Phương trình nghiệm nguyên được soạn chi tiết chỉ việc dạy. Học sinh cungx tự học dễ dàng. Chuyên đề đã được thực nghiệm với kết quả cao trong các kì thi HSG lớp 8, 9. Các thầy cô có thể thể dạy ngay. Những bài tập hầu hết được giải chi tiết, rõ rằng nên các em học sinh cũng có thể tự học một cách dễ dàng
Ngày dạy: Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Thời lượng: buổi Phương pháp phân tích thành tích: Phân tích vế trái thành dạng tích có chứa biến, vế phải số Bài 1: Tìm cặp số nguyên x;y thỏa mãn: a) xy + x + y = ⇔ ( x + 1)( y + 1) = = 1.3 = (−1).(−3) Kết quả: (0;2), (2;0), (-4;-2), (-2;-4) b) x - y + xy =3 ⇔ ( y + 1)( x − 1) = = 1.2 = −1.(−2) Kết quả: (3;0), (2;1), (-1;-2), (0;-3) c) 2xy - 3y - x - = ⇔ x (2 y − 1) − 3(2 y − 1) = ⇔ x(2 y − 1) − 3(2 y − 1) = ⇔ (2 y − 1)(2 x − 3) = 2 Kết quả: d) (4;1), (2;3), (-1;0), (1;-2) 1 1 + + = x y xy Hướng dẫn giải Đặt điều kiên sau đưa phương trình ước số Tìm hai nghiệm (43; 7); (7; 43) Bài Tìm cặp số nguyên x;y thỏa mãn : a) xy + x + y = 21 (Năm học 2011-2012 ) Giải : Nhân hai vế với 2, ta được: ⇔ 4xy + 2x + 2y +1 = 43 ⇔ (2x + 1).(2y + 1)= 1.43 = -1.(-43) Kết quả: (0;21), (21;0), (-1;-22), (-22;-1) Cách khác : Ta biến đổi cách tự nhiên hơn, sau: 1 xy + x + y = 21 ⇔ x (2 y + 1) + (2 y + 1) − = 21 2 ⇔ x (2 y + 1) + (2 y + 1) = 43 ⇔ (2 x + 1)(2 y + 1) = 43 b) 2xy - 3y - x - = Giải: ⇔ x (2 y − 1) − 3(2 y − 1) = ⇔ x(2 y − 1) − 3(2 y − 1) = ⇔ (2 y − 1)(2 x − 3) = 2 Kết quả: (4;1), (2;3), (-1;0), (1;-2) c) xy +x - 2y = Bài * Chú ý quan trọng: Trong phương trình nghiệm ngun, có biến có số mũ khơng đổi ta đặt biến làm nhân tử chung xử lí phần lại a) Tìm cặp số ngun (x;y) thỏa mãn phương trình: x − xy − y − 24 = (Năm học 2013- 2014 Thị xã Hồng mai ) Giải : PP phân tích thành tích x − xy − y − 24 = ⇔ − y ( x + 5) + x − 25 − = ⇔ − y ( x + 5) + ( x + 5)( x − 5) = ⇔ ( x + 5)( x − y − 5) = b) Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn : x − xy + y − 16 = x − xy + y − 16 = ⇔ ( x − 3)( x − y + 3) = c) Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: x + xy + x + y = x + xy + x + y = ⇔ ( x + 2)( x + y − 1) = Bài a) Tìm cặp số nguyên ( x ; y) thoả mãn phương trình: 2x2-2xy = 5x+y-19 (Năm học 2006-2007) 2x2 - 2xy = 5x+y-19 ⇔ 2x2 - 2xy - 5x - y+19 = ⇔ -y(2x+1) + 2x - 5x + 19 = ⇔ -y(2x+1) + (2x+x) - 6x - + 22 = ⇔ -y(2x+1) + x(2x+1) - 3(2x + 1) = 0- 22 ⇔ (2x+1)(x-y-3) = -22 * Chú ý: vận dụng tính chất lẻ 2x+1 để loại bớt trường hợp Kết quả: (0;19), (-1;-26) b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x - xy + 4x - 2y - 2= ⇔ (2x - y).