chuyen de toan chia het va tap hop so nguyen 90316 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn...
TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2010-2011 1 PHẦN SỐ HỌC Bài 1: TÍNH CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP SỐ NGUYÊN. SỐ NGUYÊN TỐ. A. Nhắc lại và bổ sung các kiến thức cần thiết: I. Tính chia hết: 1. Định lí về phép chia: Với mọi số nguyên a,b (b ≠ 0), bao giờ cũng có một cặp số nguyên q, r sao cho : a = bq + r với br <≤0 . a gọi là số bị chia , b là số chia, q là thương và r là số dư. Trong trường hợp b > 0 và r ≠ 0 có thể viết: a = bq + r = b(q +1)+ r - b. Ví dụ: Mọi số nguyên a đều có dạng: a = 2q ± 1 (xét phép chia cho b = 2) a = 3q ; 3q ± 1 (xét phép chia cho b = 3) a = 4q ; 4q ± 1 ; 4q ± 2 (xét phép chia cho b = 4). a = 5q; 5q ± 1; 5q ± 2 (xét phép chia cho b = 5) 2. Tính chia hết: Nếu a chia b mà số dư r = 0, ta nói : a chia hết cho b hay a là bội của b (kí hiệu a M b) b chia hết a hay b là ước của a (kí hiệu b\ a) Vậy: a M b (b\ a) khi và chỉ khi có số nguyên q sao cho a = bq. 3. Các tính chất: 1) Nếu a M b thì ± a M ± b (b ≠ 0) 2) a M a; 0 M a với mọi a ≠ 0 3) a M ± 1 với mọi a 4) Nếu a M m thì a n M m (m ≠ 0, n nguyên dương). 5) Nếu a M b và b M a thì |a| = |b| 6) Nếu a M b và b M c (b,c ≠ 0) thì a M c. 7) Nếu a M c và b M c(c ≠ 0) thì (a ± b) M c. Điều ngược lại không đúng. 8) Nếu a M m hoặc b M m thì ab M m(m ≠ 0). Điều ngược lại không đúng. 9) Nếu a M p và a M q, (p, q)= 1 thì a M pq 10) Nếu a = mn; b = pq và m M p n M q thì a M b 11) Nếu ab M m và (b,m) = 1 thì a M m 12) Nếu a ± b M m và a M m thì b M m II. Số nguyên tố: 1.Định nghĩa: Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó. Hợp số là số tự nhiên lơn hơn 1 có nhiều hơn hai ước. Số 1 và số 0 không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số. 2. Định lí cơ bản của số học: Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất(không kể thứ tự các thừa số). Số nguyên tố được coi như là tích chỉ gồm một thừa số là chính nó. Có vô số số nguyên tố (không có số nguyên tố lớn nhất). Số hoàn chỉnh: là số bằng tổng các ước của nó không kể bản thân nó. Ví dụ: 6 , 28, , 2 n-1 (2 n - 1) III. Một số phương pháp thông thường để giải bài toán về chia hết: Cách 1: Để chứng minh A(n) chia hết cho k, có thể xét mọi trường hợp số dư khi TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2010-2011 2 chia n cho k. Ví dụ 1: Chứng minh rằng: a) Tích của hai số nguyên liên tiếp chia hết cho 2. b) Tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 3. Giải : a) Viết tích của hai số nguyên liên tiếp dưới dạng A(n) = n(n + 1). Có hai trường hợp xảy ra : * n M 2 => n(n + 1) M 2 * n không chia hết cho 2 (n lẻ) => (n + 1) M 2 => n(n +1) M 2 b) Chứng minh tương tự a. Cách 2: Để chứng minh A(n) chia hết cho k, có thể phân tích k ra thừa số: k = pq . + Nếu (p, q) = 1, ta chứng minh A(n) M p và A(n) M q. + Nếu (p, q) ≠ 1, ta phân tích A(n) = B(n) .C(n) rồi chứng minh: B(n) M p và C(n) M q . Ví dụ 2: a) Chứng minh: A(n) = n(n +1)(n + 2) M 6. b) Chứng minh: tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8. Giải : a) Ta có 6 = 2.3; (2,3) = 1 . Theo chứng minh trên đã có A(n) chia hết cho 2 và 3. Do đó A(n) chia hết cho 6. b) Ta viết A(n) = 2n(2n + 2) = 2n. 2(n +1) = 4n(n + 1). 8 = 4 . 2. Vì 4 M 4 và n(n +1) M 2 nên A(n) M 8 Ví dụ 3 : Chứng minh rằng n 5 - n chia hết cho 10, với mọi số nguyên dương n. (Trích đề thi HSG lớp 9 cấp tỉnh năm học 2005 - 2006) Giải : A(n) = n 5 - n = n(n 4 - 1) = n(n 2 - 1)(n 2 + 1) = n(n - 1)(n + 1)(n 2 +1) M 2 n = 5k + 1 => (n - 1) M 5 n = 5k + 4 => (n + 1) M 5. n = 5k + 2 => n 2 + 1 = (5k + 2) 2 + 1 = (25k 2 + 20k + 4 + 1) M 5 n = 5k + 3 => n 2 + 1 = (5k + 3) 2 + 1 = (25k 2 + 30k + 9 + 1) M 5 Vậy : A(n) chia hết cho 2 và 5 nên phải chia hết cho 10. Cách 3: Để chứng minh A(n) chia hết cho k , có thể biến đổi A(n) thành tổng(hiệu) của nhiều hạng tử , trong đó mỗi hạng tử đều chia hết cho k . ( Đã học trong tính chất chia Onthionline.net Chuyên đề : Toán chia hết tập hợp số nguyên Z I Một số kiến thức Định lí phép chia hết : - Nếu có số nguyên a b ( b = )và tồn số q cho : a = b q ta nói a chia hết -cho b kí hiệu a : b + ) Nếu a chia hết cho m a.k chia hết cho m ( k thuộc z ; a , m thuộc z , m khác ) + ) Nếu a chia hết cho b b chia hết cho c a chia hết cho c + ) Nếu a.b chia hết cho c ( a ; c ) = b chia hết cho c + ) Nếu tổng mà có tất số hạng chia hết cho m tổng chia hết cho m ( m khác ) + ) Tích số nguyên liên tiếp chia hết cho + ) Tích số nguyên liên tiếp chia hết cho • ) Tổng quát : Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n + ) Tích số nguyên chẵn liên tiếp chia hết cho II.Bài tập : 1.Chứng minh : A = n^2 + 5.n chia hết cho với n thuộc z Bài giải : Cách : Ta có : A = n^2 + 5.n = n.(n+5) chia hết cho - Xét n chẵn : n = 2.k ( k thuộc z ) Onthionline.net A = 2.k.(2.k + 5) chia hết cho (1) - Xét n lẻ : n = 2.k + ( k thuộc z ) ->A = (2.k + 1).(2.k+1+5) = (2.k+1).(2.k+6) chia hết cho (2) Từ (1) (2) -> n.(n+5) chia hết cho =>n^2+5.n chia hết cho (ĐPCM) Cách : Ta có : A=n^2+5.n=n^2–n+6.n=n.(n-1)+6.n Dễ thấy : ( n-1).n tích cuả số nguyên liên tiếp mà 6.n chia hết cho =>n.