SKKN Hướng dẫn học sinh trường THPT Trần Phú sử dụng máy tính CASIO fx 570ES PLUS để giải và hỗ trợ giải một số phương trình thường gặp

Nhưng đối với học sinh trường THPT Trần Phú việc sử dụng máy tính cầm tay để giải toán dường như còn rất xa lạ, hầu hết các em không sử dụng hoặc nếu có sử dụng thì chỉ dùng để thực hiện

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Việc dạy và học toán có sự hỗ trợ của máy tính đã trở nên rất phổ biến trên toàn thế giới Ở nước ta, kể từ năm 2001, Bộ Giáo dục và Đào tạo ngoài việc đã tổ chức các kì thi học sinh giỏi cấp khu vực “Giải toán trên máy tính Casio” cho học sinh phổ thông còn cho phép tất cả thí sinh được sử dụng các loại máy tính cầm tay như: CASIO 500A, CASIO 500MS, CASIO fx-570MS, CASIO fx-570ES, CASIO fx-570ES PLUS … trong các kì thi cấp quốc gia Nhưng đối với học sinh trường THPT Trần Phú việc sử dụng máy tính cầm tay để giải toán dường như còn rất xa lạ, hầu hết các em không sử dụng hoặc nếu có sử dụng thì chỉ dùng để thực hiện các phép toán đơn giản như cộng, trừ, nhân, chia mà chưa phát huy được hết các chức năng của nó Bên cạnh đó, đa số học sinh của nhà trường đều có kết quả học tập các môn khoa học tự nhiên nói chung, môn Toán nói riêng còn thấp so với mặt bằng chung của các trường trong tỉnh Lí do chủ yếu là khả năng tư duy, suy luận logic của các em còn hạn chế Trong khi đó máy tính cầm tay là công cụ giúp học sinh giải toán hữu hiệu nhất nhờ khả năng xử lí dữ liệu phức tạp với tốc

độ cao và cho kết quả chính xác Chỉ cần thực hiện các thao tác trên máy tính thì có thể giải quyết hoặc tìm ra hướng giải quyết rất nhiều bài toán mà không cần phải tư duy nhiều

Cùng với sự tiến bộ của khoa học kĩ thuật hiện nay thì hầu hết các loại máy tính cầm tay đều được trang bị chức năng giải các phương trình đơn giản như: phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình bậc hai một ẩn, phương trình bậc ba một ẩn, đặc biệt các loại máy tính Casio fx-750MS, Casio fx-570

ES, Casio fx-570 ES PLUS… còn có một chức năng vượt trội hơn các loại máy tính cầm tay khác là chức năng dò nghiệm, một chức năng vô cùng hữu ích để giúp ta có thể giải các phương trình phức tạp hơn

Tuy nhiên trong khuôn khổ của một sáng kiến kinh nghiệm, tôi chỉ xin

đề cập tới việc hướng dẫn sử dụng máy tính Casio fx-570 ES PLUS thông qua

việc trình bày đề tài: “Hướng dẫn học sinh trường THPT Trần Phú sử

dụng máy tính CASIO fx-570ES PLUS để giải và hỗ trợ giải một số phương trình thường gặp”, với mục đích giúp học sinh trong trường có tài

liệu hỗ trợ trong quá trình học tập môn Toán, đồng thời nâng cao chất lượng học môn Toán cũng như tạo hứng thú với việc học tập bộ môn này

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I.Cơ sở lí luận:

Toán học là môn học đòi hỏi người học ngoài việc nắm vững các kiến thức cơ bản của môn Toán còn phải có khả năng tư duy, biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học vào giải quyết bài toán cụ thể Tuy nhiên, với những học sinh còn hạn chế về năng lực tư duy Toán học, chưa nắm vững kiến thức cơ bản thì máy tính cầm tay sẽ là một công cụ hỗ trợ đắc lực trong việc giải các bài toán đơn giản Bởi với các tính năng ưu việt của máy tính cầm tay, chỉ cần học sinh thực hiện một số thao tác cơ bản trên máy tính thì sẽ tìm được đáp án Vì vậy trang bị những kĩ năng cơ bản và hướng dẫn vận dụng thành thạo để phát huy công năng của máy tính cầm tay là một việc làm thực sự cần thiết cho học sinh nói chung, học sinh có học lực môn Toán còn yếu, kém nói riêng

