Một số gợi ý để đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ bồi dưỡng học sinh khá giỏi ở trường THCS

PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO HUYỆN Ý YÊN TRƯỜNG THCS LÊ QUÝ ĐÔN BÁO CÁO SÁNG KIẾN “MỘT SỐ GỢI Ý ĐỂ ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ BỒI DƯỠNG HỌC SINH KHÁ GIỎI Ở TRƯỜNG THCS” Tác giả: Nguyễn Văn Tuyến Trình độ chuyên môn: ĐHSP Toán Chức vụ công tác: Tổ trưởng tổ Khoa học Tự nhiên Nơi công tác: Trường THCS Lê Qúy Đôn Ý Yên, ngày 25 tháng năm 2015 THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: “ Một số gợi ý để đặt ẩn phụ giải phương trình vô tỷ bồi dưỡng học sinh giỏi trường THCS ” Lĩnh vực áp dụng sáng kiến : Giảng dạy môn Toán bồi dưỡng học sinh giỏi Toán chuyên đề giải phương trình vô tỷ Thời gian áp dụng sáng kiến : Từ ngày 1/10/2013 – 20/3/2015 đội tuyển Toán Từ ngày 1/10/2014 – 10/5/2015 học sinh lớp 9A4, 9A5 Tác giả Họ tên: Nguyễn Văn Tuyến Năm sinh: 1980 Nơi thường trú: Yên Phong - Ý Yên - Nam Định Trình độ chuyên môn: Đại học sư phạm Chức vụ công tác: Tổ trưởng tổ Khoa học Tự nhiên Nơi làm việc: Trường THCS Lê Qúy Đôn – Huyện Ý Yên Điện thoại : 01234.834.309 Tỷ lệ đóng góp sáng kiến: 100% Đơn vị áp dụng sáng kiến Tên đơn vị: Trường THCS Lê Qúy Đôn – Huyện Ý Yên Địa liên hệ: Trường THCS Lê Qúy Đôn – Huyện Ý Yên Điện thoại : 03503.823.370 BÁO CÁO SÁNG KIẾN I Điều kiện, hoàn cảnh tạo sáng kiến Đối với môn học nằm chương trình giáo dục phổ thông nói chung trường THCS nói riêng, môn Toán môn khoa học công cụ quan trọng, cầu nối ngành khoa học với đồng thời có tính thực tiễn cao phục vụ trực tiếp đời sống xã hội Từ trước đến môn Toán thường coi môn học khô khan, nhàm chán, đòi hỏi phải có trí thông minh, khả nhớ tư cao, ngày có nhiều học sinh ngại, lười học môn Toán Do việc đổi phương pháp dạy học, tổ chức hoạt động tích cực dạy; khai thác cách giải ngắn gọn; kích thích, thúc đẩy hướng tư duy; khơi dậy lòng ham muốn; phát triển nhu cầu tìm tòi, khám phá hay, mới, khả tự học môn Toán việc làm vô cần thiết Vấn đề nêu khó khăn với không giáo viên Nhưng ngược lại, giải điều góp phần xây dựng cho thân phong cách phương pháp dạy học đại giúp cho học sinh có hứng thú có hướng tư việc lĩnh hội kiến thức môn Toán Trong chương trình toán lớp 9, phương trình vô tỷ mảng kiến thức hay rộng Nó xuất hầu hết đề thi vào THPT; cấu trúc đề thi chọn HS giỏi tỉnh Nam Định đề thi vào trường THPT chuyên năm trở lại có dạng (chiếm tỷ lệ điểm từ 10% đến 15% điểm thi) Điều cho thấy vai trò mảng kiến thức “phương trình vô tỷ” quan trọng Đối tượng học sinh THCS Lê Qúy Đôn, đa số em học sinh học khá, giỏi nhiều em tham gia kì thi chọn học sinh giỏi, kì thi tuyển sinh vào trường THPT chất lượng cao chuyên, nên việc trang bị cho em kiến thức phương trình phương trình vô tỷ cần thiết Khi giải phương trình vô tỷ, nhiều trường hợp dùng phép biến đổi tương đương cho ta phương trình phức tạp bậc cao Phương pháp hữu hiệu đặt ẩn phụ để chuyển phương trình cho phương trình hay hệ phương trình đơn giản dễ giải Chẳng hạn: Giải phương trình: + x − − x + 4 − x = 10 − 3x Nếu ta đặt y = + x − 2 − x , ta phương trình đơn giản là: ( ) Hoặc : Giải phương trình: x 35 − x x + 35 − x = 30 Nếu ta đặt y = 35 − x , ta hệ phương trình đối xứng quen thuộc là: x + y = 35  xy( x + y ) = 30 Kinh nghiệm thực tế cho thấy, phương pháp chung cho việc đặt ẩn phụ giải phương trình vô tỷ, mà linh hoạt, sáng tạo giải toán, việc đặt ẩn phụ cần phải đạt mục đích tạo điều kiện để giải toán cách ngắn dễ hiểu (chứ đưa phương trình hay hệ phương trình đơn giản mà lại không giải được) Qua thực tế giảng dạy nhận thấy: Nếu giảng dạy tốt phần phương trình vô tỷ, phương pháp đặt ẩn phụ việc nâng cao chất lượng kỳ thi, ta nâng cao lực giải toán (sự linh hoạt, thông minh đổi ẩn) bồi dưỡng cho học sinh khả tư tổng hợp Để làm điều trước hết ta cần cung cấp cho em sở để đặt ẩn phụ số phương pháp đặt ẩn phụ thường dùng; cách nhận biết phương trình vô tỷ phương pháp đặt ẩn phụ Từ gặp đề thi tập phương trình vô