“PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM [PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ] SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ( NĂM HOC 2014 – 2015 ) TÊN ĐỀ TÀI “PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ”  Giáo viên thực hiện: Trần Minh Tuấn  Đơn vị: Tổ Toán _ THPT Bà Rịa A PHẦN MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài: Cơ sở lý luận: Căn công văn số 3399/CT-BGDĐT ngày 16 tháng năm 2010 Bộ Giáo Dục Đào Tạo; Căn phương hướng, nhiệm vụ trọng tâm ngành Giáo Dục Đào Tạo tỉnh Bà Rịa-Vũng Tàu năm học 2014 – 2015; Sở Giáo Dục Đào Tạo hướng dẫn đơn vị thực công tác xây dựng đề tài nghiên cứu khoa học Cơ sở thực tiễn: Phương trình vô tỷ xem phần kiến thức quan trọng chương trình toán THPT, thường xuất đề thi học sinh giỏi, đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng Hơn nữa, phần kiến thức khó, đòi hỏi em học sinh phải thực am hiểu có tinh tế việc lựa chọn phương pháp giải phù hợp với toán đặt Qua trình giảng dạy trường, khảo sát kết đợt thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm gần đây, nhận thấy đa số em học sinh gặp nhiều khó khăn, thường điểm tiếp xúc với toán giải phương trình vô tỷ, vậy, mạnh dạn viết đề tài với mong muốn giúp em học sinh hiểu rõ hơn, giảm bớt lúng túng đối diện với số dạng toán giải phương trình vô tỷ Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM [PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ] II Mục đích phƣơng pháp nghiên cứu: Mục đích nghiên cứu: * Giúp em học sinh hiểu sâu kiến thức phương trình vô tỷ Từ đó, em cảm thấy hứng thú yêu thích việc khám phá môn Toán phổ thông * Giúp em học sinh có thêm công cụ để giải số toán phương trình vô tỷ xuất đề thi Đại học, Cao Đẳng * Nguồn tài liệu để quý thầy, cô giáo phát triển, nâng cao kiến thức cho đối tượng em học sinh khá, giỏi Phương pháp nghiên cứu: Đề tài thực chủ yếu dựa trên: - Phương pháp nghiên cứu lý luận - Phương pháp khảo sát thực tiễn - Phương pháp phân tích, tổng hợp - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm III Giới hạn đề tài: Đề tài khai thác phương pháp số phương pháp giải phương trình vô tỷ Hơn nữa, đề tài không trình bày toàn kiến thức lý thuyết mà tổng hợp số kỹ thông qua toán cụ thể Những nội dung kiến thức trình bày Đề tài nội dung mở rộng, mang tính chất chuyên sâu, phù hợp với đối tượng học sinh khá, giỏi, Ôn luyện thi Đại học, Cao đẳng IV Các giả thiết nghiên cứu: Tổng hợp hệ thống hóa kiến thức, kỹ Trên sở đó, đưa nhận định phương pháp giải phù hợp với dạng toán Bên cạnh đó, tập hợp, xếp toán, đề thi năm gần cách logic nhằm rèn luyện kỹ vận dụng cho học sinh Các giả thuyết, ứng dụng chuyên đề tổng hợp kiến tạo từ nhiều nguồn tài liệu khác V Kế hoạch thực hiện: - Lựa chọn đề tài Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM [PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ] - Xây dựng đề cương chi tiết - Hoàn thiện nội dung đề tài - Tiến hành giảng dạy khảo sát kết số lớp khối 10 trường THPT Bà Rịa - Nghiệm thu đề tài B PHẦN NỘI DUNG I Thực trạng mâu thuẫn: Trong đề thi Đại học, Cao Đẳng năm gần đây, thường xuất mảng kiến thức phương trình, bất phương trình, hệ vô tỷ, thí sinh gặp không khó khăn toán này, đòi hỏi học sinh phải biết tư nhanh thành thạo kỷ định Những kiến thức, kỷ mà học sinh thu nhận SGK kiến thức, kỷ Vì thế, để đạt điểm cao kỳ thi, hay để trở thành học sinh giỏi Toán, thực đam mê môn học đòi hỏi học sinh phải biết tìm tòi, sáng tạo thông qua nhiều nguồn tài liệu khác Hiện nay, thị trường có nhiều nguồn tài liệu, sách tham khảo gây không khó khăn cho em việc sàng lọc, tiếp thu Đứng trước thực trạng trên, viết đề tài với mong muốn đóng góp tài liệu thiết thực giúp em học sinh có thêm nguồn tham khảo II Các biện pháp giải quyết: - Nhận diện kiến thức, kỷ giải dạng toán - Đưa số ví dụ mẫu để hiểu rõ kỹ giải - Hệ thống tập tương tự để thực hành III Hiệu áp dụng: IV Sơ lƣợc nội dung: Như biết có nhiều trường hợp giải phương trình vô tỷ mà ta biến đổi tương đương dẫn đến phương trình phức tạp, khó nhận hướng giải Việc đặt ẩn phụ thích hợp nhằm chuyển phương trình ban đầu phương trình đơn giản giải cách dễ dàng phương pháp hữu hiệu toán giải phương trình vô tỷ Chuyên đề muốn giới thiệu đến bạn số dạng phương trình vô tỷ mà việc giải dựa phương pháp đặt ẩn phụ Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM [PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ] Có bƣớc phƣơng pháp này: Bước 1: Đặt ẩn phụ gán điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) Đây bước quan trọng việc chọn ẩn phụ thích hợp định đến toàn lời giải toán Bước 2: Đưa phương trình ban đầu phương trình theo biến (ẩn phụ) tiến hành giải phương trình vừa tạo Đối chiếu với điều kiện để chọn giá trị ẩn phụ Bước 3: Giải phương trình cho ẩn phụ vừa tìm kết luận nghiệm phương trình ban đầu Có phƣơng pháp đặt ẩn phụ thông dụng mà chuyên đề muốn nêu ra, là:     Phƣơng pháp đặt ẩn phụ triệt để Phƣơng pháp đặt ẩn phụ không triệt để Phƣơng pháp đặt ẩn phụ biến đổi dạng tích Phƣơng pháp đặt ẩn phụ đƣa dạng hệ phƣơng trình Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM [PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ] Phƣơng pháp đặt ẩn phụ triệt để: Đối với nhiều phương trình vô tỉ, để giải đặt t  f  x  ý điều kiện t Nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa biến t , quan trọng ta giải phương trình theo t việc đặt phụ xem “triệt để” Một vài lưu ý:  Nếu toán có chứa f  x  f ( x) đặt t  f  x   Nếu toán có chứa đặt : t  k t f ( x)  g ( x) ; f ( x).g ( x) f ( x)  g ( x)  k f  x  , suy g ( x)   Nếu toán có chứa đặt: t  f  x  ; g  x  , f  x  g  x   k (với k số) f ( x)  g ( x) suy  Nếu toán có chứa f ( x).g ( x)  t2  k a  x đặt x  a sin t với  với  t   x  a đặt x   Nếu toán có chứa x  t   x  a cos t a    với t    ;  \ 0 sin t  2 a   với t   0;   \   cos t 2  Nếu toán có chứa    x  a ta đặt x  a tan t với t    ;   2 A BÀI TOÁN MẪU Bài toán 1: Giải phƣơng trình sau: x  x2   x  x2   Lời giải: Điều kiện: x  Trước tiên ta có nhận xét : x  x  x  x   1 Từ ta chọn đặt t  x  x  đưa đến phương trình dạng: t    t  t Thay vào tìm nghiệm x  phương trình Nhận xét: Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM [PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ]  Việc chọn đƣợc lƣợng ẩn phụ toán nhờ vào nhận xét x  x2  x  x2    Đối với toán bình phương hai vế phương trình Lời giải ngắn gọn Bài toán 2: Giải phƣơng trình sau: x2  x2  11  31 Lời giải: Đặt: t  x  11 , t  Khi phương trình cho trở thành: t  t  42   t  * x  11   x  5 Nhận xét:  Bài toán giải nhờ việc lấy bình phương hai vế, nhiên lời giải cồng kềnh xuất phương trình bậc đầy đủ  Trong toán việc nhận lượng chọn làm ẩn phụ t không khó, nhận xét: x2  x2  11  11 Bài toán 3: Giải phƣơng trình sau: (x  5)(x  2)  x2  3x Lời giải: pt  x  3x  x  3x  10  Đặt: t  x  3x , t  Pt cho trở thành: t  3t  10   t  Khi đó: x  3x   x  3x  25   x  3  109 Nhận xét:  Nếu bình phương hai vế dẫn đến phương trình bậc cồng kềnh  Trong toán để nhận lượng chọn làm ẩn phụ t ta cần phân tích   (x  5)(x  2)  x2  3x  10 Bài toán 4: Giải phƣơng trình:  x   x   (3  x)(6  x) Lời giải: Đặt: t   x   x  t   (3  x)(6  x) (*) p dụng BĐT Côsi ta có: (3  x)(6  x)  nên từ (*)   t  t2   t  2t    t  Phương trình cho trở thành: t   Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM [PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ]  x  3 (3  x)(6  x)     x6 Nhận xét: Trong toán này, việc chọn lượng làm ẩn phụ thích hợp nhờ nhận xét: Khi đó: t   x   x  t2     x   x  Bài toán 5: Giải phƣơng trình: 2x   x   3x  (2x  3)(x  1)  16 Lời giải: ĐK: x  1 Đặt: t  x   x  1, t   t  3x  (2 x  3)( x  1)  (*) Khi phương trình trở thành: t  t  20  t  t  20   t  1  x   2 441  126 x  x  x  20 x  12 Thay t  vào *) ta được: 21  3x  2 x  5x    1  x     x  146 x  429   x  nghiệm phương trình cho Nhận xét: Trong toán này, việc chọn lượng làm ẩn phụ thích hợp nhờ nhận xét: t  2x   x   t  3x   2x   x  1  Từ ta tổng quát hóa phương trình: ax  b  cx  d   a  c  x  ax  b cx  d   e Bài toán 6: Giải phƣơng trình: x3   2(x2  2) Lời giải: Điều kiện : x  1 Ta có: Pt  ( x  1)( x  x  1)  2( x  x  1)  2( x  1) x 1 x 1 5   (Do x  x   0, x) x  x 1 x  x 1 t  x 1 , t  , ta có pt: 2t  5t     Đặt: t  x  x 1 t  x 1 *t     x  x   : pt vô nghiệm x  x 1 x 1  37   x  5x    x  *t   2 x  x 1 2 Nhận xét: Trong toán cần khéo léo việc phân tích Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM [PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ]   x3   (x  1)(x2  x  1) x2   2(x2  x  1)  2(x  1) Qua chọn lượng ẩn phụ thích hợp   Bài toán 7: (THTT 3-2005) Giải phƣơng trình: x  2004  x   x Lời giải: Điều kiện:  x  Đặt y   x Ta có phương trình 1  y  y   y  1002    y  Tiếp tục giải ta có nghiệm phương trình ban đầu x = Bài toán 8: Giải phƣơng trình: x3  1  x   x  2x (1) Lời giải: ĐK: x  (*)   t   Do x  nên đặt x  cos t Khi ta có phương trình: cos3 t  1  cos t   cos t 1  cos t   2 Biến đổi phương trình 2) thành:  3  4 sin t  cost   cost  sin t 1  sin t cos t   cos t sin t   sin t  cost    Giải phương trình 3) kết hợp với điều kiện t   0;  ta có: t   Từ có x  cos   (nhận)   1 Xét phương trình 4): sin t  cost     sin  t    Từ có: 4  2 1     cos  t      sin  t      cos t  sin t   2  4 4   Từ 4) 5) ta có: cos t   1  2 1 x Trang 5 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM [PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ] Vậy nghiệm phương trình (1) : x   1  2 1 x  2 Nhận xét:  Nếu sử dụng ẩn phụ t   x , gặp phải khó khăn biến đổi đại lượng x x3 theo ẩn  Bằng việc sử dụng ẩn phụ t thỏa x  cos t giúp ta biến đổi phương trình ban đầu phương trình dạng lượng giác, mà cách giải đơn giản Bài toán 9: Giải phƣơng trình: x3  3x2  3x   (1) Lời giải: Nhận xét x   không thỏa phương trình 1) 3x  x Viết lại phương trình 1):   3x Đặt x  tan t  2    t   ;   2   k Khi ta có phương trình: tan3t   t      2 Kết hợp với điều kiện t    ;  ta có: t   k  Z  2 7 ;t ;t 9  Từ có nghiệm phương trình x  tan ; x  tan Bài toán 10: Giải phƣơng trình:  2 7 ; x  tan 9  x2  x2  x 1   2x 2x  x Lời giải: Điều kiện: x  0;x  1 Trang   (1) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM [PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ]        t    ;  \  ;0;  Khi ta có phương trình:  2   4 Đặt x  tan t; 1  1      1     sin t 1  sin t  2sin t   cos t sin 2t sin 4t cos t  2sin t 2sin t.cos2t    Giải được: t    k2; t   k2 Kết hợp với điều kiện ta có: t   Từ có nghiệm phương trình (1) x  Qua ví dụ ta thấy việc chọn biểu thức làm ẩn phụ mấu chốt toán Để chọn biểu thức đặt ẩn phụ thích hợp sau đặt ta phải biểu diễn biểu thức chứa x khác phương trình đ cho qua ẩn phụ vừa đặt B BÀI TẬP RÈN LUYỆN Giải phƣơng trình sau 1) x   x  3x   2)   x  2x   3) x 35  x x  35  x  30 4) 4x  3x   x 5) x  1  x   HVQHQT  2001  x 1  x  6)  2x  x   2x 2 7)   x  1  x    1  x  8) 1 1 x2   1 x2 3  x      3 1  x   3   1 1 x2  9)  x   x  4  x  10  3x (Trích đề thi ĐH khối B – 2011) 10) Tìm m để phương trình x   m x   x  có nghiệm thực Trang 10 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM [PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ]   Cần khéo léo phân tích biểu thức 3x2  2x    x  1  x2  , từ chọn lượng ẩn phụ thích hợp Việc sử dụng hai ẩn phụ a, b giúp biến đổi phương trình đ cho trở nên đơn giản Bài toán 4: Giải phƣơng trình: x  14 x   x  x  20  x  (1) Lời giải: Đk x  Chuyển vế nâng bình phương hai vế, ta có: x  x    x  x  20   x  1  Ta viết lại phương trình: x  x    x    ( x  x  5)( x  4)  a  x  4x  Đặt   b  x   a  0;b   a  b a  2b Phương trình cho trở thành : 2a  5ab  3b2    a  b  2a  3b     Đến toán giải cách dễ dàng Nhận xét:   Không tồn số  ,  để : x  x    x  x  20    x  1 ta đặt u  x  x  20; v  x     Nhưng may mắn ta có : x  x  20  x  1   x  4 x   x  1   x  4 x  x  6x2  4x  Bài toán 5: Giải phƣơng trình:  2x2  x 1 Lời giải: ĐK: x  1 (*)   Viết lại PT (1)  x  1   x  1 2x   2x   Trang 17 (1)  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM [PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ]  x   a   2x   b  b   Đặt  a  2b  b  2a Phương trình cho trở thành : 2a  5ab  2b    a  2b  2a  b      x  1 a  2b  x   2x     x  7x  2x  11    x  1 4  14 b  2a  2x   x   x     2 2x  8x   Vậy nghiệm phương trình cho : x  Bài toán 6: Giải phƣơng trình: 4  14 x2  x  x  x  1 Lời giải: ĐK: x  (*) Viết lại PT (1)  2x  2  x   u Đặt   x  v x2    x2  7 x  u;v   Phương trình cho trở thành :  2v  uv    u   u   v  uv  2v  u    2v  u     2v  u  uv   x  3x   x  3x    x   x  2v  u  x   4x   x  Vậy tập nghiệm phương trình cho : S  1;3 Trang 18 (1) [PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ] SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Bài toán 7: Giải phƣơng trình:   x  2x    x2  x  (1) Lời giải: ĐK: x  (*) Viết lại PT (1)  x  3  2x   u Đặt   x  v 2x    x  5 x  u;v   Phương trình cho trở thành : v u  v  3 u   u  3 v   u  v  uv  3     uv   u  v  2x  x    x   uv   2x  7x     x  1  2x  2x     x  Vậy tập nghiệm phương trình cho : S  1 8x  4x  3 Bài toán 8: Giải phƣơng trình: x 3x  Lời giải:  4x  0  ĐK:  3x  (*) x    8x  **  x 0  PT (1)   2    4x   8x    9  ***  x   3x   4x   a Đặt  3x   b Trang 19 (1) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM [PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ]  4a  b  2a   a PT ***     4a  b ab       ab   b2  b     ab    4x  3  3x     x   ; ;1      649  649   4a  b  4x   3x   x  ;        32 32     Kết hợp điều kiện *) **) ta có tập nghiệm phương trình cho là:   649  649  S ; ;1 32  32  x3  14 x  3x  Bài toán 9: Giải phƣơng trình: 2 3 2x 1 x (1) Lời giải:  x  3x  0 x  3x  x  3x   2 ĐK:   x (*) PT (1)   x  x  x  2   x  3x   u Đặt  Phương trình trở thành : 1  x  v u  0 ** u4 u  2   v 1 v 1 v  uv   u  4v      uv    x  3x   1  x    x  x  1  x  2x  1   x  0;1; 1   u  4v  x  3x   1  x   x  7x   x  0;    Kết hợp điều kiện *) **) ta có tập nghiệm phương trình cho là:  S  0;1; 1  2; 1  2;  7;  Trang 20  [PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ] SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Bài toán 10: Giải phƣơng trình:   x  2x    x2  x  (1) Lời giải: ĐK: x  (*) Viết lại PT (1)  x  3  2x   u Đặt   x  v 2x    x  5 x  u;v   Phương trình cho trở thành :  u2    v  3 u     v   v2  3 u   u  3 v  uv  v  u   3 v  u     v  u   v  u  uv  3     uv   u  v  2x   x  2x  x    x   3  uv   2x  7x   2x  7x    x  1; 3;   2  Kết hợp với điều kiện x  ta có tập nghiệm phương trình 1) là: S  1 Bài toán 11: Giải phƣơng trình: 7x   x2  x   x2  8x   Lời giải: ĐK: x  R Đặt: a  7x  1; b  x  x  8; c  x  8x  , Ta có: a  b  c      Và a  b3  c3   7x  1  x  x   x  8x   Mặt khác:  a  b  c   (*) (**)   Từ *) **) ta có:  a  b  c   a  b3  c3   a  b  b  c  c  a  Trang 21 (1) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM [PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ] a  b Do đó:  a  b  b  c  c  a     b  c c  a Từ dễ dàng tìm tập nghiệm phương trình 1) là: S  1;0;1;9 Nhận xét: 3 Xuất phát từ đẳng thức  a  b  c   a  b  c  a  b b  c c  a  , Ta có a  b3  c   a  b  c    a  b  a  c  b  c   B BÀI TẬP RÈN LUYỆN Giải phƣơng trình sau: 6x  2x   1) 5x  5x  2x  1 5x  2)   3x  x   3) x   x3  4) x3  3x   x  2  6x  5) x2  x2   x  x  6) x  x  x   3x  x  7) 5x2  14 x   x  x  20  x  8) x  3x    9) 10) 3 x  x2  7x   x  x   x  8x   3x    x  2x   4x   Trang 22 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM [PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ] Phƣơng pháp: Đặt ẩn phụ chuyển dạng hệ phƣơng trình a) Dạng thông thƣờng: Đặt u    x  , v    x  tìm mối quan hệ   x    x  từ tìm hệ theo u,v Chẳng hạn, phương trình: m u  m a  f  x   a  f  x   m b  f  x   c ta đặt:  v  m b  f  x  u m  v m  a  b từ suy u  v  a  b Khi ta có hệ  u  v  c b) Dạng phƣơng trình chứa bậc hai lũy thừa bậc hai: d  ac   ax  b  c(dx  e)2   x   với  e  bc   m m Cách giải: Đặt: dy  e  ax  b phương trình chuyển thành hệ:  dy  e   ax  b  dy  e  ax  b     2   dy  e  c(dx  e)   x   c  dy  e    x  dy  e   Nhận xét: Dể sử dụng phương pháp cần phải khéo léo biến đổi phương trình ban đầu dạng thỏa mãn điều kiện để đặt ẩn phụ.Việc chọn  ;  thông thường cần viết dạng :  x     p n a ' x  b '   chọn n c) Dạng phƣơng trình chứa bậc ba lũy thừa bậc ba: d  ac   ax  b  c  dx  e    x   với  e  bc   Cách giải: Đặt dy  e  ax  b phương trình chuyển thành hệ:  dy  e 3  ax  b dy  e  ax  b   3 dy  e  c  dx  e    x   c  dx  e    x  dy  e   c  dy  e 3  acx  bc  c(dx  e)  (ac  d ) x  dy  bc A BÀI TOÁN MẪU Trang 23 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM [PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ] Bài toán 1: Giải phƣơng trình: 57  x  x  40  (1) Lời giải: ĐK: 40  x  57   57  x  u Đặt    x  40  v  u  v    4  u  v  97 2  uv   10uv  528  u  v  Ta có:   u  u  v   u  v    v      uv      u  uv     uv  44     v  Từ dẫn đến việc giải hệ   57  x  4   x  40    57  x     x  40  (Bạn đọc tự giải)   Bài toán 2: Giải phƣơng trình: x 25  x3 x  25  x  30 (1) Lời giải: ĐK: x  R Đặt y  35  x  x  y3  35  xy  x  y   30 3  x  y  35 Từ ta có hệ:  Giải hệ ta  x; y    2;3  x; y    3;2  Từ ta có nghiệm phương trình là: x 2;3 Bài toán 3: Giải phƣơng trình: x   x   Lời giải: ĐK: x  Đặt a  x  1; b   x  Trang 24  a  0;b  0 (1) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM [PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ] Từ ta có hệ: a  b     a  b  a  b  1   a  b    b  a  Từ đó: x 1 1   x 1  x 1   x  x  11  17 11  17 Vậy nghiệm phương trình là: x  Bài toán 4: (OLYMPIC 30.4 - 2009) Giải phƣơng trình: x3  3x2  3 3x    3x (1) Lời giải: ĐK: x  R Pt 1   x  1  3 3x   Đặt y   3x   3x    y  1 PT (1) trở thành:  x  1  3y  3   x  1  3y  Từ ta có hệ:    y  1  3x  Trừ vế theo vế hai phương trình ta có:  x  y   x  1 2   x  1 y  1   y  1  3   x  y  ( Do  x  1   x  1 y  1   y  1   0; x, y  R ) 2 x   x  2 Vậy ta có:  x  1  3x   x  3x     Vậy nghiệm phương trình cho : x  x  2 Bài toán 5: Giải phƣơng trình: x3   2x  Lời giải: ĐK: x  R Đặt t  2x   t3  2x  Trang 25 (1) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM [PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ]  x   2t  x   2t   x   2t   Từ ta có hệ:   3  2 x  t  t  x t   2x       x  t   x  t  tx       x  t    x  2x   1   x   2t V  2   x  t  tx       1    PT 1   x  1  x  x  1   x  1;      PT     t  x   x  t   (ptvn)  1   S  1;  Vậy tập nghiệm phương trình cho là:   4x   7x  28 Bài toán 6: Giải phƣơng trình: (1) Lời giải: ĐK: x   Viết lại PT (1): Đặt y  4x  1   7 x    28 2  4x  4x    y2  y    x   7y  7y 28 28 Mặt khác lại có: y   7x  7x  2  3  x   7y  7y  Từ 2) 3) dẫn đến hệ:   y   7x  7x  (Bạn đọc tự giải tiếp) Bài toán 7: Giải phƣơng trình: x   13 x  x   Lời giải: Trang 26 (1) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM [PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ] Điều kiện: x   Đặt 3 3x   (2 y  3), ( y  ) 2  (2 x  3)  y  x  Ta có hệ phương trình sau:   ( x  y )(2 x  y  5)   (2 y  3)  3x  Với x  y  x  15  97 Với x  y    x  11  73  15  97 11  73   ; Vậy tập nghiệm phương trình là: S    8     Nhận xét: 13  33 13  Nếu nhóm:  x    x   , đặt 2y   3x  4 4  thu hệ phương trình mà việc giải hệ khó khăn Để thu hệ mà việc giải dễ dàng ta cần chọn  ;  thỏa:  y    x  , hệ thu hệ đối xứng gần đối xứng Cụ thể: Ta viết hệ đ cho thành:   y  2 y  x     (1)  y     x    (*)  x  13 x   y     (2)    4 x  13 x    y   Ta mong muốn hệ (*) hệ đối xứng, đó, phải chọn  ;  thỏa: 2  2     , từ ta chọn   2;     13 5 Bài toán 8: Giải phƣơng trình: x3   2x  Lời giải: Trang 27 (1) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM [PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ] t3 1 Đặt t  x   x  Khi ta có hệ 1  2   x   2t 3  t   x Lấy (1) trừ 2) ta có: x3  t  2t  x   x  t   x  xt  t    x  t     x  t   x  xt  t     x  t  t  Vì x  xt  t    x    t   ) 2  2    Với t  x ta có: x3   x  x3  x     x  1 x  x    x  1  x  1   1 1    ; Vậy phương trình có nghiệm S  1;  2     Bài toán 9: Giải phƣơng trình: x  34  x   (1) Lời giải:  u  x  34 Đặt:   u  v3  37 Khi đó, PT 1  u  v   v  x  3  u  v  37 1 Từ đó, ta có hệ phương trình:   2  u  v   2  u  v   3 , sau thay vào 1 v  3 ta có:  v  1  v3  37   v  4  v   x    x  30  v  4  x   4  x  61 Bài toán 10: Giải phƣơng trình: x  x   14 x  x   17 x  13 4 x  x  17  Lời giải: Điều kiện:   x  3x   (*) PT 1   x  3x  3  17 x  13  14 x  3x   17 x  13 Trang 28 (1) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM [PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ] u  13  x  u  17 x  13 17   Đặt:   2 v  x  3x   v   v   u  13    u  13    u  25u  373      289  17   17  Khi đó, phương trình 1) trở thành 4v2  u  14v  u 7 4v  u  14v  u  a   Từ ta có hệ phương trình:  u  25u  373 v  b 289   a   49  4v2  u   14v  u  u   49u  28uv  u  u  u  28v  49     u  49  28v 13 17  Với u  49  28v Thay vào  b  , có:  Với u   x   25  49  28v   373  289v  784v  2044v  1549 289 v   495v  2044v  1549    1549 v  495  v  49  28v   * x  3x    x  1;2 * x  3x   1549  746 2231   x   ;  495  495 495  Kết hợp với điều kiện (*) ta nhận nghiệm: x  2; x   Trang 29 746 13 ; x 495 17 [PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ] SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM B BÀI TẬP RÈN LUYỆN Giải phƣơng trình sau: 1) x3   3 3x  2) x2  13x   3x   3) x    x  3  4) 81x   x3  x  5) 3x   8x3  36 x  53  25 x2 6)  x  3x     x  3x    x  2 7) 1  x  x  8) 15 30 x  x   2004    30060 x   Trang 30 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM [PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ] NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ CỦA TỔ CHUYÊN MÔN: ………………………………………………………………………………….… ………………………………………………………………………………….… ………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………….… ………………………………………………………………………………….… ………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC: ………………………………………………………………………………….… ………………………………………………………………………………….… ………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………….… ………………………………………………………………………………….… ………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… Trang 31 [...]... [PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ] Phƣơng pháp: Đặt ẩn phụ không triệt để Trong nhiều trường hợp chúng ta không thể biểu diễn hết các biểu thức chứa x có mặt trong phương trình qua ẩn phụ được Lúc này chúng ta tạm chấp nhận sự có mặt của hai ẩn trong phương trình Việc đặt ẩn phụ trong trường hợp này là không triệt để Phương pháp đặt ẩn phụ không triệt để là một phương pháp hay trong. .. NGHIỆM [PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ] Phƣơng pháp: Đặt ẩn phụ biến đổi về dạng tích Rất nhiều phương trinh vô tỷ giải được nhờ biến đổi về dạng tích Việc sử dụng ẩn phụ trong các bài toán dạng này giúp biến đổi phương trình đ cho trở nên đơn giản hơn, và dễ dàng biến đổi về phương trình tích hơn A VÍ DỤ MẪU  x  2 Bài toán 1: Giải phƣơng trình: x3  3x2  2 3  6x (1) Lời giải: ... phương trình trên có nghiệm m=3, từ đó suy ra cách biến đổi phương trình để có lời giải như trên Bây giờ chúng ta tiếp tục tìm hiểu thêm một vài ví dụ minh họa về kỹ năng này Việc lý giải để dẫn đến  t chính phƣơng xin đƣợc dành cho bạn đọc Trang 11 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM [PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ] Bài toán 2: Giải phƣơng trình: 2(1  x) x2  2x  1  x2  2x  1 Lời giải: Đặt: ... phương trình đã cho là : x  1 Nhận xét: Trang 16 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM [PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ]   Cần khéo léo phân tích biểu thức 3x2  2x  7   x  1  2 x2  3 , từ đó chọn 2 được lượng ẩn phụ thích hợp Việc sử dụng hai ẩn phụ a, b giúp biến đổi phương trình đ cho trở nên đơn giản hơn Bài toán 4: Giải phƣơng trình: 5 x 2  14 x  9  x 2  x  20  5 x  1 (1) Lời giải: ...  0 Trang 22 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM [PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ] Phƣơng pháp: Đặt ẩn phụ chuyển về dạng hệ phƣơng trình a) Dạng thông thƣờng: Đặt u    x  , v    x  và tìm mối quan hệ giữa   x  và   x  từ đó tìm được hệ theo u,v Chẳng hạn, đối với phương trình: m u  m a  f  x   a  f  x   m b  f  x   c ta có thể đặt:  v  m b  f  x  u m  v...  x 4 2 x  0 (thỏa (*))  x 2 2 8 4  x  x 2 3     Vậy nghiệm của phương trình là: x  4 2 3 Bài toán 4: Giải phƣơng trình:  4x  1 x3  1  2x3  2x  1 Lời giải : Trang 12 (1) [PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ] SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐK : x  1  t  0 Phương trình đã cho trở thành: Đặt t  x 3  1 2. t 2  1  2x  1   4x  1 t  2t 2   4x  1 t  2x  1... 3  4x   x  3 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là : S  1;3 Trang 18 (1) [PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ] SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Bài toán 7: Giải phƣơng trình:  3  x  2x   7  2 x2  5 x  (1) Lời giải: ĐK: x  0 (*) Viết lại PT (1)  x  3  2x 2  7  u Đặt   x  v 2x 2  7  2  x 2  5 x  u;v  0  Phương trình đã cho trở thành : v 2 u  v  3 u... **) ta có tập nghiệm của phương trình đã cho là:  S  0;1; 1  2; 1  2;  7; 7  Trang 20  [PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ] SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Bài toán 10: Giải phƣơng trình:  3  x  2x   7  2 x2  5 x  (1) Lời giải: ĐK: x  0 (*) Viết lại PT (1)  x  3  2x 2  7  u Đặt   x  v 2x 2  7  2  x 2  5 x  u;v  0  Phương trình đã cho trở thành :  u2  7... trong giải phương trình vô tỷ, phương pháp này tạo ra một lời giải đẹp và ngắn gọn, tuy nhiên cũng gây nhiều thắc mắc khi nhìn vào lời giải, nó có thể sử dụng để giải nhiều dạng phương trình khác nhau nhưng phổ biến nhất là dạng  ax  b  cx2 +dx+e  px2  qx  t Với dạng phương trình này chúng ta có thể đặt một ẩn phụ hoặc hai ẩn phụ để giải Mục đích là đưa phương trình trở thành một phương trình. .. tập nghiệm của phương trình đã cho là : S  1 8x 2  5 4x 2  3 3 Bài toán 8: Giải phƣơng trình: x 3x  2 Lời giải:  4x 2  3 0  ĐK:  3x  2 (*) x  0   8x 2  5 **  x 0  PT (1)   2 2    4x 2  3  8x  5   9  ***  x   3x  2  4x 2  3  a Đặt  3x  2  b Trang 19 (1) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM [PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ] 2  4a  b  2a 