(n-1)+6.n chia hết cho 2.Chứng minh : B=n^3-n+18 chia hết cho với n Bài giải : Ta có : B=n^3-n+18 =n.(n^2-1)+18 =n.(n^2+n-n-1)+18 =n.[n.(n+1)-(n+1)]+18 =n.(n+1).(n-1)+18 Nhận thấy : n.(n+1).(n-1) chia hết cho mà 18 chia hết cho =>n.(n+1).(n-1) chia hết cho 3.Chứng minh : P=m.n.(m^2-n^2) chia hết cho với m , n thuộc Z Bài giải : Ta có : P=m.n.(m^2 – n^2) =m.n.[(m^2-1)-(n^2-1)] =m.n.(m^2-1)-m.n.(m^2-1) =m.n.(m-1).(m+1) Onthionline.net -m.n.(n-1).(n+1) Dễ thấy : Với m,n thuộc Z m.n.(m-1).(m+1) m.n.(n-1).(n+1)là tích số nguyên liên tiếp nên vừa chia hết cho Mà (2;3)=1=>m.(m-1).(m+1) n.(n-1).(m+1) chia hết cho =>P chia hết cho ( ĐPCM ) Bài : Chứng minh :Với a,b,c thuộc Z a+b+c chia hết cho a^3+b^3+c^3 chia hết cho Bài giải : Ta có : a^3+b^3+c^3-(a+b+c) = (a^3–a)+(b^3-b)+(c^3-c) = (a-1).a.(a+1)+(b-1).b.(b+1)+(c-1).c.(c+1) Vì (a-1).a.(a+1) chia hết cho (1) (b-1).b.(b-1) chia hết cho (2) (c-1).c.(c-1) chia hết cho (3) Mà (3;2)=1=>(a-1).a.(a-1)+(b-1).b.(b+1)+(c-1).c (c+1) chia hết cho Onthionline.net Bài 1: TÍNH CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP SỐ NGUYÊN. SỐ NGUYÊN TỐ. A. Nhắc lại và bổ sung các kiến thức cần thiết: I. Tính chia hết: 1. Định lí về phép chia: Với mọi số nguyên a,b (b 0), bao giờ cũng có một cặp số nguyên q, r sao cho : a = bq + r với br 0 . a gọi là số bị chia , b là số chia, q là thương và r là số dư. Trong trường hợp b > 0 và r 0 có thể viết: a = bq + r = b(q +1)+ r - b. Ví dụ: Mọi số nguyên a đều có dạng: a = 2q 1 (xét phép chia cho b = 2) a = 3q ; 3q 1 (xét phép chia cho b = 3) a = 4q ; 4q 1 ; 4q 2 (xét phép chia cho b = 4). a = 5q; 5q 1; 5q 2 (xét phép chia cho b = 5) 2. Tính chia hết: Nếu a chia b mà số dư r = 0, ta nói : a chia hết cho b hay a là bội của b (kí hiệu a b) b chia hết a hay b là ước của a (kí hiệu b\ a) Vậy: a b (b\ a) khi và chỉ khi có số nguyên q sao cho a = bq. 3. Các tính chất: 1) Nếu a b thì a b (b 0) 2) a a; 0 a với mọi a 0 3) a 1 với mọi a 4) Nếu a m thì a n m (m 0, n nguyên dương). 5) Nếu a b và b a thì |a| = |b| 6) Nếu a b và b c (b,c 0) thì a c. 7) Nếu a c và b c(c 0) thì (a b) c. Điều ngược lại không đúng. 8) Nếu a m hoặc b m thì ab m(m 0). Điều ngược lại không đúng. 9) Nếu a p và a q, (p, q)= 1 thì a pq 10) Nếu a = mn; b = pq và m p n q thì a b 11) Nếu ab m và (b,m) = 1 thì a m 12) Nếu a b m và a m thì b m II. Số nguyên tố: 1.