Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ
Trang 1Nguyễn Phi Hùng - Võ Thành Văn Đại học Khoa học Huế
**************
Phương pháp đặt ẩn phụ
trong giải phương trình vô tỷ
A Lời nói đầu
Qua bài viết này chúng tôi muốn giới thiệu cho các bạn một số kĩ năng đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ Như chúng ta đã biết có nhiều trường hợp giải một phương trình vô tỷ mà ta biến đổi tương đương sẽ ra một phương trình phức tạp , có thể là bậc quá cao Có lẽ phương pháp hữu hiệu nhất để giải quyết vấn đề này chính là đặt ẩn phụ để chuyển về một phương trình đơn giản và dễ giải quyết hơn
Có 3 bước cơ bản trong phương pháp này :
- Đặt ẩn phụ và gán luôn điều kiện cho ẩn phụ
- Đưa phương trình ban đầu về phương trình có biến là ẩn phụ
Tiến hành giải quyết phương trình vừa tạo ra này Đối chiếu với điều kiện để chọn ẩn phụ thích hợp
- Giải phương trình cho bởi ẩn phụ vừa tìm được và kết luận nghiệm
* Nhận xét :
- Cái mấu chốt của phương pháp này chính là ở bước đầu tiên Lí do là nó quyết định đến toàn
bộ lời giải hay, dở , ngắn hay dài của bài toán
- Có 4 phương pháp đặt ẩn phụ mà chúng tôi muốn nêu ra trong bài viết này đó là :
+ PP Lượng giác hoá
+ PP dùng ẩn phụ không triệt để
+ PP dùng ẩn phụ đưa về dạng tích
+ PP dùng ẩn phụ đưa về hệ
Trang 2B Nội dung phương pháp
I Phương pháp lượng giác hoá :
1 Nếu |x|a thì ta có thể đặt xasint,t
2
; 2
hoặc xacost,t 0;
Ví dụ 1 : Giải phương trình: 1 1 x2 x( 1 2 1 x2 )
Lời giải : ĐK :|x| 1 Đặt
2
; 2 ,
t t
x Phương trình đã cho trở thành :
2
cos 2
3 sin 2 2 sin sin 2 cos 2 ) cos 2 1 ( sin
cos
3
4 6
) 1 2 ( 2
1 2
3 sin
0 2
cos 0
) 1 2
3 sin 2
(
2
t
t t
t
Kết hợ p với điều kiện của t suy ra :
6
t
Vậy phương trình có 1 nghiệm :
2
1 6
sin
x
3
2 ) 1 ( ) 1 ( 1
1
2 3
3
2 x x x
Lời giải : ĐK : |x| 1
Khi đó VP > 0
Nếu x 1 ; 0: ( 1 x) 3 ( 1 x) 3 0
Nếu x 0 ; 1 : ( 1 x) 3 ( 1 x) 3 0
Đặt x cos t, với 0;2
t ta có :
t t
t t
t t
t
sin 2 sin 2
1 1 cos 6 2 sin 2 2
sin 2
cos 2
cos 2
sin
6
6
1 cos 0 sin 2 1
cos
Vậy nghiệm của phương trình là
6
1
x
Ví dụ 3 : Giải phương trình:
x
x x
x x
x
2 1
2 1 2 1
2 1 2 1 2 1
Lời giải : ĐK :
2
1
|
|x
Đặt 2xcost,t 0;
phương trình đã cho trở thành :
sin
4 sin
1 2 2
cot 2 tan 2 2
cos
2
2
t t
t an t
t t
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 0
Trang 3Ví dụ 4 (THTT): Giải phương trình: x3 3x x 2 (1)
Hướng dẫn :
Nếu x 2: phương trình không xác định
Chú ý với x 2ta có : x3 3xxxx2 4x x 2
Vậy để giải phương trình (1) ta chỉ cần xét với x2;2
Đặt x2cost,t 0;
khi đó phương trình đã cho trở thành :
2 cos 3
