Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề chia hết trong tập hợp các số nguyên là một chuyên đề bổ ích cho học sinh lơp 89 trong bồi dưỡng học sinh giỏi. Chia hết trong Z luôn nằm trong cấu trúc đề thi học sinh giỏi lớp 8, lớp 9. Với cách viết chi tiết, dễ hiểu. các bài tập được phân dạng đầy đủ từ dễ đến khó sẽ giúp các thầy cô và các em học sinh có thể nghiên cứu tự học một các dễ dàng, hiệu quả.
Chuyên đề: CHIA HẾT TRONG Z ĐA THỨC : Ta sử dụng định lý Bơ zu : Số dư phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a giá trị đa thức f(x) x = a Từ ta có hệ : Đa thức f(x) ( x – a) ↔ f(a) = tức a nghiệm đa thức Từ suy : Đa thức f(x) có tổng hệ số chia hết cho x – Đa thức f(x) có tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ f(x) ( x + 1) Chứng minh đa thức chia hết cho đa thức khác : Cách : Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có thừa số chia hết cho đa thức chia Cách : Biến đổi đa thức bị chia thành tổng đa thức chia hết cho đa thức chia Cách : Sử dụng biến đổi tương đương : chứng minh f(x) g(x) ta chứng minh : f(x) + g(x) g(x) f(x) - g(x) g(x) Cách : Chứng tỏ nghiệm đa thức chia nghiệm đa thức bị chia BÀI TẬP 1) Dạng 1: Tìm tham số để đa thức chia hết cho đa thức Bài Xác định số a ; b cho: a) 4x - 6x + a (x-3) - Cách 1: Đặt phép chia cho số dư cuối băng 0, ta a = -18 - Cách 2: Theo ra, ta có: 4x - 6x + a = (x-3).(4x - b) 4x - 6x + a = 4x - (b+12)x + 3b b =-6 , a =-18 - Cách 3: Theo ra, ta có: 4x - 6x + a = (x-3).(4x - b) Cho x = -2+a = -8 + 2b a - 2b = -6 Cho x = a = 3b Do đó, ta tìm được: b = -6, a = -18 b) 2x2 + x + a (x+3) c) x3 + ax2 - (x2 + 4x + 4) ĐS: a =3 d) 10x - 7x + a (2x - 3) e) 2x2 + ax + chia cho x - dư ĐS: a=-5 g) ax + 5x - (x-1) ĐS: a= -14 Bài Tìm số a b cho x + ax + b chia cho x + dư 7, chia cho x - dư -5 2) Dạng 2: Tìm giá trị biến để giá trị đa thức chia hết cho giá trị đa thức Bài Tìm n Z để : a/ n2 + 2n – b/ 2n3 + n2 + 7n +1 2n – Giải: 2n3 + n2 + 7n +1 = 2n3 + n2 + 7n +1 = 2n - n + 2n - n + 8n - + = n(2n - 1) + n(2n - 1) + 4(2n - 1) + Do đó: 2n3 + n2 + 7n +1 2n – 2n – 2n - 1 {-5;-1;1;5} n {-2;0;1;3} c/ n3 – n – Giải: n3 – = (n - 8) + n – n – n – {-6;-3;-2;-1;1;2;3;6} n {-4;-1;0;1;3;4;5;8} d/ n3 - 3n2 + 3n - n2 +n + e/ n4 – 2n3 + 2n2 – 2n + n4 – Giaỉ: n4 – 2n3 + 2n2 – 2n + n4 – (n4 – 2n3 + n2) + (n2 - 2n+ 1) n4 – (n2+1) (n-1) (n +1)(n - 1)(n + 1) (n2+1) (n-1) (n +1)(n - 1)(n + 1) n - n + (n - 1) - (n + 1) n + n + n + {-2;-1;1;2} n + {-3;-2;0;1} Bài a) n +1⋮ n - ( GVG quỳnh lưu 2013-2015) Giaỉ: Theo ta có: n +1⋮ n - n(n+1)⋮ n - n + n ⋮n - n- + n + ⋮ n - n + 2⋮n - mà n +1⋮ n - (đề bài) →1⋮ n - n - 2=1 n - 2=-1 n=∓1 Thử lại thỏa mãn n +1⋮ n - Vậy, n=∓1 thỏa mãn đk tốn b) Tìm số ngun dương n để n5 +1 chia hết cho n3 +1 Giải: n5 1Mn3 � n5 n n 1Mn3 � n 1Mn3 � (n 1)(n 1)M(n 1)( n n 1) � n 1Mn n (vì n+1≠0) � n n Mn n � (n n) (n n 1)Mn n � 1Mn n � n n �1 -Với n n � n 0; n -Với n n 1 � n n vô nghiệm Thử lại, n=0, n=1 thỏa mãn đk toán Bài (HSG tỉnh Nghệ an) Cho A = k4 + 2k3 16k2 2k + 15 với kZ Tìm điều kiện k để A 16 Giải: A = (k - 1).