ĐỀ tài NGHIÊN cứu sử DỤNG máy TÍNH CASIO FX 570ES PLUS TRONG VIỆC hỗ TRỢ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH vô tỷ

Trong chương trình toán phổ thông, phương trình vô tỷ không được đưa vào sách giáo khoa một cách chính thức, tuy nhiên trong hầu hết các đề thi đại học- cao đẳng và thi Olympic toán thìp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG THPT BẮC BÌNH TỖ: TOÁN

PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU KHOA HỌC

ĐỀ TÀI: NGHIÊN CỨU SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO-FX 570ES PLUS

TRONG VIỆC HỖ TRỢ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Bắc bình,ngày 8 tháng 12 năm 2014

I. Lí do chọn đề tài:

• Toán học là một môn khoa học cơ bản mang tính trừu tượng cao nhưng lại có ứng dụng rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực đời sống xã hội Đây là một môn học khó và khô khan đòi hỏi chúng ta phải có sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh tri thức

• Dạy học sinh học toán không chỉ là cung cấp kiến thức cơ bản, giải bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập mà phải biết hướng dẫn cho học sinh các phương pháp chung để giải các dạng toán, giúp học sinh sáng tạo và phát triển tư duy của mình

• Một trong những dạng toán khó thường gặp ở bậc phổ thông và kì thi đại học là giải phương trình vô tỷ Dạng toán này đòi hỏi chúng ta phải có tầm nhìn bao quát, suy nghĩ theo nhiều hướng giải khác nhau mới có thể tìm được hướng giải nhanh chóng và chính xác nhất

Một trong những công cụ hỗ trợ đắc lực cho việc giải phương trình là máy tính bỏ túi Tuy nhiên nhiều học sinh vẫn chưa khai thác được chức năng này của máy tính

• Một trong những loại máy tính thông dụng nhất hiện nay là CASIO FX-570ES PLUS Theo công văn 3125/BGDĐT-CNTT của Bộ Giáo Dục loại máy tính này được sử dụng trong tất cả các kì thi

• Máy tính CASIO FX-570ES PLUS có những chức năng nổi trội hơn so với các loại máy tính khác là:

∗ Giải phương trình bậc 2 cho kết quả nghiệm ở dạng căn thức

∗ Đạo hàm tích phân, căn thức, lũy thừa máy tính CASIO FX-570ES PLUS ghi giống như trong sách giáo khoa

∗ Tốc độ giải toán nhanh

II. Mục đích nghiên cứu.

• Đưa ra được các phơng pháp, cách giải phương trình vô tỉ nhanh chóng, chính xác và dễ

áp dụng nhờ công cụ hỗ trợ đắc lực là máy tính bỏ túi

• Qua các bài giải khái quát và cụ thể sẽ giúp học sinh tư duy tốt hơn, có tầm nhìn bao quát

và có trong tay nhiều cách giải khác nhau, từ đó có thể hoàn thành tốt các bài toán giải

III. Phạm vi nghiên cứu

Trong đề tài này chỉ nghiên cứu các dạng phương trình vô tỷ thường gặp ở các cấp bậc phổ thông, trong các kì thi tốt nghiệp và đại học

IV. Định nghĩa phương trình vô tỷ

Trong chương trình toán phổ thông, phương trình vô tỷ không được đưa vào sách giáo khoa một cách chính thức, tuy nhiên trong hầu hết các đề thi đại học- cao đẳng và thi Olympic toán thìphương trình vô tỷ là một dạng toán thường xuất hiện Trong sách giáo khoa toán không có định nghĩa cụ thể cho phương trình vô tỷ, nhưng qua các bài toán và một số tài liệu tham khảo khác thì phương trình vô tỷ là những phương trình chứa căn thức

V. Kiến thức cần nắm.

Ngoài các kiến thức cơ bản khi giải phương trình đại số bậc 1, bậc 2 ở phổ thông, học sinh cần nắm một số kĩ thuật giải phương trình vô tỷ thông dụng (đã được học trong bậc THPT và luyện thi đại học) như sau:

- Đặt ẩn phụ đưa phương trình về dạng đơn giản hơn hoặc đưa về hệ phương trình đối xứng, đẳng cấp loại 1, 2