tỷ, em chủ động cách giải, chủ động tư tìm hướng giải Từ thực tế với kinh nghiệm rút trình giảng dạy mình, thông qua việc bàn bạc trao đổi với đồng nghiệp, thấy việc trang bị cho học sinh kỹ giải phương trình vô tỷ phương pháp đặt ẩn phụ cần thiết Với mong muốn trao đổi, sẻ chia kinh nghiệm nhỏ góp phần nâng cao lực giải toán nói chung phương trình vô tỷ nói riêng, từ thu hút học sinh ham mê học toán, phát huy khiếu em đội tuyển Tôi xin mạnh dạn nghi lại kinh nghiệm mà thân tự tích lũy công tác giảng dạy qua sáng kiến : “ Một số gợi ý để đặt ẩn phụ giải phương trình vô tỷ bồi dưỡng học sinh giỏi trường THCS” II Thực trạng Qua nghiên cứu, tìm hiểu thực tiễn, dự giờ, điều tra GV dạy lớp học sinh lớp trường THCS Lê Quý Đôn, trường THCS Yên Phong trường THCS Thị Trấn Lâm (Ý Yên), qua thực tiễn giảng dạy môn toán lớp đặc biệt bồi dưỡng học sinh giỏi, nhận thấy: + Số học sinh học tốt môn toán (nắm vững kiến thức; có kỹ năng, kỹ xảo; có phương pháp tự học, tự bồi dưỡng) chiếm tỷ lệ thấp + Trong thực tế gặp phải toán phương trình vô tỷ nhiều học sinh lớp bỏ trắng, lúng túng xoay sở Một số em học, xong chưa linh hoạt việc vận dụng phương pháp, lời giải dài dòng, không xác kỹ năng, chí số em nhầm lẫn biến đổi dẫn đến thiếu nghiệm, thừa nghiệm; không tìm nghiệm tính nghiệm sai Một số học sinh tham gia thi chọn học sinh giỏi thi vào trường chuyên chậm việc vận dụng giải phương trình tương tự, làm thời gian để làm khác + Thực tế giảng dạy, ôn tập số giáo viên ngại dạy phương trình vô tỷ, cho kiến thức nâng cao, học sinh giỏi cần phải học Một số giáo viên hướng dẫn học sinh giải phương trình vô tỷ thiếu linh hoạt, sa đà vào phép biến đổi tương đương theo lối mòn dẫn đến phương trình thu số phức tạp, làm giảm hứng thú em dẫn đến học sinh ngày thấy học toán khô khan, phức tạp làm em tình yêu, đam mê với môn Toán Kết điều tra tâm lý dạy học chuyên đề phương trình vô tỉ sau : Đối tượng Tổng số điều tra Kết (tỷ lệ phần trăm) Rất hứng thú Hứng thú Bình thường Không hứng thú 50% 47% Giáo viên 12,5% 12,5% 25% Học sinh 98 15,3% 17,3% 20,4% III Các giải pháp ứng dụng Để giúp người dạy người học thấy vai trò phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình vô tỉ, đưa giải pháp kiến thức, kỹ gợi ý (biện pháp, kỹ thuật) để tháo gỡ (quy lạ quen) gặp phải phương trình phức tạp Hệ thống vấn đề lý thuyết cần cung cấp cho học sinh a) Các bước giải phương trình vô tỷ phương pháp đặt ẩn phụ: Có bước giải phương trình vô tỷ phương pháp đặt ẩn phụ - Bước 1: Đặt ẩn phụ tìm điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) - Bước 2: Chuyển phương trình cho phương trình (hệ phương trình) có biến ẩn phụ Giải phương trình (hệ phương trình) này, đối chiếu điều kiện có để chọn giá trị thích hợp ẩn phụ - Bước 3: Giải phương trình với giá trị vừa tìm ẩn phụ, đối chiếu ĐKXĐ (nếu có) kết luận tập nghiệm b) Các phương pháp đặt ẩn phụ - Đặt ẩn phụ theo số lượng ẩn: đặt ẩn phụ, ẩn phụ , ẩn phụ , … - Đặt ẩn phụ đưa phương trình cho phương trình chứa ẩn hay hệ phương trình - Đặt ẩn phụ hoàn toàn (phương trình không chứa ẩn cũ) hay không hoàn toàn (phương trình chứa ẩn cũ) Các giải pháp cụ thể Trước tiên người học cần nắm (tự hình thành hướng dẫn giáo viên) phương trình vô tỉ có cấu trúc giải phương pháp đặt ẩn phụ thông qua ví dụ Từ thấy vài trò phương pháp này, đồng thời bước đầu có kĩ thuật để chọn ẩn phụ A Một số dạng phương trình vô tỉ có cấu trúc giải phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 1: Giải phương trình: x ( x + 5) + = 23 x + 5x − (1) Lời giải: Đặt y = x + 5x − ⇔ y = x + 5x − ⇔ x ( x + 5) + = y + PT (1) trở thành: y − y + = ⇔ ( y + 2)( y − y + 2) = ⇔ y = −2 Với y = −2, ta có PT x + 5x − = −2 ⇔ x + 5x − = −8 ⇔ x + 5x + = ⇔ x = −2 x = −3 Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = { − 2; − 3} *TQ (Dạng 1): Nếu biểu thức dấu biểu thị theo biểu thức dấu ta đặt thức làm ẩn (đặt điều kiện cho ẩn có) đưa phương trình cho phương trình đa thức Ví dụ 2: Giải phương trình: ( x − 2)( x + 2) + 4( x − 