(x + 2) = Kết quả: (0;-1), (-1;-4), (-3;-3), (-2;-2) c) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x - x - xy + y + x = ⇔ (x - y +1).(x - 1) = Kết quả: (2;0), (6;36), (0;6), (-4;18) Bài (Bài khó) a) Tìm cặp số nguyên dương x,y thoả mãn p/t: x2y+2xy - 81x +y = (Năm học 2009-2010) Giải: ⇔ y ( x +1) − 81x = ⇔ y ( x +1) − 81( x +1) = −81 ⇔ ( x +1)( xy + y − 81) = −81 = −81.1 = −1.81 = −3.27 = −27.3 = −9.9 Do x+1>0 nên xẩy trường hợp sau: - Với - Với - Với - Với x = 80 x + = 81 ⇔ 80 (Loại) xy + y − 81 = −1 y = 81 x = 26 x + = 27 ⇔ 78 (Loại) xy + y − 81 = −3 y = 27 x +1 = x = ⇔ (Thỏa mãn) xy + y − 81 = −27 y = 18 x +1 = x = ⇔ (Thỏa mãn) xy + y − 81 = −9 y = Vậy, phương trình có hai nghiệm: (2;18), (8;8) − x y + x + y − xy = 15 ⇔ − y ( x + x − 2) + x = 15 ⇔ − y ( x − 1)( x + 2) + x + = 17 ⇔ ( x + 2)(1 + y − xy ) = 17 = 1.17 = −1.(−17) b) Tìm cặp số tự nhiên x,y phương trình: Vì x+2> nên xảy hai trường hợp sau: x + = x = −1 ⇔ (Loại) 1 + y − xy = 17 y = x + = 17 x = 15 ⇔ Với (Thỏa mãn) 1 + y − xy = y = - Với - Bài Tìm cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình: x − xy − y − 24 = (Năm học 2013- 2014 Thị xã Hoàng mai ) Giải : PP phân tích thành tích ⇔ ( x − 25) − ( xy + y ) = −1 ⇔ ( x + 5)( x − 5) − y ( x + 5) = −1 ⇔ ( x + 5)( x − y − 5) = −1 = −1.1 = 1.(−1) Bài Tìm cặp số nguyên (x; y) thoả mãn: x2 – 5xy + 6y2 + = x2 – 5xy + 6y2 + = ⇔ (x - 4y) - (5xy - 10y) = -1 ⇔ (x - 4y) - (5xy - 10y) = -1 ⇔ (x-2y)(x+2y) - 5y(x-2y)=-1 (x-2y)(x-3y)=-1 Bài tập tự luyện: Bài 1: nghiẹm nguyên phương trình x + 2y2 +3xy –x – y + =0 ( x + y ) + y ( x + y ) − ( x + y ) = −3 ⇔ ( x + y )( x + y + y − 1) = −3 Bài nghiệm nguyên phương trình: x3 - y3 = xy + (1) Bài Tìm nghiệm tự nhiên phương trình: x + xy + y = x y 1 ( x + y ) − ( x y + xy ) = ⇔ ( x + y ) − ( xy + ) + = Nhân vế với 4( phải đưa pt nguyên) ta được: 4( x + y ) − (2 xy + 1) = − ⇔ (2 x + y − xy − 1)(2 x + y + xy + 1) = − = − 1.1 Kết quả: (0;0) nghiệm Bài (khó, tham khảo) Tìm nghiệm tự nhiên (x; y) phương trình: (x2 + 4y2 + 28)2 = 17(x4 + y4 + 14y2 + 49) Biến đổi tương đương PT cho: (*) ⇔ [x2 + 4(y2 + 7)]2 = 17[x4 + (y2 + 7)2] ⇔ x4 + 8x2(y2 + 7) + 16(y2 + 7)2 = 17x4 + 17(y2 + 7)2 ⇔ 16x4 – 8x2(y2 + 7) + (y2 + 7)2 = ⇔ [4x2 – (y2 + 7)]2 = ⇔ 4x2 – y2 – = ⇔ (2x – y)(2x + y) = (1) Vì x; y ∈ N nên 2x – y ≤ 2x + y 2x + y ≥ 0, chúng có giá trị nguyên nên suy 2x + y = ⇔ 2x − y = x = Vậy phương trình có nghiệm tự nhiên