có nhiều 105 số dư, TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2010-2011 theo nguyên tắc Dirichlet, phải có hai số cho số dư chia cho 10 Giả sử hai số 1983m -1 1983n - (m > n) Thế hiệu hai số phải chia hết cho 105: (1983m - 1) - (1983n -1) = 1983m - 1983n = 1983n (1983m-n -1) M 105 Do 1983 không chia hết cho 105 => 1983n không chia hết cho 105 Vì 10m-n - chia hết cho 105 Như tìm số k = m-n cho 1983k - chia hết cho 105 Cách 2: Áp dụng định lí Euler: Vì 1983 không chia hết cho không chia hết cho , 105 = 2555 nên (1983, 105) = Áp dụng định lí Euler: 1983 (10 ) ≡ (mod 105) 1 ) (1 - ) = 104 Mà (10 ) = 105(1 Nên ta có 19834.10 ≡ (mod 105) số 4.104 số k phải tìm Đề áp dụng: Tìm số dư :a) chia 8! Cho 11; b) chia 15325 -1 cho c) chia 340 cho 83.; d) chia 21000 cho 25; e) chia 301293 cho 13 Chứng minh : a) 24n - M 15; b) 270 + 370 M 13 c) 122n+1 - 11n+2 M 133; d) 22225555 + 55552222 M e) 14k + 24k + 34k + 44k không chia hết cho TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2010-2011 KẾ HOẠCH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI Năm học 2011-2012 Chuyên đề 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a a (x + 1) − x (a + 1) b x − + x n+3 − x n Giải: a Dùng phương pháp đặt nhân tử chung a (x + 1) − x (a + 1) = ax + a − a x − x = ax(x − a ) − ( x − a ) = (x − a )(ax − 1) b Dùng phương pháp đặt nhân tử chung sử dụng đẳng thức x − + x n+3 − x n = x n (x − 1) + ( x − 1) ( [ ( ) ) ] = x n (x − 1) x + x + + (x − 1) = (x − 1) x n x + x + + ( ) = (x − 1) x n + + x n +1 + x n + Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử : a x8 + 3x4 + b x6 - x4 - 2x3 + 2x2 Giải: a.Dùng phương pháp tách hạng tử sử dụng đẳng thức x8 + 3x4 + = (x8 + 4x4 + 4)- x4 = (x4 + 2)2 - (x2)2 = (x4 - x2 + 2)(x4 + x2 + 2) TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2010-2011 b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung ,tách hạng tử ,nhóm thích hợp để sử dụng đẳng thức x6 - x4 - 2x3 + 2x2 = x2(x4 - x2 - 2x +2) [( [(x ) ( )] = x x − 2x + + x − 2x + = x2 = x2 ) (x − 1) [x 2 ] [ ] − + (x − 1) = x (x − 1) (x + 1) + 2 + 2x + ] Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử : a 2a b + 4ab − a c + ac − 4b c + 2bc − 4abc Giải: b x + 2007 x + 2006 x + 2007 a.Dùng phương pháp tách hạng tử nhóm thích hợp: 2a b + ab − a c + ac − 4b c + 2bc − abc 2a b + 4ab − a c + ac − 4b c + 2bc − 4abc = 2a b + 4ab − a c − 2abc + ac − 4b c + 2bc − 2abc = = 2ab(a + 2b ) − ac (a + 2b ) + c (a + 2b ) − 2bc (a + 2b ) ( ) = (a + 2b ) 2ab − ac + c − 2bc = (a + 2b )[a(2b − c ) − c (2b − c )] = (a + 2b )(2b − c )(a − c ) b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung sử dụng đẳng thức ( ) + 206 x + 2007 = x( x − 1)(x + x + 1) + 2007(x = (x + x + 1)(x − x + 2007 ) = x − x + 2007 x + 2007 x + 2007 x + 2007 x 2 2 ) + x +1 Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử : a a + b + c − 3abc b (a + b + c )3 − a − b − c Giải: Sử dụng đẳng thức a + b = (a + b ) a + b − ab ( [ = (a + b )(a + b ) − 3ab ) ] = (a + b ) − 3ab (a + b ) Do đó: [ ]− 3ab(a + b) − 3abc − (a + b )c + c ] − 3ab(a + b + c ) a + b + c − 3abc = = (a + b ) + c [ = (a + b + c )(a + b ) ( = (a + b + c ) a + b + c − ab − bc − ca [ ) ] b (a + b + c ) − a − b − c = (a + b + c ) − a − (b + c ) [ ] ( = (b + c ) (a + b + c ) + a (a + b + c ) + a − (b + c ) b − bc + c ( ) = (b + c ) 3a + 3ab + 3bc + 3ca = 3(b + c )(a + c )(a + b ) Ví dụ 5: Cho a + b + c = Chứng minh :a3 + b3 + c3 = 3abc ) TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2010-2011 Giải: Vì a + b + c = ⇒ (a + b ) = −c ⇒ a + b + 3ab(a + b ) = −c ⇒ a + b + c − 3abc = ⇒ a + b + c = 3abc ab Ví dụ 6: Cho 4a2 + b2 = 5ab, 2a > b > Tính P = 4a − b Giải: Biến đổi 4a2 + b2 = 5ab ⇔ 4a2 + b2 - 5ab = ⇔ ( 4a - b)(a - b) = ⇔ a = b ab a2 = = Do P = 2 4a − b 3a Ví dụ 7:Cho a,b,c x,y,z khác khác Chứng minh nếu: 2 a b c x y z x y z + + = 0; + + = ; + + = x y z a b c a b c a b c ayz + bxz + cxy = ⇒ ayz + bxz + cxy = Giải: + + = ⇒ x y z xyz x y z x2 y2 z ayz + bxz + cxy x2 y z x y z + + = ⇒ + + = + + + =1⇒ + + =1 a b c a b c abc a b c a b c Chuyên đề 2:.BẤT ĐẲNG THỨC CÔ – SI 2 Chứnh minh : a + b ≥ 2ab (Với a , b ≥ 0) (BĐT Cô-si) Giải:( a – b )2 = a2 - 2ab + b2 ≥ ⇒ a2 + b2 ≥ 2ab Đẳng thức xảy a = b 2 Chứng minh: ( a + b ) ≥ 4ab (Với a , b ≥ 0) Giải:( a+b )2 = (a2 - 2ab + b2 )+ 4ab = (a-b)2 + 4ab ≥ + 4ab ⇒ ( a + b )2 ≥ 4ab Đẳng thức xảy a = b 2 Chứng minh: 2(a + b ) ≥ ( a+b ) (Với a , b ≥ 0) Giải:2(a2 + b2) – ( a+b )2 = a2-2ab+b2 = (a-b)2 ≥ ⇒ 2(a2 + b2) ≥ ( a+b )2 Đẳng thức xảy a = b a b Chứng minh: b + a ≥ (Với a.b > 0) a b (a2+b2) a2+b2 (a2+b2) a b Giải: + = Do ab ≤ ⇒ ≥ Hay + ≥ b a ab ab b a Đẳng thức xảy a = b a b Chứng minh: b + a ≤ - (Với a.b < 0) a b a2+b2 a2+b2 a2+b2 a b Giải: + = Do ≥2⇒≤ -2 Hay + ≤ - b a b a |a.b| |a.b| |a.b| Đẳng thức xảy a = -b TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2010-2011 1 Chứng minh: a + b ≥ a+b (Với a , b > 0) 1 (a+b).a+(a+b).b-4ab (a-b)2 1 Giải: + = = ≥0⇒ + ≥ a b a+b (a+b).ab (a+b).ab a b a+b Đẳng thức xảy a = b 2 Chứng minh rằng: a +b +c ≥ ab+bc+ca Giải:2(a2 +b2 +c2) – 2(ab+bc+ca) =(a-b)2 +(b-c)2 +(c-a)2 ≥ ⇒ 2(a2 +b2 +c2) ≥ 2(ab+bc+ca) Hay a2 +b2 +c2 ≥ ab+bc+ca Đẳng thức xảy a = b;b = c;c = a ⇔ a = b= c Chuyên đề 3:TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT DẠNG P = ax + bx + c 2 4ac-b Khi x=- b • Nếu a > : P = ax + bx +c = 4ac-b + a x + b Suy MinP = 4a 2a 4a 2a • Nếu a < : P = ax + bx +c = a c+b 4a b − a x− 2a a c+b Khi x= b Suy MaxP = 4a 2a Một số ví dụ: Tìm GTNN A = 2x + 5x + Giải:A = 2x2 + 5x + = 2( x + x + 25 25 − )+7= 16 16 25 56 − 25 31 = 2( x + ) − +7 = + 2( x + ) = + 2( x + ) 8 Suy MinA = 31 Khi x = − Tìm GTLN A = -2x2 + 5x + 25 25 − )+7= 16 16 81 25 56 + 25 81 = −2( x − ) + +7 = − 2( x − ) = − 2( x − ) ≤ 8 8 Giải: A = -2x2 + 5x + = - 2( x − x + Suy MinA = 81 Khi x = Tìm GTNN B = 3x + y2 - 8x + 2xy + 16 Giải: B = 3x2 + y2 - 8x + 2xy + 16 = 2(x - 2)2 + (x + y)2 + ≥ x-2=0 x=2 ⇒ MinB = : x+y=0 ⇔ y=-2 2 Tìm GTLN C = -3x - y + 8x - 2xy + 2 Giải: C = -3x2 - y2 + 8x - 2xy + = 10 -[2(x-2) +(x+y) ] ≤ 10 TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu ⇒ GTLNC = 10 khi: Năm học2010-2011 x-2=0 x+y=0 ⇔ x=2 y=-2 Chuyên đề 4: BIẾN ĐỔI PHÂN THỨC • Ví dụ 1`: 4a + 12 a + a Rút gọn Biếu thức B = V ới a ≠ − 2 2a − a − b Thực phép tính: 0,5a + a + a − (a ≠ ± 2.) : + + 0,5a a + a (2 − a ) 4a + 12a + (2a + 3)2 = 2a + = (2a + 3)(a − 2) a − 2a − a − 0,5a + a + a − a + 2a + a + 2 : + = ⋅ + b + 0,5a a + a(2 − a ) a+2 a − a(2 − a ) a + 2a + a−2 = − = = (a − 2)(a + 2a + ) a(a − 2) a(a − 2) a Giải:a B = • Ví dụ Thực phép tính: A = x + y − xy x3 + y3 : ( Với x ≠ ± y) x2 − y2 x + y − xy 2 3 ( x − y) x + y − xy x− y Giải: A = x +2 y −2 xy : x +2 y = ⋅ = 2 x −y x + y − xy ( x − y )( x + y ) ( x + y ) x + y − xy ( x + y) ( • Ví dụ Cho biểu thức : A = ) x4 + x3 + x +1 x − x3 + 2x − x + a Rút gọn biểu thức A b Chứng minh A không âm với giá trị x A= x4 + x3 + x +1 x4 + x3 + x +1 = x4 − x3 + 2x2 − x +1 x4 − x3 + x2 + x2 − x +1 = ) = ( x + 1) = = ( x − x + 1) + ( x − x + 1) ( x − x + 1)( x + 1) ( x − x + 1)( x + 1) ( x + 1) x2 x3 ( x + 1) + ( x + 1) ( x + 1) ( x3 + 1) 2 ( x + 1) 2 (x 2 − x +1 2 (x + 1)2 ; (x + 1)2 ≥ 0; x + > ⇒ A ≥ b A = x2 +1 a5 + a6 + a7 + a8 Ví dụ Tính giá trị biếu thức : −5 a + a − + a − + a −8 với a = 2007.Giải: ( 8 a + a + a + a8 a5 + a6 + a7 + a8 a5 + a6 + a7 + a8 a a + a + a + a B = −5 = = = 1 1 a + a + a + a + a −6 + a −7 + a −8 a3 + a2 + a + + + + a5 a6 a7 a8 a8 = ( a13 + a + a + a 3 a + a + a +1 ) =a 13 ⇒ B = 200713 • Ví dụ 5: Tính giá trị biếu thức : x − 25 y−2 : x − 10 x + 25 x y − y − ) TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2010-2011 Biết x + 9y - 4xy = 2xy - x − Giải: x2 + 9y2 - 4xy = 2xy - x − ⇔ (x − y )2 + x − = x = y x = ⇔ ⇔ x = y = x − 25 y−2 (x − 5)(x + 5) ⋅ ( y − 2)( y + 1) (x + 5)( y + 1) 8.2 C= : = = = =− 2 y − x − 10 x + 25 x y − y − x ( x − 5) 3.(− 2) x(x − 5) Chuyên đề 5: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Bài 1: Cho phương trình ẩn số x: x2 – 2(m – 1)x – – m = (1) a) Giải phương trình m = b) Chứng tỏ phương trình có nghiệm số với m c) Tìm m cho nghiệm số x1, x2 phương trình thỏa mãn điều kiện x 12 + x 22 ≥ 10 c > Bài 2: Cho số a, b, c thỏa điều kiện: (c + a ) < ab + bc − 2ac Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = luôn có nghiệm Bài 3: Cho a, b, c số thực thỏa điều kiện: a2 + ab + ac < Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm phân biệt Bài 4: Cho phương trình x2 + px + q = Tìm p, q biết phương trình có hai x1 − x = nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 3 x1 − x = 35 Bài 5: CMR với giá trị thực a, b, c phương trình (x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = có nghiệm Bài 6: CMR phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) có nghiệm biết 5a + 2c = b Bài 7: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác CMR phương trình sau có nghiệm: (a2 + b2 – c2)x2 - 4abx + (a2 + b2 – c2) = Bài 8: CMR phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) có nghiệm 2b c ≥ +4 a a Bài 9: Cho phương trình : 3x2 - 5x + m = Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: x 12 - x 22 = Bài 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 4)x +m2 – = Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: a) A = x1 + x2 -3x1x2 đạt GTLN b) B = x12 + x22 - đạt GTNN c) Tìm hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m Bài 11: Giả sử x1, x2 hai nghiệm phương trình bậc 2: 3x2 - cx + 2c - = Tính theo c giá trị biểu thức: 10