2) x+2 +3= x−2 (2) Lời giải: ĐKXĐ x > x ≤ −2 Đặt y = ( x − 2) x+2 ⇒ y = ( x − 2)( x + 2) x−2 PT (2) trở thành: y + y + = ⇔ ( y + 1)( y + 3) = ⇔ y = −1 y = −3 + Với y = −1, ta có PT ( x − 2) x+2 = −1 ( x < 2) ⇔ ( x − 2)(x + 2) = ⇔ x = ⇔ x = − ( t / m) x−2 + Với y = −3, ta có PT ( x − 2) x+2 = −3 ( x < 2) ⇔ ( x − 2)( x + 2) = ⇔ x = 13 ⇔ x = − 13 ( t / m) x−2 { Vậy phương trình (2) có tập nghiệm S = − ; − 13 } *TQ (Dạng 2): Giải phương trình dạng: m( x + a )( x + b) + n ( x + a ) PP: Đặt y = ( x + a ) x+b ⇒ y = ( x + a )( x + + b) x+a PT cho trở thành my + ny + c = x+b +c=0 x+a (2 + ) + (2 − ) = (3) Ta có ( + ) ( − ) = ( + )( − ) = (2 + ) ( y > 0) ⇒ (2 − ) = 1y x Ví dụ 3: Giải phương trình: Lời giải: Đặt y = x x x x PT (3) trở thành: y + −3 =1 x = ( y > 0) ⇔ y + = y ⇔ y = ± y + Với y = + , ta có PT + Với y = − , ta có PT (2 + ) (2 + ) x = 2+ 3⇔ x = 2− 3⇔ Vậy phương trình (3) có tập nghiệm S = { ± 2} (2 + ) (2 + ) x = x = (2 + ) (2 + ) −2 ⇔x=2 ⇔ x = −2 *TQ (Dạng 3): Nếu tích hai biểu thức số k không đổi (k ≠ 0), ta đặt biểu thức y, biểu thức lại đưa phương trình cho phương trình bậc hai + x − = x + 2x − x x x Lời giải: ĐKXĐ x ≠ 0; x − ≥ 0;2x − ≥ x x Ví dụ 4: Giải phương trình: PT (4) ⇔ x − − 2x − = x − x x x x (4) (*)   x 1  x  5 x   4 x Đặt y = x − ; t = 2x − ( y, t ≥ 0) ⇒ y − t =  x −  −  2x −  = − x −  PT (*) trở thành: y − t = −( y − t ) ⇔ ( y − t )( y + t + 1) = ⇔ y = t (do y; t ≥ 0) Với y = t , ta có PT x− 5 = x − ⇔ x − = 2x − ⇒ x = ⇔ x = 2( t / m) x x x x x x = −2(không t / m) Vậy phương trình (4) có tập nghiệm S = { 2} *TQ (Dạng 4): Giải phương trình dạng: f ( x ) ± g ( x ) = a ( f ( x ) − g( x ) ) PP: Đặt y = f ( x ) ; t = g( x ) ( y ≥ 0; t ≥ 0) PT cho trở thành y ± t = a ( y − t ) Tìm y theo t tìm nghiệm x (nếu có) Ví dụ 5: Giải phương trình: 2015x − 4x + = 2014x 4x − 3 Lời giải: ĐKXĐ x ≥ (5) Đặt y = 4x − ( y ≥ 0) PT (5) trở thành: 2015x − 2014 xt − y = ⇔ ( y − x )(2015x + y) = ⇔ y = x (do x ≥ > 0; y ≥ 0) Với y = x , ta có PT  4x − = x  x ≥  3  ⇔ x − x + = ⇔ ( x − 1)(x − 3) = ⇔ x = 1( t / m) x = 3( t / m) 4 Vậy phương trình (2) có tập nghiệm S = {1; 3} *TQ (Dạng5): Giải phương trình dạng: f ( x ) g( x ) = f ( x ) + h ( x ) PP: Đặt y = f ( x ) ( t ≥ 0) PT cho trở thành t − t.g( x ) + h ( x ) = Tìm y theo t tìm nghiệm x (nếu có) Ví dụ 6: Giải phương trình: x + x = 3( x − x + 1) Lời giải: ĐKXĐ x ≥ ( ) ( PT (6) ⇔ x x + = x + − x (6) ) ( **) Đặt y = x ; t = x + ( y ≥ 0; t > 0) ⇒ t − y = x + − x PT (**) trở thành: 8yt = 3( t − y ) ⇔ ( y + 3t )( 3y − t ) = ⇔ t = 3y( y ≥ 0; t > 0) ± 77 Với t = 3y, ta có PT x = x + ( x ≥ 0) ⇔ x − x + = ⇔ x = ( t / m)  ± 77  Vậy phương trình (6) có tập nghiệm S =     *TQ (Dạng 6): Giải phương trình dạng: a f ( x ) g( x ) = b.f ( x ) + c.g( x ) PP: Đặt y = f ( x ) , t = g( x ) ( y ≥ 0, t ≥ 0) PT cho trở thành ayt = by + ct Tìm y theo t tìm nghiệm x (nếu có) Ví dụ 7: Giải phương trình: x + x + = (7) Lời giải: ĐKXĐ x ≥ Đặt y = x + ( y ≥ 0) ⇒ y = x + 2   x + y = x + y = x + y = x + y = ⇔ ⇔ ⇔ Ta có hệ PT      ( x + y )( x − y + 1) = y = − x y − x = x − y + x + y = x + y = ± + 21  Từ ta tìm x = ( t / m) y = x +   Vậy phương trình (6) có tập nghiệm S =  ± + 21    *TQ (Dạng 7): Giải phương trình dạng: x + x + a = a PP: Đặt ẩn phụ đưa hệ PT đơn giản giải PP Đặt y = x + a ( y ≥ 0) ⇒ y = x + a x + y = a Ta có hệ PT  Tìm y theo x tìm nghiệm x (nếu có)  y − x = a Ví dụ 8: Giải phương trình: 25 + x + 3 − x = (8) Lời giải: Đặt y = 25 + x , t = 3 − x ⇒ y + t = 28 y + t = y + t = ⇔ ⇔   3  yt =  y + t = 28 ( y + t ) ( y + t ) − 3yt = 28 y + t = ( Ta có hệ PT  ) Do a,b nghiệm (nếu có) phương trình t = t = X − 4X + = ⇔ ( X − 1)( X − 3) = ⇒   y = y = Giải hệ phương trình ta có nghiệm x=1, x=2 Vậy phương trình (8) có tập nghiệm S = {1; 2} *TQ (Dạng 8): Giải phương trình dạng: m a + f ( x ) + m b − f ( x ) = c PP: Đặt ẩn phụ đưa hệ PT đối xứng Đặt y = m a + f ( x ) , t = m b − f ( x ) ( y ≥ 0, t ≥ 0) ⇒ y m + t m = a + b y + t = c Ta có hệ đối xứng loại  n m y + t = a + b Ví dụ 9: Giải phương