- Các biến đổi đại số thường dùng như nâng lũy thừa, các phép tính khai triển và hằng đẳng thức

- Kĩ thuật khảo sát hàm số và sử dụng các bất đẳng thức cơ bản như AM-GM, Cauchy Schwarz

Kĩ thuật nhân lượng liên hợp, tách và ghép hạng tử

- Các kiến thức cơ bản về hàm liên tục, hệ thức Viete

VI. Chức năng của máy tính

Khi giải phương trình vô tỷ, mục đích của chúng ta là tìm một cách giải logic để tìm tất cả nghiệm của phương trình chứ không phải chỉ tìm một nghiệm, cho nên máy tính chỉ được sử dụng như một công cụ hỗ trợ các tính toán phức tạp và dự đoán chứ không phải máy tính sẽ thực hiện giải các bài toán đưa ra Tuy nhiên nếu biết khai thác triệt để các tính năng của máy tính thì

ta không chỉ tìm được lời giải cho bài toán mà còn tìm được nhiều cách giải khác nhau, đồng thời

có thể mở rộng và làm mới bài toán

Một số tính năng của máy tính:

1. Phím CALC:

Khi nhập biểu thức đại số chứa biến, phím CALC sẽ hỏi giá trị biến và tính ra giá trị biểu thích ứng với giá trị biến ta vừa nhập Phím chức năng này cho phép ta tính một biểu thức cồng kềnh với nhiều giá trị khác nhau chỉ với một lần nhập, tiết kiệm khoảng thời gian đáng kể

Nguyên tắc hoạt động của chức năng này là khi ta nhập một giá trị bất kì thì màn hình hiển thị ”X=?” thì bộ xử lý sẽ quay một hình tròn có tâm là điểm ta vừa nhập trên trục hoành, với bán kính lớn dần Khi gặp giá trị gần nhất thỏa mãn thì máy sẽ dừng lại và hiển thị giá trị đó dưới dạng phân số tối giản hoặc số thập phân Nếu trong một thời gian nhất định mà máy vẫn chưa tìm được nghiệm thì máy sẽ hiển thị giá trị gần nhất máy tìm được thỏa mãn phương trình với sai số hai vế là thấp nhất L-R ở hàng thứ hai trên màn hình chính là sai số ở hai vế (thông

thường sai số này rất bé khoảng

6

10 −

trở xuống)

Chức năng này cho phép hiển thị đồng thời các kết quả của một biểu thức trong đó các giá trịbiến ta gán là cấp số cộng Chức năng này cho phép ta nhìn tổng thể các giá trị của biểu thức, thuận lợi cho việc sử dụng tính liên tục và dấu của biểu thức để dự đoán khoảng chứa nghiệm một cách tiết kiệm thời gian

VII. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ VỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA

MÁY TÍNH CASIO FX-570ES PLUS

DẠNG 1: PHÂN TÍCH BIỂU THỨC THÀNH TÍCH CÁC NHÂN TỬ:

Đặt điều kiện cho phương trình (*) xác định

Với điều kiện trên, bình phương 2 vế của (*) ta được:

Vế trái của (**) là một đa thức bậc 4 nên có thể phân tích thành tích của 2 tam thức bậc 2 nên (**) trở thành: (X2 –S1X +P1 )( X2 - S2X +P2) =0 Khi đó việc giải phương trình (*) đưa về giải hai phương trình bậc 2.

Tìm nghiệm của hai phương trình trên, kết hợp với điều kiện ban đầu ta được nghiệm của

−

= không là nghiệm của phương trình ban đầu

Phần 1: Tìm nghiệm.

Bước 1: Đoán khoảng nghiệm.

Với điều kiện trên (1) tương đương với

=

0

Tiếp theo nhấn màn hình hiện ra chữ End? Nhấn

Tiếp theo nhấn màn hình hiện ra chữ Step? Nhấn rồi nhấn

Khi đó máy hiện một bảng gồm các giá trị của x từ -10 đến 10

Cần chú ý tới hai giá trị của x liên tiếp giả sử là x1 và x2 (giả sử x1< x2) mà ứng với hai giá trị của

x này ta được hai giá trị f(x1) và f(x2) trái dấu Khi đó, phương trình sẽ có thể có nghiệm trong khoảng (x1; x2)

Cơ sở toán học: Hệ quả định lý giá trị trung gian:

0

1

=

Giáo trình giải tích hàm một biến - TS Nguyễn Cam – trang 53Trong ví dụ này ta được nghiệm trong khoảng (1;2), (-1;1) và (-2;-1).