2 Nếu |x| athì ta có thể đặt :
0 , 2
; 2
,
t
a
2
;
; 0 , cos
t
a
Ví dụ 5 : Giải phương trình: 1
1
1 1
2
2
x x
Lời giải : ĐK :|x| 1
2
; 2
,
sin
t
t
x
Phương trình đã cho trở thành :
sin
1 cos cos cot
cos 1
cot
1
sin
t t t ant
t ant
t
12 2
1
2
sin
0
cos
kết hợp với điều kiện của t suy ra
12
t
Vậy phương trình có 1 nghiệm : 2 3 1
12 sin
x
x a
1
1
2 2
Ví dụ 6 : Giải phương trình: 2
9
3
2
x
x x
Lời giải : ĐK : |x| 3
2 ,
; 0 ,
cos
t
x , phương trình đã cho trở thành :
2 3 4 cos
3 4
1 2 sin 2
sin 2 2 sin 1 2 2 sin
1
cos
x t
t t
t t
a x
ax
2
2 với a, blà các hằng số cho trước
2
; 2 ,
t t
x để đưa về phương trình lượng giác đơn giản hơn :
Ví dụ 7 : Giải phương trình: x3 3 3x2 3x 3 0 (1)
Trang 4Lời giải :
Do
3
1
x không là nghiệm của phương trình nên (1) 3
3 1
3
2
3
x
x
2
; 2 ,
t
t
x , Khi đó (2) trở thành :
3 9 3
3
k t
9
7 tan
; 9
4 tan
; 9
x x
x
Ví dụ 8 : Giải phương trình:
2 2 2
2
1 2
1 2
1 1
x x
x x
x x
Lời giải : ĐK : x x0 ; 1
Đặt
4
; 0 , 2
; 2 ,
x , phương trình đã cho trở thành :
0 1 2 cos 2 cos sin 2 0 2 cos sin 2
1 sin
2
1 1 cos
1 4
sin
2 2
sin
1
cos
t t t
t t
t
t
2 6
2 2 2
1 sin
1 sin
0 sin 0
sin 2 sin 1 sin 0 sin 2 sin
2
1
sin
k t
k t
t t
t t
t t
t t
t
Kết hợp với điều kiện suy ra :
6
t
Vậy phương trình có 1 nghiệm :
3
1 6
tan
x
4 Mặc định điều kiện : |x| a Sau khi tìm được số nghiệm chính là số nghiệm tối đa của phương trình và kết luận :
Ví dụ 9 : Giải phương trình: 3 6x 1 2x
Lời giải :
Phương trình đã cho tương đương với : 8x3 x6 1(1)
Đặt xcost,t 0; , Lúc đó (1) trở thành : t t k kZ
3
2 9 2
1 3
9
7 cos
; 9
5 cos
; 9
S
Vậy nghiệm của phương trình đã cho có tập nghiệm chính là S
II Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để
* Nội dung phương pháp :
Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai với ẩn là ẩn phụ hay là ẩn của phương trình đã cho : Đưa phương trình về dạng sau : f x .Q x f x P x.x
khi đó :
Đặt f x t t, 0 Phương trình viết thành :t2 t.Q x P x 0
Đến đây chúng ta giải t theo x Cuối cùng là giải quyết phương trình f x t sau khi đã đơn giản hóa
và kết luận
Ví dụ 10 : Giải phương trình 2 2x 4 4 2 x 9x2 16 (1)
Lời giải : ĐK : |x| 2
Trang 5Đặt t 24 x2
Lúc đó :(1) 42x 4 16 24 x2 162 x 9x2 16 84 x2 16 24 x2x2 8x Phương trình trở thành :4t2 16tx2 8x 0
Giải phương trình trên với ẩn t , ta tìm được : 4
2
;
2 2
1 x t x
t
Do |x| 2 nên t2 0 không thỏa điều kiện t 0
Với
2
x
3
2 4 4
8
0 2
4
x x
x x
Ví dụ 11 :Giải phương trình x2 x 12 x 1 36
Lời giải : ĐK : x 1
Đặt t x 1 0 ,phương trình đã cho trở thành :
x
t t
t
xt2 12 360 66
* Với
x
t
t 66 , ta có :x t6 6 (vô nghiệm vì :VT VP0 ; 0)