Định nghĩa: Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó. Hợp số là số tự nhiên lơn hơn 1 có nhiều hơn hai ước. Số 1 và số 0 không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số. 2. Định lí cơ bản của số học: Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất(không kể thứ tự các thừa số). Số nguyên tố được coi như là tích chỉ gồm một thừa số là chính nó. Có vô số số nguyên tố (không có số nguyên tố lớn nhất). Số hoàn chỉnh: là số bằng tổng các ước của nó không kể bản thân nó. Ví dụ: 6 , 28, , 2 n-1 (2 n - 1) III. Một số phương pháp thông thường để giải bài toán về chia hết: Cách 1: Để chứng minh A(n) chia hết cho k, có thể xét mọi trường hợp số dư khi chia n cho k. Ví dụ 1: Chứng minh rằng: a) Tích của hai số nguyên liên tiếp chia hết cho 2. b) Tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 3. Giải : a) Viết tích của hai số nguyên liên tiếp dưới dạng A(n) = n(n + 1). Có hai trường hợp xảy ra : * n 2 => n(n + 1) 2 * n không chia hết cho 2 (n lẻ) => (n + 1) 2 => n(n +1) 2 b) Chứng minh tương tự a. Cách 2: Để chứng minh A(n) chia hết cho k, có thể phân tích k ra thừa số: k = pq . + Nếu (p, q) = 1, ta chứng minh A(n) p và A(n) q. + Nếu (p, q) 1, ta phân tích A(n) = B(n) .C(n) rồi chứng minh: B(n) p và C(n) q . Ví dụ 2: a) Chứng minh: A(n) = n(n +1)(n + 2) 6. b) Chứng minh: tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8. Giải : a) Ta có 6 = 2.3; (2,3) = 1 . Theo chứng minh trên đã có A(n) chia hết cho 2 và 3. Do đó A(n) chia hết cho 6. b) Ta viết A(n) = 2n(2n + 2) = 2n. 2(n +1) = 4n(n + 1). 8 = 4 . 2. Vì 4 4 và n(n +1) 2 nên A(n) 8 Ví dụ 3 : Chứng minh rằng n 5 - n chia hết cho 10, với mọi số nguyên dương n. (Trích đề thi HSG lớp 9 cấp tỉnh năm học 2005 - 2006) Giải : A(n) = n 5 - n = n(n 4 - 1) = n(n 2 - 1)(n 2 + 1) = n(n - 1)(n + 1)(n 2 +1) 2 n = 5k + 1 => (n - 1) 5 n = 5k + 4 => (n + 1) 5. n = 5k + 2 => n 2 + 1 = (5k + 2) 2 + 1 = (25k 2 + 20k + 4 + 1) 5 n = 5k + 3 => n 2 + 1 = (5k + 3) 2 + 1 = (25k 2 + 30k + 9 + 1) 5 Vậy : A(n) chia hết cho 2 và 5 nên phải chia hết cho 10. Cách 3: Để chứng minh A(n) chia hết cho k , có thể biến đổi A(n) thành tổng(hiệu) của nhiều hạng tử , trong đó mỗi hạng tử đều chia PHÒNG GD&ĐT TAM ĐẢO TRƯỜNG THCS MINH QUANG CHUYÊN ĐỀ “KHAI THÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CHIA HẾT TRONG TẬP HỢP SỐ NGUYÊN ¢ ” Tác giả: ĐÀO QUANG HƯNG Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Trường THCS Minh Quang Đối tượng áp dụng: Học sinh giỏi khối 7,8,9 Dự kiến số tiết bồi dưỡng: 12 tiết Địa gmail: quanghung0578@gmail.com.vn Page | Tam Đảo, 11-2015 PHẦN HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Định lí phép chia 1.1.1 Định lí Cho a, b ∈ ¢ , b ≠ Khi tồn hai số nguyên q, r nhất, cho: a = bq + r , (0 ≤ r < b ) Trong đó: a gọi số bị chia b gọi số chia q gọi thương r gọi số dư Chú ý: • Nếu a chia cho b số dư là: 0;1;2; ; ( b − 1) • Đặc biệt: Nếu r = ⇒ a = bq , ta nói a chia hết cho b hay b ước a kí hiệu a Mb hay b | a Vậy a Mb ⇔ ∃ q ∈ ¢ a = bq 1.1.2 Tính chất (i) Nếu a Mb b Mc a Mc (Tính chất bắc cầu) (ii) Nếu a Mb ac Mb, ∀ c ∈ ¢ (Tính chất nhân với số) b, c ) = a Mbc (iii) Nếu a Mb , a Mc ( Page | b, c ) = a Mc (iv) Nếu ab Mc ( 1.2 Khái niệm đồng dư 1.2.1 Định nghĩa: Cho số m ∈ ¢ , m > , hai số nguyên m ta nói a đồng dư với a b có số dư chia cho b theo môđun m ký hiệu a ≡ b ( mod m ) Vậy a ≡ b ( mod m ) ⇔ a − b Mm Dấu " ≡ " gọi đồng dư thức 1.2.2 Tính chất (i) Cộng, trừ theo vế nhiều đồng dư theo môđun a ≡ b(mod m) a ± c ≡ b ± d ( mod m ) c ≡ d (mod m) Nếu (ii) Nhân vế đồng dư thức có môđun a ≡ b(mod m) ac ≡ bd ( mod m ) c ≡ d (mod m) Nếu 1.2.3 Hệ (i) Thêm bớt số vào hai vế đồng dư thức Nếu a ≡ b ( mod m ) , a ± c ≡ b ± c ( mod m ) (ii) Nhân hai vế đồng dư thức với số nguyên khác không Nếu a ≡ b ( mod m ) ac ≡ bc ( mod m ) Page | (iii) Có thể nâng hai vế đồng dư thức lên lũy thừa với bậc số tự nhiên Nếu ( a + b) (iv) a ≡ b ( mod m ) n a n ≡ b n ( mod m ) , ∀ n ∈ ¥ ≡ b n ( mod a ) , ∀ a > 1.3 Một số định lý, tính chất phương pháp giải tập 1.3.1 Tính chất chia hết tổng, hiệu a Mm ⇒ a ± b Mm b Mm (i) Nếu /m a M /m ⇒ a±bM b M m (ii) Nếu a Mm b Mm ⇒ a + b + c Mm c Mm (iii) Nếu /m a M /m b Mm ⇒ a + b + c M c Mm (iv) Nếu 1.3.2 Đẳng thức mở rộng 1) Với n∈ ¥ , ta có ( ) ( ) a n − bn = ( a − b ) a n−1 + a n − 2b + + ab n − + b n−1 2) Với n∈ ¥ , n lẻ, ta có: a n + b n = ( a + b ) a n −1 − a n − 2b + − ab n − + b n−1 Page | Từ ta có tính chất sau: (i) Với a, b ∈ ¢, a ≠ b, ∀ n ∈ ¥ a − b Ma − b n n (ii) Với a, b ∈ ¢ , a ≠ − b, ∀ n ∈ ¥ , n lẻ a + b Ma + b n n n n a − b Ma + b a , b ∈ ¢ , a ≠ − b , ∀ n ∈ ¥ (iii) Với , n chẵn n 1.3.3 Tìm chữ số tận số a n (i) Nếu a có chữ số tận 0;1;5 a có chữ số tận 0;1;5 (ii) Nếu a có chữ số tận 2;3 7, với ∀ k ∈ ¥ , ta có * 24 k ≡ ( mod10 ) 34 k ≡ 1( mod10 ) k ≡ 1( mod10 ) n Do để tìm chữ số tận a với a có tận 2; 7, ta lấy n chia cho Giả sử n = 4k + r , r ∈ { 0;1;2;3} n 4k + r r • Nếu a ≡ ( mod10 ) ⇒ a ≡ ≡ 6.2 ( mod10 ) n 4k + r r • Nếu a ≡ 3( mod10 ) a ≡ ( mod10 ) ⇒ a ≡ a ≡ a ( mod10 ) 1.3.4 Định lí Fermat Với p số nguyên tố, ta có Đặc biệt: Nếu a p ≡ a ( mod p ) ( a, p ) = a p−1 ≡ 1( mod p ) 1.3.5 Phương pháp chứng minh quy nạp Page | Giả sử cần chứng minh A ( n ) Mp, n = 1;2;3 (1) A Mp Ta chứng minh (1) với n = , tức ta chứng minh ( ) Giả sử (1) với n = k , tức ta có A ( k ) Mp Ta chứng minh (1) với n = k + , tức phải chứng minh A ( k + 1) Mp Theo nguyên lý quy nạp ta kết luận (1) ∀ n = 1;2 1.4 Các dạng tập chuyên đề 1) Chứng minh biểu thức