Chú ý: Khi cho bước nhảy (Step?) càng nhỏ tức càng thu hẹp được khoảng nghiệm, bằng cách nhấn tiếp =

Ta được một bảng giá trị của f(x) từ 1 tới 2

Như vậy khoảng nghiệm hẹp hơn là (1.3; 1.4)

Tương tự cho 2 khoảng nghiệm còn lại

- Khoảng nghiệm (-1; 1) có khoảng nghiệm hẹp hơn là (-0.9; -0.8) và (-0.8; 0.8)

- Khoảng nghiệm (-2; -1) có khoảng nghiệm hẹp là (-1.8; -1.7)

.

01

=2

=1

=AC

C

CALCSHIFT

Màn hình hiện kết quả X= -0.820852384

Gán kết quả này vào phím B :

BSTOSHIFT

Tiếp tục thực hiện lại các bước trên với 2 khoảng nghiệm còn lại.

Ở ví dụ này, tính A+B và AB

Thu được A+B =

4 7

, AB =

8 7

− Vậy A và B là nghiệm của phương trình

7 2(1 15) B

CSTOSHIFT

DSTOSHIFT

BALPHAA

ALPHA

Thu được C+D = -1, C.D= -5/4 Vậy C và D là nghiệm của phương trình

2

1 6 C

Ở những bài mà bằng cách đoán nghiệm, ta không thể tìm được đủ 4 nghiệm cũng có thể sử dụng phương pháp này , sau khi biết được tam thức bậc 2 thứ nhất, ta sẽ tìm tam thức còn lại bằng cách chia đa thức.

f(x) = 0 quy về giải phương trình f1(x) = 0

Ta đã biết : an - bn = (a - b) ( an-1+ an-2b+ + abn-2+ bn-1) gọi là hai biểu thức liên hợp của nhau Việc xử dụng các biểu thức liên hợp để bỏ căn thức là một yếu tố quan trọng nhất trong việc sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp trong giải phương trình vô tỉ mà ta sẽ bắt đầu nghiên cứu

=

∆

Bước 1:

Đặt điều kiên:

2

8x 5 0 4x 1 0

Bước 4: Dùng chức năng có sẵn của máy tính để giải phương trình trên, tìm nghiệm đúng hoặc gần đúng

Bấm máy hiện ra “Solve for X”,

Bấm (vì 1∈

D) hoặc có thể chọn số khác

Đợi trong vài giây máy hiển thị kết quả là nghiệm đúng

hoặc gần đúng của phương trình Đối với bài này ta được nghiệm

1 x 2

=

Bước 5: Giải bài này khi biết được 1 nghiệm của nó

CALCSHIFT

1

=

Biết phương trình có 1 nghiệm

1 x 2

= Ta tính

Vậy lời giải bài toán như sau :

2x 1 0

2 2x 1

2x 1 0(vô nghiêm) 8x 5 3

=

Biến đổi phương trình về dạng: B a(x-x 1 )(x-x 2 )g(x)=0 với x 1 , x 2 là nghiệm của phương trình

Nhấn chọn TABLE)

Màn hình hiển thị “f(X)=” nhập biểu thức “

2

3x − + − x 3 3x 1 + − 5x 4 +

”vào rồi nhấn dấu

Màn hình máy tính hiển thị chữ Start? Tiếp theo nhấn “

1 2

−

”

Tiếp theo nhấn “=” màn hình hiện ra chữ End?, nhấn “10”

Tiếp theo nhấn “=” màn hình hiện ra chữ Step?, nhấn “ ”

Tiếp theo nhấn “=” Vậy ta được bảng gồm các giá trị của x từ

1 2

− tới 10

=

Nhìn vào bảng giá trị ta thấy tại x=0 và x=1 thì ta nhận được giá trị bằng 0 Vậy x=0 và x=1 là hai nghiệm của phương trình.