* Với
x
t
t 66 , ta có :6(6x) t
Do x 6 không là nghiệm của phương trình nên :
x
x x
t
6
6 1 6
6
Bình phương hai vế và rút gọn ta được : x 3(thỏa mãn)
Tổng quát: Giải phương trình: x2 ax 2b xa b2
Ví dụ 12 : Giải phương trình: 3 2x2 1 1 x1 3x 8 2x2 1
Lời giải :
Đặt 2x2 1 t 1
Phương trình đã cho viết thành :
3t x t2 x2 xt t2 x t x2 x
Từ đó ta tìm được
3
x
t hoặc t 1 3x
Giải ra được : x 0
* Nhận xét : Cái khéo léo trong việc đặt ẩn phụ đã được thể hiện rõ trong ở phương pháp này và cụ thể
là ở ví dụ trên Ở bài trên nếu chỉ dừng lại với việc chọn ẩn phụ thì không dễ để giải quyết trọn vẹn nó Vấn đề tiếp theo chính là ở việc kheo léo biến đổi phần còn lại để làm biến mất hệ số tự do , việc gải quyết t theo x được thực hiện dễ dàng hơn
Ví dụ 13 : Giải phương trình: 2008x2 4x 3 2007x 4x 3
Lời giải : ĐK :
4
3
x
Đặt 4x 3 t 0phương trình đã cho trở thành :2008x2 2007xtt2 0
Giải ra : xthoặc
2008
t
x (loại)
* xtta có :
3
1 0
3 4
2
x
x x
x
Vậy x x1 , 3 là các nghiệm của phương trình đã cho
Ví dụ 14 : Giải phương trình: 4x 1 x3 1 2x3 2x 1
Trang 6Lời giải : ĐK : x 1
Đặt t x3 1,Phương trình đã cho trở thành 2t2 1 2x 1 4x 1t 2t2 4x 1t 2x 1 0
Phương trình trên đã khá đơn giản !!!!!!!
III Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về dạng tích
1 Dùng một ẩn phụ
Ví dụ 15 : Giải phương trình:
4
9 2
3
2 x
Lời giải : ĐK :
2
3
x
2
3
x phương trình (1) trở thành :
2 0 1 3
0 0
1 3 4
9
2
3
3 3
2
2
t t
t t
t t t t
(2) giải đựoc bằng cách áp dụng phương pháp I :
Đặt x 2 cost,t 0 ; để đưa về dạng :
2
1 3 cos t
Tổng quát: Giải phương trình:x2 xa a2 với a là hắng số cho trước
Ví dụ 16 :Giải phương trình: x3 3x2 2 x 23 6x 1
Lời giải : ĐK : x 2
Viết lại (1) dưới dạng : x3 3xx 2 2 x 23 0 2
Đặt t x 2 0, Khi đó (2) trở thành :
2 2
2 2
0 2 0
2
3
x x
x x t
x
t x t
x t x t
xt
x
3 2 2 2 0
8 4 0
0 2 0
2
2
x x x
x x
x x x
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm :x x2 , 2 2 3
Ví dụ 17 : Giải phương trình : x 5 x 1 0
Lời giải : ĐK :x 1 ; 6 (1)
Đặt t x 1 0 (2) , phương trình đã cho trở thành :
5
5
2 t
t (3)t4 10t2 t 20 0 t2 t 4t2 t 5 0
Đối chiếu với hai điều kiện (1) và (2) thay vào và giải ra :
2
17
11
x
Ví dụ 18 : Giải phương trình: 2
1 1
2006
x
Lời giải : ĐK : x 0;1 (1)
Đặt t 1 x 0 t 1, Khi đó : 2 22
1 ,
x ,phương trình đã cho trở thành :
1 t2 2006 1 t2 1 t 2 1 t 2 1 t 2 2007 t2 1 t 2 2 1 t 2t2 t 1003 0
Vì 0 t 1 nên t2 t 1003 0
Do đó phương trình tương đương với :t 1 0 t 1
Do vậy x 0 (thỏa (1))
Trang 72 Dùng 2 ẩn phụ
Ví dụ 19 : Giải phương trình: 4x2 5x 1 2 x2 x 1 9x 3
Lời giải :
Đặt a 4x2 5x 1 ;b 2 x2 x 1