A(n) Mm, ∀ m, n, m ≠ 2) Tìm n để biểu thức A(n) chia hết cho số 3) Chứng minh với n thỏa mãn điều kiện toán biểu thức A(n) Mp, p số nguyên tố 4) Tìm số dư phép chia biểu thức A(n) cho số p nguyên tố 5) Tìm chữ số tận số 6) Chứng minh số không số nguyên tố 1.5 Các phương pháp 1) Sử dụng tính chất: “Trong n số nguyên liên tiếp có số chia hết cho n, ∀ n ≥ 1” 2) Sử dụng đẳng thức mở rộng 3) Sử dụng phép chia có dư 4) Sử dụng nguyên lý Dirichlet 5) Phương pháp chứng minh quy nạp Page | 6) Sử dụng đồng dư thức 7) Tìm chữ số tận 8) Sử dụng Fermat Do thời lượng không cho phép nên đưa dạng tập liên quan đến toán chứng minh chia hết tập số nguyên ¢ 1) Dạng Chứng minh biểu thức A( n) Mm, ∀ m, n ∈ ¥ , m ≠ 2) Dạng Chứng minh với n thỏa mãn TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2010-2011 PHẦN SỐ HỌC Bài 1: TÍNH CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP SỐ NGUYÊN SỐ NGUYÊN TỐ A Nhắc lại bổ sung kiến thức cần thiết: I Tính chia hết: Định lí phép chia: Với số nguyên a,b (b ≠ 0), có cặp số nguyên q, r cho : a = bq + r với ≤ r < b a gọi số bị chia , b số chia, q thương r số dư Trong trường hợp b > r ≠ viết: a = bq + r = b(q +1)+ r - b Ví dụ: Mọi số nguyên a có dạng: a = 2q ± (xét phép chia cho b = 2) a = 3q ; 3q ± (xét phép chia cho b = 3) a = 4q ; 4q ± ; 4q ± (xét phép chia cho b = 4) a = 5q; 5q ± 1; 5q ± (xét phép chia cho b = 5) Tính chia hết: Nếu a chia b mà số dư r = 0, ta nói : a chia hết cho b hay a bội b (kí hiệu a M b) b chia hết a hay b ước a (kí hiệu b\ a) Vậy: a M b (b\ a) có số nguyên q cho a = bq Các tính chất: 1) Nếu a M b ± a M ± b (b ≠ 0) 2) a M a; M a với a ≠ 3) a M ± với a 4) Nếu a M m an M m (m ≠ 0, n nguyên dương) 5) Nếu a M b b M a |a| = |b| 6) Nếu a M b b M c (b,c ≠ 0) a M c 7) Nếu a M c b M c(c ≠ 0) (a ± b) M c Điều ngược lại không 8) Nếu a M m b M m ab M m(m ≠ 0) Điều ngược lại không 9) Nếu a M p a M q, (p, q)= a M pq 10) Nếu a = mn; b = pq m M p n M q a M b 11) Nếu ab M m (b,m) = a M m 12) Nếu a ± b M m a M m b M m II Số nguyên tố: 1.Định nghĩa: Số nguyên tố số tự nhiên lớn 1, có hai ước Hợp số số tự nhiên lơn có nhiều hai ước Số số số nguyên tố hợp số Định lí số học: Mọi số tự nhiên lớn phân tích thừa số nguyên tố cách nhất(không kể thứ tự thừa số) Số nguyên tố coi tích gồm thừa số Có vô số số nguyên tố (không có số nguyên tố lớn nhất) Số hoàn chỉnh: số tổng ước không kể thân Ví dụ: , 28, , 2n-1(2n - 1) III Một số phương pháp thông thường để giải toán chia hết: Cách 1: Để chứng minh A(n) chia hết cho k, xét trường hợp số dư TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2010-2011 chia n cho