Toán 9 hệ phương trình đối xứng (sáng kiến kinh nghiệm )

PhÇn I . Më ®Çu 1- Lý do chän ®Ò tµi. Trong qu¸ tr×nh d¹y to¸n t«i thÊy hÖ ph¬ng tr×nh nãi chung vµ hÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng nãi riªng lµ mét phÇn kiÕn thøc hÕt søc quan träng trong ch¬ng tr×nh líp 9 vµ c¶ líp 10. §Æc biÖt nã lµ phÇn kh«ng thÓ thiÕu trong c«ng t¸c båi dìng häc sinh giái. Kü n¨ng tr×nh bµy c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i I vµ lo¹i II rÊt dÔ hiÓu ®èi víi mäi ®èi tîng häc sinh, h¬n n÷a nã cßn cã øng dông rÊt quan träng trong viÖc gi¶i mét sè d¹ng to¸n ®ßi hái ph¶i cã sù t duy cao. 1 PhÇn II: Néi dung cña ®Ò tµi A/ Néi dung I/ C¬ së lý luËn khoa häc cña ®Ò tµi. 1- HÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i I a- §Þnh nghÜa: Mét hÖ ph¬ng tr×nh ®îc gäi lµ hÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i I nÕu mâi ph¬ng tr×nh cña hÖ ®· cho ®èi xøng víi 2 Èn x, y (nghÜa lµ mçi ph¬ng tr×nh cña hÖ kh«ng thay ®æi khi ta ®æi vai trß cña x vµ y cho nhau). b- TÝnh chÊt: NÕu (xo, yo) lµ 1 nghiÖm cña hÖ th× (yo, xo) còng lµ nghiÖm cña hÖ, v× vËy nÕu hÖ cã nghiÖm duy nhÊt th× nghiÖm duy nhÊt ®ã ph¶i cã d¹ng ( xo, yo) c- C¸ch gi¶i th«ng thêng. + BiÓn ®æi hÖ ®Ó xuÊt hiÖn x + y vµ x y + §Æt s=x+y p = xy BiÕn ®æi hÖ ®· cho vÒ hÖ víi 2 Èn S, P + Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ®Ó t×m S,P + Víi mçi cÆp (S, P) th× x,y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x2 - sx + P = 0 (víi = s2 - 4p > 0) 2- HÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i II a- §Þnh nghÜa: hÖ 2 ph¬ng tr×nh chøa 2 Èn x, y ®îc gäi lµ hÖ ®èi xøng lo¹i II, nÕu trao ®æi vÞ trÝ cña x,y th× hÖ ph¬ng tr×nh nµy chuyÓn thµnh ph¬ng tr×nh cña hÖ. b- TÝnh chÊt: NÕu (xo, yo) lµ 1 nghiÖm cña hÖ th× (y o, xo) còng lµ 1 nghiÖm cña hÖ vËy ®Ó cã nghiÖm duy hÊt th× x0 = yo nghÜa lµ nghiÖm duy nhÊt cã d¹ng (xo, xo) c- C¸ch gi¶i th«ng thêng. + Trõ víi vÕ c¸c ph¬ng tr×nh ®· cho ®Ó ®îc ph¬ng tr×nh. + Ph¬ng tr×nh trªn sÏ ®îc ®a ph¬ng tr×nh d¹ng tÝch víi ®Æc ®iÓm lµ nã cã nghiÖm x= y ( vµ còng cã thÓ cã thªm nghiÖm kh¸c) II/ §èi tîng phôc vô cña ®Ò tµi . Trong ph¹m vi néi dung nghiªn cøu cña ®Ò tµi nµy, chñ yÕu nh»m n©ng cao kiÕn thøc phï hîp víi häc sinh kh¸ vµ giái líp 9. 