3
2
2
65
560 3 1
2 9 2
3 9 3 1 0
1
0
x x x
x a
x b a
x b
a
b
a
Vậy tập nghiệm của pt là
65
56
; 0
; 3
1
S
Ví dụ 20 : Giải phương trình: 2x2 3x 2 3 x3 8 (1)
Lời giải : ĐK :
2
1 2
x
x
(*) Đặt u x2 2x 4 ,v x 2ta có :u2 v2 x 3x 2
Lúc đó (1) trở thành :2u2 v2 3uv2uvu 2v 0 u 2v (Do 2u v 0)
Tìm x ta giải : x2 2x 4 2 x 2 x2 6x 4 0 x 3 13 (Thỏa (*))
Vậy (1) có 2 nghiệm : x1,2 3 13
Ví dụ 21 : Giải phương trình: 5x2 14x 9 x2 x 20 5 x 1
Lời giải : ĐK : x 5
Chuyển vế rồi bình phương hai vế phương trình mới ,ta có:
x 15x 9 x2 24x 5 10 x 4x 5x 1 2x2 4x 5 3x 4 5 x2 4x 5 x 4 0 (2) Đặt u x2 4x 5 ,v x 4 ,u,v 0,thì :
0 56 25 4
0 9 5 3
2 0 3 2 0
5 3
2 2
2
x x
x x v
u
v u v
u v u uv
v
u
Giải ra ta được 2 nghiệm thỏa mãn : ; 8
2
61 5
2
1 x
x
Ví dụ 22 : Giải phương trình: x4 x1 x2 4 1 x3 1 x 4 x3 4 x21 x
Lời giải : ĐK : 0 x 1
Đặt :
1 0
0
4
4
v u v
u x
v
x
u
Từ phương trình ta được :
1
0 0
1
2 3 2 3
2
2
v u
v u v
u v u v u v u u v v
uv
từ đó ta giải ra được các nghiệm :
2
1
; 1
;
x
3 Dùng 3 ẩn phụ
Ví dụ 23 : Giải phương trình: 3 7x 1 3 x2 x 8 3 x2 8x 1 2
Trang 8Lời giải :
Đặt a 3 7x 1 ,b 3 x2 x 8 ,c 3 x2 8x 1ta có :
2 8 1 8 8
1 7
1 8 2
2 2
3
3
3
3
x x x
x x
c
b
a
c b a c
b a
Từ (1) và (2) ta có :abc3 a3 b3 c3 3abbcca 0
Nên :
a c
c b
b a a
c c b
b
từ đó dễ dàng tìm ra 4 nghiệm của phương trình :S 1 ; 0 ; 1 ; 9
Ví dụ 24 : Giải phương trình: 3 3x 1 3 5 x 3 2x 9 3 4x 3 0 (1)
Lời giải :
Đặt a 3 3x 1 ,b 3 5 x,c 3 2x 9 ,ta có: a3 b3 c3 4x 3
khi đó từ (1) ta có :abc3 a3 b3 c3 abbcca 0
Giải như ví dụ 23 suy ra được 3 nghiệm của phương trình :
5
8
; 4
;
x
IV Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về hệ
1 Dùng ẩn phụ đưa về hệ đơn giản giải bằng phép thế hoặc rút gọn theo vế
a Dùng một ẩn phụ
Ví dụ 25 : Giải phương trình: x2 x 5 5
Lời giải : ĐK : x 5
Đặt t x 5 ,t 0 Ta có :x t2 5
2
21
1 2
21 1
1 5 0 5 0
1
5 0
5 5
5
2
2 2
2 2
2 2
2
x
x t
x
t x
t x
t x t
x t x
t x x
t t x
t x x
t
t
x
Tổng quát: Giải phương trình: x2 xa a
b Dùng 2 ẩn phụ
* Nội Dung : m a f x n b f x c
* Cách giải :
Đặt : u m a f x ,vn b f x
Như vậy ta có hệ :
b a v u
c v u
n m
Ví dụ 26 : Giải phương trình: 4 57 x 4 x 40 5 (1)
Lời giải : ĐK : 40 x 57
Đặt u 4 57 x ,v 4 x 40
0 528 10
2
5 97
2 2
5 97
5
2 2
2 2 2
4
v u v
u uv v
u
v u v
u v u
Trang 9
2 3 3 2 6
5 44
65
v u v u uv
v u uv
uv v
u
(Do hệ
44
5
uv
v u
vô nghiệm)
Đến đây chỉ việc thay vào để tìm nghiệm của phương trình ban đầu
Ví dụ 27 : Giải phương trình:
4
4
2
1 1
2 x x
Lời giải : ĐK :0 x 21
Đặt :
v x
u x
4
1
4 2 1 0
1 2 0
v
Như vậy ta được hệ :
) 1 ( 1 2 2
1
2 1
1 2
2
1
4 2 4
4 4
2
4
v v
v u