trình: x + = 23 2x − Lời giải: Tìm y theo t tìm nghiệm x (nếu có) (9) Đặt y = 2x − 3    x + = y x + = y x + = y ⇔ ⇔ Ta có hệ PT  3 2    y + = 2x x − y = y − x ( x − y ) x + xy + y + = ( x = y −1± ⇔ Từ ta tìm x1 = 1; x = x + = 2x  −1±  Vậy phương trình (9) có tập nghiệm S =  1;    *TQ (Dạng 9): Giải phương trình dạng: x n + b = a.n ax − b PP: Đặt ẩn phụ đưa hệ đối xứng Đặt y = n ax − b ) x n = ay − b Ta có hệ đối xứng loại 2:  n  y = ax − b Bài tập áp dụng : Bài 1: Giải phương trình : a ) 3x + 21x + x + x + = −16 c, ( x − 3)( x + 1) + 4( x − 3) b) x − x + = x − x + x +1 +3=0 x−3 d) 2x 1 + + =2 1+ x 2x b) (6 − Bài 2: Giải phương trình : a) (5 − ) c) 5x − + x = x − x + (5 + ) x = 10 35 ) x + (6 + 35 ) x = 12 (Đề thi toán chuyên tuyển sinh vào 10 THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 20112012) d) x + 5x + − x − x + = x − x e)  x − 8x + + x − 8x +  +     Bài 3: Giải phương trình : ( a ) x + = x − 3x + b) ( ) x x − 8x + − x − 8x −  = x +1  2 ) x + = 3x − 10x + (Đề thi tuyển sinh vào 10 THPT tỉnh Nam Định 2012-2013) c) x − 11x − + x + = (Đề thi chọn học sinh giỏi lớp tỉnh Nam Định năm học 2013-2014) d) ( x + 1) x − x + = x + e) ( x + 3) − x − 8x + 48 = 28 − x f ) 3( x + 1) x + x + − 3x − 4x − = (Đề thi toán chuyên tuyển sinh vào 10 THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 20152016) Bài 4: Giải phương trình : a ) + x − 16 = x + b) 10 57 − x + x + 40 = c) x+ 1 + − x =1 2 d ) − x + 23 − x = e) 23 6x − + 23 3x − = Bài 5: Giải phương trình : a ) x + x + 15 = 15 b) x + x + 2014 = 2014 c) x + = 33 3x − Tuy nhiên giải toán giải phương trình vô tỉ, lúc ta gặp phải phương trình có cấu trúc dạng phương trình Làm để giải chúng hay biến đổi chúng dạng biết tương đồng? Sau đây, xin đưa số ví dụ phân tích, gợi ý với mong muốn góp phần giải vấn đề nêu B Một số gợi ý để đặt ẩn phụ giải phương trình vô tỉ cấu trúc Ví dụ 10: Giải phương trình: + x − − x + 4 − x = 10 − 3x (10) Gợi ý: Nhận xét 1: Với − ≤ x ≤ Ta có − x2 = − x + x Do đặt a = − x , b = + x − x = a.b a + 4b = 10 − 3x Ta có cách giải 1: ĐKXĐ: − ≤ x ≤ Với − ≤ x ≤ PT (1) ⇔ + x − − x + ( − x )( + x ) = 10 − 3x Đặt a = − x , b = + x (a , b ≥ 0) PT cho trở thành: 3a − 6b + 4ab = a + 4b ⇔ ( 2b − a ) − 3( 2b − a ) = ⇔ ( 2b − a )( 2b − a − 3) = ⇔ a = 2b a = 2b − Với a = 2b, ta có PT − x = 2 + x ( − ≤ x ≤ 2) ⇔ − x = + 4x ⇔ x = ( t / m) Với a = 2b − 3, ta có PT − x = 2 + x − (Vô nghiệm)  6  5 Vậy phương trình (10) có tập nghiệm S =   Nhận xét 2: Với − ≤ x ≤ ( ) PT (10) ⇔ + x − 2 − x + 4 − x = 10 − 3x Do đặt y = − x − 2 + x 11 y = + x − 4 − x + 4(2 − x ) = 10 − 3x − 4 − x Ta có cách giải 2: ĐKXĐ: − ≤ x ≤ Với − ≤ x ≤ ( ) PT (10) ⇔ + x − 2 − x = −4 ( − x )( + x ) + 10 − 3x Đặt y = − x − 2 + x PT cho trở thành: 3y = y ⇔ y( y − 3) = ⇔ y = y = Giải phương trình trường hợp, ta có tập nghiệm S =    5 * CHÚ Ý Từ ví dụ ta thấy: + Đặt hay hai ẩn phụ tùy thuộc vào tư người học Việc đánh giá đặt ẩn phụ tốt hay dở không phụ thuộc vào số lượng ẩn phụ mà phụ thuộc vào phương trình tạo thành phương trình dễ giải + Trong nhiều trường hợp để làm xuất ẩn phụ, ta thường sử dụng phối hợp phép phân tích thành nhân tử hay sử dụng số phép biến đổi tương đương (như nâng lên lũy thừa, nhân chia hai vế phương trình cho biểu thức khác 0,…) Bài tập áp dụng : Giải phương trình : a) b) ( x+4 + x−4 = x + x − 16 − 3x + − x + )( ) 3x + x + + = x − c) 6x − = + x − x2 x − 1− x d) x− 1 x −1 − 1− = x x x Ví dụ 11: Giải phương trình: x + 2x x − = 3x + x (11) Gợi ý: Xét tương quan hệ số biểu thức dấu dấu ta thấy, chia vế phương trình cho x ≠ ta đưa phương trình cho phương trình quen thuộc (Dạng 1) ≥ 0, x ≠ x Chia vế phương trình cho x ≠ Ta có phương trình Ta có lời giải : ĐKXĐ: x − 12 1 = 3+ x x x+2 x− Đặt y = x − ⇔ x− 1 + x − − = (*) x x ( y ≥ 0) x PT (*) trở thành: y + y − = ⇔ ( y + 3)( y − 1) = ⇔ y = 1( y ≥ 0) Với y = , ta có PT x− 1` 1± ( t / m) =1⇔ x = x  1±  Vậy phương trình (11) có tập nghiệm S =     Bài tập áp dụng : Giải phương trình : a) x + + 4x x2 + =5 x (Đề thi chọn