Trong chương trình Toán THPT, phương trình là mảng kiến thức chiếm phần lớn, thường xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp, thi tuyển sinh đại học, cao đẳng, trong đó có không ít phương trình chúng ta có thể dùng máy tính cầm tay để giải hoặc tìm ra cách giải Bản chất của bài toán giải phương trình

là tìm giá trị của ẩn thỏa mãn phương trình (tìm nghiệm của phương trình) và

để giải phương trình cũng có nhiều phương pháp khác nhau, tuy nhiên một số trong một số trường hợp chúng ta chỉ quan tâm tới nghiệm của phương trình chứ không cần biết làm thế nào để tìm ra chúng, hoặc có trường hợp nếu ta nhẩm được nghiệm của phương trình thì nó sẽ cho chúng ta gợi ý về cách giải phương trình đó

Như chúng ta đã biết, đối với máy tính Casio fx-570ES PLUS ngoài việc giải các phương trình bậc hai một ẩn, bậc ba một ẩn như các loại máy tính cầm tay khác, nó còn có một chức năng rất hữu ích khi sử dụng cho bài toán giải phương trình đó là chức năng dò nghiệm (Solve), với chức năng này máy tính sẽ giúp ta tìm được một hay nhiều nghiệm của phương trình, từ đó

chúng ta có thể định hướng được cách giải phương trình nhanh và hiệu quả nhất

II Thực trạng:

Trường THPT Trần Phú đóng trên địa bàn của một huyện miền núi, nơi điều kiện kinh tế, đời sống xã hội của người dân còn gặp nhiều khó khăn, các

em học sinh của nhà trường đa số là con em dân tộc thiểu số Tuy nhiên, để phục vụ tốt nhất cho việc học tập, ngay từ đầu năm học nhà trường đã yêu cầu học sinh phải có đầy đủ sách giáo khoa, đồ dùng học tập trong đó có máy tính cầm tay

Nhưng thực tế cho thấy có những học sinh lớp 10, lớp 11 hoặc ngay cả học sinh lớp 12 không biết giải phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai một ẩn mặc dù các em có công cụ hỗ trợ là máy tính cầm tay Để đánh giá kĩ năng sử dụng máy tính cầm tay vào giải toán của học sinh, tôi đã tiến hành khảo sát thông qua việc cho học sinh làm bài kiểm tra về giải một số phương trình thường gặp ở các lớp 10C1, 11B1, 12A1 Kết quả như sau

Từ kết quả trên, tôi có thể đánh giá được đa số học sinh chỉ coi máy tính cầm tay là công cụ giúp các em thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia đơn giản, các em không biết cách sử dụng máy tính cầm tay để giải các phương trình thường gặp, vì vậy tôi nghĩ rằng để sử dụng hiệu quả công cụ máy tính cầm tay thì việc hướng dẫn cho các em kĩ năng giải toán thông qua

sự hỗ trợ của máy tính cầm tay là thực sự cần thiết

III Các giải pháp thực hiện:

1.Hướng dẫn học sinh các thao tác cơ bản với máy tính Casio fx-570ES PLUS.

1) Bật máy: Ấn phím ON

2) Tắt máy: Ấn liên tiếp các phím SHIFT AC

Chú ý: Máy tính có chế độ tự động tắt

3) Cài đặt ban đầu: Ấn liên tiếp các phím SHIFT 9 1  Khi đó máy tính ở chế độ:

- Mode COMP

-Dạng xuất nhập: MathIO (phân số, số vô tỉ, logarit, tích phân,…được hiển thị đúng như SGK)

- Đơn vị đo góc là độ (muốn sử dụng đơn vị radian thì ấn phím

4

SHIFT MODE )

- Dạng hiển thị trên màn hình: dạng Norm 1 Nếu số x thỏa mãn điều kiện 10  2 x 10 10

  thì trên màn hình hiển thị bình thường, trường hợp ngược lại, kết quả trên màn hình có dạng  10 ( ,n  n Z ) (có thể chọn Norm 2 đê màn hình hiện kết quả bình thường đối với x trong một giới hạn rộng hơn

10  x 10

  bằng cách ấn phím SHIFT MODE 8 2 )

- Hiển thị phân số dạng c

d (không hiển thị dưới dạng hỗn số)

- Hiển thị số phức dạng a+bi

- Hiển thị dấu cách lẻ phần thập phân: Phần nguyên và phần thập phân được phân cách bằng dấu chấm

- Máy cho phép nhập biểu thức tính như ghi trên giấy rồi ấn phím 

để gọi kết quả

Chú ý:

+ Khi nhập các hàm lượng giác thì có dấu mở ngoặc đi kèm, khi nhập biến xong ta phải đóng ngoặc ( trừ dấu ngoặc của hàm số lượng giác sau cùng)

+ Có thể bỏ dấu nhân trong các trường hợp: trước dấu mở ngoặc, trước tên biến hoặc hằng số

+ Có thể bỏ dấu ngoặc trong các trường hợp sau: phép nhân, chia với số âm; một hay nhiều dấu ngoặc đóng cuối cùng

+ Để xóa một kí tự hay một hàm, ta cần dịch chuyển con trỏ đến vị trí ngay sau kí tự hay hàm cần sửa, ấn phím DEL rồi nhập kí tự hay hàm mới cần sửa

2 Hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính cầm tay Casio fx-500ES PLUS

để giải một số phương trình thường gặp.

a Phương trình bậc nhất một ẩn.

Đối với những phương trình dạng ax+b=0, ta có thể nhẩm nghiệm được ngay, nhưng với những phương trình bậc nhất phức tạp ta sử dụng lệnh SHIFT SOLVE sẽ cho kết quả nhanh chóng

VD1: Giải phương trình: 1 2 5

x x



  ( BT4-tr57-Đại số 10)

HD: Nhập biểu thức 1 2 5

x x



  , bấm phím SHIFT SOLVE , máy hỏi

X, ta nhập 1, kết quả phương trình có nghiệm x=0

    (BT3.30-tr63-BTĐSNC 10)

    , bấm phím SHIFT SOLVE ,

máy hỏi X, ta nhập 0, kết quả phương trình có nghiệm x=-1

2 Tiếp tục bấm phím SHIFT SOLVE , máy hỏi X, ta nhập -3,5; kết quả phương trình có nghiệm x=-4

b Phương trình bậc 2 một ẩn: ax 2 +bx+c=0

Bấm phím MODE 5 3 để chọn chương trình giải phương trình bậc hai một

ẩn, sau đó nhập vào máy các hệ số a, b, c, ấn  máy sẽ hiển thị kết quả, nghiệm biểu diễn ở dạng a+bi là nghiệm phức

VD3: Giải phương trình: 2x2-5x-4=0

HD: Bấm liên tiếp phím MODE 5 3 2   ( ) 5   ( ) 4  

Màn hình hiện ra 1 5 57

4

x   , ấn tiếp , màn hình hiện ra 2 5 57

4

x  

c Phương trình bậc 3 một ẩn: ax 3 +bx 2 +cx+d=0

Bấm phím MODE 5 4 để chọn chương trình giải phương trình bậc ba một ẩn, sau đó nhập vào máy các hệ số a, b, c, ấn  máy sẽ hiển thị kết quả.

VD4:Giải phương trình x3+2x2- 4x+1=0

HD: Chọn MODE 5 4

Ta nhập a=1, b=2, c=-4, d=1 , khi đó màn hình hiện nghiệm của pt là:

x1=-3,3027756, x2=1, x3=0,3027756 (kết quả đã được làm tròn).

* Nếu phương trình chỉ có 1 nghiệm thực thì máy sẽ cho ra 1 nghiệm thực và

2 nghiệm phức( dạng a + bi )

VD5: Giải phương trình: 2x3+5x2+6x+2=0

HD: Dùng MTBT giải phương trình trên ta được kết quả:

x1=1

2, x2=-1+i ( nghiệm phức) , x3=-1-i (nghiệm phức)

d Phương trình bậc cao một ẩn:

Dùng chức năng SOLVE để tìm nghiệm, nếu nghiệm tìm ra được là số nguyên hay số hữu tỉ thì ta đưa nó về dạng phương trình tích để giải

VD6: Giải phương trình: 72x4+84x3- 46x2-13x+3=0

HD: Nhập biểu thức 72x4+84x3- 46x2-13x+3 vào máy, dùng lệnh SHIFT SOLVE, máy hỏi x?, nhập x=0, máy cho ta một nghiệm phương trình là 0,5 Như vậy ta có: 72x4+84x3- 46x2-13x+3=(2x-1)(36x3+60x2+7x-3)

Dùng máy tính giải phương trình bậc ba : 36x3+60x2+7x-3=0, ta được thêm ba nghiệm là : -3/2; -1/3; 1/6