Bước 3:

Tách ghép rồi nhân lượng liên hợp để có nhân tử chung là x(x-1)

Ta thấy phương trình có sẵn là 3x2 nên cần thêm -3x nữa Vậy ta được

Bây giờ công việc của chúng ta là đặt ần phụ y theo x sao cho có thể đưa phương trình (1) về dạng phương trình đối xứng loại 2 Ta cần xác định hệ số m, n hữu tỉ sao cho cách đặt:

my n + = 2x 1 −

(*) có thể đưa phương trình (1) về dạng hệ phương trình đối xứng

Nhận xét hệ số a=1 => m=1 Vậy việc còn lại là ta cần xác định n nữa là xong Bây giờ ta cần xác định lại mục đích của ta là đưa phương trình (1) về dạng hệ phương trình đối xứng x, y và hệ

đó phải có nghiệm x=y Điều này giúp ta xác định n một cách dễ dàng hơn

Ta tìm n dựa vào hệ thức (*) và nhận xét x=y

x 2 2

Bước 3: Nhập vế trái của (1’) vào màn hình của máy tính

Bước 4: Dùng chức năng có sẵn của máy tính để giải phương trình trên, tìm nghiệm đúng hoặc

gần đúng

Nhấn máy hiện ra “Solve for X” nhấn (vì 2∈

D) hoặc có thể chọn số khác

2

=CALC

SHIFT

Màn hình hiện kết quả X=3.414213562.

Gán kết quả này vào phím A bằng cách nhấn

Tính 2A 1 A− −

Ta nhập “ 2A 1 A− −

” vào màn hình máy tính rồi nhấn dấu “=”

Màn hình hiện ra “-1” Vậy ta được n=-1

x 1 2x 1

1 x

2

x 4x 2 0

1 x

So điều kiện ban đầu x 2≥

ta được nghiệm của phương trình là x 2= + 2

Vậy nghiệm của phương trình là x 2= + 2

Dựa trên cơ sở tính đơn điệu của hàm số ta có thể tìm được nghiệm phương trình vô tỷ

Định lí 1: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì số nghiệm của phương trình trên D: f(x) = k không nhiều hơn một và f(x) = f(y) khi và chỉ khi x = yvới mọi x,y thuộc D

Chứng minh: Giả sử phương trình f(x) = k có nghiệm x = a, tức là f(a) = k

Do f(x) đồng biến nên

Vậy pt f(x) = k có nhiều nhất là một nghiệm.

Chú ý:

* Từ định lí trên, ta có thể áp dụng vào giải phương trình như sau: Bài toán yêu cầu giảiphương trình: F(x) = 0 Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương đưa phương trình về dạng f(x) = k hoặc f(u) = f(v) ( trong đó u = u(x), v = v(x)) và ta chứng minh được f(x) là hàm luôn đồng biến (nghịch biến)

Nếu là phương trình: f(x) = k thì ta tìm một nghiệm, rồi chứng minh đó là nghiệm duy nhất Nếu là phương trình: f(u) = f(v) ta có ngay u = v giải phương trình này ta tìm được nghiệm

* Ta cũng có thể áp dụng định lí trên cho bài toán chứng minh phương trình có duy nhất một nghiệm

Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và hàm số y = g(x) luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến ) và liên tục trên D thì số nghiệm trên D của phương trình: f(x) = g(x) không nhiều hơn một

Chứng minh:

Giả sử x = a là một nghiệm của pt: f(x) = g(x), tức là f(a) g(a).Ta giả sử f(x) đồng biến còn g(x) nghịch biến

*Nếu x > a suy ra f(x) > f(a) = g(a) > g(x) dẫn đến phương trình f(x) = g(x) vô nghiệm khi x > a

*Nếu x < a suy ra f(x) < f(a) = g(a) < g(x) dẫn đến phương trình f(x) = g(x) vô nghiệm khi x < a Vậy pt f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm

Chú ý: Khi gặp phương trình F(x)=0 và ta có thể biến đổi về dạng f(x)=g(x), trong đó f(x) và g(x) khác tính đơn điệu Khi đó ta tìm một nghiệm của phương trình và chứng minh đó là

