CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

Phương trình nghiệm nguyên được soạn chi tiết chỉ việc dạy. Học sinh cungx tự học dễ dàng. Chuyên đề đã được thực nghiệm với kết quả cao trong các kì thi HSG lớp 8, 9. Các thầy cô có thể thể dạy ngay. Những bài tập hầu hết được giải chi tiết, rõ rằng nên các em học sinh cũng có thể tự học một cách dễ dàng

Ngày dạy:

Chuyên đề:

PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

Thời lượng: 4 buổi

1 Phương pháp phân tích thành tích:

Phân tích vế trái thành dạng tích có chứa các biến, vế phải là một số

Bài 1: Tìm cặp số nguyên x;y thỏa mãn:

a) xy + x + y = 2  (x 1)(y 1) 3 1.3 ( 1).( 3)     

Kết quả: (0;2), (2;0), (-4;-2), (-2;-4)

b) x - y + xy =3  (y 1)(x 1) 2 1.2    1.( 2) 

Kết quả: (3;0), (2;1), (-1;-2), (0;-3)

c) 2xy - 3y - x - 1 = 0

2 2

Kết quả: (4;1), (2;3), (-1;0), (1;-2)

d)

Hướng dẫn giải

Đặt điều kiên sau đó đưa về phương trình ước số Tìm được hai nghiệm (43; 7); (7; 43)

Bài 2 Tìm các cặp số nguyên x;y thỏa mãn :

a) 2xy x y   21 (Năm học 2011-2012 )

Giải : Nhân hai vế với 2, ta được:

 4xy + 2x + 2y +1 = 43  (2x + 1).(2y + 1)= 1.43 = -1.(-43)

Kết quả: (0;21), (21;0), (-1;-22), (-22;-1)

Cách khác : Ta có thể biến đổi một cách tự nhiên hơn, như sau:

2 21 (2 1) (2 1).1 1 21

2 2

xy x y    x y  y  

 2 (2x y 1) (2  y 1) 43   (2x 1)(2y 1) 43 

b) 2xy - 3y - x - 1 = 0

Giải:

(2 1) 3(2 1).1 5 2 (2 1) 3(2 1) 5 (2 1)(2 3) 5

2 2

Kết quả: (4;1), (2;3), (-1;0), (1;-2)

c) xy +x - 2y = 3

x y xy 

Bài 3

* Chú ý quan trọng:

Trong phương trình nghiệm nguyên, khi có 1 biến nào đó có số mũ không đổi ta đặt biến

đó làm nhân tử chung rồi xử lí phần còn lại

a) Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình: x2  xy 5y 24 0 

(Năm học 2013- 2014 Thị xã Hoàng mai )

Giải bằng : PP phân tích thành tích

( 5) ( 5)( 5) 1 ( 5)( 5) 1

b) Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn : x2  xy 3y 16 0 

x2  xy 3y 16 0   (x 3)(x y  3) 7 

c) Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: x2 xy x  2y 4

x2 xy x  2y  4 (x 2)(x y  1) 2 

Bài 4

a) Tìm các cặp số nguyên ( x ; y) thoả mãn phương trình: 2x2-2xy = 5x+y-19

(Năm học 2006-2007)

2x2 - 2xy = 5x+y-19  2x2 - 2xy - 5x - y+19 = 0

 -y(2x+1) + 2x - 5x + 19 = 0

 -y(2x+1) + (2x+x) - 6x - 3 + 22 = 0

 -y(2x+1) + x(2x+1) - 3(2x + 1) = 0- 22

 (2x+1)(x-y-3) = -22

* Chú ý: vận dụng tính chất lẻ của 2x+1 để loại bớt trường hợp

Kết quả: (0;19), (-1;-26)

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x - xy + 4x - 2y - 2= 0

 (2x - y).(x + 2) = 2

Kết quả: (0;-1), (-1;-4), (-3;-3), (-2;-2)

c) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x - x - xy + y + x = 6

 (x - y +1).(x - 1) = 6

Kết quả: (2;0), (6;36), (0;6), (-4;18)

Bài 5 (Bài khó)

a) Tìm cặp số nguyên dương x,y thoả mãn p/t: x 2 y+2xy - 81x +y = 0 (Năm học 2009-2010)

Giải:

2

2

Do x+1>0 nên chỉ xẩy ra một trong các trường hợp sau:

- Với

80

1 81

80

81 1

81

x x





 



- Với

26

1 27

78

81 3

27

x x





 