(k + 5k - k - 5) = (k - 1)(k + 6k + 5) = (k - 1)(k + 1)(k + 5) 16 k số nguyên lẻ 3) Dạng 3: Tìm dư phép chia Bài 4: Tìm dư phép chia x99 + x55 + x11 +x + cho x + 4) Chứng minh chia hết: a) Chứng minh đa thức chia hết cho đa thức Bài 5: CMR : a/ x50 + x10 + x20 + x10 + b/ x2 - x9 – x1945 x2 - x + c/ x10 - 10x + (x – 1)2 d/ 8x9 - 9x8 + (x – 1)2 b) Chứng minh đa thức chia hết cho số: Phương pháp thướng sử dụng: - Phương pháp : A(n) chia hết cho p; ta xét số dư chia n cho p Ví dụ : A(n) = n(n2+1)(n2+4) chia hết cho n chia cho có số dư r =0,1,2,3,4,5 a/ Với r = n chia hết cho => A(n) chia hết cho b/ Với r = => n = 5k+1 => n2= 25k2+10k +1 (n2+4) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho c/ Với r = => n = 5k+2 => n2= 25k2+20k +4 (n2+1) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho d/ Với r = => n = 5k+3 => n2= 25k2+30k +9 (n2+1) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho e/ Với r = => n = 5k+4 => n2= 25k2+40k +16 (n2+4) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho - Phương pháp : A(n) chia hết cho m; ta phân tích m = p.q a/ (p,q) = ta chứng minh: A(n) chia hết cho p, A(n) chia hết cho q => A(n) chia hết cho p.q b/ Nếu p q không nguyên tố ta phân tích A(n) = B(n).C(n) chứng minh B(n) chia hết cho p, C(n) chia hết cho q => , A(n) chia hết cho p.q - Phương pháp : Để chứng minh A(n) m biến đổi A(n) thành tổng nhiều hạng tử chứng minh hạng tữ chia hết cho n - Phương pháp : Để chứng minh A(n) m ta phân tích A(n) thành nhân tử, có nhân tử m chia hết cho m: A(n) = m.B(n) + Thường ta sử dụng đẳng thức : an – bn a – b ( a b) n an – bn a – b ( a - b) n chẵn an + bn a + b ( a - b) n lẻ Các toán bản: - Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n - Tích số chẵn liên tiếp chia hết cho - Tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Ví dụ : A(n) = n(n2+1)(n2+4) chia hết cho Cách 1: n chia cho có số dư r =0,1,2,3,4,5 a/ Với r = n chia hết cho => A(n) chia hết cho b/ Với r = => n = 5k+1 => n2= 25k2+10k +1 (n2+4) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho c/ Với r = => n = 5k+2 => n2= 25k2+20k +4 (n2+1) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho d/ Với r = => n = 5k+3 => n2= 25k2+30k +9 (n2+1) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho e/ Với r = => n = 5k+4 => n2= 25k2+40k +16 (n2+4) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho * Chú ý: Phương pháp xét số dư áp dụng cho số chia nhỏ Cách 