Sáng kiến có vai trò rất quan trọng không thể thiếu trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán 9, tuy nhiên khi bồi dưỡng cũng cần tùy thuộc vào đối tượng học sinh mà chọn những bài tập sao cho phù hợp. Các dạng bài tập về giải phương trình bậc cao rất đa dạng và phong phú, các em thường gặp trong bậc THCS, nhất là trong các kỳ thi học sinh giỏi, việc rèn luyện các em nắm chắc kiến thức và có kỹ năng giải thành thạo các dạng phương trình bậc cao, sẽ tạo tiền đề để các em lĩnh hội kiến thức ở bậc THCS một cách chủ động và dễ dàng.
PHẦN THỨ NHẤT ĐẶT VẤN ĐỀ Trong các mơn học ở phổ thơng, mơn tốn giữ một vị trí quan trọng. Qua việc học tốn học sinh được rèn luyện về mọi mặt như: trí thơng minh, phương pháp tính tốn hợp lý, nhanh gọn, tạo cho bộ óc làm việc ngăn nắp, có kế hoạch. Từ cuộc sống hàng ngày của con người như : cân đo, đong đếm,…cho đến các ngành cơng nghiệp phát triển đều rất cần đến tốn học “ Giáo dục là quốc sách hàng đầu, nhiệm vụ của ngành giáo dục là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Việc bồi dưỡng học sinh giỏi là một trong những cơng tác mũi nhọn của ngành Giáo dục và Đào tạo nói chung, của từng cơ sở nói riêng nên việc phát triển bồi dưỡng học sinh giỏi ni dưỡng nhân tài là một việc làm thường xun, liên tục. Mơn tốn là một trong những bộ mơn thường xun tổ chức thi học sinh giỏi nên đòi hỏi từng cơ sở phải xây dựng được đội ngũ học sinh giỏi cho đơn vị mình. Với tâm huyết nghề nghiệp tơi ln cố gắng phấn đấu để đào tạo và bồi dưỡng ngày càng nhiều học sinh giỏi các cấp bằng cách đi sâu nghiên cứu và giúp các em nắm chắc, sâu từng phần từng nội dung trong chương trình tốn lớp 9. Phương trình bậc cao là một đề tài hấp dẫn, thú vị của tốn học, vì vậy phương trình bậc cao đã được rất nhiều nhà tốn học nghiên cứu. Tuy nhiên, với người học thì giải phương trình bậc cao là một vấn đề khó. Sau nhiều năm giảng dạy mơn Tốn ở bậc trung học cơ sở tơi nhận thấy mảng giải phương trình bậc cao được đưa ra sách giáo khoa lớp 8, 9 là rất khiêm tốn, nội dung sơ lược, mang tính chất giới thiệu khái qt, quỹ thời gian giành cho nó là q ít ỏi, trong chương trình học lại khơng có một bài học cụ thể nào. Bên cạnh đó là các nội dung bài tập ứng dụng thì rất phong phú, đa dạng và phức tạp. Các phương trình bậc cao là Trang 1 một nội dung thường gặp trong các kỳ thi Bậc THCS và đặc biệt trong các kỳ thi tuyển sinh vào THPT. Chính vì vậy tơi quyết định chọn chủ đề: ''phương trình bậc cao '' làm sáng kiến cho riêng mình, để giúp các em tìm hiểu được nhiều hơn về phương pháp giải, cách giải đối với các dạng phương trình bậc cao. PHẦN THỨ HAI NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN I. CƠ SỞ KHOA HỌC ĐỀ XUẤT RA SÁNG KIẾN Trong chương trình tốn học trung học cơ sở và trong các đề thi chúng ta vẫn thường gặp các bài tốn về giải phương trình bậc 3,4,5 hoặc phân tích các phương trình đó thành nhân tử, song với học sinh vẫn còn lúng túng vì khơng biết bắt đầu từ đâu, khi gặp khó khăn khơng biết làm thế nào để tìm ra lời giải. Riêng với các em học sinh khi gặp dạng tốn này khơng chịu nghiên cứu khảo sát kĩ từng dạng phương trình theo nhiều cách hoặc sử dụng thiếu linh hoạt. Xuất phát từ vấn đề trên và qua việc giảng dạy mơn tốn trường THCS , qua đọc tài liệu tham khảo và đặc biệt qua việc bồi dưỡng cho đội tuyển học sinh giỏi khối 9. Tơi nhận thấy rằng giải một phương trình bậc 3,4,5 là tương đối khó đối với học sinh THCS và đặc biệt hơn nữa các phương pháp giải phương trình đó khơng hề có trong chương trình tốn THCS do đó đã gây khó khăn khơng nhỏ đối với học sinh trong khi gặp phải dạng tốn này. Học sinh khơng có một phương pháp cụ thế nào mà chỉ biết mò mẫm một cách vơ hướng Trang 2 Khi được tiếp xúc với các dạng phương trình bậc cao khơng những rèn luyện cho HS các năng lực về hoạt động trí tuệ để có cơ sở tiếp thu dễ dàng các mơn học khác trường THCS .Mở rộng khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế, còn góp phần rèn luyện cho HS những đức tính cẩn thận ,sáng tạo… Dựa vào hiểu biết, vốn kiến thức và thu thập qua tài liêu, sách báo tơi xin đưa ra một số phương pháp mà tơi cho là phù hợp với học sinh THCS để giải các dạng phương trình II.KIẾN THỨC CƠ BẢN TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH : 1. Các định nghĩa : 1.1 Định nghĩa phương trình : Giả sử A(x) = B(x) là hai biểu thức chứa một biến x. Khi nói A(x) = B(x) là một phương trình, ta hiểu rằng phải tìm giá trị của x để các giá trị tương ứng của hai biểu thức này bằng nhau Biến x được gọi là ẩn.Giá trị tìm được của ẩn gọi là nghiệm Việc tìm nghiệm gọi là giải phương trình. Mỗi biểu thức gọi là một vế của phương 1.2. Tập xác định của phương trình : Là tập hợp các giá trị của ẩn làm cho mọi biểu thức trong phương trình có nghĩa 1.3. Định nghĩa hai phương trình tương đương : Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm 1.4. Các phép biến đổi tương đương : Khi giải phương trình ta phải biến đổi phương trình đã cho thành những phương trình tương đương với nó ( nhưng đơn giải hơn). Phép biến đổi như thế được gọi là phép biến đổi tương đương Trang 3 2. Các định lý biến đổi tương đương của phương trình : a) Định lý 1 :Nếu cộng cùng một đa thức của ẩn vào hai vế của một phương trình thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. Ví dụ : 2x = 7 2x + 5x = 7 +5x Chú ý : Nếu cộng cùng một biểu thức chứa ẩn ở mẫu vào hai vế của một phương trình thì phương trình mới có thể khơng tương đương với phương trình đã cho Ví dụ : x 2 (1) Khơng tương đương với phương trình x 1 x x Vì x = 2 là nghiệm của (1) nhưng khơng là nghiệm của (2) * Hệ quả 1: Nếu chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của một phương trình được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho Ví dụ : 8x 7 = 2x + 3 8x 2x = 7 + 3 * Hệ quả 2 :Nếu xố hai hạng tử giống nhau hai vế của một phương trình thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho Ví dụ : 9 7x = 5 ( x +3) 7x 9 = 5 x ( x + 3) * Chú ý : Nếu nhân hai vế của một phương trình với một đa thức của ẩn thì được phương trình mới có thể khơng tương đương với phương trình đã cho b) Định lý 2:Nếu nhân một số khác 0 vào hai vế của một phương trình thì được phương trình mới tương đương với phương trình đã cho Trang 4 Ví dụ : x2 3x = 2x2 12x = 3 ( Nhân hai vế với 4 ) III/ NHỮNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH: 1.Phương trình bậc nhất một ẩn : Phương trình có dạng ax + b = 0, với a, b là những hằng số; a 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn số, b gọi là hạng tử tự do Cách giải : Phương trình tổng quát : a x+b=0 (a#0) (1) Dùng phép bién đổi tương đương , Phương trình (1) trở thành : a x=b x=b/a Phương trình này có nghiệm duy nhất : x= b (a 0) a 2. Phương trình bậc cao: 2.1. Phương trình bậc hai một ẩn : Phương trình bậc hai một ẩn số là phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0; trong đó x là ẩn số; a, b, c là các hệ số đã cho; a 0 *Cách giải: *Ta dùng các phép biến đổi tương đương ,biến đổi phương trình đã cho về các dạng phương trình đã biết cách giải (phương trình bậc nhất ,phương trình dạng tích ) để tìm nghiệm của phương trình *Khi nghiên cứu về nghiệm số của phương trình bậc hai a x2 +b x +c=o (a 0)Cần đặc biệt quan tâm tới biệt số của phương trình: =b2 4ac, Vì biểu thức = b2 4ac quyết định Trang 5 nghiệm số của phương trình bậc hai .Ta thấy có các khả năng sau xảy ra : a , 0 phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt: x = b 2a ; x = b 2a *Chú ý : Nếu a và c trái dấu , nghĩa là a.c0 hay >0 ) Đối với một số phương trìnhbậc hai đơn giản (với hệ số ngun ) trong trường hợp có nghiệm ( 0 ) ta có thể dùng địnhlí Vi ét để tính nhẩm nghiệm Định lí Viét : Nếu phương trình bậc hai a x 2 + bx +c = 0 (1) ( a ) có hai nghiệm là : x , x2 thì tổng và tích hai nghiệm là S =x x2 = b c P=x x2 = a a Cách nhẩm nghiệm : + Nếu a+b+c =0 thì phương trình (1) có các nghiệm là x 1; x2 c a + Nếu ab+c=0 thì phương trình (1) có các nghiệm là x c a 1; x2 Nhờ có đình lí Vi ét mà ta có thể tìm được nghiệm của các phương trình có dạng đặc biệt . Ngồi ra chúng ta cũng có thể làm được một số bài tốn biện luận về số nghiệm của phương trình bậc hai Ví dụ : Giải các phương trình sau Trang 6 a , 3x2+5x +7 = 0 = 25 – 4. 3 . 7 =25 84 = 61 0 Vậy PT có hai nghiệm là : x = d/ Giải phương trình 37 ; x = 37 x 3x +6 = (1) x x −9 Phân tích các mẫu thành nhân tử phương trình trở thành x 3x +6 = TXĐ : x +3 0 hay x 3và x 3 ( x − 3)( x + 3) x x3 MTC : (x3)(x+3) Khử mẫu ta được phương trình x 2 3x +6 =x+3 Chuyển vế : x 2 3x +6x3=0x2 4x +3 =0(2) a+b+c= 1+(4) +3 =0 c a Nên x1=1 ; x2= =3 là hai nghiệm của phương trình trung gian Để kết luận nghiệm của (1) ta cần phải kiểm tra xem các nghiệm của (2) có thuộc TXĐ của (1) hay khơng ? ở đây ta nhận thấy x1=1 thoả mãn điều kiện x 2=3 khơng thoả mãn điều kiện Do đó ta mới kết luận nghiệmcủa (1) là x=1 *Nhận xét : Những phương trình được trình bày ở trên là dạng phương trình gặp nhiều Khi giải các phương trình này ta cần chú ý những vấn đề sau : + Tìm TXĐ của phương trình Trang 7 + Sau khi giải được kết quả cần so sánh kết quả và kết luận nghiệm ( loại bỏ những nghiệm của phương trình trung gian khơng nằm trong miền xác định ) * Bài luyện tập:Giải các phương trình : a ,3(x2+x) 2(x2+x ) 1= 0 , b, 5x2 7x = 0 c x e, x 3x x2 x x x 2x x2 x 2x d, x x2 x ( x 1)( x 4) 2.2. Phương trình bậc ba a x3 +bx2 +cx =d =0 ( trong đó x là ẩn ; a,b,c,d là các hệ số ;a 0 ) * Cách giải : Để giải một phương trình bậc ba ta thường biến đổi về phương trình tích .Vế trái là tích của các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai , vế phải bằng 0 . Muốn làm tốt việc này cần đồi hỏi HS phải có kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử một cách thành thạo *Ví dụ : giải phương trình 2x3 +7x2 +7x + 2=0 Giải Phân tích vế trái thành nhân tử ta có VT = (2x3 + 2) + (7x2 +7 )= 2(x3 +1) + 7x (x+1) = 2(x+1)(x2 –x +1) +7x(x+1)= (x+1)[2(x2x +1) +7x ] = (x+1) (2x2+5x +2) Vậy phương trình đã cho (x+1) (2x2+5x +2) =0 x +1 =0 (2) x1 =1 (2x2+5x +2) =0 (3) x 2=2 ; x3 = Trang 8 Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là x1 =1 ; x 2=2 ; x3 = *Nhận xét : Khi giải một phương trình bậc ba ta khơng nghiên cứu cách giải tổng qt mà chủ yếu dùng phép phân tích đa thức thành nhân tử để đưa phương trình về dạng phương trình tích Chú ý : tính chất của phương trình bậc ba : a x3 +bx2 +cx =d =0 ( a 0 ) +Nếu a+b+c +d =0 thì phương trình có một nghiệm x=1 +Nếu ab+cd =0 thì phương trình có một nghiệm x= 1 Khi đã nhận biết được một nghiệmcủa phương trình ta dễ dàng phân tích vế trái thành nhân tử Phương trình : a x3 +bx2 +cx =d =0 ( a 0 ) với các hệ số ngun . Nếu có nghiệm ngun thì nghiệm ngun đó phải là ước của hạng tử tự do (đ/l sự tồn tại nghiệm ngun của phương trình nghiệm ngun ) Nếu phương trình : a x3 +bx2 +cx =d =0 ( a 0 ) có 3 nghiệm x1 ; x2 ; x3 Thì 3 nghiệm đó sẽ thoả mãn các điều kiện sau: b a c a x1+x2+x3 = ; x1x2+ x2x3 +x1x3 = ; x1x2x3 = * Bài luyện tập:Giải các phương trình : a, 2x3 5x2 3x = 0; c, x3 5x2 + x + 5 = 0 b, x3 7x + 6 = 0; d, x3 13x2 42x 36 = 0 f, 3x3 7x2 + 17x 5 = 0 2.3. Phương trình bậc 4 : Phương trình bậc 4 dạng : a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0 Trong đó x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ; ( a 0 ) Trang 9 d a Một phương trình bậc 4 mà qua phép đặt ẩn phụ ta có thể quy về PT bậc hai 2.3.1. Phương trình tam thức bậc 4 (Phương trình trùng phương ) Phương trình trùng phương có dạng tổng qt : a x4 +bx 2 +c=0 (1) Trong đó x là ẩn ; a , b ,c là các hệ số ; ( a 0 ) *Cách giải : Khi giải phương trình này ta dùng phương pháp đổi biến x 2 =t (t 0) (2) Khi đó phương trình (1) dưa được về dạng phương trình bậc hai trung gian a t2 +b t +c =0 (3) Giải phương trình (3) rồi thay giá trị của t tìm được ( với t 0) vào (2) ta được phương trình bậc ha với biến x giải phương trình này ta tìm được nghiệm của phương trình trùng phương ban đầu *Ví dụ : Giải phương trình sau: 4x 4 109x2+ 225 =0 (1) Giải Đặt x 2 =t (t 0) phương trình (1) trở thành 4t2 – 109t +225=0(2) Giải phương trình (2) được nghiệm là t1 = ; t2 =25 Cả hai nghiệm của phương trình (2) đều thoả mãn điều kiện t 0 9 + Với t1 = ta có x 2= => x1=3/2 ; x2= 3/2 + Với t2=25 ta có x2= 25 => x3 =5 ; x4=5 Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm là : x1=3/2 ; x2= 3/2 ; x3 =5 ; x4=5 * Nhận xét : Khi nghiên cứu số nghiệm của phương trình trùng phương (1) ta thấy : Phương trình vơ nghiệm khi : Trang 10 đổi biến bằng cách đặt f(x) =t khi ó phương trình có dạng at2 + bt +c =0 (2) là PT bậc hai đã biết cách giải +/nếu (2) có nghiệm là t=t0 thì ta sẽ giải tiếp phương trình f(x) =t +/ nghiệm của phương trình f(x) =t 0 (nếu thoả mãn TXĐ của phương trình đã cho ) sẽ là nghiệm của phương trnhf (1) * Ví dụ : Giải phương trình x4+6x3+5x212x+3=0 (1) TXĐ : x R Biến đổi vế trái ta có VT= (x2+ 3x)2 4(x2+3x) +3 Vậy ta có phương trình tương đương : (x2+ 3x)2 4(x2+3x) +3 =0 Đặt x2+ 3x =t (2) Ta có PT : t2 4t +3 = 0 có nghiệm là t1=1 ;t2=3 Với t1=1 x2+ 3x = 1 x2 +3x 1=0 có nghiệm là x1 , 2 = Với t2=3 x2+ 3x = 3 x2+ 3x – 3 =0 có nghiệm x3, 4 = 13 21 các nghiệm này đều thoả mãn TXĐ Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x1 , 2 = 3 13 ; x3, 4 = 21 * Nh ận xét : Nhờ phép biến đổi f(x) =t ta đưa phương trình a[ f(x)] 2 +b f(x) +c = 0 về dạng phương trình bậc hai đã biết cách giải Tuy nhiên có một số phương trình phải qua một số phép biến đổi mới xuất hiện dạng tổng qt ( ví dụ trên ) . Cũng như một số loại phương phương trình khác mà tơi đã giới thiệu ở trên . số nghiệm của phương trình ban đầu phụ thuộc vào nghiệm của phương trình bậc hai trung gian Trang 17 * Chú ý : Tất cả các phương trình đã đề xuất ở trên thực chất chúng đều có dạng tổng qt a[ f(x)]2 +b f(x) +c = 0 (1) (sau khi đã biến đổi ) Phương trình trùng phương kể cả phương trình bbậc hai đều là dạng đặc biệt của phương trình a x2n+ bx n +c = 0 Gọi là phương trình tam thức (trong đó x là ẩn ;a 0 ; n 1) dạng đặc biệt của phương trình (1) trên Với f(x)=xn * Bài luyện tập: Giải các phương trình : a, x4 + 4 = 5x(x2 2); c, x4+6x3+5x212x+3=0; b, x4 + 9 = 5x(x2 3) *Ngồi ra các phươg trình bậc cao có dạng đặc biệt nêu trên mà khi giải đều đưa được về dạng một phương trình bậc hai trung gian *Sau đây ta nghiên cứu một số phương trình bậc cao khác: 2.4. Phương trình tam thức Phương trình tam thức dạng : a x2n + bxn +c=0 (1) (a, b, c là các số thực ;n ngun dương ;n ; a 0 ) * Nếu a, b, c đồng thời khác khơng và n=2 thì phương trình (1) là phương trình trùng phương đã nghiên cứu ở trên * Xét trường hợp n>2 Ta đặt xn =t Để tìm nghiệm của (1) ta giải hệ sau : xn =t a t2 + bt +c =0 * Ví dụ : Giải phương trình x6 9x3+8=0 (1) Cách 1: Đặt x3 = t ta có phương trình t2 9t +8= 0 có nghiệm t1 =1 ; t2 =8 Với t1 =1 x3 =1 x=1 Với t2 =8 x3= 8 x=2 Cách 2 : Đưa về phương trình tích (1) (x6 – x3) –( 8x38) =0 ( x3 1) (x3 8) =0 (x3 1) =0 hoặc (x3 8) =0 x=1 hoặc x=2 Trang 18 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=1 ; x=2 *Bài luyện tập: giải các phương trình: a, 8x6 5x3 + 8 = 0 b, 10x4 6x2 121 = 0 2.5. Phương trình đối xứng bậc lẻ ( bậc 5) phương trình đối xứng bậc lẻ (bậc 5) có dạng : a x5 +bx4 + cx3 +cx2 +bx+a =0 * Ví dụ : Giải phương trình 2x5 +3x4 5x3 5x2 + 3x +2=0 Phương tình này có tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ , có nghiệm x= 1 .Nên biến đổi phương trình về dạng ( x+1) (2x4+x3 6x2+x+2 )=0 Ngồi nghiệm x=1 , để tìm nghiệm còn lại ta đi giải phương trình 2x4+x3 6x2+x+2 =0(2) là phương trình đối xứng (bậc 4) Giải (2) ta được x1 =x2=1 ; x3 =2 ;x4=0,5 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x1 =x2=1 ; x3 =2 ;x4=0,5 ;x5=1 *Nhận xét : Phương trình đối xứng bao giờ cũng có một trong các nghiệm là x=1 do đó băng cách chia cả hai vế phương trình cho x+1 ta hạ được bậc của phương trình thành phương trình đối xứng bậc chẵn 2n Phương trình đối xứng bậc chẵn 2n đối với x được đưa về phương trình bậc n đối với t bằng cách đặt t =x+ x Nếu a là nghiệm của phương trình đối xứng thì 1/a cũng là nghiệm của phương trình chính vì thế phương trình đối xứng dù chãn hay lẻ bậc còn được gọi là phương trình thuận nghịch bậc chẵn hay bậc lẻ) * Bài luyện tập:Giải phương trình: 2x5 + 5x4 13x3 13x2 + 5x + 2 = 0 2.6. Phương pháp giải các phương trình bậc cao đưa được về dạng tích Ví dụ 1: Giải phương trình sau : x3+ 4x2 29+24 =0 (1) Trang 19 Phương trình (1) khơng thuộc các phương trình đã xét ở trên Do đó đẻ giải phương trình này ta đưa về dạng tích bằng cách phântích vế trái thành tích của các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai (1) x2( x1)+ 5x(x1) 24(x1 ) =0 (x1 )( x2+5x24 )=0 x1 =0 hoặc x2 +5x24=0 *x1=0 x 1=1 * x2+5x24=0 có hai nghiệm là x1= 3 ; x2=8 Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là x1= 1 ; ; x2=8 ; x3=3 Ví dụ 2: Giải phương trình x4+ 4x3+3x2+2x1=0 (2) (x2+2x)2 –(x1)2 =0 (x2+x+1 )( x2+3x1 )=0 x2+x+1 =0 hoặc x2+3x1 =0 * x2+x+1 =0 vơ nghiệm (Vì = 3