- Với x xy y 1 381 27 x y182

- Với x xy y 1 981 9 x y88

Vậy, phương trình chỉ có hai nghiệm: (2;18), (8;8)

b) Tìm cặp số tự nhiên x,y trong phương trình: x y x2   2y xy  15

  y x( 2  x 2)  x 15   y x(  1)(x 2)   x 2 17

 (x 2)(1  y xy) 17 1.17    1.( 17) 

Vì x+2> 0 nên chỉ xảy ra một trong hai trường hợp sau:

- Với 1x y xy2 1 17 x y81

- Với 1x y xy2 17 1 x y150

Bài 6 Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình: x2  xy 5y 24 0 

(Năm học 2013- 2014 Thị xã Hoàng mai )

Giải bằng : PP phân tích thành tích

 (x2  25) (  xy 5 )y   1 (x 5)(x 5)  y x(  5)  1

 (x 5)(x y  5)   1 1.1 1.( 1)  

Bài 7 Tìm các cặp số nguyên (x; y) thoả mãn: x2 – 5xy + 6y2 + 1 = 0

x2 – 5xy + 6y2 + 1 = 0  (x - 4y) - (5xy - 10y) = -1

 (x - 4y) - (5xy - 10y) = -1  (x-2y)(x+2y) - 5y(x-2y)=-1

(x-2y)(x-3y)=-1

Bài tập tự luyện:

Bài 1: nghiẹm nguyên của phương trình.

x 2 + 2y2 +3xy –x – y + 3 =0

(x y ) 2 y x y(  ) (  x y )   3 (x y x y y )(    1)  3

Bài 3 nghiệm nguyên của phương trình:

x3 - y3 = xy + 8 (1)

Bài 4 Tìm các nghiệm tự nhiên của phương trình: x2 xy y 2 x y2 2

x y  x y xy   x y  xy  

Nhân 2 vế với 4( phải đưa về pt nguyên) ta được:

4(x y )  (2xy1)  1 (2x2y 2xy1)(2x2y2xy1) 1 1.1

Kết quả: (0;0) là nghiệm duy nhất

Bài 5 (khó, tham khảo)

Tìm nghiệm tự nhiên (x; y) của phương trình:

(x 2 + 4y 2 + 28) 2 = 17(x 4 + y4 + 14y2 + 49)

Biến đổi tương đương PT đã cho: (*)  [x 2 + 4(y2 + 7)]2 = 17[xx4 + (y2 + 7)2]

 x4 + 8x2(y2 + 7) + 16(y2 + 7)2 = 17x4 + 17(y2 + 7)2  16x 4 – 8x 2(y2 + 7) + (y2 + 7)2 = 0 

[4x 2 – (y 2 + 7)]2 = 0  4x 2 – y 2 – 7 = 0  (2x – y)(2x + y) = 7 (1)













1 y

x

2

7 y

x

2







3 y 2 x

Vậy phương trình có một nghiệm tự nhiên là: (2; 3)

Cách khác: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacovski để có:

[1x 2 + 4(y2 + 7)]2  (1 2 + 42)[xx4 + (y2 + 7)2 ] hay [x 2 + 4(y2 + 7)]2  17[xx 4 + (y2 + 7)2], dấu bằng xảy ra (tức là có PT (*)) khi 4x2 = y 2 + 7  (2x – y)(2x + y) = 7 Làm tiếp như trên

2 Phương pháp đưa về tổng các lũy thừa :

Bài 1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y2  2  4  x2  2x

(Năm học 2005-2006 )

Giải: y2 2 4 x2 2x







2

2

2

2 1

1 2

y y x





 



Hoặc

2

2

2

2 2

1 1

y y x



 





 



Vậy, có các khả năng như sau:

- Với





- Với





(Loại)

- Với

0

1 1

y y

x x







- Với

2

1 1

y y

x x







Vậy, Phương trình chỉ có hai nghiệm là (0;-2); (0;2)

Bài 2 Tìm hai số tự nhiên x; y biết :

x2  2y2  2xy 2y 12

Giải:

(x y ) 2  (y 1) 2  13 2  2  3 2

Từ đó ta xét 2 trường hợp sau:

- Trường hợp 1: x y y1 32 x y02

- Trường hợp 2: x y y1 23 x y12

Vậy, có hai cặp số tự nhiên (x; y) thỏa mãn đk bài toán là: (0;2) , (2;1)

Bài 3 Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

2

1   4x  4x 16 y

1

1 1

2 1 4

y y x

 



   



 



(1) hoặc

1

1 4

2 1 1

y y x

 



   



 



(2) Giải (1) ta xét các trường hợp sau:

- Với

2

1 1

5

2 1 4

2

y y





 



  (Loại) - Với

0

1 1

5

2 1 4

2

y y





 



- Với

2

1 1

3

2

y y





 



0

1 1

3

2

y y





 



Giải (2) ta xét các trường hợp sau:

- Với 2y x1 41 1  x y15

  (Thỏa mãn) - Với 2y x11 14 x y13

- Với 2y x1 41 1 y x50

  (Thỏa mãn) - Với 2y x1141 x y03

1)

Vậy, nghiệm của phương trình là: (1;5) và (0;5)

Bài 4 Giải phương trình:x2+ + + =y2 6 5 0y ; với x y, nguyên

Giải:

( 3) 4 0 2

x + + + = Ûy y x + + = = +

0

x

y





 

 

 hoặc x y3 02

 



Giải ra ta được các cặp số thỏa mãn phương trình là:

(0; -1), (0; -5), (2; -3), (-2; -3)

3 Phương pháp đánh giá chẵn lẻ:

Đánh giá tính chẵn lẻ của hai vế, từ đó tìm nghiệm của phương trình

Bài 1 Tìm cặp số tự nhỉên x, y thoả mãn : 100x + y2 + 3y = 109

(Năm học 2010-2011)

Giải bằng : PP chẵn –lẻ : y(y+3) chẵn  100x lẻ  x = 0 …

 y2 + 3y - 108 =0

4 12 432 0 (2 3) 441 0 (2 3 21).(2 3 21) 0 12

hoặc y= 6

Vậy, phương trình có hai nghiệm là (0;-12) và (0;6)

Bài 2 Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn : 2x y2  y 2x 1

(Năm học 2012-2013)

Giải bằng : PP chẵn –lẻ  2x y y(  1) 2  x 1

VP là số lẻ => VT là số lẻ , mà y(y+1) là số chẵn => 2x là số lẻ => x = 0

Bài 3

Hai đội cờ vua của hai trường A và B thi đấu với nhau, mỗi đấu thủ của đội này phải đấu 1 ván với mỗi đấu thủ của đội kia Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng 2 lần tổng số đấu thủ của 2 đội và số đấu thủ của một trong hai đội là số lẻ Hãy tìm số đấu thủ của mỗi

đội (Năm học 2002-2003)

Giải bằng : PP chẵn –lẻ hoặc PP phân tích thành tích

Bài 4

Tìm các cặp số tự nhiên x ; y thoả mãn phương trình : 2x + y2 +y = 111

(Năm học 2005-2006 )

Giải bằng : PP chẵn -lẻ

4 Phương pháp xét số dư:

Bài 1: Tìm các số tự nhiên x; y thoả mãn +

Cách 1: Vì là số chính phương nên chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1

Và chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1 (nếu y = 0)

 + chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1 hoặc dư 2

Mà 257 chia cho 3 dư 2 buộc + chia cho 3 dư 2  chia cho 3 dư 1 và chia cho 3 dư 1

 = 1  y =0; x= 16

Cách 2:

Vì 3 = 729  y < 6 Lần lượt xét 6 trương hợp của y để tìm x

Cách 3: Cách giải sai(cần lưu ý với hs)

Vì là số chính phương nên chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1

Mặt khác: chia hết cho 3 nên + chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1

Mà 257 chia cho 3 dư 2 nên không tồn tại x; y để +

Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

x - 2y = 5 (1)

Để giải bài tập này ta dựa vào nhận xét sau:

Một số chính phương chia cho 5 chỉ có thể hoăc dư 0 hoặc dư 1 hoặc dư 4.

Giải: Ta cho y các khẳ năng sau:

+ y 5  2 y  25 , từ (1)  x  25  x - 2y  25  5  25 Vô lí.

+ y chia 5 dư 1 hoặc 4  y chia cho 5 dư 1 2 y chia cho 5 dư 2

từ (1)  x chia cho 5 dư 2  Vô lí (theo nhậ xét trên) + y chia cho 5 dư 2 hoặc 3  y chia cho 5 dư 42 y chia cho 5 dư 3

từ (1)  x chia cho 5 dư 3  Vô lí (theo nhậ xét trên) Vậy, không có cặp giá trị x; y nguyên nào để x - 2y = 5

Bài 3:

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 3(x2-y2 + y) = 28 –y3

Giải: 3x - 3y + 3y = 28- y  (y-1) + 3x = 27 mà 27 3 và 3x  3

 (y-1)  3  (y-1)  27 (vì y Z) lại có (y-1) ) lại có (y-1)  27

Do đó (y-1)= 0 hoặc (y-1) = 27  y= 1 hoặc y = 4

Với y= 1  x= 3 (vì x>0)

Với y= 4  x= 0 loại

Vậy, y= 1; x= 3 là cặp số cần tìm

4 Phương pháp ước lượng giá trị mỗi vế của phương trình:

Ví dụ:

Giải phương trình nghiêm nguyên: 2 2

2x  3y  4x 19

Giải:

2( 1) 21 3

Vì 2(x 1) 2   0 21 3  y2   0 y2   7 y  7

0 2( 1) 21

y  x  vô nghiệm ( vế phải chẵn - vế trái lẻ)

y   x   x   x hoặc x =-4

Ta được các căp số thỏa mãn: (2;-1), (2;1), (-4;-1), (-4;1)

- Nếu y   2 2(x 1) 2  9 vô nghiệm

- Nếu y 3 loại Vì y  7

Vậy,

Các bài tập tương tự:

Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên:

a) x - 4x + y = 0

b) x + y + y - 1 =0  (2y+1) = 5 - 4x

c) x +2y - 2xy = 4  (x-y) = 4 - y

d) 5x + 4xy + y - 2x = 4  (2x+y) = 5 - (x-1)

5 Phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ (HSG tỉnh Hung Yên 2017-2018)

Tìm cặp số nguyên thỏa mãn: (x 2018) 2 y4  6y3  11y2  6y

Lời giải: (x 2018) 2 y4  6y3  11y2  6y

Ta có:

( 3 ) 2( 3 )

Đặt ay2  3 ;(y a Z )

Phương trình đã cho có dạng:

(x 2018) a  2a  (x 2018)  (a 1)   1 (x a  2019)(x a  2017)  1

Vì x, a là số nguyên nên chỉ xẩy ra một trong các trường hợp:



Với a=-2  y2  3y 2  y2  3y   2 0 y 1 hoặc y=2

Ta được các cặp số: (2018;1), (2018;2)

+ x a x a  20192017 11 a x20180

Với a=0  y2  3y  0 y 0hoặc y=3

Ta được các cặp số: (2018;0), (2018;3)

Baì tập 1.

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x(x+1)(x+2)(x+3) = y2

Hướng dẫn giải

Phương trình (1)  (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = y2

Đặt a = x2 + 3x (ĐK: a  2 (*)

Ta có: a2 – 1 = y2 Giải phương trình này bằng cách đưa về phương trình ước số

Thi HSG Tỉnh Nghệ an

Năm học 2009 – 2010

Câu 1 Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 5(x2 xy y ) 7(x 2y) 2  

Đặt x+2y=5t (t Z) lại có (y-1) ) Đưa về pt bậc 2 - buộc phương trình có nghiệm:

Thay vào phương trình ta được: x2xy y 2 7t thay x = 5t-x vào ta co:

2

75 84 ( 75 84)



Phương trình đã cho có nghiệm khi   0 0 84

75

t

   suy ra t=0 hoặc t = 1

Từ đó tìm được x=y=0 hoặc x=-1;y=3 hoặc x=1; y=2

Bài tập Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2 2

2x  3y  4x 19

Cách 1: Sử dụng đk phương trình có nghiệm x

Cách 2: (2x+2) = 42- 6y  0  y=…

Câu 2(4,5đ)

a) Tìm các số nguyên dương x y, khác nhau sao cho: xy y x

Giải:

Giả sử 1 x y  Chia cả hai vế của PT cho x

x ta được: y x x

x

y x x





Vì x x

y x mà xlà số nguyên dương nên y x Đặt y kx (kN k,  2)

( ) ( ) ( )

Ta thấy x 2 (vì nếu x 1thì k 1) Do đó x k 1 2k 1

 (2)

Từ (1) và (2) suy ra k 2k 1

 nên 2k 2k (3)

Dễ thấy k 3 thì bất đẳng thức (3) không xảy ra Do đó k 2.

Thay k 2 vào (1) ta được x 2  y 2.2 4 

Thử lại x 2;y 4 thỏa mãn đề bài Vì vai trò của x, y như nhau vậy (x y, ) 2; 4 , 4; 2   

Câu 3 (4.0 điểm):

Bài tập sưu tầm:

1) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

x 3

xy yz z

z  x  y 