2: n(n2+1)(n2+4) 5 n(n2+1)(n2- 1+5) n(n2+1)(n2- 1)+5n(n2+1) 2 2 n(n +1)(n - 1) n(n +1)(n- 1)(n+1) n(n -4+5)(n- 1)(n+1) n(n2-4+5)(n- 1)(n+1) n(n2-4)(n- 1)(n+1) + 5(n- 1)(n+1) n(n -4)(n- 1)(n+1) n(n-2)(n+2)(n- 1)(n+1) Hiển nhiên BÀI TẬP: n5 n3 n Bài 1: Chứng minh số số nguyên với n �N 15 Gợi ý: n n3 n Để chứng minh số số nguyên ta phải 15 chứng minh : 3n5 + 5n3 + 7n M15 * Nhận xét: tích số nguyên liên tiếp chia hết cho 3, tích số nguyên liên tiếp chia hết cho Vì vậy, ta nghĩ đến việc phân tích đa thức thành tích số ngun liên tiếp Thật vậy, ta có : 3n5 + 5n3 + 7n = n(3n4 + 5n2 + 7) = n(3n4 + 5n2 - + 15) = n.(3n4 + 5n2 - 8)+ 15n = n.(n2-1).(3n2+ 8)+ 15n = n(n-1)(n+1).(3n2-12 + 20) = 3n(n - 1)(n + 1)(n - 2)(n + 2) + 20n(n-1)(n+1) Do 3n(n - 1)(n + 1)(n - 2)(n + 2) M15 20n(n-1)(n+1) M15 với n �N , Vậy Bài : Chứng minh với số tự nhiên n ta ln có: n3+2n M3 Có: n3+2n = n - n + 3n = n(n+1)(n-1) + 3n Bài 3: Chứng minh : n(n+2)(25n2-1) 24 với n N Nhận xét: Vì (3,8) = nên ta chứng minh biểu thức chia hết cho Vậy, ta phân tích thành tích số nguyên liên tiếp(có số chẵn liên tiếp chc 8) Giải: Ta có: A=n(n+2)(25n2-1) = n(n+2)(25n2-25+24) = n(n+2)(25n2-25)+24n(n+2)=25 n(n+2).(n-1)(n+1)+ 24n(n+2) Vì 24n(n+2) 24 (n-1)n(n+1)(n+2) 3 (n-1)n(n+1)(n+2) 8 Mà (3 ; 8)=1 (n-1)n(n+1)(n+2) 24 A 24 Bài 4: Chứng minh m số nguyên lẻ thì: (m3 + 3m2 – m – 3) M48 * Nhận xét: ta dễ nhận thấy phân tích đa thức thành nhân tử Giải: Ta có: m3 + 3m2 – m – = (m - 1)(m + 4m + 3) = (m-1)(m+1)(m + 3) Vì m lẻ nên m = 2k+1, thay vao ta có: (m-1)(m+1)(m + 3) = 2k.(2k+2)(2k+4) = 8k(k+1)(k+2) Vì ; k(k+1)(k+2) nên 8k(k+1)(k+2)8.6 hay (m3 + 3m2 – m – 3) M48 Bài 5: Chứng minh : B = n4 - 14n3 + 71n2 - 154n + 120 chia hết cho 24 với n � Z Chú ý: Khi hệ số lớn ta đơn giản hóa áp dụng cơng thức: aMm a + b.m Mm Giải: B = n4 - 14n3 + 71n2 - 154n + 120 M24 n4 - 14n3 + 71n2 - 154n M24 n4 - 14n3 + 71n2 - 154n - 24.3n2 + 24.6n M24 n4 - 14n3 - n2 - 10n M24 Ta có: n4 - 14n3 - n2 - 10n = n(n3 - 14n2 - n - 10) = n[(n3- n2) - (13n2- 13n) - (14n - 14) - 24] = n(n - 1)(n2-13n-14) - 24n = n(n-1)(n+1)(n-14) - 24n = n(n-1)(n+1)(n-2- 12) - 24n = n(n-1)(n+1)(n-2) -12n(n-1)(n+1) -24n Dễ thấy: n(n-1)(n+1)(n-2) - 12n(n-1)(n+1) M3 mà (3,8) = Do n(n-1)(n+1)(n-2) - 12n(n-1)(n+1) M24, lại có 24nM24 Vì vậy: n(n-1)(n+1)(n-2) -12n(n-1)(n+1) -24n M24 Bài 6: Chứng minh rằng: (n5 – 5n3 + 4n) M120 với m,n � Z Giải: (n5 – 5n3 + 4n) = n( n4 – 5n2 + 4) = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) M3, 5, mà (3, 5, 8) = Vậy, (n5 – 5n3 + 4n) M120 Bài 7: ( tx Hoàng Mai 2016) CMR: n8 - n6 - n4 + n2 M1152, với moi n tự nhiên lẻ Giải: Ta kết hợp phương pháp để giải tập Xét A= n8 - n6 - n4 + n2 = n(n +1)(n - 1)(n+1) Ta có: + (n - 1)(n+1) M8 ( tích số nguyên chẵn