Bồi dương học sinh giỏi lớp 9 hiệu quả.
PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ I Một số phương pháp giải: 1.Phương pháp 1: Phương pháp biến đổi tương đương Ta thường dùng phép biến đổi sau: Dạng 1: �f ( x) �0 f ( x) g ( x ) � � �f ( x) g ( x) Dạng 2: �g ( x) �0 f ( x) g ( x) � � �f ( x) g ( x) Dang 3: f ( x) g ( x ) h( x) Ta đưa dạng Ví dụ 1: Giải phương trình: 3x 24 x 22 x (1) Giải: � 1 x �0 � �x � 3x 24 x 22 x � � � � x 24 x 22 (2 x 1)2 � �x 20 x 21 � Giải phương trinh bậc ta x = -1 (loai), x = 21 (tm) Vậy, x = 21 nghiệm phương trimhf cho Ví dụ 2: Giải phương trình : x x x Giải: � x �0 � �x � x 1 x x � � � � 2 x x x �2 � �x Giải phương trình bậc hai ta x = (tm) x = -2(loại) Ví dụ 3: Giải phương trình: x x x x x Giải: x x x x x � x ( x x 1)( x x 1) x ( x x 1)( x x 1) � ( x 1)2 x � x x � x ( x 1) � x Vậy, x = nghiệm phương trình Bài tập 1: Giải phương trình: a) x x b) x( x3 3x 1) x( x3 x) ĐS: x=0 c) x x x 19 ĐS: x=2 Bài tập 2: Giải phương trình y x y x x Giải: ĐK: y � x; y �x y2 x y x x2 � y x x2 y x � y x x y x x2 y x � y y 2x x2 y x x2 � (2 y 1) ( x 1) y x x � y ; x 1 (thỏa mãn) (Tổng biểu thức không âm) Vậy: (1; ) nghiệm phương trình Bài tập 2a Giải phương trình: x 2015x 2014 2017x 2016 Lời giải: x 2015x 2014 2017x 2016 � ( x 2x 1) (2017x 2016 2017x 2016 1) � ( x 1) ( 2017x 2016 1) � ( x 1) � � x 1 � ( 2017x 2016 1) � Vậy, x=1 nghiệm phương trình Phương pháp 2: Đưa phương trình trị tuyệt đối * Áp dụng công thức: f ( x ) g ( x) � f ( x) g ( x) Ví dụ 1: Giải phương trình: Giải: x2 x x x x x � ( x 2)2 x � x x (1) - Nếu x �2, (1) � x x � x (thỏa mãn) - Nếu x 2,(1) � x x � x vô nghiệm Vậy, x=2 nghiệm phương trình Ví dụ 2: Giải phương trình: x x x x (1) Giải: x 2x x 2x 2 � x 2x x 2x � x 2 x x x 14 � x 2 x x x 14 � ( x 1) ( x 3) 14 2x 1 � x 14 � x x 14 � 2 x 10 � x � x � x5 Vậy, phương trình có nghiệm x = Bài tập 1: Giải phương trình: x x x x Giải: x x 1 x x 1 � x 1 x 1 x 1 x 1 � ( x 1) ( x 1) � � x 1 1 - Nếu x 1 1 x (1) x 1�� 0�۳ x 1 x 1 1 x 1 x x � x � x � x (thỏa mãn) - Nếu x 2; y>1 36 x2 28 x y � y 1 36 4 x2 x2 y 28 y 1 Áp dụng bất đẳng thức cơsy cho cặp số dương,ta có: ( 36 x 2) ( y 1) �24 28 x2 y 1 Đẳng thức xẩy 36 x 2; y � x 38; y (nhận) x2 y 1 Vậy, (38;5) nghiệm phương trình Bài tập Giải phương trình: x x x 12 x 38 Giải: Ta có: x x � (12 12 )(7 x x 5) 7 x Lại có: x 12 x 38 ( x 6)2 �2 Đẳng thức xẩy � x Đẳng thức xẩy � x5 � x (Bunhiacosky) Do đó, phương trình cho có x=6 nghiệm Bài tập Tìm cặp số (x;y) thoả mãn phương trình : x +2y = xy Giải: x �1; y �1 x y 1 y x 1 3 xy � x( xy x ) y ( xy y ) xy 2 Áp dụng BĐT cốy ta có: x xy x x( xy x ) y ( xy y ) � y xy y xy 2 �x xy x �2x xy �y �� �� (thỏa mãn) �y xy y �2 y xy �x Đẳng thức xẩy � � Vậy, (2;2) cặp cặp số cần tìm Bài tập Tìm số x,y thoả mãn phương trình với ẩn x;y x y x y 1 Giải: ĐK: x �0; y �2 15 x y x y 1 � x y x y 1 � ( x x 1) ( y 4) � ( x 1) ( y 2) � �y � x 1 �� �� (thỏa mãn) �x � y 1 Vậy, (5;2) cặp số cần tìm b) Giải phương trình với ẩn x;y : +2 = (x+y) a) Cho a,b,c ≠ Chứng minh: a b c d (a c) (b d ) Dấu xẩy ? Ap dụng giải phương trình: x x x x 10 5 Câu 3: (2 điểm) Tìm giá trị bé biểu thức: P = + x -24x+45 Áp dụng giải phương trình: + x -24x+45 = -5 - x + 6x Câu3 (2 điểm) Tìm GTNN biểu thức : S = 3x 18 x 28 x 24 x 45 3x 18 x 28 x 24 x 45 = -5 – x + 6x Ap dụng giải phương trình Câu (5,5 điểm) a) Giải phương trình: x x 16x Đặt ẩn phụ a) Giải phương trình : 10 x3 = 3x2+6 Câu (4.5 điểm): a) Giải phương trình: x x x x 2x x a) Giải phương trình 2x2 7x 10 2x2 x 3 x 1 Bài Tìm x, y thỏa mãn: ( x 1)2 xy y y 4 x y ( x 1) 2( x 2) y y 4 x y � ( x y ) 4 x y �x y �x �� � 4 x y � �y 1 Bài Tìm x, y thỏa mãn: x x x y Giải: x x x y � ( x 2)2 x y 16 � �x � x 1 �� �� �y 5 �x y 0 Bài 6: Giải phương trình: ( x 1)(2 x x 9) y (3 y 2 y 4) 12 (HSG.QL 2001-2002) Giải: ( x 1)(2 x x 9) y (3 y 2 y 4) 12 � x x x x x y y y 12 �� ( x x 1) x 9( x 1) x � � y y y y � 12 12 � �� � � ( x x 9) ( y y 4) �x �1; y �0 2 � � � �x x �x x �x �� �� � �x x x � � �y �y y �y y �y y � � � Bài Năm học 2004-2005: Tìm cặp số (x;y) thoả mãn phương trình : x2+x+y2 = +2xy Giải: x x y x xy � ( x y )2 ( x 1)2 �x y �x �� � � x 1 1 �y Bài Tìm x,y,z phương trình sau: x+y+z+4 = x y z Giải: ( x x 1) ( y y 4) ( z z 9) � ( x 1) ( y 2) ( z 3) Bài 11 Tìm số x,y thoả mãn phương trình với ẩn x;y: +2 = +2 (Năm học 2002-2003) Giải: � x y x y � ( x x 1) ( y y 4) � ( x 1) ( y 2) 17 � �x � x 1 �� � �y � y 1 Bài 12 Giải phương trình với ẩn x;y : +2 = (x+y) (Năm học 2003-2004) Giải: � x y x y � ( x 1) ( y 2) � �x � x 1 1 �� �� �y � y4 2 Câu 14 Giải phương trình: 2x2+26x +90 = x( x 8) (Năm học 2008-2009) Giải: x 26 x 90 x x � ( x x 2.3 x x 9) ( x 18 x 81) � ( x x 3) ( x 9) � �x x � x2 8x �� � x 9 � �x 9 �x Một số tập tương tự: Giải phương trình: x x x (x=1) x 3x 18 12 x x (x = 3) x x x (x = 4) x x 18 x (x = 2) 2x y 4xy 25 3x 12x 16 2x 8x Bài tập sưu tầm 1, Giải phương trình: x x 5x 14 18 ... x) x 27 nên phương trình (*) vô nghiệm x � Vậy, x=1 nghiệm phương trình Bài tập Giải phương trình: 2x 5x 5x Giải tương tự ta đc x=1; x=2 Phương pháp 4: Phương pháp đặt ẩn phụ Nội... Câu (5,5 điểm) a) Giải phương trình: x x 16x Đặt ẩn phụ a) Giải phương trình : 10 x3 = 3x2+6 Câu (4.5 điểm): a) Giải phương trình: x x x x 2x x a) Giải phương trình 2x2 7x ... (loại) Vậy, Phương trình có nghiệm là: x Baì tập 3: Giải phương trình: x x x ĐS: x=3 Bài tập 4: Giải phương trình: x x x x ĐS: 5 x 10 Bài tập 5: Giải phương trình: 1