là: (2; 3) y = Cách khác: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacovski để có: [1x2 + 4(y2 + 7)]2 ≤ (12 + 42)[x4 + (y2 + 7)2] hay [x2 + 4(y2 + 7)]2 ≤ 17[x4 + (y2 + 7)2], dấu xảy (tức có PT (*)) 4x2 = y2 + ⇔ (2x – y)(2x + y) = Làm tiếp Phương pháp đưa tổng lũy thừa: Bài Tìm nghiệm nguyên phương trình: y = + − x − x (Năm học 2005-2006 ) Giải: y = + − x − x 2 y ≥ y ≥ 2(1) ⇔ y − = − x2 − 2x ⇔ ⇔ 2 2 2 ( y − 2) = − x − x ( y − 2) + ( x + 1) = = + (*) y2 ≥ y2 ≥ ⇔ y − = Hoặc y − = x + = x + = Vậy, có khả sau: - Với y − = y = ± ⇔ (Loại) x +1 = x = - Với y = ± y2 − = ⇔ (Loại) x + = −2 x = −3 - Với y2 − = y = ±2 ⇔ (Thỏa mãn) x = x +1 = - Với y − = −2 y = ⇔ (Loại, khơng t/m 1) x = −2 x + = −1 Vậy, Phương trình có hai nghiệm (0;-2); (0;2) Bài Tìm hai số tự nhiên x; y biết : x + y + xy + y = 12 Giải: ( x + y ) + ( y + 1) = 13 = 22 + 32 Từ ta xét trường hợp sau: x + y = x = ⇔ y +1 = y = - Trường hợp 1: x + y = x = ⇔ y +1 = y =1 - Trường hợp 2: Vậy, có hai cặp số tự nhiên (x; y) thỏa mãn đk toán là: (0;2) , (2;1) Bài Tìm nghiệm nguyên phương trình: + −4 x + x + 16 = y + −4 x + x + 16 = y ⇔ y − = −4 x + x + 16 ⇔ y ≥1 y ≥1 y ≥1 ⇔ ⇔ 2 2 2 2 ( y − 1) = −4 x + x + 16 ( y − 1) + (2 x − 1) = 17 ( y − 1) + (2 x − 1) = + y ≥1 y ≥1 ⇔ y − = (1) ⇔ y − = (2) 2x −1 = 2x −1 = Giải (1) ta xét trường hợp sau: y = y −1 = ⇔ - Với (Loại) 2 x − = x = y = y − = −1 ⇔ - Với (loại) 2 x − = x = y = y −1 = ⇔ - Với (Loại) x − = −4 x = − y = y − = −1 ⇔ - Với (Loại) x − = −4 x = − Giải (2) ta xét trường hợp sau: y −1 = y = ⇔ (Thỏa mãn) 2 x − = x = - Với y −1 = y = ⇔ (Thỏa mãn) x − = −1 x = - Với - Với - Với y − = −4 y = −3 ⇔ (Loại-vì y≥ 1) 2 x − = x = y − = −4 y = −3 ⇔ (Loại-vì y≥ x − = −1 x = 1) Vậy, nghiệm phương trình là: (1;5) (0;5) Bài Giải phương trình: x +y +6 y +5 =0 ; với x, y nguyên Giải: x +y +6 y +5 =0 Û x +( y +3) =4 =02 +22 x = x = ±2 ⇔ y + = ±2 y +3 = Giải ta cặp số thỏa mãn phương trình là: (0; -1), (0; -5), (2; -3), (-2; -3) Phương pháp đánh giá chẵn lẻ: Đánh giá tính chẵn lẻ hai vế, từ tìm nghiệm phương trình Bài Tìm cặp số tự nhỉên x, y thoả mãn : 100x + y2 + 3y = 109 (Năm học 2010-2011) Giải : PP chẵn –lẻ : y(y+3) chẵn ⇒ 100x lẻ ⇒ x = … ⇒ y2 + 3y - 108 =0 ⇔ y + 12 y − 432 = ⇔ (2 y + 3) − 441 = ⇔ (2 y + + 21).