Một số định hướng giải phương trình vô tỉ bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán cấp THCS

MỤC LỤC MỞ ĐẦU …………………………………………………………… 1.1 Lí chọn đề tài ………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu …………………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu …………………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu ………………………………………… 1.5 Những điểm SKKN ……………………………………… NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI …………………………………… 2.1 Cơ sở lí luận ……………………………………………………… 2.2 Thực trạng vấn đề …………………………………………… 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề … ……………… 2.3.1 Một số định hướng sử dụng phương pháp ………… 2.3.1.1 Định hướng giải lớp toán sử dụng phương pháp nâng lên luỹ thừa ………………………………………………………………………… 2.3.1.2 Định hướng sử dụng phương pháp đưa phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối … ……………………………………… 2.3.1.3 Định hướng sử dụng phương pháp đưa phương trình tích 2.3.1.4 Định hướng sử dụng phương pháp vận dụng đẳng thức 2.3.1.5 Định hướng giải lớp toán sử dụng phương pháp đánh giá 2.3.1.6 Định hướng sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ…… 2.3.2 Một số định hướng giải phương trình vơ tỉ máy tính Casio FX570plus, FX580VN………………………………………………… 2.3.2.1 Định hướng phương pháp liên hợp nghiệm hữu tỉ đơn …… 2.3.2.2 Định hướng phương pháp liên hợp nghiệm hữu tỉ ………… 2.3.2.3 Định hướng phương pháp liên hợp nghiệm xấu (nghiệm vô tỉ) 2.3.3 Một số định hướng giải số lớp phương trình vơ tỉ………… 2.3.3.1 Định hướng giải lớp phương trình có dạng: …………… 2.3.3.2 Định hướng giải lớp phương trình có dạng: ………… 2.3.3.3 Định hướng giải số phương trình vơ tỉ chứa bậc ba… 2.4 Hiệu đề tài ……………………………………………….… KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ………………………………………… 3.1 Kết luận …………………………………………………………… 3.2 Kiến nghị ……………………………………………… ………… TÀI LIỆU THAM KHẢO …………………………………………… Tran g 1 1 2 3 4 6 12 12 13 14 14 14 15 18 19 20 20 20 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Phương trình vơ tỷ đề tài lý thú đại số, lôi nhiều người nghiên cứu say mê tư sáng tạo để tìm lời giải hay, ý tưởng phong phú tối ưu Tuy nghiên cứu từ lâu phương trình vơ tỷ mãi cịn đối tượng mà người đam mê tốn học ln tìm tịi học hỏi phát triển tư Mỗi loại tốn phương trình vơ tỷ có cách giải riêng phù hợp Điều có tác dụng rèn luyện tư toán học mềm dẻo, linh hoạt sáng tạo Bên cạnh đó, tốn giải phương trình vơ tỷ thường có mặt kỳ thi học sinh giỏi toán cấp THCS Khi gặp phương trình có chứa dấu phức tạp, học sinh thường lúng túng, khơng tìm cách giải hay mắc sai lầm giải Nhiều phương trình vơ tỉ giải phương pháp quen thuộc thông thường nâng lên luỹ thừa hai vế để làm dấu Có số phương trình sau làm dấu dẫn đến phương trình bậc cao mà việc nhẩm nghiệm để đưa phương trình bậc bậc hai để giải khó khăn Để khắc phục tồn trên, dạy cho học sinh giải phương trình vô tỉ, giáo viên cần trang bị cho em kiến thức sách giáo khoa kiến thức mở rộng hình thành cho em phương pháp định hướng cho em kĩ thuật giải cụ thể cho loại phương trình Với dạng phương trình, giáo viên cần học sinh phát cách giải tìm cách giải phù hợp Qua dạng phương trình, từ cách giải tổng quát, hướng dẫn học sinh đặt đề toán tương tự, từ khắc sâu cách giải cho học sinh Nếu biết phân dạng, chọn ví dụ tiêu biểu, hình thành lối tư cho học sinh tạo nên hứng thú nghiên