học sinh giỏi lớp tỉnh Nam Định năm học 2012-2013) ( ) b) x + x − x + = + x c) x + 23 x − x = 3x + Ví dụ 12: Giải phương trình: x + x − + x − − 3x − x + 19 = (12) Gợi ý: Ta nhận thấy đa thức x + x − = ( x + 3)( x − 2) , đa thức 3x − 6x + 19 không phân tích thành nhân tử với hệ số nguyên nên ta tìm cách bỏ dấu chứa (chuyển vế bình phương hai vế) Khi thu gọn hạng tử đồng bậc hoán vị linh hoạt thừa số dấu căn, ta phương trình quen thuộc (Dạng 6) Ta có lời giải : ĐKXĐ: x ≥ Với x ≥ 2, PT (12) ⇔ x + x − + x − = 3x − 6x + 19 ⇔ x + x − + x + x − x − + 9( x − 1) = 3x − x + 19 ⇔ ( x + 3)( x − ) x − = x − 8x + 17 ⇔ ( x + 3)( x − 1) x − = x − 8x + 17 Đặt a = ( x + 3)( x − 1) , b = x − (a > 0, b ≥ 0) ⇒ a − 10b = x − 8x + 17 PT cho trở thành: 3ab = a − 10b ⇔ ( a − 5b )( a + 2b ) = ⇔ a = 5b (do a > 0, b ≥ 0) 13 Với a = 5b , ta có PT ( x + 3)( x − 1) = x−2 ⇔ x= 23 ± 341 ( t / m)  23 ± 341  Vậy phương trình (12) có tập nghiệm S =     Bài tập áp dụng : Giải phương trình : a) x − + − x = − x (Đề thi chọn học sinh giỏi lớp tỉnh Nam Định năm học 2014-2015) b ) x + x − + x − = 5x − c) 5x + 14 x + 96 − x − x − 20 = x + d) 10 x + 36 x + 33 − x + = 2x − 3x − 2 Ví dụ 13: Giải phương trình: 2x + 2x + = ( 4x − 1) x + (13) Gợi ý: Quan sát hệ số x hai ta nhận thấy nhân hai vế PT(13) với ta có 4x + 4x + = 2( 4x − 1) x + Khi ta nhận hai ẩn phụ phương trình 4x − x + Sau đổi ẩn (đặt ẩn phụ hoàn toàn) ta đưa phương trình cho phương trình tích quen thuộc Ta có lời giải 1: PT (13) ⇔ 4x + 4x + = 2( 4x − 1) x + ⇔ 4( x + 1) + (4x − 1) − = 2( 4x − 1) x + Đặt a = x + 1, b = 4x − (a ≥ x ≥ 0) PT cho trở thành: 4a + b − = 2ab (*) ⇔ ( 4a − 1) + ( b − 2ab ) = ⇔ ( 2a − 1)( 2a + 1) + b(1 − 2a ) = ⇔ ( 2a − 1)( 2a + − b ) = ⇔ b = 2a + ( a ≥ ⇒ 2a − > ) Với b = 2a + , ta có PT 4x − = x + + ⇔ x − = 2x −  x ≥  2  ⇔ x = ( t / m.)  3 S =   Vậy phương trình (13) có tập nghiệm  4 14 Tuy nhiên: Nếu ta biến đổi PT(13) ⇔ 2( x + 1) + 2x − = 2( 4x − 1) x + đặt a = x + (a ≥ x ≥ 0) ta đưa phương trình cho kiểu phương trình quen thuộc (Dạng - đặt ẩn phụ không hoàn toàn) Ta có lời giải 2: Đặt a = x + (a ≥ 1do x ≥ ∀x ) PT cho trở thành: 2a + x − = ( x − 1) a (**) ⇔ ( 2a − 1)( a − x + 1) = ⇔ a = x − ( a ≥ ⇒ 2a − > ) Với a = x − , ta có PT ⇔x=  x − = 2x − 1 x ≥  1  2 ( t / m.)  3 Vậy phương trình (13) có tập nghiệm S =   CHÚ Ý Từ cách chọn ẩn phụ ta thấy: + Đặt hai ẩn phụ PT(*) lại dễ dàng đưa phương trình tích so với PT(**) + Tuy nhiên PT (* *) giải cách coi (**) phương trình bậc hai ẩn a (tham số x) Bài tập áp dụng : Giải phương trình : ( ) a ) x x + + = ( x − 1) x + b ) x − 3x + ( ( x + 2) ) = 6x ( c) x + − + = x + 3x + x + ) d ) 3x + 11x − 3x + − 24x 8x − + 8x − = Ví dụ 14: Giải phương trình: 2 x + + − x = x + 16 (14) (Đề thi tuyển sinh vào 10 THPT tỉnh Nam Định năm học 2005-2006) Gợi ý: PT(14) có nhiều cách giải: Chẳng hạn: Nếu sử dụng hai lần phép nâng lên lũy thừa ta có lời giải là: Cách 1: ĐKXĐ: − ≤ x ≤ ( Khi PT (14) ⇔ 2x + + − x ) =( x + 16 ⇔ 16 − 2x = x + 8x − 32 15 ) ( ⇔ 16 − x ) ( ) = 9x + 8x − 32 ( ĐK : x + 8x − 32 ≥ 0) ⇔ 81x + 144 x − 512 x − 1024 = ( )( ) ⇔ x + 16 x + 32 x − 32 = ⇔x= ( t / m) Tuy nhiên cách giải có hạn chế : + Phải đối chiếu nghiệm vô tỷ x = ± với điều kiện bổ sung 9x + 8x − 32 ≥ + Các hệ số phương trình sau bình phương hai vế lần sau lớn Ta giải phương trình cách đưa phương trình tích sau: Cách 2: ĐKXĐ: − ≤ x ≤ ( Khi PT (14) ⇔ 2x + + − x ) =( x + 16 ⇔ 16 − x = x + 8x − 32 ( ) (*) ) ⇔ x + 8x + 16 = − x + 16 − x + 16 ( ⇔ ( x + 4) = − 2x + ) Tuy nhiên việc đưa PT(*) phương trình không đơn giản với số học sinh Nếu ta để ý chút đến hệ số tự biểu thức chứa PT(*) 32:8=4, ta có cách chọn ẩn phụ hợp lý Cách 3: ĐKXĐ: − ≤ x ≤ ( Khi PT (14) ⇔ 2x + + − x ) =( x + 16 ) ⇔ 16 − 2x = 9x + 8x − 32 (*) ⇔ 16 − x + 32 − 8x = x + 8x ( ) ⇔ 16 − 2x + − 2x = x + 8x Đặt y = − 2x ( y ≥ 0) PT cho trở thành: y + 16 y = x + 8x ( * *) ⇔ ( y − x ) + (16 y − 8x ) = ⇔ ( y − x )( y + x + 8) = ⇔ x = y ( y ≥ 0; x ≥ −2 ⇒ y + x + > ) Với x = y, ta có phương trình 16 ( ) ( t / m) PT(**) dễ dàng đưa phương trình tích Như cách đặt ẩn phụ chiếm ưu khắc phục tất nhược điểm hai cách làm x = − x ( x ≥ ) ⇔ x = − x ⇔ x = 32 ⇔ x = Bài tập áp dụng : Giải phương trình : a ) 12 − 3 + 4x − = 4x 2 x x b) x + − 2 − x = c) x + − 2 − x = 12x − x + 16 6x − x2 + d ) 3x − x − = (2 − x ) + (7 x − 19) − x (Đề thi toán chung tuyển sinh vào 10 THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 20152016) ( ) Ví dụ 15: Giải phương trình: x 35 − x x + 35 − x = 30 Gợi ý: Trong vế trái PT(15) x (15) 35 − x có vai trò nhau, xét bậc bậc chúng (cùng có bậc 1) Do đặt 35 − x = y ta hệ PT đối xứng quen thuộc Ta có lời giải : Đặt y = 35 − x ⇒ y = 35 − x ( ) x + y = 35 ( x + y ) x − xy + y = 35 x + y = ⇔ ⇔ Ta có hệ phương trình :  xy = xy( x + y ) = 30 xy( x + y ) = 30 Do x,y nghiệm (nếu có) phương trình X − X + = ⇔ ( X − 2)( X − 3) = Giải phương trình ta có nghiệm x=2: x=3 Vậy phương trình (15) có tập nghiệm S = { 2; 3} Bài tập áp dụng : Giải phương trình : ( ) a ) x 25 − x x + 25 − x = 30 b) 1 + =2 x − x2 Ví dụ 16: Giải phương trình: ( 3x + 1) Gợi ý: Trong vế trái PT(16) + ( 3x − 1) + 93 x − = 17 3x + (16) 3x − có vai trò Nếu đặt a = 3x + b = 3x − ⇒ a − b = ( 3x + 1) − ( 3x − 1) = hệ PT quen thuộc Ta có lời giải : Đặt a = 3x + b = 3x − Ta có hệ phương trình : 2 2  ( a − b ) + 3ab = a + ( − b ) = a + b + ab =  a + b + ab = ⇔ ⇔ ⇔  3 2   a ( − b ) = a − b = a − b = ( a − b ) a + ab + b = ( ) Do a, - b nghiệm (nếu có) phương trình X − 2X + = ⇔ ( X − 1) = Giải phương trình ta có nghiệm x=0 Vậy phương trình (16) có tập nghiệm S = { 0} Bài tập áp dụng : Giải phương trình : a ) ( x + 1) + ( x − 1) + x − = 2 b) ( 3x + 1) + ( 3x − 1) + x − = 2 c) x + − x − x − + x − x − = Ví dụ 17: Giải phương trình: 3x + 6x − = x+7 (17) Gợi ý: Ta có 3x + 6x − = 3( x + 1) − x+7 x+7 2 ⇒ ( y + 1) = ⇒ 3( y + 1) = x + Kết hợp với 3 phương trình ban đầu ta hệ PT đối xứng quen thuộc Ta có lời giải : ĐKXĐ: x ≥ −7 Nếu đặt y + = Đặt y + = x+7 ( y ≥ 0) Ta có hệ phương trình 3( y + 1) = x +  3( x + 1) = y + 3( y + 1) − 3( x + 1) = x − y ( y − x )( 3x + 3y + ) = ⇔ ⇔  3( x + 1) = y + 3( x + 1) = y + x = y 3x + 3y + = ⇔ 3( x + 1) = y + 3( x + 1) = y +  Giải hệ phương trình cho ta tập nghiệm PT(17)  − + 73 − + 73  S=  ;  2   18 Bài tập áp dụng : Giải phương trình : a )16 x = x + +1 b) 27 x + 18x = c) x + x = 3x + 4x + 28 d) x − x − 1000 + 8000x = 1000 Từ ví dụ ta thấy, để giải phương trình vô tỷ không mẫu mực ta thường: + Sử dụng phối hợp phép phân tích thành nhân tử hay số phép biến đổi tương đương để đưa phương trình cho dạng phương trình quen thuộc (có cấu trúc tương đồng) + Nếu cấu trúc ẩn biểu thức phương trình có vai trò ta thường đặt ẩn phụ để đưa phương trình cho hệ phương trình + Ngoài việc xét đối xứng hay tỷ lệ hệ số biểu thức hay dấu quan trọng, gợi ý cho ta thêm (hoặc bớt), tách, nhân (hoặc chia hai vế) phương trình với biểu thức khác 0, … kỹ thuật để tạo ẩn phụ III Hiệu mà sáng kiến đem lại Trong trình giảng dạy môn toán, công tác bồi dưỡng học sinh giỏi thân năm qua, ý thức tầm quan trọng phương pháp đặt ẩn phụ phương trình vô tỷ Tôi tiến hành thực sáng kiến đội tuyển Toán năm học 2013-2014; 2014-2015 đem lại hiệu thiết thực Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh năm học 2013-2014; 2014-2015 gặp phải đề thi giải phương trình vô tỷ có sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ (đã đưa vào phần tập áp dụng sáng kiến trên), 100% học sinh làm tốt đạt điểm tuyệt đối, góp phần đưa kết chung toàn đội năm 2014-2015 lên giải Nhì tỉnh Nhiều em đạt đạt giải cao, đỗ vào trường chuyên Hà Nội trường chuyên Lê Hồng Phong Nam 19 Định Trong em Trần Hoàng Chuẩn cựu học sinh đội tuyển Toán trường THCS Lê Qúy Đôn năm học 2013-2014, học lớp 10 chyên Toán trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định học sinh chọn tham dự kì thi học sinh giỏi môn Toán Đồng Sông Hồng đạt huy chương đồng Để kiểm tra tính khả thi hiệu giải pháp nêu học sinh lớp thi vào THPT (không học đội tuyển Toán), tiến hành thực nghiệm