(2 y + − 21) = ⇔ y = −12 y= Vậy, phương trình có hai nghiệm (0;-12) (0;6) Bài Tìm cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn : x + y + y = x + (Năm học 2012-2013) Giải : PP chẵn –lẻ ⇔ x + y ( y + 1) = x + VP số lẻ => VT số lẻ , mà y(y+1) số chẵn => x số lẻ => x = Bài Hai đội cờ vua hai trường A B thi đấu với nhau, đấu thủ đội phải đấu ván với đấu thủ đội Biết tổng số ván cờ đấu lần tổng số đấu thủ đội số đấu thủ hai đội số lẻ Hãy tìm số đấu thủ đội (Năm học 2002-2003) Giải : PP chẵn –lẻ PP phân tích thành tích Bài Tìm cặp số tự nhiên x ; y thoả mãn phương trình : 2x + y2 +y = 111 (Năm học 2005-2006 ) Giải : PP chẵn -lẻ Phương pháp xét số dư: Bài 1: Tìm số tự nhiên x; y thoả mãn Cách 1: Vì số phương nên Và ⇒ + chia hết cho chia cho dư chia hết cho chia cho dư (nếu y = 0) + chia hết cho chia cho dư dư Mà 257 chia cho dư buộc chia cho dư ⇔ + chia cho dư ⇒ = ⇒ y =0; x= 16 chia cho dư Cách 2: Vì = 729 ⇒ y < Lần lượt xét trương hợp y để tìm x Cách 3: Cách giải sai(cần lưu ý với hs) Vì số phương nên Mặt khác: chia hết cho chia cho dư chia hết + chia hết cho chia cho dư Mà 257 chia cho dư nên không tồn x; y để + Bài 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x - 2y = (1) Để giải tập ta dựa vào nhận xét sau: Một số phương chia cho hoăc dư dư dư Giải: Ta cho y khẳ sau: + y+ ⇒ y + 25 , từ (1) ⇒ x + 25 ⇒ x - 2y + 25 ⇒ + 25 Vơ lí + y chia dư ⇒ y chia cho dư y chia cho dư từ (1) ⇒ x chia cho dư ⇒ Vơ lí (theo nhậ xét trên) + y chia cho dư ⇒ y chia cho dư 4⇒2 y chia cho dư từ (1) ⇒ x chia cho dư ⇒ Vơ lí (theo nhậ xét trên) Vậy, khơng có cặp giá trị x; y nguyên để x - 2y = Bài 3: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : 3(x2-y2 + y) = 28 –y3 Giải: 3x - 3y + 3y = 28- y ⇔ (y-1) + 3x = 27 mà 27+ 3x + ⇒ (y-1) + ⇒ (y-1) + 27 (vì y∈ Z) lại có (y-1) ≤ 27 Do (y-1)= (y-1) = 27 ⇒ y= y = Với y= ⇒ x= (vì x>0) Với y= ⇒ x= loại Vậy, y= 1; x= cặp số cần tìm Phương pháp ước lượng giá trị vế phương trình: Ví dụ: Giải phương trình nghiêm ngun: x + y + x = 19 Giải: x + y + x = 19 ⇔ 2( x + x) = 19 − y ⇔ 2( x + 1) = 21 − y Vì 2( x + 1) ≥ ⇒ 21 − y ≥ ⇒ y ≤ ⇒ y ≤ - Nếu y = ⇒ 2( x + 1) = 21 vô nghiệm ( vế phải chẵn - vế trái lẻ) - Nếu y = ⇒ 2( x + 1) = 18 ⇔ x + = ±3 ⇔ x = x =-4 Ta căp số thỏa mãn: (2;-1), (2;1), (-4;-1), (-4;1) - Nếu y = ⇒ 2( x + 1) = vô nghiệm - Nếu y ≥ loại Vì y ≤ Vậy, Các tập tương tự: Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: a) x - 4x + y = b) x + y + y - =0 ⇔ (2y+1) = - 4x c) x +2y - 2xy = ⇔ (x-y) = - y d) 5x + 4xy + y - 2x = ⇔ (2x+y) = - (x-1) Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ (HSG tỉnh Hung Yên 2017-2018) Tìm cặp số nguyên thỏa mãn: ( x − 2018) = y − y + 11y − y Lời giải: ( x − 2018)2 = y − y + 