cứu, giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu nâng cao kỹ thực hành giải tốn cho em Chính nên tơi chọn đề tài: “Một số định hướng giải phương trình vơ tỉ bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn cấp THCS” để nghiên cứu 1.2 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu “Một số định hướng giải phương trình vơ tỉ chương trình tốn THCS” giúp giáo viên nâng cao lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp tri thức học, mở rộng, đào sâu hoàn thiện hiểu biết Nghiên cứu vấn đề để nắm thuận lợi, khó khăn dạy học phần phương trình vơ tỉ bồi dưỡng học sinh giỏi, từ định hướng nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn Nghiên cứu vấn đề cịn giúp giáo viên có tư liệu tham khảo dạy thành cơng phương trình vơ tỉ Thấy vai trị việc tư giải phương trình vơ tỉ từ có ý thức rèn luyện phát triển kỹ tư lôgic thân, tăng hứng thú niềm đam mê toán học 3 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Nghiên cứu mặt lý luận khái niệm, phương pháp định hướng số kĩ thuật giải phương trình vơ tỉ - Tìm hiểu mối quan hệ kỹ giải phương trình vơ tỉ kết học tập mơn Tốn, kết thi học sinh giỏi đội tuyển toán Từ rút kinh nghiệm, lựa chọn sử dụng phương pháp kĩ thuật giải phương trình vơ tỉ cho hiệu - Nghiên cứu đối tượng giáo viên giảng dạy học sinh THCS Học sinh lớp 9A0, đội tuyển HSG cấp Huyện, cấp tỉnh huyện Như Xuân 1.4 Phương pháp nghiên cứu Để hồn thành đề tài tơi sử dụng kết hợp nhiều phương pháp cụ thể là: * Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu mặt lý luận khái niệm, phương pháp, kĩ thuật giải phương trình vơ tỉ * Phương pháp thực nghiệm - Nghiên cứu qua việc giảng dạy thực tế trường THCS TT Yên Cát - Qua việc đánh giá kết học tập học sinh, đội tuyển học sinh giỏi * Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Một số giải pháp phù hợp, hiệu việc phát triển kỹ giải tốn thơng qua giải phương trình vơ tỉ 1.5 Những điểm SKKN Trong trình áp dụng đề tài “Một số định hướng giải phương trình vơ tỉ bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn cấp THCS” vào thực tiễn công tác giảng dạy ôn thi học sinh giỏi cấp huyện, tỉnh hai năm gần đạt kết tương đối khả quan, học sinh hiểu chất vấn đề, nhận dạng phương trình có định hướng sử dụng phương pháp phù hợp vào giải vấn đề Tuy nhiên, thực tế ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi cấp tỉnh, em học sinh gặp tốn lạ khó thường hay lúng túng khơng nhận diện dạng tốn khó biến đổi để áp dụng phương pháp giải từ khơng tìm hướng đắn dẫn đến nản bỏ qua Ngày nay, sống máy tính Casio ứng dụng rộng rãi, đặc biệt ứng dụng giải toán nhà trường phổ thơng, đem lại hiệu thiết thực giúp người học tìm đáp số nhanh chóng, xác tốn phức tạp, có dạng tốn phương trình vơ tỉ Là người trực tiếp đứng đội tuyển thân trăn trở nhiều để em tiếp cận cách xác hiệu đứng trước tốn vơ tỉ đặc biệt tốn hay, lạ khó Từ sở trên, bên cạnh định hướng phương pháp tối ưu, thân tơi ln trăn trở, tìm tịi, học hỏi phương pháp để tạo tự tin q trình giải tốn em học sinh Trong đề tài điều chỉnh, cải tiến phương pháp truyền thống phù hợp dễ tiếp cận đồng thời bổ sung số phương pháp tiếp cận đặc biệt phương pháp giải tốn phương trình vơ tỉ máy tính Đây phương pháp hiệu mà em nhẩm tìm nghiệm phương trình để từ có định hướng giải phù hợp đặc biệt với tốn khó phương án tối ưu từ giúp em đam mê