VD7 : Tìm 1 nghiệm pt: x9-2x7+x4+5x3+x-12=0

HD: Nhập công thức rồi ấn SHIFT SOLVE; X? nhập 1để dò;

ĐS: 1,26857 (45,85566667)

VD8: Tìm 1 nghiệm pt: x60+x20-x12+8x9+4x-15=0

HD: Dò với x = 1, được x= 1,011458; Dò với x = 10, được x= -1.0591

e Phương trình lượng giác

e1 Giải phương trình lượng giác cơ bản: Dùng sin-1, cos-1, tan-1

VD9: Giải phương trình:

a) sin 1

4

x  b) tan(2x-100) = 2

HD: Ấn SHIFT MODE 3 ( chọn đơn vị độ)

a) Ấn “ SHIFT” “sin” , nhập 1

4

 , ấn bằng ta được nghiệm x=-0,252680=-0015’9,65’’

Vậy phương trình có nghiệm:

x=-0015’9,65’’+k.3600, x=-180015’9,65’’+k.3600

b) Ấn 10  SHIFT TAN 2  sau đó chia 2, ta được x=5033’12,87’’

Vậy phương trình có nghiệm: x=5033’12,87’’+k.1800

e2 Giải phương trình bậc nhất đối với sin và cos: asinx+bcosx=c

+ Biến đổi: asinx+bcosx=msin (x+)

+ Giải pt cơ bản: msin (x+ )=c

VD10: Giải các phương trình:

a) 3 cosx sinx  2

b) cos3 sin3x 1

2

HD: Ấn SHIFT MODE 4 ( chọn đơn vị radian)

a) Ấn SHIFT  3SHIFT ) 1  ta được r=2, =0,5235987756

Ấn tiếp RCL S  D Kết quả y=

6



Vậy ta có : 3 cos sinx 2 2sin( ) 2 sin( ) 1

x   x   x 

Giải tương tự VD trên ta tìm được nghiệm của phương trình

2 2

4 2 3

k Z











 







  



b) Ấn SHIFT  1SHIFT ) 1   ta được r=1,41421 = 2, =-0,785398163

Ấn tiếp RCL S  D Kết quả y=

4





cos3 sin3x 1 2 sin( ) 1 sin( ) 1

Giải pt cơ bản (*) ta sẽ được nghiệm của phương trình

e3 Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

VD11: Giải phương trình:

a) 8cos2x+2sinx-7=0

b) 3sin2x-4sinxcosx+5cos2x=2

HD:

a) Biến đổi đưa về pt bậc hai đối với một hàm số lượng giác

8cos2x+2sinx-7=0

  8sin 2x 2sinx  1 0

  8t2  2t  1 0 ( với t=sinx)

Dùng MTCT ta tìm được hai nghiệm

sinx

sinx

t t



Dùng MTCT giải phương trình lượng giác cơ bản ta sẽ tìm được công

thức nghiệm

b) Tương tự ta biến đổi đưa pt về dạng : t2-4t+3=0 (với t=tanx)

Pt có hai nghiệm : 1 tanx 1

3 tanx 3

t t



Giải pt lượng giác cơ bản suy ra công thức nghiệm pt ban đầu

VD12: Tìm các nghiệm gần đúng (bằng radian) của pt:

4,3sin 2 x –sin2x -3,5cos 2x=1,2; x(0; ) ĐS: 1,0109; 2,3817

VD13: Tìm nghiệm gần đúng theo (độ, phút, giây) của pt:

sinx cosx + 3(sinx-cosx)=2 (Trích đề thi KV THPT 2007) ĐS:

0 0

2 0

0

e4 Một số phương trình lượng giác không mẫu mực:

Đối với phần lớn các phương trình lượng giác không mẫu mực, ta sử dụng MTBT để đoán nghiệm của pt, từ đó giúp ta định hướng được cách giải

pt đó

Bước 1: Sử dụng MTBT để nhẩm nghiệm:

Cách 1: Chuyển phương trình về dạng f(x)=0, nhập biểu thức f(x) vào máy

tính, ấn phím CALC, máy hỏi x? Giả sử cần thử

6

x có phải là nghiệm

không, ta nhập

6



vào và bấm phím = , máy hiện số 0 thì chứng tỏ

6

x là nghiệm Để thử các giá khác ta bấm phím CALC nhập giá trị vào rồi bấm phím =

Cách 2: Dùng chức năng SOLVE ( chức năng dò nghiệm)

Chuyển máy tính về đơn vị đo là độ ( ấn SHIFT MODE 3)

Nhập vào máy phương trình f(x)=0, bấm phím SHIFT SLOVE máy hỏi x, ta nhập giá trị mà ta dự đoán là nghiệm, máy sẽ dò nghiệm trong lân cận của giá trị đó Tiếp tục nhấn SHIFT SOLVE để kiểm tra các giá trị khác

Bước 2: Giả sử ở bước 1 ta tìm được nghiệm là

6

x Ta tiếp tục thử với các giá trị liên quan đặc biệt tới cung đó.