2 III/ Néi dung vµ ph¬ng ph¸p nghiªn cøu. 1- Ph¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i I §Ó lµm s¸ng tá nhËn ®Þnh còng nh môc tiªu nghiªn cøu cña ®Ò tµi ta xÐt c¸c bµi to¸n nh sau. Bµi to¸n 1: Cho hÖ ph¬ng tr×nh víi tham sè m (I) x + y + xy = m x +y2 =m 2 a- gi¶i hÖ víi m = 5 b- T×m m ®Ó cã nghiÖm c- T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt Gi¶i : Ta cã x + y = xy = m ⇔ x + y + xy = m 2 2 x +y =m (x + y)2 - 2xy = m §Æt s= x+ y p = xy ®iÒu kiÖn s2 ≥ 4p (*) HÖ ®· cho trë thµnh II ⇔ s +p =m s2 - 2p -15 =0 ⇔ p = m-s s2 -2 (m -s)= m p = m -s s2 + 2s - 3m =0 (+ *) a - víi m = 5 ta cã hÖ p = 5-s ⇔ S =3 p =2 s= -5 s + 2s - 15 =0 p= 10 (2) ta thÊy hÖ (2) kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*) hÖ 1 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*) do ®ã x,y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x2 -3x + 2 = 0 ⇔ x=1 2 x= 2 VËy hÖ ®· cho cã nghiÖm khi vµ chØ thi ph¬ng tr×nh (+ *) cã nghiÖm Tøc lµ ’ =1 + 3m ≥ 0 ⇔ m ≥ - 1 3 2 2 Nhng do x + y = m nªn m ≥ 0 Khi ®ã (**) cã 2 nghiÖm s= -1 + 1 + 3m s= -1 - 1 + 3 m 3 Do ®ã hÖ (II)cã nghiÖm s =-1 + 1 + 3m p- m+ 1 - 1 + 3 m s= -1 - 1 + 3 m (3) (4) p = m+1+ 1 + 3 m Ta thÊy hÖ (3) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (+) khi vµ chØ khi 0 ≤ m ≤ 8 Kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña m ®Ó hÖ (4) + m ®iÒu kiÖn (*) VËy víi 0 ≤ m ≤ 8 hÖ (I) cã nghiÖm. Ta còng cã thÓ kiÓm tra ®iÒu kiÖn (*) b»ng c¸ch víi p = m-s tõ ®iÒu kiÖn (*) suy ra ≥ m 2 c- §iÒu kiÖn cÇn: gi¶ sö hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x0, y 0 )v× hÖ ®· cho lµ hÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng nªn nã còng nhËn (y0, x0) lµm nghiÖm, do tÝnh duy nhÊt cña nã nªn ta cã (x0, y0)= (y0,x0) hay x0=y0. x0 =0 2 2 Khi ®ã hÖ trë thµnh 2x0 + x0 = m ⇔ x0 - 2x0 =0 ⇔ m=0 2 2 2 x0 =m 2x0 = m x0 = 2 m =8 §iÒu kiÖn ®ñ: víi m = 0 ta cã Víi m = 8 ta cã hÖ x + y + xy = 0 gi¶i hÖ ta cho nghiÖm x = y = 0 x 2 + y2 = 0 x + y + xy = 8 gi¶i hÖ ®îc nghiÖm x= y =2 2 2 x +y =8 VËy víi m = 0 hoÆc m = 8 hÖ ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt. Khi gi¶i d¹ng to¸n t×m nghiÖm duy nhÊt nÕu gi¶i theo c¸ch. Gi¶ sö hÖ cã nghiÖm duy nhÊt buéc ph¶i tr×nh bµy ®iÒu kiÖn vµ vµ ®iÒu kiÖn ®ñ v× khi gi¶ se hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x0, y0) ta t×m ®îc m = 2 hoÆc m = 8 nh÷ng víi m = 2 hoÆc m = 8 cha thÓ kh¼ng ®Þnh hÖ cã nghiÖm duy nhÊt hay kh«ng, häc sinh thêng bá quyªn ®iÒu kiÖn ®ñ. Bµi to¸n 2: cho hÖ ph¬ng tr×nh x + y + of (*) = m + 1 x y + xy2 = m 2 a- Gi¶i hÖ víi m = 2 b- X¸c ®Þnh m ®Ó hÖ cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x > 0, y> 0 Gi¶i x+ y + xy = m + 1 Ta cã: x + xy + y = m + 1 ⇔ xy (x+ y) = m 2 x y + yx= m 4 s= x + y ®iÒu kiÖn s2 ≥ 4p p = xy s+p=m+1 HÖ ®· cho trë thµnh sp = m (3) Do ®ã s lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x2 - (m+1) x + m = 0 ⇔ x= 1 x= m a - víi m = 2 Ta cã: s = 1 (1) hoÆc s = 2 (2) p=2 p=1 §Æt : HÖ 1 kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*) HÖ 2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*) Do ®ã x,y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh t2 - 2t + 1 =0 ⇔ t = 1 VËy hÖ ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt (1,1) b- Ta xÐt 2 trêng hîp TH 1 s = 1 P=m Khi ®ã : x,y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x2 - x + m = 0 (3) HÖ ®· cho cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x> 0, y> 0 khi vµ chØ khi ph¬ng tr×nh (3) cã 2 nghiÖm x,y>0 ®iÒu nµy x¶y ra khi vµ chØ khi  ≥0 x+ y > 0 ⇔ xy >0 1- 4 m ≥ 0 1>0 m>0 ⇔ 0 0 khi vµ chØ khi. ≥ 0 m2 - 4 ≥ 0 ⇔ m ≥ 2 x+ y > 0 ⇔ m>0 xy > 0 1> 0 VËy víi 0 < m 1 hoÆc m ≥ 2 hÖ ®· cho cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm x,y >0 Bµi to¸n 3: gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh X y + y x = 30 ⇔ ®· X§: x ≥ 0, y ≥ 0 (1) X x +y ⇔ y = 35 xy ( x + y ) = 30 ⇔ xy + ( x + y)=0 5 x3 + §Æt y3 = 35 s= x + p xy ( xy + y )3 - 3 xy ( x + y ) = 35 y ®iÒu kiÖn s2 ≥ 4p (*) HÖ ®· cho trë thµnh sp = 30 sp = 30 ⇔ s3 - 35p = 35 Do ®ã x , ⇔ s3 =125 s=5 p = 6(+ m §K *) y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x2 - 5x + 6 = 0 ⇔ Do ®ã ta cã: x =2 y =3 x=2 x= 3 x = 4 (+ m ®iÒu kiÖn 4) x= 9 ⇔ x =3 x = 9 (+ m ®iÒukiÖn 1) y =2 y=4 VËy hÖ nµo cho cã 2 nghiÖm (4, 9); (9;4) Víi bµi nµy ta còng cã thÓ qua 1 lÇn ®Æt n÷a lµ 4 = x (4 ≥ 0) V = y (v ≥ 0) Khi ®ã tõ hÖ ®· cho ta cã thÓ ®a vÒ hÖ c¬ b¶n víi c¸ch gi¶i th«ng thêng. Tuy nhiªn trong mét sè bµi to¸n ta cã thÓ cã nh÷ng c¸ch ®¹t hîp lý vÝ dô xÐt bµi tuÇn sau. Bµi to¸n 4: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: x+ y + 1 + 1 = 5 ax y 2 2 x +y +1+1=9 x2 y2 §K X§: x; y ≠ 0 §Æt : x+ 1 = 4 ; y + 1 = v ; ®iÒu kiÖn x y 2 Khi ®ã : x + 1 = 42 - 2 x2 y2 + 1 = v2 -2 y2 |x| + |y| = 8 bx2 + y2 = 35 |4 | ≥ 2 ; |v | ≥ 2 6 hÖ ®· trë thµnh u + v =5 ⇔ u2 + v2 - 4 =9 u+v=5 ⇔ u2 + v2 = 13 u+v=5 (u + v2) - 2uv = 13 ⇔ u+v=5 uv = 6 Tõ ®ã ta sÏ t×m ®îc u,v vµ t×m ®îc x,y b- §Æt |x | = 4 (u ≥ 0) ⇒ x2 = u2 | y | = v (v ≥ 0) ⇒ y2 = v2 u+ v = 8 Khi ®ã hÖ ®· trë thµnh 2 u + v = 35 u+v=5 ⇔ u+v=5 ⇔ 2 2 u + v = 13 ( u + v)2 - 2 uv =13 ⇔ u+v=5 uv = 6 Tõ ®ã ta sÏ t×m ®îc u,v vµ t×m ®îc xy b- §Æt | x | = u (u ≥ 0) ⇒ x2 = u2 | y | = v(v ≥ 0) ⇒ y2 = v2 Khi ®ã ®· trë thµnh u + v =8 u2 + v = 35 ⇔ u+v=8 2 (u + v) - 2 uv = 35 ⇔ u+v=8 uv = 15 T×m u,v sau ®ã ta sÏ t×m ®îc x,y (Cã bæ sung ë giÊy riªng) 7 2- Ph¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i II Bµi to¸n 1: Cho hÖ ph¬ng tr×nh xy + x2 ≠ m (y - 1) Xy + y2 = m (x-1) a- Gi¶i hÖ khi m= - 1 b- T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt. Gi¶i: a- khi m = - 1 hÖ ®· cho trë thµnh: xy + x2 = 1-y xy + x2 = 1-y ⇔ xy + y = 1-x ⇔ xy + x2 = 1-y x=y x = y = -1 ⇔ ⇔ x2 + y = x- y 2 (x + y) (x + y - 1) = 0 2 ⇔ xy + x2 = 1-y x=y xy + x2 = 1-y X+ y =1 xy + x2 = 1-y ⇔ x=y ( x- y) ( x+ y - 1) =0 y=1-x x ∈R x=y=1 2 y = 1-x x∈R VËy khi m = -1 cã 3 nghiÖm (- 1,1) ; ( 1 ; 1) ; (x, 1 - x) víi x ∈ R 2 2 b- §iÒu kiÖn cÇn : Gi¶ sö hÖ cã nghiÖm (x0 ; y0) th× (y0 ; x0) còng lµ nghiÖm do tÝnh duy nhÊt cña nghiÖm th× x0 = y0, khi ®ã ta cã ph¬ng tr×nh 2 x02 - mx0 + m = 0 ®Ó hÖ cña nã cã nghiÖm duy nhÊt th× ph¬ng tr×nh nµy ph¶i cã nghiÖm kÐp tøc lµ :  = m2 - 8m = 0 ⇔ m =0 m=8 ®iÒu kiÖn ®ñ : Víi m = 0 ta cã hÖ Víi m = 8 ta cã hÖ x (y + x) = 0 y ( x+ y) = 0 ta thÊy hÖ v« sè nghiÖm xy + x2 = 8 (y - 1) gi¶i hÖ ®îc nghiÖm duy nhÊt 2 Xy + y = 8 (x-1) x= y = 2 8 Bµi to¸n 2 : X¸c ®Þnh tham sè m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã ®óng nghiÖm ph©n biÖt : x2 + ( m -+2) x= my (1) y2 + ( m + 2) y = mx (2) LÊy (1) - (2) vÕ theo vÕ ta cã ph¬ng tr×nh x2 - y2 + (m + 2) (x - y) = m (y - x) ⇔ (x + y + m + 2 + m) = 0 ⇔ (x + y + 2m + 2) = 0 x=y ⇔ x+ y + 2m + 2 = 0 TH : x= y khi ®ã ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh x2 + (m + 2) x= mx ⇔ x2 + 2x = 0 ⇔ x ( x + 2) = 0 ⇔ x= 0 X= - 2 HÖ cã 2 nghiÖm (0,0). (-2; -2) TH: x+ y + 2m + 2 = 0 ⇔ y = -x - 2m -2 thay vµo (1) ta ®îc ph¬ng tr×nh x2 + 2 ( m + 1) x + 2m (m + 1) = 0 (+) HÖ ®· cho ®óng 2 nghiÖm ph©n biÖt khi vµ chØ khi ph¬ng tr×nh (+) v« nghiÖm hoÆc cã nghiÖm x= 0 vµ t×m ®îc y = 0 hoÆc cã nghiÖm x= - 2 vµ t×m ®îc y = -2. TH1: phêng tr×nh (+) cã nghiÖm x = 0 khi vµ chØ khi 2 m (m + 1) = 0 ⇔ m=0 m = -1 TH 2: ph¬ng tr×nh (+) Cã nghiÖm x = 0 khi vµ chØ khi 2m (m + 1) = 0 ⇔ m=0 m = -1 Khi m = 0 vµ x = 0 th× y = -2 (lo¹i) Khi m = -1 vµ x = 0 th× y = 0 (T/m) TH 3 : Ph¬ng tr×nh (+) cã nghiÖm x = -2 khi vµ chØ khi 4 - 4 (m + 1) + sm2 + 2m = 0 ⇔ 2m2 - 2m = 0 ⇔ m < -1 M>1 Khi m = 0 vµ x = - 2 th× y = 0 (lo¹i). Khi m = 1 vµ x = -2 th× y = - 2 (+ /m) KÐt hîp c¸c trêng hîp trªn ta cã hÖ, cã ®óng 2 nghiÖm ph©n biÖt khi vµ chØ khi m ≤ -1 hoÆc m ≥ 1 CÇn lu ý r»ng trong trêng hîp 2 vµ trêng hîp 2 khi t×m ®îc nghiÖm x ph¶i t×m ®îc y = x Häc sinh cã thÓ m¾c sai lÇm khi xÐt thªm trêng hîp ph¬ng tr×nh (+) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x = 0 vµ x = 2 khi ®ã m = 0 nhng víi m =0 vµ x = 0 th× y = - 2. M= 0 vµ x = - 2 th× y = 0 lóc nµy cã 4 nghiÖm. 9 Bµi to¸n 3 : Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : X + 2 − y2 = 2 Y + 2 − x2 = 2 Gi¶i: ®k x® - 2 ≤ x,y ≥ 2 x + 2 − y2 = 2 ⇔ ta cã y + 2 − x2 = 2 x + 2 − y2 = 2 (1) x + 2 − x 2 + y 2 − y 2 = 4 (2) ta xÐt (x + 2 − x 2 )2 ≤ 2 (x2 + 2 - x2) = 4 (¸p dông H§T (a +b)2 ≤ 2 (a2 + b2) ⇒ x + 2 − x2 ≤ 2 Chøng minh t¬ng tù ta cã: y + 2 − y 2 ≤ 2 Do ®ã x + 2 − x 2 + y + 2 − y 2 ≤ 4 ⇔ x = y = 1 ( + / M ®k) DÊu “ = ” x¶y ra khi vµ chØ khi x = 2 − x2 Y = 2 − y2 VËy ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm x = y = 1 Ta thÊy x = y = 1 tho¶ m·n ph¬ng tr×nh (1) vËy hÖ cã nghiÖm duy nhÊt ( x,y = (1;1) Víi bµi to¸n trªn cã thÓ cã c¸ch gi¶i kh¸c xong c¸ch gi¸i trªn ng¾n gän h¬n cã thÓ gi¶i cho c¸c ph¬ng tr×nh cã d¹ng nh ph¬ng tr×nh (2) vµ ®Æc biÖt hay sö dông khi gi¶i ®iÒu kiÖn ®ñ trong d¹ng to¸n t×m nghiÖm duy nhÊt. 10 IV/ KÕt qu¶ : Qua qu¸ tr×nh ¸p dông vµo viÖc gi¶ng d¹y ®éi tuyÓn Häc sinh giái líp 9 t«i thÊy häc sinh rÊt høng thó khi gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh thuéc d¹ng nµy vµ ®Æc biÖt