11y − y Ta có: y − y + 11 y − y = ( y − y y + y ) + (2 y − y ) = ( y − y ) + 2( y − y ) Đặt a = y − y;(a ∈ Z ) Phương trình cho có dạng: ( x − 2018) = a + 2a ⇔ ( x − 2018) − (a + 1) = −1 ⇔ ( x − a − 2019)( x + a − 2017) = −1 Vì x, a số nguyên nên xẩy trường hợp: x − a − 2019 = x = 2018 ⇔ x + a − 2017 = −1 a = −2 + Với a=-2 ⇔ y − y = −2 ⇔ y − y + = ⇔ y = y=2 Ta cặp số: (2018;1), (2018;2) x − a − 2019 = −1 x = 2018 ⇔ x + a − 2017 = a = + Với a=0 ⇔ y − y = ⇔ y = y=3 Ta cặp số: (2018;0), (2018;3) Baì tập Tìm nghiệm nguyên phương trình: x(x+1)(x+2)(x+3) = y2 Hướng dẫn giải 2 Phương trình (1) (x + 3x)(x + 3x + 2) = y2 Đặt a = x2 + 3x (ĐK: a ≥ −2 (*) Ta có: a2 – = y2 Giải phương trình cách đưa phương trình ước số Thi HSG Tỉnh Nghệ an Năm học 2009 – 2010 Câu Tìm nghiệm nguyên phương trình: 5(x + xy + y ) = 7(x + 2y) Đặt x+2y=5t (t∈ Z) Đưa pt bậc - buộc phương trình có nghiệm: Thay vào phương trình ta được: x + xy + y = 7t thay x = 5t-x vào ta co: 25t − 15ty + y = 7t ⇔ y − 15ty + 25t − 7t = V= −75t + 84t = t (−75t + 84) Phương trình cho có nghiệm ∆ ≥ ⇔ ≤ t ≤ 84 suy t=0 t = 75 Từ tìm x=y=0 x=-1;y=3 x=1; y=2 Bài tập Tìm nghiệm nguyên phương trình: x + y + x = 19 Cách 1: Sử dụng đk phương trình có nghiệm x Cách 2: (2x+2) = 42- 6y ≥ ⇒ y=… Câu 2(4,5đ) a) Tìm số nguyên dương x, y khác cho: x y = y x Giải: Giả sử ≤ x < y Chia hai vế PT cho x x ta được: x y − x = yx xx Vì y x Mx x mà x số nguyên dương nên y Mx Đặt y = kx (k∈ N , k ≥ ) Theo ta có x kx = (kx) x ⇔ ( x k ) x = (kx) x ⇔ x k = kx ⇔ x k −1 = k (1) Ta thấy x ≥ (vì x = k = ) Do x k −1 ≥ 2k −1 (2) Từ (1) (2) suy k ≥ 2k −1 nên 2k ≥ 2k (3) Dễ thấy k ≥ bất đẳng thức (3) khơng xảy Do k = Thay k = vào (1) ta x = ⇒ y = 2.2 = 10 Thử lại x = 2; y = thỏa mãn đề Vì vai trò x, y ( x, y )∈ { ( 2; ) , ( 4; ) } Câu (4.0 điểm): Bài tập sưu tầm: 1) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: xy yz zx + + =3 z x y 11 ... Tìm nghiệm nguyên phương trình: x(x+1)(x+2)(x+3) = y2 Hướng dẫn giải 2 Phương trình (1) (x + 3x)(x + 3x + 2) = y2 Đặt a = x2 + 3x (ĐK: a ≥ −2 (*) Ta có: a2 – = y2 Giải phương trình cách đưa phương. .. tập Tìm nghiệm nguyên phương trình: x + y + x = 19 Cách 1: Sử dụng đk phương trình có nghiệm x Cách 2: (2x+2) = 42- 6y ≥ ⇒ y=… Câu 2(4,5đ) a) Tìm số nguyên dương x, y khác cho: x y = y x Giải: ... 1) Vậy, nghiệm phương trình là: (1;5) (0;5) Bài Giải phương trình: x +y +6 y +5 =0 ; với x, y nguyên Giải: x +y +6 y +5 =0 Û x +( y +3) =4 =02 +22 x = x = ±2 ⇔ y + = ±2 y +3 = Giải ta