lớp mà dạy (2 lớp có trình độ học sinh tương đối đồng đều) + Lớp thực nghiệm: Lớp 9A4 + Lớp đối chứng: Lớp 9A5 Phương pháp tiến hành: Tôi tiến hành dạy chuyên đề giải phương trình vô tỉ phương pháp đặt ẩn phụ (với mức độ từ 70% đến 85% kiến thức nêu) buổi luyện thi vào THPT + Ở lớp 9A4, dạy giải pháp nêu sáng kiến + Ở lớp 9A5, dạy theo phương pháp truyền thống: đưa dạng tổng quát, cho học sinh làm ví dụ minh họa, giáo viên lưu ý sai lầm cho làm tập áp dụng Sau dạy xong theo kế hoạch, tiến hành điều tra tâm lí cho làm kiểm tra 15 phút lớp ĐỀ BÀI: Giải phương trình : a ) x − 3x + = x − 3x + ( b) 10 x + = x + ) HƯỚNG DẪN CHẨM - BIỂU ĐIỂM Câu Hướng dẫn ĐKXĐ: ∀ x ( ) PT (1) ⇔ x − 3x + − x − 3x + − =   3 7   Đặt y = x − 3x +  y > Vì x − 3x + =  x −  + ≥ >  2 4    Điểm 1,0 20 1,0 1) điểm PT cho trở thành: 1,0 y − y − = ⇔ ( y + 1)( y − 3) = ⇔ y = ( y > ) Với y = 3, ta có PT x − 3x + = ⇔ x − 3x − = ⇔ x = ± 29 2,0  ± 29  Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S =     ĐKXĐ: x ≥ −1 PT (2) ⇔ 10 1,0 0,5 0,5 ( x + 1) ( x − x + 1) = 3( x − x + + x + ) Đặt   1   a = x + ; b = x − x + , a ≥ 0; b > x − x + =  x −  + >    2    1,0 PT (2) trở thành: ( ) 0,5 10ab = a + b ⇔ ( 3a − b )( 3a + b ) = ⇔ b = 3a ( a ≥ 0; b > ) Với b = 3a , ta có PT x + = x − x + ( x ≥ −1) ⇔ x − 10x − = ⇔ x = ± 33 ( t / m)  ± 33  Vậy phương trình (2) có tập nghiệm S =     1,0 0,5 Kết sau: Về tâm lý: Lớp Tổng số học sinh 9A4 9A5 28 28 Kết (tỷ lệ phần trăm) Rất hứng thú Hứng thú Bình thường 67,9% 25% 14,3% 35,7% 17,8% 21,5% Không hứng thú 0% 17,8% Từ bảng kết điều tra tâm lý thấy, việc dạy học theo hướng gợi mở thông qua giải pháp giúp học sinh đặt ẩn phụ giải phương trình vô tỷ đem lại hứng thú cho học sinh lớp thực nghiệm khác Lớp 9A4 hiệu lớp 9A5, số học sinh hứng thú lớp thực nghiệm tăng 42,9% (từ 25% lên 67,9%) so với lớp đối chứng Không học sinh hứng thú lớp thực nghiệm 21 Kết làm: Lớp Tổng số học 9A4 9A5 sinh 28 28 Tù đến 0% 10,7% Kết (tỷ lệ phần trăm) Dưới Trên 7,2% 92,8% 42,9% 57,2% Từ đến 10 53,6% 21,4% Kết làm lớp thực nghiệm có tỷ lệ điểm trung bình tăng 35,6% tỷ lệ điểm giỏi tăng 32,2% so với lớp đối chứng Trong lớp đối chứng 10,7 % học sinh điểm Trong trình học tập môn toán dù học sinh đại trà hay học sinh giỏi, trang bị kỹ thuật đặt ẩn phụ giải phương trình vô tỷ theo định hướng phát triển lực người học, thấy em hứng thú, tự tin, khắc phục phần tâm lý trán nản đồng thời nâng cao chất lượng dạy học, chất lượng kiểm tra Quan trọng làm cho em không cảm giác khô khan, cứng nhắc học môn Toán, rèn tư linh hoạt giải toán việc học môn khoa học tự nhiên khác; IV Cam kết không chép vi phạm quyền Tôi xin cam kết với hội đồng khoa học, với cấp sáng kiến kinh nghiệm thân đúc rút kinh nghiệm qua nhiều năm dạy học sinh giỏi lớp ôn thi vào 10 THPT với mục đích giúp học sinh dễ hiểu, đạt kết cao học tập rèn luyện Tôi không chép hình thức Trên số kinh nghiệm trình giảng dạy, cố gắng nhiều thiếu sót mà thân chưa nhận thấy, mong nhận góp ý đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn ! Ý Yên, ngày 25 tháng 05 năm 2015 ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI Tác giả sáng kiến CỦA NHÀ TRƯỜNG Nguyễn Văn Tuyến 22 [...]... của phương trình với một biểu thức khác 0, … cũng là một trong những kỹ thuật để tạo ra ẩn phụ III Hiệu quả mà sáng kiến đem lại Trong quá trình giảng dạy môn toán, nhất là trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi của bản thân trong những năm qua, tôi đã ý thức được tầm quan trọng của phương pháp đặt ẩn phụ khi phương trình vô tỷ Tôi đã tiến hành thực hiện sáng kiến trên đối với đội tuyển Toán 9 năm học. .. tương đương để đưa phương trình đã cho về một trong những dạng phương trình quen thuộc (có cấu trúc hoặc tương đồng) + Nếu cấu trúc của ẩn hoặc của các biểu thức trong phương trình có vai trò như nhau ta thường đặt ẩn phụ để đưa phương trình đã cho về hệ phương trình + Ngoài ra việc xét sự đối xứng hay tỷ lệ các hệ số của các biểu thức ở trong hay ngoài dấu căn cũng rất quan