v
u
v
u
2
3 2
4 1 0
2
1 1 0
2
1
2 4
2
Vậy v1,2thỏa (*) chính là 2 nghiệm của phương trình đã cho
Ví dụ 28 : Giải phương trình: 2 2
1 1
4
7
x x
Lời giải :
(*) 1 4
7 1
1 1
4
7 1 4 7
1 1
0
4 4
4
z y y
x z
y
z y x
z
x
y
Giải phương trình (*),ta có:
16 9 0 4
3
0 0
4
3 4
2
x
x y
y y
y
2 Dùng ẩn phụ đưa về hệ đối xứng
Dạng 1 :Giải phương trình: x nba n axb
Cách giải: Đặt tn axbta có hệ :
ax b t
at b x
n
n
Việc giải hệ này đã trở nên dễ dàng
Ví dụ 29 : Giải phương trình: x3 1 2 3 2x 1
Lời giải :
Đặt : t 3 2x 1ta có hệ :
0 2
2 1 2
2 1 2
1
2 1
2 2
3 3
3
3 3
3
tx t x t x
t x
x t t x
t x
x t
t x
2
5 1
1 0
4
0 1 1
2 0 2
2 1
1 0 1 2
2
2
2
3
3
x
x t
x x t
x x x tx
t
x
t x
x x
t x
Trang 10Vậy tập nghiệm của phương trình là :S 1;12 5
Dạng 2 : Giải phương trình: xa a x
Cách giải : Đặt ta x,phương trình đã cho tương đương với
x a t
t a x
Ví dụ 30 : Giải phương trình: x 2007 2007 x
Lời giải : ĐK : x 0
Đặt :t 2007 x (1), PT
Lấy (3) trừ (2) ta được :xt t x t x t x 1 0 xt
(1)
4
8029 2 8030 0
Dạng 3 : Chọn ẩn phụ từ việc làm ngược :
Ví dụ 31 : Giải phương trình: x2 2x 2 2x 1
Lời giải : ĐK :
2
1
x
Đặt 2x1 ayb
Chọn a, b để hệ :
1 2
2 2
2 2
x b ay
b ay x x
, 1 2
1
y
x (*) là hệ đối xứng
Lấy a b1 , 1ta được hệ :
0
1 2 2 1
2 2
1 2 2
2 2
2 2
2
y x
y x x x
y y
y x x
Giải hệ trên ta được : x y 2 2
Đối chiếu với điều kiện của hệ (*) ta được nghiệm duy nhất của phương trình là : x 2 2
Dạng 4 :
Nội dung phương pháp :
Cho phương trình : n axb cdxen x
với các hệ số thỏa mãn :
bc e
ac d
Cách giải :
Đặt dyen axb
Ví dụ 32 : Giải phương trình: 7 7
28
9
4x x2
Lời giải : ĐK :
4
9
x
PT
4
7 2
1 7 28
9
- Kiểm tra :
4
7 ,
0 , 2
1 , 1 , 7 , 28
9 , 7
2
1 4
9 4
7 7 7 28
9 4 4
1 28
9 4 2
Trang 11Mặt khác : y 7x 7x
2
1 2
Từ (1) và (2) ta có hệ :
x x y
y y x
7 7 2 1
7 7 2 1
2
2
Đây là hệ đối xứng loại II đã biết cách giải
Ví dụ 33 : Giải phương trình: x2 6x 3 x 3 ,x 3
Lời giải :
PT x 32 6 x 3
- Kiểm tra : a1,b3,c1,d 1,e3,0, 6
Đặt : y 3 x 3 y2 6y 9 x 3 x 3 y2 6y 3 (1)
Mặt khác : y 3 x2 6x 3 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ :
3 6
3
3 6
3
2
2
x x
y
y y
x
Đến đây đã khá dễ dàng
Ví dụ 34 : Giải phương trình: 3 3x 5 8x3 36x2 53x 25
Lời giải :
PT 3 3x 5 2x 3 3 4x2 3 3 9 2x 27 x 2 3 3x 5 2x 33 x 2
- Kiểm tra : a 3 ,b 5 ,c 1 ,d 2 ,e 3 , 1 , 2(thoả mãn)
Đặt : 2y 3 3 3x 5 8y3 36y2 54y 27 3x 5 8y3 36y2 53y 25 3xy 3 (1)
Mặt khác : 8x3 36x2 53x 25 2y 3 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ :
3 2 25 53 36
8
3 3
25 53 36
8
2
3
2
3
y x
x
x
y x y
y
y
Giải hệ trên đã thật đơn giản !!!!!!!!!
Huế , ngày 15 tháng 4 năm 2007