k Ví dụ 1: Chứng minh rằng: a) Tích hai số nguyên liên tiếp chia hết cho b) Tích ba số nguyên liên tiếp chia hết cho Giải : a) Viết tích hai số nguyên liên tiếp dạng A(n) = n(n + 1) Có hai trường hợp xảy : * n M => n(n + 1) M * n không chia hết cho (n lẻ) => (n + 1) M => n(n +1) M b) Chứng minh tương tự a Cách 2: Để chứng minh A(n) chia hết cho k, phân tích k thừa số: k = pq + Nếu (p, q) = 1, ta chứng minh A(n) M p A(n) M q + Nếu (p, q) ≠ 1, ta phân tích A(n) = B(n) C(n) chứng minh: B(n) M p C(n) M q Ví dụ 2: a) Chứng minh: A(n) = n(n +1)(n + 2) M b) Chứng minh: tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho Giải : a) Ta có = 2.3; (2,3) = Theo chứng minh có A(n) chia hết cho Do A(n) chia hết cho b) Ta viết A(n) = 2n(2n + 2) = 2n 2(n +1) = 4n(n + 1) = Vì M n(n +1) M nên A(n) M Ví dụ : Chứng minh n5 - n chia hết cho 10, với số nguyên dương n (Trích đề thi HSG lớp cấp tỉnh năm học 2005 - 2006) Giải : A(n) = n5 - n = n(n4 - 1) = n(n2 - 1)(n2 + 1) = n(n - 1)(n + 1)(n2 +1) M n = 5k + => (n - 1) M n = 5k + => (n + 1) M n = 5k + => n2 + = (5k + 2)2 + = (25k2 + 20k + + 1) M n = 5k + => n2 + = (5k + 3)2 + = (25k2 + 30k + + 1) M Vậy : A(n) chia hết cho nên phải chia hết cho 10 Cách 3: Để chứng minh A(n) chia hết cho k , biến đổi A(n) thành tổng(hiệu) nhiều hạng tử , hạng tử chia hết cho k ( Đã học tính chất chia hết tổng lớp 6) (Liên hệ: A(n) không chia hết cho k ) Ví dụ 4: Chứng minh n3 - 13n (n > 1) chia hết cho (Trích đề thi HSG cấp II toàn quốc năm 1970) Giải : n3 - 13n = n3 - n - 12n = n(n2 - 1) - 12n = (n - 1)n(n + 1) - 12n (n - 1)n(n + 1) tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho ; 12n M Do A(n) M Ví dụ 5: Chứng minh n2 + 4n + không chia hết cho , với PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH LỘC TRƯỜNG THCS PHẠM VĂN HINH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ TÍNH CHIA HẾT TRONG TẬP HỢP SỐ NGUYÊN CHO HỌC SINH LỚP 6, TRƯỜNG TRUNG HỌC SƠ SỞ PHẠM VĂN HINH Người thực hiện: Lê Văn Thạnh Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Phạm Văn Hinh Huyện Vĩnh Lộc SKKN thuộc môn: Toán VĨNH LỘC, NĂM 2016 1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình trung học sở (THCS), môn Toán có vai trò quan trọng, giúp học sinh có kiến thưc toán học phổ thông để tiếp tục học lên, mà góp phần để học sinh học tốt môn khoa học tự nhiên khác, bước hình thành, phát triển nhân cách, tư sáng tạo, hoàn thiện lực thân Dạy học để học sinh nắm vững kiến thức cách có hệ thống mà phát triển lực tư sáng tạo để học sinh có hứng thú, say mê học tập câu hỏi mà giáo viên đặt cho trình dạy học Toán Thực tế