trọng, bởi nó sẽ gợi ý cho ta... CHÚ Ý Từ ví dụ trên ta thấy: + Đặt một hay hai ẩn phụ là tùy thuộc vào tư duy của người học Việc đánh giá đặt ẩn phụ tốt hay dở không phụ thuộc vào số lượng ẩn phụ mà phụ thuộc vào phương trình mới được tạo thành phương trình nào dễ giải quyết hơn + Trong nhiều trường hợp để làm xuất hiện ẩn phụ, ta thường sử dụng phối hợp phép phân tích thành nhân tử hay sử dụng một số phép biến đổi tương đương (như... 35,6% và tỷ lệ điểm giỏi tăng 32,2% so với lớp đối chứng Trong khi đó ở lớp đối chứng vẫn còn 10,7 % học sinh dưới điểm 2 Trong quá trình học tập môn toán dù là học sinh đại trà hay học sinh giỏi, khi được trang bị các kỹ thuật đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ theo định hướng phát triển năng lực người học, tôi thấy ở các em sự hứng thú, tự tin, khắc phục được phần nào tâm lý trán nản đồng thời... như sau: Về tâm lý: Lớp Tổng số học sinh 9A4 9A5 28 28 Kết quả (tỷ lệ phần trăm) Rất hứng thú Hứng thú Bình thường 67,9% 25% 14,3% 35,7% 17,8% 21,5% Không hứng thú 0% 17,8% Từ bảng kết quả điều tra tâm lý tôi thấy, việc dạy học theo hướng gợi mở thông qua những giải pháp giúp học sinh đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ trên đã đem lại hứng thú cho học sinh ở 2 lớp thực nghiệm khác nhau Lớp 9A4... cùng những phân tích, gợi ý với mong muốn góp phần giải quyết vấn đề nêu trên B Một số gợi ý để đặt ẩn phụ khi giải phương trình vô tỉ không có cấu trúc Ví dụ 10: Giải phương trình: 3 2 + x − 6 2 − x + 4 4 − x 2 = 10 − 3x (10) Gợi ý: Nhận xét 1: Với − 2 ≤ x ≤ 2 Ta có 4 − x2 = 2 − x 2 + x Do đó nếu đặt a = 2 − x , b = 2 + x thì 4 − x 2 = a.b và a 2 + 4b 2 = 10 − 3x Ta có cách giải 1: ĐKXĐ: − 2 ≤ x ≤... thực Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh năm học 2013-2014; 2014-2015 gặp phải đề thi giải phương trình vô tỷ có sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ (đã đưa vào phần bài tập áp dụng trong sáng kiến ở trên), 100% học sinh đã làm tốt và đạt điểm tuyệt đối, góp phần đưa kết quả chung của toàn đội năm 2014-2015 lên giải Nhì tỉnh Nhiều em đạt đạt được giải cao, đỗ vào các trường chuyên trên Hà Nội và trường. .. 8 Bài 5: Giải các phương trình : a ) 4 x 2 + 2 x + 15 = 15 b) x 4 + x 2 + 2014 = 2014 c) x 3 + 2 = 33 3x − 2 Tuy nhiên trong giải toán nhất là giải phương trình vô tỉ, không phải lúc nào ta cũng gặp phải phương trình có cấu trúc là một trong các dạng phương trình trên Làm thế nào để giải được chúng hay biến đổi chúng về một trong các dạng đã biết hoặc tương đồng? Sau đây, tôi xin đưa ra một số ví dụ... Định Trong đó em Trần Hoàng Chuẩn cựu học sinh đội tuyển Toán của trường THCS Lê Qúy Đôn năm học 2013-2014, hiện đang học lớp 10 chyên Toán 1 trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định là một trong 3 học sinh được chọn tham dự kì thi học sinh giỏi môn Toán Đồng bằng Sông Hồng và đạt huy chương đồng Để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của các giải pháp đã nêu đối với học sinh lớp 9 thi vào THPT (không học. .. 1 = 2x − 1 x ≥  1  2 3 ( t / m.)  3 4 Vậy phương trình (13) có tập nghiệm S =  4  CHÚ Ý Từ 2 cách chọn ẩn phụ ở trên ta thấy: + Đặt hai ẩn phụ nhưng PT(*) lại dễ dàng đưa về phương trình tích hơn so với PT(**) + Tuy nhiên PT (* *) có thể được giải bằng cách coi (**) là phương trình bậc hai ẩn a (tham số x) Bài tập áp dụng : Giải các phương trình : ( ) a ) 2 x x 2 + 1 + 1 = ( 4 x − 1) x 3 ... “ Một số gợi ý để đặt ẩn phụ giải phương trình vô tỷ bồi dưỡng học sinh giỏi trường THCS ” Lĩnh vực áp dụng sáng kiến : Giảng dạy môn Toán bồi dưỡng học sinh giỏi Toán chuyên đề giải phương trình. .. phải phương trình phức tạp Hệ thống vấn đề lý thuyết cần cung cấp cho học sinh a) Các bước giải phương trình vô tỷ phương pháp đặt ẩn phụ: Có bước giải phương trình vô tỷ phương pháp đặt ẩn phụ. .. ẩn) bồi dưỡng cho học sinh khả tư tổng hợp Để làm điều trước hết ta cần cung cấp cho em sở để đặt ẩn phụ số phương pháp đặt ẩn phụ thường dùng; cách nhận biết phương trình vô tỷ phương pháp đặt