- Bản chất của phương pháp là làm đơn giản hóa biểu thức chứa lũy thừa; đưa việc chứng minh biểu thức chứa lũy thừa về các số cụ thể có chứa các dấu hiệu chia hết thể hiện qua các chữ số[r]
(1)CHUYÊN Đ Ề : TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN A LÝ THUYẾT b) Định nghĩa Với a, bN (b0) ta luôn tìm số tự nhiên r cho a = bq + r (0 r < b) a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư - Nếu r = ta phép chia hết, tanói a chia hết cho b (a hay a là bội b, hay b chia hết a, hay b là ước a (b/a) - Nếu r > 0,ta phép chia có dư, ta nói a không chia hết cho b Tính chất chia hết tổng , hiệu , tích *Tích chất - số a chia hết cho số a ≠ - Số chia hết cho số b ≠ - Nếu a b và b c thì a c - Nếu a b và b a (a ≠0,b ≠ 0) thì a = b - Nếu a b, a m và (b,m) = thì a bm - Nếu ab m và (b,m) = thì a m - Nếu a m và bm thì a b m ( a ≥ b ) - Nếu a b thì ka b ,(k N , b ≠0) - Nếu a b và b là ước c thì a c - Nếu a m và b m thì a b m ( a ≥ b ) - Nếu a b m và am thì b m,(m ≠0) - Nếu am và bn thì ab mn - Nếu ab thì an bn * Nâng cao - Nếu a b, a m Thì k1 a + k2 a m - Nếu a m và b m ; a +b + c m Thì c m - Nếu a m và b m ; a +b + c m Thì c m 3.Các dấu hiệu chia hết số tự nhiên a Biểu diễn số tự nhiên hệ thập phân (2) N = a n a n a = 10n an+ 10n-1an-1 +…+ 10a1+a0 b Các dấu hiệu chia hết số tự nhiên - Dấu hiệu chia hết cho : Một số chia hết cho và số có chữ số tận cùng là số chẵn ( 0; 2; 4; 6; 8) 0; 2; 4;6;8 N ao 2 a0 - Dấu hiệu chia hết cho : Một số chia hết cho và số đó có chữ số tận cùng là 0;5 N ao 5 a0 - Dấu hiệu chia hết cho 10 : Một số chia hết cho 10 và số đó có chữ số tận cùng là N 10 ao =0 - Dấu hiệu chia hết cho : Một số chia hết cho và tổng các chữ số số đó chia hết cho N a0 + a1 +…+an - Dấu hiệu chia hết cho : Một số chia hết cho và tổng các chữ số số đó chia hết cho N a0 + a1 +…+an - Dấu hiệu chia hết cho : Một số chia hết cho và hai chữ số tận cùng số đó lập thành số chia hết cho N a1a - Dấu hiệu chia hết cho 25 : Một số chia hết cho 25 và hai chữ số tận cùng số đó lập thành số chia hết cho 25 N 25 a1a 25 - Dấu hiệu chia hết cho : Một số chia hết cho và ba chữ số tận cùng số đó lập thành số chia hết cho N a 2a1a - Dấu hiệu chia hết cho 125 : Một số chia hết cho 125 và ba chữ số tận cùng số đó lập thành số chia hết cho 125 (3) N 125 a 2a1a 125 -Dấu hiệu chia hết cho 11: Một số chia hết cho 11 và hiệu tổng các chữ số nó đứng vị trí chẵn và tổng các chữ số nó đứng vị trí lẻ(kể từ trái qua phải) chia hết cho 11 N 11 a a – a1 a 11 Những tính chất khác đáng chú ý : - Nguyên tắc Dirichlet : Nếu đem n+1 vật xếp vào n ngăn kéo thì có ít ngăn kéo chứa từ hai vật trở lên + Tổng quát: Nếu đem nk+1 vật xếp vào n ngăn kéo thì có ít ngăn kéo chứa từ k +1 vật trở lên - Trong n số tự nhiên liên tiếp có và số chia hết n , n ≥ Tích n số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho n Các phương pháp giải các bài toán chia hết Phương pháp 1: Để chứng minh A(n) chia hết cho m, ta phân tích m thừa số Giả sử m = p.q Nếu p và q là số nguyên tố, hay p và q là nguyên tố cùng thì ta tìm cách chứng minh A(n) p và A(n) q ( từ đó suy A(n) p.q = m ) Ví dụ 1: Chứng minh tích số nguyên liên tiếp chia hết cho Giải: Ta có A(n) = (n – 1)n(n + 1) và = 2.3 ( và là số nguyên tố), ta tìm cách chứng minh A(n) 2 và A(n) 3 Trong hai số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho A(n) 2 Trong ba số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho A(n) 3 Có A(n) 2 và A(n) 3 A(n) 2.3 = * Nếu q và p không nguyên tố cùng thì ta phân tích A(n) thừa số, chẳng hạn A(n) = B(n).C(n) và tìm cách chứng minh B(n) p và C(n) q ( suy A(n) = B(n).C(n) p.q = m) Ví dụ 2: Chứng minh tích số chẵn liên tiếp chia hết cho Giải: Gọi số chẵn đầu tiên là 2n, số chẵn là 2n+2, tích chúng là A(n) = 2n(2n+2) ta có = 4.2 và A(n) = 2n(2n+2) = 4.n(n+1) đây là (4) tích thừa số thừa số là chia hết cho và thừa số là n(n+1) là tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Vì A(n) = 2n(2n+2) = 4.n(n+1) 2.4 = Phương pháp 2: Để chứng minh A(n) m, có thể biến đổi A(n) thành tổng nhiều số hạng và chứng minh số hạng chia hết cho m Ví dụ 3: Chứng minh n3 – 13n với n thuộc Z Giải: Ta phải chứng minh A(n) = n3 – 13n Chú ý 13n = 12n+n mà 12n 6, ta biến dổi A(n) thành A(n) = (n3 – n) – 12n = n(n2 – 1) – 12n = (n – 1)n(n + 1) – 12n Mà (n – 1)n(n + 1) là tích ba số nguyên liên tiếp nên (n – 1)n(n + 1) ( Ví dụ 1) Và 12n Vì (n – 1)n(n + 1) – 12n hay A(n) = n3 – 13n Phương pháp 3: Để chứng minh tổng không chia hết cho m, có thể chứng minh số hạng tổng không chia hết cho m còn tất các số hạng còn lại chia hết cho m Ví dụ 4: Chứng minh với số tự nhiên n thì n2 +n + không chia hết cho và không chia hết cho Giải: Ta có n2 +n + = n( n+ ) + Vì n( n+ ) là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho n( n+ ) + là số lẻ nên không chi hết cho n( n+ ) là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên không có tận cùng là n( n+ ) + 1không có tận cùng là đó không chi hết cho Phương pháp 4: Phương pháp phản chứng Ví dụ 5: Chứng minh a2 – không chia hết cho với a N Giải: Chứng minh phương pháp phản chứng Giả sử A(n) = a2 – 5, nghĩa là A(n) phải có chữ số tận cùng là 5, suy a2 (là số chính phương) phải có chữ số tận cùng là các chữ số 3;8 – Vô lý ( vì số chính phương có các chữ số tận cùng là ; 1; 4; 6; 9) (5) Vậy a2 – không chia hết cho Phương pháp 5: Phương pháp qui nạp Ví dụ 6: Chứng minh 16n – 15n – 225 (1) Giải: Với n = thì 16n – 15n – = 16 – 15 – = 225 Giả sử (1) đúng với n = k tức là 16k – 15k – 225 Cần chứng minh (1) đúng với n = k+1 Ta chứng minh 16k+1 – 15(k+1) – 225 Thực vậy: 16k+1 – 15(k+1) – = 16.16k – 15k – 15 – = (16k – 15k – 1) + 15.16k – 15 Theo giả thiết qui nạp 16k – 15k – 225 Còn 15.16k – 15 = 15(16k – 1) 15.15 = 225 Vậy 16n – 15n – 225 Phương pháp 6: Nguyên lý Diricle - Nguyên lý Dirichlet : Nếu đem n+1 vật xếp vào n ngăn kéo thì có ít ngăn kéo chứa từ hai vật trở lên + Tổng quát: Nếu đem nk+1 vật xếp vào n ngăn kéo thì có ít ngăn kéo chứa từ k +1 vật trở lên - Trong n số nguyên liên tiếp có và số chia hết n, n ≥ Tích n số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho n Ví dụ : Cho số tự nhiên bất kì Chứng minh có thể chọn hai số mà hiệu chúng chia hết cho Giải: Khi chia số cho thì số dư r ó thể lấy giá trị là 0; 1; 2; 3; 4; Vì có số tự nhiên chia cho mà có só dư nên theo nguyên lý Điricle thì ít có số chia cho có cùng số dư , nên hiệu hai số này chia hết cho Phương pháp : Sử dụng chữ số tận cùng * Chú ý : - Phương pháp này áp dụng chứng minh lũy thừa hay biểu thức chứa các lũy thừa chia hết cho 2; 4; 5; 8; 10; 125 ; … (6) - Bản chất phương pháp là làm đơn giản hóa biểu thức chứa lũy thừa; đưa việc chứng minh biểu thức chứa lũy thừa các số cụ thể có chứa các dấu hiệu chia hết thể qua các chữ số tận cùng - Thực chất việc tìm chữ số tận cùng lũy thừa là tìm số dư lũy thừa đó cho 10; tìm hai chữ số tận cùng là tìm số dư lũy thừa đó cho 100; tìm chữ số tận cùng là tìm số dư lũy thừa đó cho 1000… * Để tìm chữ số tận cùng lũy thừa cần chú ý rằng: Các số tự nhiên có tận cùng là 0; 1; 5; nâng lên lũy thừa (khác 0) nào có tận cùng là 0; 1; 5; Các số tự nhiên có tận cùng là 2; 4; nâng lên lũy thừa 4n ( n # ) có tận cùng là Các số tự nhiên có tận cùng là 3; ; nâng lên lũy thừa 4n đêu có tận cùng là ( Riêng Các số tự nhiên có chữ số tận cùng là 9, nâng lên lũy thừa lẻ có chữ số tận cùng chính nó , nâng lên lũy thừa chẵn có chữ số tận cùng và 1; ) *Một số chính phương thì không có tận cùng ; ; ; Ví dụ : Chứng minh rẳng với số tự nhiên n thì 34n + + Chia hết cho Ta có 34n + + = ( 34 ) n + = 81n + = ( … ) + có tận cùng N ên chia hết cho Vậy 34n + + Chia hết cho B CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN DẠNG : CHỨNG MINH CHIA HẾT 1.1.Chứng minh dựa vào các dấu hiệu chia hết(định nghĩa) - Nắm vững các dấu hiệu chia hết các số tự nhiên - Biến đổi điều cần chứng minh thành các yếu tố có chứa dấu hiệu chia hết cần có Ví dụ Chứng minh : a) ab ba chia hết cho 11 b) ab ba chia hết cho với a > b Giải: a) Ta có ab ba = (10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b) 11 (7) Vậy ab ba 11 b) Ta có: ab ba = (10a + b) - (10b + a) = 9a – 9b = 9(a – b) 9 Ví dụ 2: Chứng minh với số nguyên n thì : a) A= 3n+2 – n+2 + 3n – n chia hết cho 10 b) B = 10 n – 18 n – chia hết cho 27 Bài làm : a) A = 3n+2 – n+2 + 3n – n = 3n (32 + 1) – n (22 +1) = 10 3n – 2n = 10 (3n –2n-1) 10 Vậy A chia hết cho 10 b) B = 10 n – 18 n – = 10n – – 9n +27n 99 = n - 9n + 27 n 11 =9( n - n) + 27 n 11 Vì n là tổng các chữ số 11 ( n - n) chia hết cho 27 Mà 27n chia hết cho 27 11 n 11 nên n - n chia hết cho 3.Do đó (1) (2) Từ (1),(2) suy : ( n - n) + 27 n chia hết cho 27 Vậy B chia hết cho 27 (điều phải chứng minh) Ví dụ Chứng minh ab cd eg chia hết cho 11 thì abc deg chia hết cho 11 Giải: Ta có abc deg 10000.ab 100.cd eg 9999.ab 99.cd (ab cd eg ) 11 1.2.Chứng minh dựa vào tính chất chia hết * Phương pháp - Nắm vững các dấu hiệu chia hết các số tự nhiên (8) - Biến đổi điều cần chứng minh thành các yếu tố có chứa dấu hiệu chia hết cần có Ví dụ Chứng minh không có số tự nhiên nào mà chia hết cho 15 dư và chia dư Giải: a N Giả sử có số thoả mãn hai điều