dạy học Toán cho thấy, để học sinh học tốt môn Toán người giáo viên phải nắm vững đặc điểm tâm, sinh lý lứa tuổi học sinh, hiểu, cảm thông, chia sẻ điều kiện, hoàn cảnh học sinh nơi dạy, từ biết chắt lọc nội dung kiến thức, vận dụng linh hoạt, sáng tạo phương pháp dạy học, tìm cách đơn giản hoá vấn đề phức tạp để học sinh chủ động, tự giác tiếp cận, nghiên cứu chiếm lĩnh kiến thức; Làm giúp học sinh tự tin hơn, mạnh dạn hơn, hứng thú hơn, tư sáng tạo từ hình thành phát triển Thiết nghĩ, giáo viên có trình nghiên cứu cụ thể toàn diện chương trình, nội dung sách giáo khoa, sách tập, biết lựa chọn hệ thống tập từ đơn giản đến phức tạp, từ dễ đến khó, đặc biệt tập có tính khái quát cao, có khả khai thác sâu; Mặt khác giáo viên cần có phương pháp hướng dẫn học sinh phương pháp nghiên cứu, khai thác toán, phương pháp kiểm tra, “cân, đong, đo, đếm" khả tư học sinh, học sinh chủ động, say mê, tìm tòi, khám phá, kỹ rèn luyện, học sinh bước biết sáng tạo học toán Đối với học sinh tiếp cận với môn Toán tất yếu phải hình thành kỹ giải toán kiến thức định Có kỹ giải toán nghĩa tự vận dụng lý thuyết vào giải tập cách có khoa học Trong chương trình sách giáo khoa (SGK) Toán THCS hành, số chủ đề kiến thức lý thuyết không khó, khả vận dụng giải toán lại rộng, phong phú, đa dạng không cấp THCS; Một chủ đề dạng toán chia hết tập hợp số nguyên Trong nhiều năm qua, không kiểm tra định kỳ chương trình khoá, kiểm tra cuối kỳ, cuối năm mà đề thi học sinh giỏi toán cấp thường xuất toán vận dụng tính chia hết Theo dõi kết làm học sinh, Tôi nhận thấy hầu hết học sinh không giải giải không trọn vẹn, nhiều học sinh phương hướng xem xét toán Theo Tôi nguyên nhân dẫn đến tình trạng nêu là: Kiến thức tính chia hết chủ yếu học lớp 6; Trong phép biến đổi toán học chủ yếu lại học lớp lớp trên; Tài liệu tham khảo nhiều phong phú lại thiếu gợi ý phương pháp nghiên cứu, chủ yếu trình bày lời giải; Đa số giáo viên dạy dạng toán chia hết chưa quan tâm củng cố, hệ thống hoá, ... liên tiếp nên vừa chia hết cho Mà (2;3)=1=>m.(m-1).(m+1) n.(n-1).(m+1) chia hết cho =>P chia hết cho ( ĐPCM ) Bài : Chứng minh :Với a,b,c thuộc Z a+b+c chia hết cho a^3+b^3+c^3 chia hết cho Bài... =n.[n.(n+1)-(n+1)]+18 =n.(n+1).(n-1)+18 Nhận thấy : n.(n+1).(n-1) chia hết cho mà 18 chia hết cho =>n.(n+1).(n-1) chia hết cho 3.Chứng minh : P=m.n.(m^2-n^2) chia hết cho với m , n thuộc Z Bài giải : Ta có :... = 2.k.(2.k + 5) chia hết cho (1) - Xét n lẻ : n = 2.k + ( k thuộc z ) ->A = (2.k + 1).(2.k+1+5) = (2.k+1).(2.k+6) chia hết cho (2) Từ (1) (2) -> n.(n+5) chia hết cho =>n^2+5.n chia hết cho (ĐPCM)