Bước 2: Viết lại phương trình dưới dạng

x − 3x 1 + − 8 3x − = 0

(1’)

Bước 3: Nhập vế trái của (1’) vào màn hình của máy tính

Bước 4: Dùng chức năng có sẵn của máy tính để giải phương trình trên, tìm nghiệm đúng hoặc

gần đúng

Nhấn màn hình máy tính hiện ra “Solve for X”, nhấn “

3 2

ASTOSHIFT

CALCSHIFT

Rồi tiếp tục nhập vế trái của (1’) vào màn hình máy tính, nhấn màn

3 2

−

” ( có thể chọn số khác ) , nhấn “=”

Màn hình hiện thị kết quả X2 = -0.618033988

Gán kết quả này vào phím B bằng cách nhấn

Bây giờ ta sẽ thử tìm tam thức bậc 2 tạo từ hai nghiệm trên Nghĩa là ta cần tính A+B và AB

Thu được A+B=1, AB= -1

Điều đó đã chứng tỏ A, B là hai nghiệm của phương trình X2 – X- 1=0

Ta viết phương trình đã cho lại thành

BSTOSHIFT

2 2 2

2 2

2 2

2 x 8 x

x x 1 0

(I) 4

Ta có bảng biến thiên như sau (để đơn giản ta dùng chức năng của phím CALC khi tính các giá trị trong bảng này):

+

6 2 6 3

+

6 2 6 3

2

±

=

Nhận xét:

Phương pháp khảo sát hàm số cho phép chúng ta đánh giá tập giá trị của biểu thức một cách chặt chẽ nhất Tuy nhiên phương pháp này đòi hỏi những tính toán cồng kềnh vì những số vô tỷ chứa căn mà nếu không có máy tính thì chúng ta khó mà tính toán dễ dàng Như vậy với tổ hợp phím SHIFT CALC và phím CALC của máy tính giúp đỡ chúng ta rất nhiều trong quá trình tìm nghiệm, tính các giá trị trong bảng biến thiên một cách chính xác nhất và nhanh nhất.

DẠNG 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ DỰA VÀO PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA

Lượng giác hóa phương trình theo một số dấu hiệu chủ yếu sau đây

Nếu phương trình xuất hiện x2+ y2=a thì đặt

=,

=,

Do đó để giải ta chỉ cần xét − ≤ ≤2 x 2

Sử dụng chức năng TABLE và SHIFT SLOVE của máy ta thu được nghiệm x=2 ta còn được hainghiệm vô tỷ khác là x=-1,618033989 và x= -0,445041867 Sử dụng chức năng SHIFT STO để gán 2 nghiệm của phương trình trên vào A,B rồi tính A+B, AB ta đều thu được hai số vô tỷ Như vậy ý định dùng phương pháp tách có vẻ không khả quan mấy

12 3 k k t

Nhận xét: Tuy máy tính bỏ túi không được áp dụng phần lớn ở đây như các phương pháp trên,

nhưng vẫn đóng vai trò quan trọng trong việc đoán nghiệm, xử lý nghiệm và thử lại Phương pháp lượng giác hóa cho ta những biến đổiàiđơn giản đồng thời khi bài toán giải được bằng phương pháp này thì khó giải được bằng các phương pháp khác (do đặc thù của hàm số lượng giác)

Tài liệu tham khảo:

Sách hướng dẫn sử dụng máy tính Casio FX-570ES Plus

Chuyên đề phương trình – hệ phương trình – Diễn đàn Mathscope.org

Tài liệu về phương trình vô tỷ của thầy Trần Phương

Tài liệu về phương trình vô tỷ của thầy Trần Xuân Bang- THPT Chuyên Quảng Bình

Giáo trình giải tích hàm một biến của TS Nguyễn Cam

Chú ý: Các phương pháp trên cũng có thể áp dụng cho loại máy tính CASIO FX-570ES, CASIO FX-570MS… Tuy nhiên ở các bước giải phương trình bậc 2 ta phải giải bằng tay vì các loại máytính trên không thể hiển thị kết quả dưới dạng căn thức

Mục lục: