SKKN một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 giải phương trình nghiệm nguyên

PHÒNG GD&ĐT PHÙ CỪ TRƯỜNG THCS ĐÌNH CAO SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi lớp giải phương trình nghiệm nguyên Môn: Toán học Người viết: Trần Đăng Tiền Giáo viên: Toán Năm học: 2015 - 2016 PHẦN I: PHẦN LÍ LỊCH - Họ tên: Trần Đăng Tiền - Chức vụ: Giáo viên – Tổ trưởng tổ Khoa học Tự nhiên - Đơn vị công tác: Trường THCS Đình Cao - Tên sáng kiến kinh nghiệm “Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi lớp giải phương trình nghiệm nguyên” PHẦN 2: NỘI DUNG A MỞ ĐẦU Đặt vấn đề a Thực trạng vấn đề: Giúp đỡ học sinh nhiệm vụ quan trọng mà người thầy thiết phải làm Nhiệm vụ dễ đòi hỏi phải có thời gian, kinh nghiệm, phải có lòng tận tâm nguyên tắc đắn Người học sinh với nỗ lực thân phải thu nhiều tốt kinh nghiệm độc lập công tác Nhưng học sinh đứng trước toán mà giúp đỡ nào, hay giúp đỡ tiến Mặt khác thầy giúp đỡ nhiều học sinh chẳng phải làm Thầy giáo phải giúp đỡ vừa phải không nhiều quá, để học sinh có công việc hợp lý Trong kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh trung học sở thi vào lớp 10 thường gặp toán giải phương trình nghiệm nguyên chúng thường thiết kế ý tưởng vấn đề phức tập Phương trình nghiệm nguyên phối hợp nhiều luồng kiến thức, kĩ giải toán Bài toán đòi hỏi người làm toán phải hiểu biết sâu sắc, linh hoạt sử dụng Người làm toán cần tìm tòi, củng cố hệ thống, liên hệ kiến thức, đồng thời tập cho làm quen với nghiên cứu, khám phá vẻ đẹp toán học Là giáo viên dạy Toán nhiều năm nhận thấy cần phải tập hợp lại thành chuyên đề để dạy cho học sinh sử dụng dạng toán cách có hệ thống nhằm cho học sinh hiểu rõ sử dụng dạng toán cách xác, linh hoạt, khơi dạy tính tích cực, chủ động, tự giác học tập học sinh nhằm giúp học sinh giải số toán nhanh, gọn tiết kiệm thời gian Căn vào thực tế trên, yêu cầu việc bồi dưỡng học sinh giỏi đặc biệt việc phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo học sinh hoạt động học tập Với lý nêu có ý tưởng xây dựng đề tài: “Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi lớp giải phương trình nghiệm nguyên” b, Ý nghĩa tác dụng giải pháp Theo đề tài đưa vào áp dụng có tác dụng sau: Nhằm nâng cao chất lượng “ Giải phương trình nghiệm nguyên bồi dưỡng học sinh giỏi” Giúp cho thày trò dạy học đạt kết cao kì thi học sinh giỏi Tóan, giải Tóan máy tính bỏ túi khối THCS, học sinh có niềm tin kĩ vận dụng dạng Tóan giải phương trình hệ phương trình Góp phần nâng cao chất lượng dạy học Tóan môn khác ngày cao Thực tế qua theo dõi chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi khối 8, có áp dụng sáng kiến kinh nghiệm thấy đa số em tích cực tư duy, hứng thú với tập mới, kiến thức so với lớp lại Đặc biệt lớp có thi đua tìm cách giải hay nhất, nhanh Không khí lớp học sôi nổi, không gò bó, học sinh độc lập tư Điều hứng thú phát huy trí lực em, giúp em phát triển kỹ nghiên cứu khoa học hứng thú việc tìm tòi kiến thức mới, kỹ c, Phạm vi nghiên cứu: Học sinh lớp khối khối trường THCS Đình cao – huyện Phù Cừ - Tỉnh Hưng yên Phương pháp tiến hành a, Cơ sở lý luận thực tiễn Nói đến dạy học công việc vừa mang tính khoa học vừa mang tính nghệ thuật Do đòi hỏi người giáo viên cần có lực sư phạm vững vàng, phương pháp giảng dạy phù hợp theo hướng tích cực giúp học sinh chủ động việc chiếm lĩnh kiến thức Việc tạo cho học sinh niềm hứng thú học tập “Giải phương trình nghiệm nguyên” hoàn toàn phụ thuộc vào lực sư phạm giáo viên Ngoài việc lên lớp người giáo viên phải không ngừng học hỏi, tìm tòi tài liệu có liên quan để truyền thụ cho học sinh cách nhẹ nhàng, dễ hiểu, phù hợp với khả tiếp thu đối tượng học sinh Hướng đổi phương pháp dạy học Toán trường THCS tích cực hóa hoạt động học tập học sinh, khơi dậy phát triển khả tự học, nhằm hình thành cho học sinh tư tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh Đặc biệt toàn ngành giáo dục sức thực vận động “Xây dựng trường học thân thiện, học sinh tích cực ” việc tạo hứng thú học tập cho học sinh tạo cho em có niềm tin học tập, khơi dậy em ý thức “mỗi ngày đến trường ngày vui” Bản thân giáo viên trực tiếp giảng dạy môn Toán có nhiều năm tham gia vào công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán, Toán máy tính trường THCS Đình Cao thấy rằng: Chương trình Toán lớp 8, THCS học sinh biết toán giải phương trình nghiệm nguyên Hơn phương trình nghiệm nguyên có nhiều đề thi: Kiểm tra học kì (câu khó), thi chọn học sinh giỏi cấp huyện, chọn học sinh giỏi tỉnh, thi vào lớp 10 THPT … Trong đó, từ thực tiễn giảng dạy thấy học sinh hay bế tắc, lúng túng cách xác định dạng toán, phương hướng giải chưa có nhiều phương pháp giải hay Lý chủ yếu vấn đề em chưa có hệ thống phương pháp giải dạng toán Đứng trước thực trạng ấy, đòi hỏi giáo viên phải giúp em tháo gỡ khó khăn, tạo hứng thú cho học sinh học tập làm Bản thân thường xuyên dạy bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán thấy em khó khăn trình bày chọn lời giải gặp toán giải phương trình nghiệm nguyên Từ lí trên, chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi lớp giải phương trình nghiệm nguyên” nhằm giúp học sinh nắm vững phương pháp giải, từ phát phương pháp giải phù hợp với cụ thể dạng khác b, Các bước tiến hành - Nghiên cứu tài liệu - SGK, sách tham khảo, tạp chí Tóan học -Sử dụng phương pháp phân tích lên (xuống), tổng hợp dạy học - So sánh, tổng kết - Kết hợp với hội đồng sư phạm nhà trường nghiên cứu vận dụng kiến thức hợp lý không sức học sinh khuôn khổ chương trình học - Tổng kết kinh nghiệm thực tế giảng dạy (đặc biệt bồi dưỡng học sinh giỏi) thân đồng nghiệp - Để bồi dưỡng học sinh giỏi Toán nói chung giải toán máy tính nói riêng có hiệu theo phải làm công việc sau: - Đầu năm phân loại đối tượng học sinh, chọn em học Toán trở lên chăm học vào đội tuyển HSG Toán - Chuẩn bị tài liệu, sách tham khảo, sách nâng cao môn Toán - Soạn nội dung bồi dưỡng học sinh giỏi, nội dung bồi dưỡng học sinh giỏi phải hệ thống, phân loại dạng Toán khối phân công bồi dưỡng - Lên kế hoạch bồi dưỡng học sinh giỏi theo tuần - Thường xuyên tìm hiểu nghiên cứu kiến thức có liên quan mạng internet - Các dạng toán giải phương trình nghiệm nguyên chương trình THCS * Thời gian tạo giải pháp: Năm học 2014 – 2015; 2015 - 2016 B NỘI DUNG Mục tiêu Rèn luyện “Giải phương trình nghiệm nguyên” cách hình thành kiến thức, kỹ cho học sinh phương pháp luyện tập thông qua tập quan trọng để nâng cao chất lượng dạy học môn - Rèn kỹ vận dụng kiến thức học, kiến thức tiếp thu qua giảng thành kiến thức mình, kiến thức nhớ lâu vận dụng thường xuyên - Đào sâu mở rộng kiến thức học cách sinh động, phong phú, hấp dẫn - Là phương tiện để ôn tập, củng cố, hệ thống hoá cách tốt kiến thức học - Phát triển lực nhận thức, rèn trí thông minh cho học sinh GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI 1.2 QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN 1.2.1 Khảo sát chất lượng ban đầu Để đánh giá khả em dạng toán có phương án tối ưu truyền đạt tới học sinh, đề toán cho 10 em học sinh giỏi khối năm học 2015 - 2016 trường sau: Bài 1: ( điểm ) Tìm x, y∈¢ biết a) x – y + 2xy = b) 3( x + xy + y ) = x + y Bài 2: (4 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x2 – 5y2 = Kết thu sau: Dưới điểm SL % 70 Qua việc kiểm tra đánh giá Điểm - 10 Điểm - 10 SL % SL % 30 0 thấy học sinh biện pháp giải phương trình nghiệm nguyên đạt hiệu Lời giải thường dài dòng, không xác, ngộ nhận Cũng với toán trên, học sinh trang bị phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên chắn có hiệu cao 1.2.2 Một số định nghĩa, định lí, tính chất kiến thức liên quan đến phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Để học sinh nắm phương pháp giải phương trình nghiêm nguyên cách tốt giáo viên cần trang bị cho học sinh đơn vị kiến thức sau: Định nghĩa phép chia hết: a, b ∈ ¢ (b ≠ 0) ∃ q, r ∈ ¢ cho a =bq + r với ≤ r < b Nếu r = ⇒ a Mb Nếu r ≠ ⇒ a Mb Một số tính chất: ∀ a,b,c,d ∈ ¢ Nếu a ≠ a Ma Ma Nếu a Mb b Mc ⇒ a Mc Nếu a Mb b Ma ⇒ a = ± b Nếu a Mb a Mc ⇒ a MBCNN(c,b) Nếu a Mb ⇒ ac Mb ( c ∈ ¢ ) Một số định lí thường dùng Nếu a Mc b Mc ⇒ (a ± b) Mc Nếu a Mc b Md ⇒ ab Mcd Nếu a Mb ⇒ an Mbn ( n nguyên dương) * Một số hệ áp dụng: + ∀ a,b ∈ ¢ n nguyên dương ta có (an – bn) M(a – b) + ∀ a,b ∈ ¢ n chẵn (n nguyên dương) ta có (an – bn) M(a + b) + ∀ a,b ∈ ¢ n lẻ (n nguyên dương) ta có (an + bn) M(a + b) Các dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 8, 9, 11 Thuật toán Ơ-clit mở rộng (Tìm ước chung lớn số a, b) Phương trình ax2 + bx + c = (với a khác 0) Nếu có nghiệm nguyên x0 c Mx0 Phương trình có nghiệm nguyên ∆ ( ∆ ') số phương Số số nguyên tố chẵn Phương trình đưa dạng f(x).g(x) = k với f(x) g(x) đa thức hệ số nguyên Ta phân tích k thừa số nguyên tố giải hệ phương trình  f ( x) = m   g ( x) = n với m.n = k Phương trình đối xứng ẩn x, y, z Khi tìm nghiệm nguyên dương không làm tính tổng quát ta giả sử ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 10 Sử dụng tính chất chia hết số phương Số phương không tận 2, 3, 7, Số phương chia hết cho số nguyên tố p chia hết cho p2 Số phương chia cho 3, cho dư Số phương chia cho 5, cho số dư 0; Số phương lẻ chia cho số dư Lập phương số nguyên chia cho dư 0; Không tồn số phương nằm hai số phương liên tiếp 11 Bất đẳng thức Cô - si: a1 + a + a3 + + a n n ≥ a1 a a a n n Với > Đẳng thức xảy ⇔ a1 = a2 = a3 = =an 12 Bất đẳng thức Bunhiacopski (a 2 )( ) + a22 + + an2 x12 + x22 + + 2n ≥ ( a1 x1 + a2 x2 + + an xn ) Đẳng thức xảy ⇔ a1 a a a = = = = n x1 x x xn 13 Xét phương trình ax + by = c với a, b, c ∈ Z a b ≠ phương trình có nghiệm nguyên ⇔ c M(a, b) 1.2.3 Một số ví dụ phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Phương trình nghiệm nguyên đa dạng phong phú phương trình ẩn, nhiều ẩn Nó phương trình bậc bậc cao Không có cách giải chung cho phương trình, nhiên để giải phương trình ta thường dựa vào số phương pháp giải sau: Phương pháp I : Phương pháp đưa dạng tích Biến đổi phương trình dạng: Vế trái tích của đa thức chứa ẩn, vế phải tích số nguyên Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên phương trình: x + y + xy = ⇔ ( x + 1).( y + 1) = Vì x, y nguyên nên x + 1; y + 1∈ Z x + 1, y + ước Do ta có bảng sau x+1 y+1 x y -1 -5 -2 -6 -5 -1 -6 -2 Vậy phương trình có nghiệm nguyên (x; y) = (4; 0), (-2; -6), (0; 4), (-6; -2) Nhận xét: 1, Ta giải toán phương pháp tách giá trị nguyên y= 4− x = −1 x +1 x +1 2, Hoặc dùng phương pháp thứ tự ẩn vai trò x, y Giả sử x ≥ y ⇒ x + ≥ y + nên trường hợp xảy x+1 -1 y+1 -5 x -2 y -6 sau đổi vai trò x, y cho phương trình có nghiệm nguyên Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 2( x + y ) + = xy Lời giải: Ta có: 2( x + y ) + = xy ⇔ xy − x − y = ⇔ y (3 x − 2) − (3x − 2) = + ⇔ (3 x − 2)(3 y − 2) = 19 3 Do x, y nguyên dương nên x − ≥ 1; y − ≥ mà 19 = 1.19 = 19.1 nên ta có khả 3 x − = (I) sau:  3 y − = 19 ; 3 x − = 19 (II)  3 y − = Giải hệ phương trình trên, ta đươc nghiêm nguyên phương trình (x; y) ∈ { (1; 7); (7; 1)} Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 + x + = y2 Lời giải: Ta có: x2 + x + = y2 ⇔ 4x2 + 4x + 24 = 4y2 ⇔ (2x + 1)2 – 4y2 = -23 ⇔ ( 2x – 2y + 1)(2x + 2y + 1) = - 23 2x − y + = −1 2x − y + = 23 Suy ra:   2x+2 y + = 23 2x+2 y + = −1 2x − y + = 2x − y + = −23   2x+2 y + = −23 2x+2 y + = Giải trường hợp kết hợp với điều kiện x, y nguyên ta nghiệm nguyên (x, y) (5; 6); (5; -6) ; (-6;- 6); (- 6; 6) Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 Lời giải: Ta có: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2⇔ x4 +4x3+6x2+4x +1- y2=1⇔ (x+1)4 – y2 =  ( x + 1) –    ( x + 1) +  ⇔ [(x+1)2 –y][(x+1)2+y] =1 ⇔   ( x + 1) –    ( x + 1) +  y = − 1      y = −1 y =  −1 + y = − − y ⇒ 1 + y = − y y = ⇒ y = ⇒ (x+1)2 = ⇔ x+1 = ± ⇒ x = x = -2 Thử lai giá trị tương ứng x y ta thấy thỏa mãn phương trình cho Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên ( x, y ) ∈ {( 0, ); ( - 2, )} Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên phương trình : y3 - x3 = 91 (1) Lời giải Ta có (1) tương đương với (y - x)(x2 + xy + y2) = 91 (*) Vì x2 + xy + y2 > với x, y nên từ (*) => y - x > 10 Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x − y − z = (5) Lời giải Giả sử ( x0 , y0 , z0 ) nghiệm nguyên phương trình x0 M3 đặt x0 = 3x1 , thay x0 = x1 vào (5) ta được: x13 − y03 − z03 = ⇒ y0 M3 đặt y0 = y1 đó: x13 − 27 y13 − 3z0 = ⇒ 3x13 − y13 − z03 = ⇒ z0 M3 đặt z0 = z1 đó: x13 − y13 − z13 = Vậy  x0 y0 z0   , , ÷ nghiệm phương trình  3 3 x y z  Quá trình tiếp tục được:  k0 , k0 , k0 ÷ nghiệm nguyên (5) với k 3 3  nguyên dương điều xảy x0 = y0 = z0 = Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên ( 0; 0; ) Phương pháp V: Đưa dạng tổng Biến đổi phương trình dạng : Vế trái tổng bình phương, vế phải tổng số phương Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 + y2 - x - y = (1) Lời giải (1) ⇔ 4x2 + 4y2 - 4x - 4y = 32 ⇔ (4x2 - 4x + 1) + (4y2 - 4y + 1) = 34 ⇔ (2x – 1)2 + (2y – 1)2 = 34 Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 có dạng phân tích thành tổng hai số phương 32 52 Do phương trình thỏa mãn hai khả :  2x − =  2x − =    2y − =  2y − = Giải hệ trên, suy phương trình (1) có nghiệm nguyên (x ; y) ∈ {(2 ; 3); (3 ; 2); (-1 ; -2); (-2 ; -1); (2; -2); (-1; 3); (3; -1); (-2; 2)} Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 – 4xy + 5y2 = 169 Lời giải Ta có: x2 – 4xy + 5y2 = 169 ⇔ (x – 2y)2 + y2 = 169 Ta thấy 169 = 02 + 132 = 52 + 122 15 Do phương trình thỏa mãn bốn khả :  x − 2y =  x − 2y = 13  x − 2y =  x − 2y = 12 ⇒  ⇒   y = 13  y =  y = 12  y = Giải ta nghiêm nguyên phương trình (x, y) ∈ {(29; 12); (19; -12); (19; 12); (22; 5); (-2; 5); (2; -5); (-22; -5); (26; 13); (-26; -13); (-13; 0); (13; 0); (-29; -12)} Phương pháp VI : Xét chữ số tận Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 1! + 2! + + x! = y2 (1) Lời giải Cho x ; ; ; 4, ta có nghiệm nguyên dương (x ; y) phương trình (1) (1 ; 1) (3 ; 3) Nếu x > dễ thấy k! với k > có chữ số tận 1! + 2! + ! + 4! + 5! + + x! = 33 + 5! + + x! có chữ số tận Mặt khác vế phải số phương nên có chữ số tận Vậy phương trình (1) có hai nghiệm nguyên dương: (x ; y) ∈ {(1 ; 1) ; (3 ; 3)} Ví dụ : Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình : x2 + x - = 32y + (2) Lời giải Cho x giá trị từ đến 9, dễ dàng xác định chữ số tận x2 + x–1 nhận giá trị ; ; Mặt khác, ta thấy 32y + lũy thừa bậc lẻ nên chữ số tận khác với ; ; Vậy (2) xảy Nói cách khác, phương trình (2) nghiệm nguyên dương * Lưu ý : Bài toán giải phương pháp sử dụng tính chất chia hết Phương pháp VII: Phương pháp loại trừ Nếu có số nguyên m cho m < n < (m + 1) n số phương Ví dụ 1: Tìm tất nghiệm nguyên phương trình y2 + y = x4 + x3 + x2 + x Lời giải Ta có: y2 + y = x4 + x3 + x2 + x ⇔ y2 + 4y + = x4 + x3 + 4x2 + 4x + ⇔ (2y + 1)2 - (2x2 + x ) = (3x + 1) (x +1) 16 hay (2x2 + x + 1) - (2y+ 1)2 = x(x-2) * Ta thấy: Nếu x > x < - (3x + 1) (x +1) > Nếu x > x < -1 x (x-2) > ⇒ Nếu x > x < (2x2 + x) ta có: ( x + 1) = x + x + < x + x + = y < ( x + 2) ⇒ x + < y < x + ( vô lý ) Với x ≤ - : ( x3 + 2)2 < y < ( x3 + 1)2 ⇒ x3 + < y < x3 + ( vô lý ) Với x = - : y = −1 ( vô lý ) Vậy phương trình cho có hai cặp nghiệm nguyên ( 0; ); ( 0; -1 ) Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x + ( x + 1) = y + ( y + 1) Lời giải Khai triển rút gọn hai vế ta được: x( x + 1) = y + y + y + y ⇔ x + x = y ( y + 1) + y ( y + 1) ⇔ x + x + = ( y + y + 1) (1) Nếu x > từ x < + x + x < ( x + 1) suy + x + x không số phương nên (1) nghiệm nguyên Nếu x < - từ ( x + 1) < + x + x < x suy (1) nghiệm nguyên 17 y =  y = −1 Nếu x = x = - từ (1) suy ra: y + y + = ±1 ⇔  Vậy phương trình có nghiệm nguyên (x, y) ∈ { ( 0; ) ; ( 0; − ) ; ( − 1; ) ; ( − 1; − )} Phương pháp VIII: Sử dụng tính chất nghiệm phương trình bậc Biến đổi phương trình dạng phương trình bậc ẩn coi ẩn khác tham số, sử dụng tính chất nghiệm phương trình bậc để xác định giá trị tham số Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + = Lời giải Ta có phương trình: 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + = ⇔ y2 + (4x + 2)y + 3x2 + 4x + = (*) Coi x tham số phương trình bậc (*) với ẩn y, ta có: y = -(2x + 1) ± ∆' x Do y nguyên, x nguyên ⇒ ∆' x nguyên Mà ∆' x = (2x + 1)2 – (3x2 + 4x + 5) = x2 – ⇒ x2 – = n2 (n∈¢ ) ⇒ (x- n) (x+ n) = ⇒ x = ± (do x - n x + n tính chẵn lẻ) Vậy phương trình có nghiệm nguyên (x; y) ∈ {(2; -5); (-2, 3)} Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 – (y+5)x + 5y + = Lời giải Ta có: x2 – (y+5)x + 5y + = coi y tham số ta có phương trình bậc ẩn x Giả sử phương trình bậc có nghiệm x1, x2  x1 + x = y + 5x1 + 5x = 5y + 25 ⇒ Theo định lý Viet, ta có :  x x = 5y +   x1x = 5y + ⇒ x1 + 5x2 – x1x2 = 23 ⇔ (x1 -5) (x2 -5) = mà = 1.2 = (-1)(-2) ⇒ x1 + x2 = 13 x1 + x2 = ⇒ y = y = Thay vào phương trình ta tìm cặp số (7; 8); (6; 8); (4; 2); (3; 2) nghiệm nguyên phương trình Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x + y + xy = x2 + y2 (1) 18 Lời giải Viết (1) thành phương trình bậc x x2 - (y + 1)x + (y2 - y) = (2) Điều kiện cần để (2) có nghiệm ∆ ≥ ∆ = (y + 1)2 - 4(y2 - y) = y2 + 2y + - 4y2 + 4y = -3y2 + 6y + * ∆ ≥ ⇔ y − y − ≤ ⇔ 3( y − 1) ≤ Do (y - 1)2 ≤ Suy -1 ≤ y - ≤ y-1 -1 y 2 Với y = 0, thay vào (2) ta x - x = Ta có x1 = 0; x2 = Với y = 1, thay vào (2) x2 - 2x = Ta có x3 = 0; x4 = Với y = 2, thay vào (2) ta x2 - 3x + = Ta có x5 = 1; x6 = Thử lại, giá trị nghiệm phương trình Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên (0;0), (1;0), (0;1), (2;1), (1;2), (2;2) Phương pháp IV: Dùng bất đẳng thức Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 –xy + y2 = Lời giải Ta có x2 –xy + y2 = ⇔ (x- y 3y2 ) =32 y 3y2 Ta thấy (x- ) ≥ ⇒ ≥ ⇒ -2 ≤ y ≤ 2 ⇒ y ∈ { ±2; ±1; 0} thay vào phương trình tìm x thử lại, ta nghiệm nguyêncủa phương trình (x, y) ∈ { ( − 1, − ) , ( 1, ) ; ( − 2, − 1) ; ( 2,1) ; ( − 1,1) ; ( 1, − 1) } x y z Ví dụ 2: Chứng minh phương trình y + + = b nghiệm nguyên z x dương b = b = có vô số nghiệm nguyên dương b = Lời giải x y Do x, y, z ∈ ¢ + ⇒ , y z , > Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có: z x 19 x (y + x y z x y z y z + ) ≥ 27 ( y ) = 27⇒ y + + ≥ z x z x z x Đẳng thức xảy ⇔ x = y = z x y z Vậy phương trình y + + = b nghiệm nghiệm nguyên b = z x b = có vô số nghiệm nghiệm nguyên b = 3, chẳng hạn: ( x = a, y = a, z = a) với a số nguyên dương Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình: (x + y + 1)2 = 3(x2 + y2 + 1) Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki, ta có: (x + y + 1) ≤ (12 + 12 + 12 ) ( x + y +12 ) = ( x + y +1) Đẳng thức xảy ⇔ x y = = ⇔ x = y =1 1 Vậy phương trình có nghiệm nguyên x = y = Ví dụ 4: Tìm số nguyên dương x, y thoả mãn phương trình : (x2 + 1)(x2 + y2) = 4x2y Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô–si ta có: x2 + ≥ 2x, dấu xảy ⇔ x = x2 + y2 ≥ 2xy, dấu xảy ⇔ x = y Vì x, y nguyên dương nên nhân bất đẳng thức vế theo vế ta : (x2 + 1)(x2 + y2) ≥ 4x2y, dấu xảy x = y = Vậy phương trình có nghiệm nguyên x = y = Phương pháp X: Xét số dư vế Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình: 9x + = y2 + y (1) Lời giải Ta có: 9x + = y2 + y ⇔ 9x + = y(y + 1) (*) Ta thấy vế trái (*) số chia cho dư nên y(y + 1) chia cho dư Nếu y chia hết cho y chia cho dư y(y + 1) chia hết cho 3, trái với kết luận Do y chia cho dư Đặt y = 3k + 1(k∈¢ ) y +1 = 3k + Khi ta có: 9x + = (3k + 1)(3k + 2) ⇔ 9x = 9k(k+1) ⇔ x = k(k+1) 20 Thử lại x = k(k+1) y = 3k + 1(k ∈¢ ) thoả mãn phương trình cho Vậy nghiệm nguyên phương trình (1) x = k(k+1) y = 3k + 1( với k∈ ¢ ) Ví dụ Chứng minh phương trình sau nghiệm nguyên: x2 – y2 = 2010 (2) Lời giải * Cách Phương trình (2) viết thành: (x – y)(x + y) = 2010 Vì (x – y) + (x + y) = 2x số nguyên chẵn nên (x – y) (x + y) tính chẵn lẻ Từ (x – y)(x + y) = 2010 suy (x – y) (x + y) chẵn Do đó: (x – y)(x + y) chia hết cho Nhưng 2010 không chia hết cho Từ đó, suy phương trình cho vô nghiệm * Cách Số phương chia cho dư Do x2, y2 chia cho có số dư Suy x2 – y2 chia cho có số dư 0; 1; Còn vế phải 2010 chia cho dư Vậy phương trình nghiệm nguyên IV BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên a) 3x3 - 3y3 = 21 b) 3xy + x - y = c) 2x2 + 3xy - 2y2 = Bài 2: Tìm x,y, z nguyên dương thoả mãn a) 2(x + y + z) + = 3xyz b) xy + yz + zx = xyz + xy yz zx c) z + x + y = Bài 3: Chứng minh rằng: 1 a) Phương trình x + xy + y = nghiệm nguyên dương 1 1 b) x + y + z = 1991 có số hữu hạn nghiệm nguyên dương c) Phương trình x2 + y = 4m + nghiệm nguyên với m nguyên d) Có vô số số nguyên x để biểu thức sau số phương (1 + + + + x)(12 + 22 + 32 + + x2) 21 Bài 4: Giải phương trình tập số nguyên a) x − y = 17 b) x − y = 17 c) x − y = d) x + 122 = y − 32 e) 15 x − y = f) x + x + y = 37 Bài 5: Giải phương trình tập số nguyên a) 5( x + y ) + = xy b) 2( x + y ) = xy c) x − y = 91 d) x + x + = y e) x − y = 169 e) x − y = 1999 Bài 6: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau a) x + y + = xyz b) x + y + + z + = xyz c) x + y + z + t = xyzt e) d) 1 1 + + + =1 x y z t 1 + = x y f) 1 1 + + + = x2 y z t Bài 7: Tìm nghiệm nguyên phương trình sau a) x − xy + 13 y = 100 b) + x + x + x = y c) + x + x + x + x = y d) x = y ( y + 1)( y + 2)( y + 3) e) ( x − 2) − x = y f) x ( x + 1)( x + 7)( x + 8) = y Bài 8: Giải phương trình tập số nguyên a) x3 − y − z = b) x + y + z = u c) x + y + z = xyz d) x + y + z − xy − yz − z = e) x + y − + z − = ( x + y + z) 2.2 Kết thực Áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy trường ba năm học 2013 – 2014, 2014 – 2015 2015 - 2016 thu kết khả quan Trong ba năm liên tục áp dụng hoàn thiện sáng kiến kinh nghiệm này, thấy ngày có hiệu quả, chất lượng học tập học sinh mũi nhọn ngày cao Năm học có học sinh thi đỗ học sinh giỏi cấp huyện đạt giải cao năm gần 22 đội tuyển Toán thi huyện đạt 100% (7/7) Học sinh thi vào lớp 10 THPT đạt điểm cao Mấy năm gần có học sinh đỗ thủ khoa môn Toán vào trường THPT Phù Cừ Đặc biệt em hứng thú học toán hơn, vận dụng sử dụng thành thạo phương pháp cho cụ thể Kết cụ thể sau: Dưới điểm Điểm - 10 Điểm - 10 SL % SL % SL % 10 90 50 - Vận dụng phương pháp“Giải phương trình nghiệm nguyên” hình thành cho học sinh số kỹ làm toán khó Giúp cho học sinh nhìn nhận dạng toán lăng kính nhiều mặt với nhiều màu sắc khác trình vận dụng linh hoạt kĩ thuật giải - Ôn tập, củng cố đào sâu kiến thức số học, đại số có liên quan đồng thời giúp cho học sinh hình thành thói quen suy nghĩ định hướng tìm tòi lời giải trước toán Từ giúp học sinh có thói quen giải toán theo trình tự khoa học - Xây dựng hệ thống phương pháp kỹ Giúp cho học sinh giáo viên có tư liệu tham khảo cho hoạt động dạy học toán học với việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi nhà trường phổ thông - Hình thành học sinh thói quen khai thác kiến thức chương trình theo chiều sâu Giúp cho em có tư sâu sắc linh hoạt, độc lập sáng tạo trình giải toán - Giúp cho học sinh phân loại dạng tập phương pháp, kỹ giải cho loại tạo điều kiện cho em nhìn nhận vấn đề toán học (phương trình hệ phương trình) mắt hoàn thiện - Hình thành học sinh thói quen khám phá, khai thác tìm tòi lời giải cho toán …phát huy tích cực suy nghĩ trình giải toán - Góp phần trau dồi cho học sinh phẩm chất tính độc lập kiên trì sáng tạo tích cực tìm tòi giúp em hoàn thiện dần phẩm chất đạo đức, phẩm chất trí tuệ trình học toán nhà trường phổ thông - Phát huy đức tính tự học, tự tìm tòi nghiên cứu góp phần tô điểm cho việc đổi phương pháp giảng dạy học tập giáo viên học sinh mà hạt nhân là: " 23 Lấy lôgic học học sinh làm trung tâm " từ nâng cao bước chất lượng học tập môn Toán cho em C KẾT LUẬN 1.Kết luận - Khi chưa tiếp cận với toán không tắc, hầu hết học sinh tỏ lúng túng, phương hướng tìm lời giải Khi làm quen với phân tích sâu sắc, hầu hết em thích thú say mê lạ, sáng tạo, không máy móc.Với kiến thức em nắm tốt hơn, liên hệ kiến thức với mật thiết hơn, thực bồi bổ “chất toán” cho em tốt môn học khác sống Nhiều học sinh học, thành công nhiều kỳ thi học sinh giỏi toán, thi vào lớp chất lượng cao trường THPT Phù Cừ năm gần Phương trình nghiệm nguyên dạng toán khó, đa dạng, thường dùng kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp, thi vào lớp chất lượng cao Các toán vấn đề nan giải hầu hết học sinh nói chung, học sinh giỏi nói riêng Trong số năm qua, trăn trở để tìm ý tưởng cho toán hay khó này,tôi tìm tòi, phân dạng để giảng dạy nhằm mục đích truyền đạt hiệu đến với học sinh Thật bất ngờ, giảng dạy chuyên đề này, thấy học sinh say mê tự khám phá lời giải Bước đầu làm cho học sinh khám phá, tự tìm kiến thức có liên quan để giải Qua đây, thấy kiến thức toán học sinh nâng nhiều phần khác Sử dụng kiến thức số học, đại số tính chất vào giải phương trình nghiệm nguyên ứng dụng lớn Sự phân chia ý tưởng nhiều phần chưa nêu hết, Đề tài hy vọng giúp phần khó khăn giảng dạy hy vọng bạn đồng nghiệp nêu tiếp ứng dụng mà viết chưa nêu 24 Mặc dù giành nhiều thời gian, công sức, tìm hiểu, rút kinh nghiệm cố gắng đề tài song nhiều lí do, lí hạn chế kiến thức phương pháp nên SKKN tránh khỏi thiếu sót.Tôi mong đóng góp, bổ sung 2- Kiến nghị: - Với nhà trường: Cần khuyến khích động viên giáo viên thực áp dụng sáng kiến hay để đẩy mạnh phong trào chuyên môn nhà trường - Với Phòng, Sở giáo dục: Đề nghị quan tâm đầu tư mở nhiều chuyên đề bồi dưỡng chuyên đề có liên quan đến môn Toán đặc biệt bồi dưỡng giáo viên ôn học sinh giỏi để nâng cao trình độ, phương pháp, lực sư phạm cho giáo viên dạy học Tôi xin cam đoan SKKN thân tự đặt móng có tham khảo đồng nghiệp Tổ tài liệu mạng Không chép người khác Ngày 20 tháng năm 2016 NGƯỜI VIẾT TRẦN ĐĂNG TIỀN 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO NĂM STT TÊN TÁC GIẢ XUẤT BẢN Phan Đức 2004 Chính Phan Đức 2005 Chính Nguyễn Ngọc 1996 Đạm Nguyễn Ngọc 2004 Đạm - Nguyễn Quang Hanh Ngô Long Hậu Phạm Gia Đức 2005 Đỗ Đình Hoan TS Lê Văn Hồng Nguyễn Văn Nho ThS Đào Duy Thụ - ThS Phạm Vĩnh Phúc 10 11 TÊN TÀI LIỆU NHÀ XUẤT BẢN SGK, SGV toán NXB Giáo dục SGK, SGV toán NXB Giáo dục Toán phát triển đại số 8, 500 toán chọn lọc NXB Giáo dục Tài liệu BDTX chu kỳ III 2007 Tuyển tập đề thi môn toán THCS 2004 Một số vấn đề đổi phương pháp dạy học môn toán 2004 Phương pháp giải dạng toán (tập 2) 2007 Tài liệu tập huấn Đổi phương pháp dạy học môn toán Các số Tạp chí Toán học tuổi trẻ Các số Tạp chí Toán tuổi thơ 26 NXB Đại học sư phạm NXB giáo dục NXB Giáo dục NXB Giáo dục Nhà xuất Giáo dục NXB Giáo dục NXB Giáo dục NXB Giáo dục Mục lục Nội dung Trang - Phần lí lịch A Mở đầu Đặt vấn đề - Thực trạng vấn đề - Ý nghĩa - Phạm vi nghiên cứu Phương pháp tiến hành - Cơ sở lý luận thực tiễn - Các biện pháp tiến hành B Nội dung Mục tiêu Giải pháp - Kết thực C Kết luận - Kết luận - Đề xuất, kiến nghị * Mục lục * Tài liệu tham khảo 4 5 18 19 20 21 22 27 XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG: THCS ĐÌNH CAO Tổng điểm: Xếp loại: TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC HIỆU TRƯỞNG Nguyễn Văn Hạnh XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC PHÒNG GD&ĐT PHÙ CỪ Tổng điểm: Xếp loại: TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC 28 29 ... đề tài sáng kiến kinh nghiệm: Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi lớp giải phương trình nghiệm nguyên nhằm giúp học sinh nắm vững phương pháp giải, từ phát phương pháp giải phù hợp với... động sáng tạo học sinh hoạt động học tập Với lý nêu có ý tưởng xây dựng đề tài: Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi lớp giải phương trình nghiệm nguyên b, Ý nghĩa tác dụng giải pháp Theo... tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán, Toán máy tính trường THCS Đình Cao thấy rằng: Chương trình Toán lớp 8, THCS học sinh biết toán giải phương trình nghiệm nguyên Hơn phương trình nghiệm nguyên