với nội dung này, đồng thời phát huy tư sáng tạo em NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Như biết phương trình mảng kiến thức quan trọng chương trình tốn phổ thơng Giải phương trình tốn có nhiều dạng giải linh hoạt, với nhiều học sinh kể học sinh giỏi nhiều cịn lúng túng trước việc giải phương trình, đặc biệt phương trình vơ tỉ Phương trình vơ tỉ đề tài thú vị đại số, lôi nhiều người nghiên cứu say mê, tư sáng tạo để tìm lời giải hay, ý tưởng phong phú tối ưu Tuy nghiên cứu từ lâu phương trình vơ tỉ ln đối tượng mà người đam mê Tốn học ln tìm tịi, học hỏi phát triển tư Mỗi loại tốn phương trình vơ tỉ có cách giải riêng phù hợp Điều có tác dụng rèn luyện tư toán học mềm dẻo, linh hoạt sáng tạo Bên cạnh đó, tốn giải phương trình vơ tỉ thường có mặt kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp THCS, thi tuyển sinh vào lớp 10 Vì vậy, việc trang bị cho học sinh kiến thức liên quan đến phương trình vơ tỉ quan trọng Trong đề tài, đưa số phương pháp giải, định hướng giải số lớp phương trình vơ tỉ hay khó,chọn lọc số tập hay, phù hợp cho phương pháp giải, cách biến đổi Vận dụng giải tốn có liên quan đến phương trình vơ tỉ Tơi hy vọng đề tài giúp ích cho học sinh trường THCS TT Yên Cát nói riêng trường THCS nói chung việc học giải phương trình có giải phương trình vơ tỉ Qua em có phương pháp giải đúng, tránh tình trạng định hướng giải tốn sai cịn lúng túng việc trình bày lời giải, giúp học sinh làm việc tích cực đạt kết cao kì thi 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua nhiều năm giảng dạy ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi cấp Huyện, Tỉnh mơn tốn đề thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chun phương trình vơ tỉ ln có khó Tuy nhiên, thời lượng dành cho phần này ít, học sinh khơng tiếp cận nhiều dạng tốn khác Trong thực tế phương trình vơ tỉ đa dạng phong phú lên gặp phải tốn phương trình vơ tỉ, đa số học sinh lúng túng, giải sai chí khơng biết cách giải Vì vậy, tích hợp kỹ giải phương trình vơ tỉ cần thiết nhằm đáp ứng nhu cầu thực tế Trên thực tế, với kinh nghiệm thân nhiều năm giảng dạy tốn 9, ơn thi học sinh giỏi, ơn thi vào lớp 10 THPT chuyên thấy học sinh thường không giải mắc số sai lầm giải phương trình vơ tỉ như: - Khi bình phương hai vế phương trình để làm bậc hai thường em khơng tìm điều kiện để hai vế dương 5 – Ở dạng phức tạp kĩ giải cịn hạn chế, em thường khơng có sở kiến thức định hướng phương pháp giải - Không đồng nhận thức lớp nên việc phát triển kiến thức phương trình vơ tỉ tiết dạy khó Cụ thể kết khảo sát học sinh lớp năm học 2018 – 2029 mô tả bảng thống kê sau: Tỉ lệ HS nắm vững Tỉ lệ HS hiểu tư Tỉ lệ HS giải Lớp kiến thức tư duy sai chất phương trình đề giải toán giải toán HSG cấp Huyện, tỉnh 9A0 25% 75% 7% 9B0 10% 90% 5% Nhận thức tầm quan trọng phương trình vơ tỉ bồi dưỡng học sinh giỏi thi vào lớp 10 chuyên, với tồn hạn chế nêu trên, thân mạnh dạn nêu đề tài: “ Một số định hướng giải phương trình vơ tỉ bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn cấp THCS” giúp học sinh nâng cao kết học tập phát triển tư lôgic 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề * Khái niệm: Phương trình vơ tỉ phương trình đại số chứa ẩn dấu thức 2.3.1 Một số định hướng sử dụng phương pháp 2.3.1.1 Định hướng giải lớp toán sử dụng phương pháp nâng lên luỹ thừa a) Định hướng phương pháp giải: Thơng thường phương trình vơ tỉ mà hai vế có bậc Để làm bậc n ta nâng hai vế phương trình lên luỹ thừa bậc n Nếu n chẵn ta thực hai vế khơng âm Ví dụ phương trình dạng (với n = 2;3;…) b) Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Giải phương trình: (1) Lời bàn: Phương trình có dạng Ta tiến hành lập phương hai vế: ta sử dụng phép ta phương trình: Lời giải: ĐKXĐ: Lập phương hai vế phương trình ta được: (1) 25 + x + - x + (2) Vì (theo 1) nên (2) 28 + 12 12 (3) Lập phương hai vế (3) ta được: (25 + x)(3 - x) = 27 - x2 - 22x + 75 = 27 x2 + 22x - 48 = x1 = 2; x2 = -24 Vậy nghiệm phương trình x1 = 2; x2 = -24 Ví dụ 2: Giải phương trình: (2) (ĐKXĐ: ) Lời giải: Ở phương trình (2), VP , vế trái chưa khơng âm, ta nên chuyển vế để đưa phương trình dạng có hai vế khơng âm (2) Bình phương hai vế ta được: Đến đây, học sinh tiếp tục bình phương hai vế phương trình Bài tập tương tự: Giải phương trình sau: a) b) 2.3.1.2 Định hướng sử dụng phương pháp đưa phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối a) Định hướng phương pháp giải: Khi gặp phương trình mà biểu thức viết dạng bình phương biểu thức sử dụng đẳng thức để làm dấu đưa phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối b) Ví dụ minh họa: Ví dụ Giải phương trình: (1) Lời giải: ĐKXĐ: (1) (Thoả mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = 15 Ví dụ Giải p.trình: (2) Lời giải: ĐKXĐ: Ta có: (2) + = + =5 + = (*) Vì ln dương cần xét dấu - Nếu Giải ta có ( khơng thỏa mãn điều kiện) - Nếu Vậy phương trình có vơ số nghiệm thỏa mãn Bài tập tương tự: Giải phương trình sau: a); b 2.3.1.3 Định hướng sử dụng phương pháp đưa phương trình tích: a) Định hướng phương pháp giải: Khi phương trình có xuất nhân tử chung xuất đẳng thức ta khéo léo chuyển phương trình tích dùng đẳng thức Và thông thường ta hay sử dụng đẳng thức: u + v = + uv (u – 1)(v – 1) = au + bv = ab +uv (u – b)(v – a) = b) Ví dụ minh họa: Giải phương trình: (1) (ĐKXĐ: x ≥ 1) Hướng dẫn: Ta thấy: x4 – = (x – 1)(x3 + x2 + x + 1) Như vậy: (1) ⇔ x = Bài tập tương tự: Giải phương trình: a) b) c) 2.3.1.4 Định hướng sử dụng phương pháp vận dụng đẳng thức: a) Định hướng phương pháp giải: Đối với phương trình vơ tỉ khơng mẫu mực mà chứa nhiều ẩn số cách giải hay sử dụng biến đổi để đưa dạng tổng bình phương nhiều biểu thức chứa ẩn A2 + B2 + C2 = b) Ví dụ minh họa: Ví dụ (Trích đề thi vào lớp 10 Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa năm 2009-2010) Giải phương trình: + + = (2) Lời giải: ĐK: x ≥ 2, y ≥ - 2009, z ≥ 2010 Ta có: (2) x + y + z = +2 +2 (- 1)2 + (- 1)2 + (- 1)2 = Vậy nghiệm phương trình ( x; y; z) = ( 3; -2008; 2011) Bài tập tương tự: Tìm x ,y, z thỏa mãn: a) x + y + z + = b) 2.3.1.5 Định hướng giải lớp toán sử dụng phương pháp đánh giá a) Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc * Bất đẳng thức Bunhiakôpxki: Cho hai số : (a, b), (x, y) ta có: (ax + by)2 Dấu ‘‘=’’ xảy * Bất đẳng thức côsi: - Với hai số a, b ta có: Dấu ‘‘=’’ xảy - Với ba số a,b,c ta có: Dấu ‘‘=’’ xảy = c - Với a,b,c,d thì: Dấu ‘‘=’’ xảy = c = d - Với n số a1, a2,…, an ta có: Dấu ‘‘=’’ xảy * Ví dụ minh họa: Ví dụ Giải phương trình: ĐK: Hướng dẫn: Ta biến đổi phương trình: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi: Dấu Ví dụ Giải phương trình: (Tác giả: AD Page “Tài liệu toán học” 03/12/2017) Lời giải: Với ab ≥ ta có: ab − 1) ( a − b ) ≥ ( Thật vậy, biến đổi tương đương (*) ta được: Đẳng thức xảy a = b ab = Bất đẳng thức với ab Biến đổi áp dụng BĐT (*) ta được: Dễ thấy > 1với x nên phương trình có nghiêm Giải phương trình ta nghiệm Bài tập tương tự: Giải phương trình sau: a) b) b) Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế: * Định hướng phương pháp giải: Dự đoán giá trị biến để hai vế xảy dấu với số biểu thức Khi ta chứng minh: ( với m số) => VT = VP = m nhận định kết để trả lời * Ví dụ minh họa: Ví dụ Giải phương trình: (1) Lời giải: ĐKXĐ: Ta có: (1) Vế trái ≥ Vế phải ≤ Dấu “=” xảy x = –1 (t/m ĐKXĐ) Vậy: phương trình cho có nghiệm x = –1 Ví dụ Giải phương trình: Lời giải: ĐKXĐ: Áp dụng bất đẳng thức: ta có: VT = VP = 3x2 -12x + 14 = 3( x2 – 4x + 4) +2 = 3( x - 2)2 + 2 Hai vế x – =  x = 2( Thỏa mãn điều kiện) Vậy, nghiệm phương trình x = c) Chứng tỏ tập giá trị của hai vế rời nhau, phương trình vơ nghiệm: * Định hướng phương pháp giải: Nhận định ban đầu hai vế phương trình lớn (bé hơn) số, biểu thức, từ ta chứng minh: ( với m số) => VT > VP (hoặc VT < VP) suy tập nghiệm hai vế rời hay phương trình vơ nghiệm * Ví dụ minh họa: Giải phương trình Lời giải: ĐKXĐ: x ≥ Với điều kiện ta có: Xét vế trái: => Xét vế phải: ≥ Vậy: phương trình cho vơ nghiệm d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số (tìm nghiệm, chứng minh nghiệm nhất) * Định hướng phương pháp giải: Nhẩm ngiệm phương trình Lấy giá trị tùy ý lớn (nhỏ hơn) nghiệm khơng phải nghiệm Từ ta chứng minh nghiệm tìm * Ví dụ 1: Giải phương trình: Lời giải: (1) Nhận thấy nghiệm phương trình (1) +) Phương trình vơ nghiệm +) Phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x =1 Ví dụ Giải phương trình: (2) Lời giải: Ta có: (2) Nếu 3x = – (2x + 1) ⇔ x = biểu thức hai vế Vậy x = nghiệm phương trình Hơn nghiệm (2) nằm khoảng Ta chứng minh nghiệm Với 3x < –2x – < (3x)2 > (2x + 1)2 ⇒ Suy ra: (2) nghiệm khoảng Tương tự, ta có kết luận (2) khơng có nghiệm 2.3.1.6 Định hướng sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ a Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường * Định hướng phương pháp giải: - Nếu tốn có chứa đặt t = ( với t ≥ 0) - Nếu tốn có chứa , = k ( số), đặt t = - Nếu tốn có chứa ; f(x) + g(x) = k (k số), đặt: suy - Nếu tốn có chứa ta đặt với - Nếu tốn có chứa ta đặt với * Ví dụ minh họa: Giải phương trình: Hướng dẫn: Điều kiện: Đặt Thay vào ta có phương trình sau: Ta tìm bốn nghiệm là: Do nên nhận gái trị Từ tìm nghiệm phương trình l: Bài tập tương tự: Giải phương trình sau: a) b) b Định hướng đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc biến * Định hướng: Chúng ta biết cách giải phương trình: Xét phương trình trở thành: ( thử trực tiếp) * Phương trình dạng : Như phương trình giải phương pháp nếu: Ví dụ Giải phương trình : (ĐKXĐ: ) Hướng dẫn: Đặt phương trình trở thành : Tìm được: Ví dụ Giải phương trình : (*) Dễ thấy: 10 Ta viết Đồng vế trái với (*) ta : Đặt: Phương trình trở thành :-3u+6v = - Từ ta tìm x * Phương trình dạng: Phương trình cho dạng thường khó “phát hiện’’ dạng trên, ta bình phương hai vế đưa dạng Ví dụ Giải phương trình sau : Hướng dẫn: Đk Bình phương vế ta có: Ta đặt : ta có: Do Ví dụ Giải phương trình : Hướng dẫn: ĐKXĐ: Chuyển vế bình phương ta được: Nhận xét: Không tồn số để : ta đặt : Nhưng may mắn ta có: Ta viết lại phương trình: Đến toán giải c Phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn * Định hướng: Việc sử dụng ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành phương trình với ẩn phụ hệ số ẩn ban đầu * Ví dụ minh họa: Giải phương trình : HD: Đặt ;,ta có: d Đặt nhiều ẩn phụ đưa tích * Định hướng phương pháp giải: Xuất phát từ đẳng thức Ta có Từ nhận xét ta tạo phương trình vơ tỉ có chứa bậc ba * Ví dụ minh họa: Giải phương trình sau: Ta đặt : , ta có : Bài tập tương tự: Giải phương trình sau: e Đặt ẩn phụ đưa hệ: * Định hương phương pháp giải: Đặt tìm mối quan hệ từ tìm hệ theo u,v * Ví dụ minh họa: 11 Ví dụ Giải phương trình: Hướng dẫn: Đặt Khi phương trình chuyển hệ phương trình sau: , giải hệ ta tìm Tức nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình: Hướng dẫn: Đặt Ta có hệ phương trình sau: Giải phương trình thứ 2: , từ tìm thay vào tìm nghiệm phương trình 2.3.2 Một số định hướng giải phương trình vơ tỉ máy tính Casio FX570plus, FX580VNX… * Cơ sở định hướng phương pháp giải: Như ta biết phương trình f(x) = có nghiệm x1, x2, x3, …thì f(x) chứa nhân tử (x - x1), (x - x2), (x - x3)… Vì việc sử dụng phím chức SOLVE máy tính Fx 570plus, 580VNX để tìm vài nghiệm phương trình từ ta dự đốn nhân tử phương trình 2.3.2.1 Định hướng phương pháp liên hợp nghiệm hữu tỉ đơn a) Định hướng phương pháp giải: * Bước 1: - Nhập phương trình vào máy tính: f(x) = - Chọn giá trị x thỏa mãn điều kiện xác định - SOLVE x = x0 - Lưu ý: + Dấu “=” : ALPHA + CALC + SOLVE = SHIFT + CALC * Bước 2: Kiểm tra xem phương trình cịn nghiệm khơng (trường hợp có nghiệm nên phương trình khơng cịn nghiệm) Thao tác sau: - Nhập f(x):(x – x0) = (x0 nghiệm tìm bước 1) - SOLVE No solve (khơng nghiệm) * Bước 3: Liên hợp: f(x) = (x – x0)g(x) = * Bước 4: Chứng minh g(x) vơ nghiệm b) Ví dụ minh họa: Giải phương trình: (ĐK: ) - Bước 1: Nhập phương trình vào máy tính SOLVE x = - Bước 2: Kiểm tra: nhập f(x):(x – 5) = SOLVE No solve - Bước 3: Liên hợp căn: Với x = biểu thức liên hợp: Với x = biểu thức liên hợp: Khi đó: Chứng minh biểu thức ngoặc vơ nghiệm,Vì nên 12 Suy Vậy nghiệm phương trình 2.3.2.2 Định hướng phương pháp liên hợp nghiệm hữu tỉ a) Định hướng phương pháp giải: Xét phương trình: - Bước 1: Nhập phương trình SOLVE x = x1; x =x2 - Bước 2: Kiểm tra: Phương trình : (x – x1)(x – x2) =0 SOLVE No SOLVE - Bước 3: Liên hợp: +) a,b biểu thức liên hợp: +) c,d biểu thức liên hợp: b) Ví dụ minh họa: Giải phương trình: (ĐK: ) - Bước 1: Nhập phương trình SOLVE x = 1; x =2 - Bước 2: Kiểm tra: No SOLVE - Bước 3: Liên hợp: +) Biểu thức liên hợp: +) Biểu thức liên hợp: Khi phương trình (vì với x = x= 2.3.2.3 Định hướng phương pháp liên hợp nghiệm xấu (nghiệm vô tỉ) a) Định hướng phướng pháp giải: Xét biểu thức liên hợp - Bước 1: Nhập phương trình SOLVE nghiệm xấu STO A (lưu biến A) - Bước 2: Xét MODE 7: Nhập F(X) = ( Thay a = X; x =A) Start: -5 , End: 5, step: Khi chọn X làm F(X) hữu tỉ a = X; b = F(X) b) Ví dụ minh họa: Giải phương trình: - Bước 1: Nhập phương trình SOLVE xSTOA(lưu biến A) - Bước 2: Xét: F(X) = ; G(X) = MODE 7: Nhập F(X), G(X), star: -5, End: 5, Step: X F(X) G(X) 13 Lời giải: ĐKXĐ: PT (vì với x thì: x = + x = – Vậy phương trình cho có hai nghiệm: x1 = + ; x2 = – * Lưu ý: ta kiểm tra dấu biểu thức bên dấu ngoặc cách dùng phím CALC sau: Nhập biểu thức vào máy tính CALC nhập giá trị x tùy ý Giá trị biểu thức (>0;