liên tiếp) (n - 1)(n+1) M64 + (n +1) M2 Do đó: A = n(n +1)(n - 1)(n+1) M128 Mặt khác: n(n - 1)(n+1) M3 ( tích số nguyên liên tiếp ) n(n - 1)(n+1) M9 A = n(n +1)(n - 1)(n+1) M9 mà (128,9) = nên A M1152 Bài Chứng minh rằng: n3 17nM6 với số nguyên n Lời giải: Ta có: n3 17 n n3 n 18n n(n 1)(n 1) 18nM6 * Chú ý: Nhiều toán ta hay sử dụng HĐT: a- b = (a-b)(a+ a.b + ab + ab + + a.b+ b) Bài 8: Chứng minh với n N biểu thức 13n -1 chia hết Giaỉ: áp dụng nhị thức: a- b = (a-b)(a+ a.b + ab + ab + + a.b+ b) 2n Bài 9: Chứng minh với số tự nhiên n ta có: 4.3 32n 36M64 4.32n 32n 36 (4.9n 1 36) 32n 36(9n 1) 32n 36(9 1)(9n 1 9n 1) 32n 36.8(9n 1 n 2 1) 32n 32.9.(9n 1 n 1) 32n 32(9 n n 1 n 2 9) 32n 32(9n 9n 1 9n n) Nhận thấy n chẵn hay lẻ 9n 9n 1 9n n số chẵn nên 32(9n 9n 1 9n 2 n) M64 (đpcm.) n Bài 10: Chứng minh với số tự nhiên n ta ln có: 16 15n 1M225 16n 15n (16 1)(16n 1 16 n 2 16n 3 1) 15n 15(16n 1 16n 2 16n 3 1) 15n 15(16n 1 16n 2 16n 3 n) 15 � (16n 1 1) (16 n 1) (16 n 3 1) (16 1) 1� � � 15 � (16n 1 1) (16 n 1) (16 n 3 1) (16 1) � � � (16n 1 1) (16n 1) (16n 3 1) (16 1) � M 15 Nhận thấy 15 15 � � � n Vậy: 16 15n 1M225 Bai 11: a) Chứng minh với số nguyên n n n không chia hết cho b) Chứng minh với số n lẻ : n2 + 4n + không chia hết cho a) Giải: + Cách 1: - Nếu n=3k n + n + - Nếu n = 3k+1 n + n + =9k + 6k +1 +3k+1+2 =9k+9k+4 - Nếu n = 3k+2 n + n + =9k + 12k +4 +3k+2+2 =9k + 15k +4 b) Giải: + Cách 1: Vì n lẻ nên n = 2k + n2 + 4n + = 4k + 12k + 10 = 4k(k+3) + 10 Vì k(k+3) có thừa số chẵn 4k(k+3) 4k(k+3) + 10 + Cách 2: Vì số chia nên ta phải tạo tích số chẵn liên tiếp: n2 + 4n + = (n - 1) + (4n + 4) + = (n+1)(n-1) + 4(n+1) + = (n+1)(n+3) + Vì (n+1)(n+3) 2 nên (n+1)(n+3) + 28 đpcm Bài tập: Bài Chứng minh : a) n5 - 5n3 + 4n 120 ; với n Z b) n -3n -n+3 48 ; với n lẻ c) n4 + 4n3 -4n2 -16n 384 với n chẵn Bài CMR: a) n n M12 c) Chữ số tận số tự nhiên n n5 giống 3 d) (a b)M6 � (a b )M6 e) Cho n > (n, 6) = CMR n 1M24 2n 2n M7 g) 2n 26n M 11 f) Bài CMR: A 7.52 n 12.6n chia hết cho 19 với số tự nhiên n Lời giải: + Với n=0 n=1 A chia hết cho 19 + Với n>1 Xét: 7.52 n 12.6n 19.6n 7.52 n 7.6n 7(52 n 6n ) 7(25n 6n ) 7.(25 6).(25n 1 25n 2.6 25n 3.6 6) M 19 → 7.52 n 12.6n 19.6n M19 mà 19.6n M19 � AM19 Vậy, A 7.52 n 12.6n chia hết cho 19 với số tự nhiên n Tổng hợp đề thi: Bài 1: ( 2,0 điểm) Tìm số chia nhỏ chia cho dư 1, chia cho dư 2, chia cho dư 3, chia cho dư chia hết cho 11 Giải: a+2 BC(3,4,5,6) a 11 Câu Chứng minh a3 – 13a M6 với a �Z Chứng minh: Ta có: a3 – 13a = a3 – a - 12a = a(a -1) -12a = a(a+1)(a-1)-12a 12 10 2008 23 Bµi 4: Chøng minh A = số tự nhiên n 3n 2n 6n Bài 5: Tìm n để B= có giá trị số nguyên n2 Bài 6: Chứng minh hiệu số 92012 - 72012 chia hết cho 10 Bài Chứng minh A = 2317 17 23 số chia hết cho 