kiện trên thì: mâu thuẫn a = 15q1 + chia hết cho a = 15q2 + không chia hết cho không có số tự nhiên nào thoả mãn (đpcm) 28 Ví dụ Chứng minh rằng: F = 10 + chia hết cho 72 Giải: 28 F = 10 + chia hết cho 72 Ta thấy: 72 = 8.9 Ta có: 28 10 + vì tổng các chữ số 28 10 + vì có tận cùng là 008 28 Mà (8;9) = nên 10 + 8.9 = 72 (đpcm) 60 Ví dụ Chứng minh rằng: H = + + +…+ chia hết cho Giải: 60 H = + + +…+ chia hết cho Dãy số H có 60 số hạng mà 60 chia hết cho nên ta nhóm cặp hai số hạng Ta có 60 H = + + +…+ 2 H = (2 + ) + ( + 24) + …+ (259 + 260) 59 H = 2.(1 + 2) + (1 + 2) + … + (1+2) 59 H = 2.3 + + … + 3 59 H = 3.(2 + + + ) Vậy H chia hết cho Ví dụ Chứng minh tổng số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 10 còn tổng số lẻ chia cho 10 dư Giải: (9) Gọi số chẵn liên tiếp là 2n ; 2n + ; 2n+ ; 2n + ; 2n + Ta có A = 2n +( 2n + ) + ( 2n + ) + ( 2n + ) + ( 2n + ) = 2n + 2n + + 2n + + 2n + + 2n + = 10n + 20 = 10 ( n + ) 10 Vậy A chia hết cho 10 *Gọi số lẻ liên tiếp là 2n +1 ; 2n + ; 2n+ ; 2n + ; 2n + Ta tính tổng 10n + 25 = 10 ( n + ) + 10 ( dư ) 1.3.Chứng minh theo phương pháp quy nạp Phương pháp : + Kiểm tra mệnh đề đúng với n = (hoặc n = ) + Giả sử mệnh đề đúng với số tự nhiên n = k (giả thiết này goi là giả thiết quy nạp) Cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1 + Theo nguyên lí quy nạp ta kết luận mệnh đề đúng với n * Chú ý : Nếu phải chứng minh mệnh đề luôn đúng với số tự nhiên lớn p (n ≥ p) thì bước ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p,ở bước và bước làm tương tự trên Ví dụ 1: Chứng minh số n N ta có : 4n + 15n – 9 (1) Bài làm : Với n = ta có : 41 + 15.1 – = 18 9.Vậy (1) đúng với n = Giả sử (1) đúng với n = k , tức là ta có : 4k + 15n – 9 4k + 15k – = 9m (m Z) 4k = 9m – (15k – 1) Với n = k+ ta có : 4k+1 + 15(k + 1) – = 4.4k + 15k + 14 = (9m – (15k – 1)) + 15k + 14 = 36m – 45k + 18 = 9(4m – 5m + 2) 9 Vậy (1) đúng với n = k + , đó (1) đúng với n ≥ Ví dụ 2: Chứng minh số nguyên dương n ta có 7n +3n – chia hết cho (2) Bài làm : Với n = ta có 71 + – = 9 (2) đúng với n = Giả sử (2) đúng với n = k tức là 7k + k – = 9 Cần chứng minh (2) đúng với n = k+ tức cần chứng minh 7k+1 + (k +1) – = 9 (10) Thật : Theo giả thiết quy nạp ta có : 7k + k – = 9 7k + k – = 9m (với m Z) 7k = 9m – 3k + Nên 7k+1 + (k +1) – = 7k + (k +1) – = (9m – 3k + 1) + (k +1) – = 63m – 18k + = (7m – 2k +1) 9 (2) đúng với n = k+1 , đó (2) đúng với n ≥ Vậy 7n +3n – chia hết cho đúng với n nguyên dương 1.4.Chứng minh chia hết việc Sử dụng chữ số tận cùng *Phương pháp : - Tìm chữ số tận cùng (hoặc hai chữ số tận cùng ba chữ số tận cùng …) biểu thức chứa lũy thừa đó Ví dụ : Chứng minh 8102 - 2102 chia hết cho Bài làm : Ta có : 8102 = 84 25 82 = (…6) 64 = … 2102 = 24 25 22 = (…6) = … Vậy 8102 - 2102 có tận cùng là 8102 - 2102 chia hết cho Ví dụ : Chứng minh 51n + 47102 chia hết cho 10 ( n N ) Bài làm Ta có 51n = … 47102 = 47100 472 = ( … ) ( …9 ) = … 51n + 47102 =( … ) + ( …9 ) Có tận cùng 10 Vậy 51n + 47102 chia hết cho 10 BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: a) Chứng minh viết thêm vào đằng sau số tự nhiên có hai chữ số gồm chính hai chữ số viết theo thứ tự ngược lại thì số chia hết cho 11 b) Cũng chứng minh trên số tự nhiên có ba chữ số Bài Chứng minh ab 2cd thì abcd chia hết cho 67 Bài Cho abc deg chia hết cho 37 Chứng minh abc deg 37 Bài Cho biết a + 4b chia hết cho 13, (a, b N) Chứng minh rằng: 10a + b chia hết cho 13 (11) Bài Chứng minh rằng: 11 a ) A = + + + …+ chia hết cho b ) B = + + + …+ chia hết cho 30 c ) C = 45 + 99 + 180 chia hết cho 119 d ) D = + + + +…+ chia hết cho 13 e ) E = 88 + 220 chia hết cho 17 1991 f ) F = + + + +…+ chia cho 13 và 41 n I ) I = 10 + 18n – chia hết cho 27 n j ) J = 10 + 72n – chia hết cho 81 60 h ) H = + + +…+ chia hết cho 3, 7, 15 Bài Chứng minh rằng: a Chứng minh tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho b Chứng minh rằng: (1005a + 2100b) chia hết cho 15 với a, b N c Chứng minh rằng: A = n + n + không chia hết cho và 5với n N Bài Chứng minh n N thì 60n + 45 chia hết cho 15 không chia hết cho 30 Bài Chứng minh các tổng , hiệu sau không chia hết cho 10 a) A = 98 96 94 92 – 91 93 95 97 b) B = 405n + 2405 + m2 Với m,n N ; n # Bài 9: Chứng minh tổng số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho còn tổng số tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho Bài 10: Chưng minh không có số tự nhiên nào mà chia cho 15 dư còn chia cho thì dư DẠNG 2: TÌM SỐ TỰ NHIÊN THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHIA HẾT Phương pháp : - Giả sử tìm n N cho A(n) B(n) - Biến đổi điều kiện A(n) B(n) k B(n) (với k là số tự nhiên không phụ thuộc n) ,từ đó tìm n - Thử lại các giá trị tìm n để có A(n) B(n) Ví dụ 1: Tìm các số tự nhiên n cho n2 + chia hết cho n + (12) Bài làm : Giả sử : n2 + n + , đó n2 + = (n2 – )+ n + Vì n2 – = (n – ) (n + ) n + nên suy n + Mà Ư(2) = 1;2 suy n + = n + = Suy n = n = Vì n N nên n = , n = Thử lại : Với n = ta có n2 + = 02 + = + (đúng) Với n = ta có n2 + = 12 + = + (đúng) Vậy với n = , n = thì n2 + chia hết cho n + Ví dụ 2: Tìm các chữ số a,b cho a – b = và 7a5b1 chia hết cho Giải: Cách 1: Số a5b13 (7 a b 1) 3 (13 a b) 3 a b Ta có a – b = Suy mà chia cho dư ≤ a ≤ và ≤ b ≤ ≤ a + b ≤ 14 (2) Mặt khác a – b là số chẵn nên a + b là số chẵn (3) Từ (1), (2) và (3) suy a + b = a + b = 14 Với a + b = 8; a – b = ta : a = 6; b = Với a + b = 14 ; a – b =4 ta : a = ; b = Cách 2: Ta có a – b = a=4+b a5b1 mà chia hết cho Với ≤ a ≤ và 0≤b≤5 ( + a + + b + 1) chia hết cho hay (13 + a + b ) chia hết cho (1) (13) 13 + + b + b chia hết cho 17 + 2b chia hết cho vì 17 chia dư nên 2b chia dư và b ≤ nên 2b € {4; 7; 10} b € {2; 5} Khi đó a € {6; 9} Ví dụ : Tìm các chữ số x ; y để : a Bài làm : x36 y5 1375 b 135 x4 y45 a.) x36 y5 1375 ta có : 1375 = 125 11 x36 y5 125 y5 125 y =2 ; x36 y5 11 (5 + +x) – (2 + + ) = 12 – x 11 x=1 Vậy số cần tìm là 713625 b) 135x4 y45 Ta có : 135x4 y45 + 135 x4 y 5 135x4 y 5 và 135x4 y 9 y = y = Với y = : 135 x40 9 ta số 135540 Với y = : 135 x45 9 1+ + + x+ + x=5 9 1+ + + x+ + 9 x = x = ta hai số 135045 và 135945 Ví dụ 4: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, cho viết nó tiếp sau số 1999 thì ta số chia hết cho 37 (14) Giải: Gọi số phải tìm là ab 1999ab 37 (199900 ab) 37 Ta có : Ví dụ Tìm a) (5402.37 + 26 + ab)37 (26 + ab Vậy nN ab)37 € { 11; 48; 45} để: 3n + chia hết cho n b ) n + chia hết cho n + Giải: a) Vì 3n + chia hết cho n 3n chia hết cho n Vậy n € {1; 7} n € {1 ; } b) Nên chia hết cho n thì 3n + chia hết cho n n + chia hết cho n + Có n + n + mà ta có ( n+ ) - ( n + ) Hay Vậy n + suy n € {0; } thì n + n + Nên theo tính chât n+2 n + € {1; 2; } đó n € {0; } n + chia hết cho n + Ví dụ 5: Tìm số tự nhiên n cho 18n + chia hết cho Giải: (15) Cách 18n + 7 14n + 4n +3 7 4n + 7 4n + – 7 4n – 7 4(n – 1) 7 Ta lại có (4, 7) = nên n -1 Vậy n = 7k + (k € N) Cách 18n + 7 18n + – 21 7 18n – 18 7 18( n – 1) 7 Ta lại có (18, 7) = nên n – Vậy n = 7k + (k € N) Nhận xét : Việc thêm bớt các bội cách giải trên nhằm đến biểu thức chia hết cho mà dó hệ số n BÀI TẬP ÁP DỤNG (16) Bài Tìm a và b cho: a) Cho n = 7a5 + 8b Biết a – b = và n chia hết cho 87 ab 9 b) a – b = và c) a – b = và 4a 1b5 + chia hết cho Bài Tìm hai số tự nhiên chia hết cho 9, biết rằng: Tổng chúng * 657 , Hiệu chúng * 91 20a 20a 20a 7 Bài Tìm chữ số a, biết rằng: Bài a) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, cho viết nó tiếp sau số 1999 thì ta số chia hết cho 37 b) Tìm số tự nhiên có chữ só, chia hết cho và cho 27, biết hai chữ số số đó là 97 Bài a) Tìm số tự nhiên chia cho dư còn chia cho thì dư b) Tìm các số tự nhiên chia cho thì dư còn chia cho 125 thì dư 12 Bài Tìm số tự nhiên n, cho : a) 4n – chia hết cho 13 ; b) 5n + chia hết cho ; c) 2n + 13 chia hết cho n + ; d) 3n + chia hết cho n + 1; e) 2n + chia hêt cho 2n + f) 3n + chia hết cho 11 – 2n (17) Bài Thay các chữ x , y chữ số thích hợp a ) Số 275x chia hết cho ; cho 25 ; cho 125 b ) Số 9xy4 chia hết cho ; cho ; cho DẠNG 3: BÀI TOÁN ĐẾM SỐ TỰ NHIÊN THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN Bài Từ đến 100 có bao nhiêu số chia hết cho 2, bao nhiêu số chia hết cho 5? Ta có: Các số chia hết cho từ đến 100 là: 2; 4; 6; 8; …; 100 Số các số chia hết cho từ đến 100 là (100 – 2) : + 1= 50 (số) Các số chia hết cho từ đến 100 là: 5; 10; 15; …; 100 Số các số chia hết cho từ đến 100 là (100 – 5) : + 1= 20 (số) Bài Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ 100 chia cho và dư 3? Ta có: Số chia cho và dư nhỏ 100 là: 3; 8; 13; 18; …; 98 (98 3) 19 20 Vậy có: số tự nhiên nhỏ 100 chia cho và dư Bài Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số và chia hết cho 3? Ta có: Các số tự nhiên chia hết cho và có chữ số là: 102; 105; 108; …; 999 (18) Vậy có: số (999 102) 299 300 số tự nhiên chia hết cho và có chữ Bài Trong các số tự nhiên nhỏ 1000, có bao nhiêu số chia hết cho không chia hết cho 5? Ta có: Các số tự nhiên chia hết cho và là: 0; 2; ; 6; 8; …; 998; 1000 Các số tự nhiên chẵn chia hết cho là: 0; 10; 20;…;990;1000 (1000 0) (1000 0) 1 1 10 Vậy có: [ ]–[ ] = 501 – 101 = 400 số tự nhiên nhỏ 1000 chia hết cho không chia hết cho (19)