+ Thử với giá trị đối của nó là

6

x  , nếu thỏa mãn phương trình thì

phương trình sẽ có nghiệm x thỏa mãn cos 3

2

x  hay phương trình đưa về phương trình tích có chứa thừa số (2cosx  3)

+ Thử với giá trị bù của nó: 5

6

x  , nếu thỏa mãn phương trình sẽ có

nghiệm x thỏa mãn sin 1

2

x  hay phương trình có thể đưa về phương trình tích với một thừa số là (2sinx 1)

+ Thử với giá trị hơn (kém) của nó là 7

6

x  hoặc 5

6

x  nếu thỏa mãn phương trình thì f(x) có thể đưa về dạng tích có chứa thừa số ( 3 tanx 1)

VD14: Giải phương trình: sinx+4cosx=2+sin2x

(ĐH Khối A, A1 năm 2014) HD: Chọn SHIFT MODE 3 (chọn đơn vị đo độ).

Nhập phương trình đã cho vào máy, ấn SHIFT SOLVE, máy hỏi x?, ta nhập x=30, máy cho ta kết quả nghiệm là x= 60 (độ), thử với x=-60 cũng là

nghiệm của pt, tức là cos 1

2

x  Như vậy khi biến đổi phương trình về dạng phương trình tích ta sẽ có thừa số là (2cosx-1)

Ta có pt đã cho tương đương với:

(sinx-2).(2cosx-1)=0 cos 1 2

     , kZ

VD15: Giải phương trình: 2(sinx 2cos ) 2 sin 2  x   x

(ĐH Khối B năm 2014)

HD:

Tương tự như VD trên dùng máy tính bỏ túi ta tìm được hai nghiệm của

pt là x=1350 và x=-1350, do đó phương trình tích sẽ chứa thừa số

Ta có

2(sinx 2cos ) 2 sin 2 2(sinx 2cos ) 2 2sin cos

1 ( 2 sinx 2)(2cos 1) 0 cos

2 3

2 , 4

VD16: Giải phương trình: 1 t anx 2 2 sin( )

4

x 

(ĐH Khối A, A1 năm 2013)

HD: Dùng MTBT ta thử thấy pt có hai nghiệm

3

x , như vậy pt sẽ chứa thừa số (2cosx-1) Đ/k: cosx 0

1 t anx 2 2 sin( ) 1 s inx 2(s inx cos )

x



sinx cos 0 (sinx cos )(2cos 1) 0 1

cos

2

x

x







Từ đó ta sẽ tìm được công thức nghiệm của pt

VD17: Giải phương trình 3 sin 2x c os2x=2cosx-1

( ĐH Khối A, A1 năm 2012) HD: Dùng MTBT ta thu được 2 nghiệm

2

x ,

2

x do đó dự đoán phương trình có nghiệm x sao cho: cosx=0, do đó phương trình chứa thừa số ( cosx) Vậy ta nên kết hợp hai số hạng nào với nhau để có thừa số (cosx) từ đó

ta phân tích được

1 cosx=

2 ( 3 s inx+cosx-1)cosx=0

3 s inx+cosx=1











Từ đó ta giải được phương trình như trên

VD18: Giải phương trình 1 sin 2 2 ox2x 2 sinxsin2x

1+cot

x c x



( ĐH Khối A năm 2011)

HD: Dùng MTBT, thu được 2 nghiệm

2

x ,

2

x do đó dự đoán phương trình có nghiệm x sao cho: cosx=0 , do đó phương trình chứa thừa số ( cosx) Vậy ta nên kết hợp hai số hạng nào với nhau để có thừa số (cosx) từ đó ta phân tích được

cosx=0 (s inx+cosx- 2)cosx=0

s inx+cosx= 2



 



f Phương trình mũ và logarit.

f1 Phương trình mũ.

a Phương trình mũ cơ bản: a x b (0 a 1) log

log

log

a

b

a