10 Bài 8: T×m số tự nhiên có chữ số, biết rằng: số số chẵn, chia hết cho 11 tổng chữ số số chia hết cho 11 Bài 9: Cho số nguyên a1, a2, a3, , an Đặt S = a13 + a 32 + + a 3n P = a1 + a2 + + an Chứng minh rằng: S chia hết cho P chia hết cho Bài 10: a Cho số nguyên dương: a1; a2 ; a3 ; ; a2013 cho: N = a1 a2 a3 a2013 chia hết cho 30 Chứng minh: M = a15 a25 a35 a2013 chia hết cho 30 Bài 11: Cho biết a = + + b = - + với n N Chứng minh rằng: hai số a b có số chia hết cho Bài 12: CMR: a3 6a 11a chia hết cho với số nguyên a b) 3n 5n (với n �N * ) hai số khơng ngun tố Tìm ước chung lớn hai số Câu a Chứng minh rằng: 41005 M3 c Tìm số nguyên dương n để phân số: Câu (4,0 điểm) b) Chøng minh r»ng ph©n sè � N ) 2n 11 phân số tối giản n2 12n 40n phân số tối giản ( n a) Giả sử n số tự nhiên thỏa mãn đk n + n +6 không chia hết cho CMR: 2n +n + khơng số phương Câu a Cho A 5n2 26.5n 82n1 ; với n �N Chứng minh: A chia hết cho 59 Câu 2.(2,0 điểm) a) Chứng minh a a không chia hết cho 25 với số nguyên a a) N a a = (a 2)(a 3) Vì (a 2) ( a 3) 5 chia hết a 2; a chia hết cho không chia hết cho *Nếu a 2; a chia hết cho (a 2)(a 3) chia hết cho 25 mà không chia hết cho 25 suy N không chia hết cho 25 *Nếu a 2; a khơng chia hết cho (a 2)(a 3) không chia hết cho ( số nguyên tố) suy N khơng chia hết cho 5, N khơng chia hết cho 25 Vậy N không chia hết cho 25 với số nguyên a (2) Từ (1) (2) suy k �2k 1 nên 2k �2k (3) Dễ thấy k �3 bất đẳng thức (3) khơng xảy Do k Thay k vào (1) ta x � y 2.2 Bai tập: Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn a + b + c M6 Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 M6 Cách 1: Xét ( a3 + b3 + c3 ) – ( a + b + c) = (a3 – a) + ( b3 – b) + ( c3 – c) Ta có (a3 – a) = ( a – 1) a ( a + 1) M6 Vì tích ba số nguyên liên tiếp chia hết cho cho mà (2; 3) =1 Lập luận tương tự b3 – b M6 c3 – c M6 => ( a3 + b3 + c3 ) – ( a + b + c) M6 mà a + b + c M6 => a3 + b3 + c3 M6 Cách 2: Câu 2: Giải toán nến n số nguyên Câu 2: (2.5đ) a (1.5đ) Biến đổi: 10 n5 + n3 + n2(n3 + 1) – (n2 –1) n3 + (0.5đ) (n + 1) (n – 1) (n + 1)(n - n + 1) (0.25đ) n – n – n + (vì n + ) (0.25đ) Nếu n = ta chia hết cho (0.25đ) Nếu n > n – < n(n – 1) + = n2 – n +1 Do khơng thể xảy quan hệ n – chia hết cho n – n +1 tập hợp số nguyên dương Vậy giá trị n tìm (0.25đ) b n – n – n +1 n(n – 1) n2 – n + n2 – n n2 – n + ? ( n2 – n + 1) – n2 – n + n2 – n + 1 (0.5đ) Có hai trường hợp: n2 – n + = n(n – 1) = n = n = Các giá trị thoả mãn đề (0.25đ) n2 – n + = - n2 – n + = vô nghiệm Vậy n = 0, n = hai số phải tìm (0.25đ) Bài kiểm tra chuyên đề chia hết Câu a Chứng minh với số nguyên n, ta có số A = n + 3n + không chia hết cho 121 Cho ba số nguyên x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z chia hết cho Chứng minh giá trị biểu thức M = (x + y)(y + z)(z + x) – 2xyz chia hết cho Câu (3 điểm) a3 a a Chứng minh với a số tự nhiên chẵn biểu thức A có 24 12 giá trị số nguyên Câu (3 điểm) Chứng minh rằng: Nếu số tự nhiên a không chia hết cho a + 3a chia hết cho 100 Câu (4 điểm) a)Với a, b số nguyên Chứng minh 4a + 3ab 11b chia hết cho a4 b4 chia hết cho Cho a, b, c ba số nguyên Chứng tỏ a, b, c chẵn lẻ giá trị biểu thức Q a b c a b3 c3 chia hết cho 24 Câu (4 điểm) 2017 2017 2017 2013 2013 2013 a) Cho biểu thức A = a b c a b c với a, b, c số nguyên dương Chứng minh A chia hết cho 30 11 Câu (4 điểm) Chứng minh rằng: a) Chứng minh B = a5 5a3 + 4a chia hết cho 120 với số nguyên a b) n hợp số ( n �N , n > 1) Câu (3 điểm) Chứng minh giá trị biểu thức (n2 + 2n + 5)3 – (n + 1)2 + 2012 chia hết cho với số nguyên n 2) Cho P số nguyên tố lớn Chứng minh P20 – chia hết cho 100 Câu (3 điểm) Cho số nguyên dương n thỏa mãn n 10 hai số nguyên tố Chứng minh n chia hết cho 40 b) Cho s, t, x, y, z số nguyên tổng s + t + x + y + z chia hết cho Chứng minh tổng s5 + t5 + x5 + y5 + z5 chia hết cho Câu (4 điểm) a) Cho số nguyên n không chia hết cho Chứng minh giá trị biểu thức 4n 3n chia hết cho (2 điểm) b) Chứng minh giá trị biểu thức n6 – n2 chia hết cho 60 với số nguyên n Câu (3 điểm) 2016 2015 2014 Cho A = 75 25 Chứng tỏ A chia hết cho 42017 Bài tập CMR: Nếu p số nguyên tố lớn (p+1)(p-1) chia hết cho 24 Lời giải: Chứng minh p số nguyên tố lớn (p + 1)(p –1) chia hết cho 24 p số nguyên tố lớn nên p lẻ => p =2k+1 => (p + 1)(p –1) = … chia hết cho Tiếp tục p nguyên tố lớn nên p = 3n ± => (p + 1)(p –1) chia hết cho => (p + 1)(p –1) chia hết cho 24 ĐỀ BÀI KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ VỀ CHIA HẾT TRONG Z a3 a a Câu Chứng minh với a số tự nhiên chẵn biểu thức A có giá trị số 24 12 nguyên Câu Chứng minh rằng: 12 Chứng minh B = a5 5a3 + 4a chia hết cho 120 với số nguyên a Câu Cho số nguyên n không chia hết cho Chứng minh giá trị biểu thức 4n 3n không chia hết cho Câu Tìm số nguyên n cho n 1Mn3 2n 26n M 11 với n tự nhiên n Câu CMR: Câu Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn: a b c M6 Chứng minh rằng: a b c M6 13 ... 5 chia hết a 2; a chia hết cho không chia hết cho *Nếu a 2; a chia hết cho (a 2)(a 3) chia hết cho 25 mà không chia hết cho 25 suy N không chia hết cho 25 *Nếu a 2; a không chia. .. Vậy, A 7.52 n 12.6n chia hết cho 19 với số tự nhiên n Tổng hợp đề thi: Bài 1: ( 2,0 điểm) Tìm số chia nhỏ chia cho dư 1, chia cho dư 2, chia cho dư 3, chia cho dư chia hết cho 11 Giải: a+2... nguyên liên tiếp chia hết cho n - Tích số chẵn liên tiếp chia hết cho - Tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Ví dụ : A(n) = n(n2+1)(n2+4) chia hết cho Cách 1: n chia cho có số dư r =0,1,2,3,4,5