khi gÆp c¸c d¹ng to¸n mµ häc sinh ph¶i ®a vÒ hÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i I vµ lo¹i II th× c¸c em ¸p dông kh¸ thµnh th¹o vµ cã kü n¨ng tr×nh bµy t¬ng ®èi tèt. V/ Gi¶i ph¸p míi s¸ng t¹o. §èi víi häc sinh kh¸ cã thÓ cho c¸c em gi¶i c¸c lo¹i hÖ ph¬ng tr×nh nãi trªn cßn ®èi víi c¸c em häc giái cã thÓ t¨ng cêng c¸c bµi tËp chøa tham sè ch¼ng h¹n. Bµi to¸n 1: Cho hÖ ph¬ng tr×nh (x + y) ( y + 1) = m + 4 xy ( x + y) = 3m a- X¸c ®Þnh m ®Ó cã nghiÖm b- x¸c ®Þnh ®Ó hÖ cã 4 nghiÖm ph©n biÖt. Bµi to¸n 2 T×m gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó .... sau cã nghiÖm duy nhÊt xy + ( x + 4 ) z 2 = m x 2 + y2 + z 2 = m v Bµi to¸n 3 Chøng minh r»ng víi a ≠ 0 cã hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt 7 x + y - a3 = 0 x2 7 y + x - a3 = 0 y2 11 B. øng dông vµo thùc tiÔn c«ng t¸c gi¶ng d¹y. I/ Qu¸ tr×nh ¸p dông cña b¶n th©n. Tõ hai lo¹i ph¬ng tr×nh ®èi xøng nãi trªn cã thÓ ¸p dông vµo gi¶i mét sè d¹ng to¸n sau: 1- D¹ng 1: Tõ hÖ ph¬ng tr×nh cha ph¶i hÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng ta ®a ®îc vÒ hÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng. Bµi to¸n 1: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh. x 2 - y2 + x - y = 5 x3 - x2y - xy2 + y3 = 6 Gi¶i: X2 - y2 + x -y =5 ⇔ x - x y - xy + y = 6 y) = 6 3 2 2 ⇔ (x + y ) (x - y) = 6 3 x 2 - y2 = u x-y=v HÖ ®· cho trë thµnh x2 - y2 + x - y = 5 x2 -y2 + x =5 (x2 - y2) ( x - 2 §Æt u+v=5 U.v=6 Do ®ã u, v lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x2 - 5x + 6 = 0 ⇔ TH 1: x2 - y2 = 2 gi¶i hÖ ta ®îc x-y=3 TH 2 : x2 - y2 = 3 x=2 x=3 x = 11 6 y = -7/6 x = 7/4 Gi¶i hÖ ta ®îc x- y = 2 VËy hÖ ®· cho cã 2 nghiÖm 11 6 y = 1/4 7 (7/4, 1/4) 6 Bµi to¸n 2 : X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm : x 2 - y2 = 2 x 3 - y3 = m 12 Gi¶i: §Æt - y = v HÖ ®· cho trë thµnh x+v=2 ⇔ x = v3 = m x+v=2 ⇔ (x + v) - 3xv ( x + u) = m 3 x+v=2 xv = 8-m 6 3 Do ®ã x, u lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x2 - 2x + 8 - m = 0 (*) 6 Ph¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm khi vµ chØ khi ’ ≥ 0 1 - 8 - m ≥ 0 ⇔ m ≤ -2 6 Bµi to¸n 3: T×m a ®Ó hÖ sau ®©y cã nghiÖm: x +1 + y +1 = a x + y = 2a + 1 Gi¶i: §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh: x ≥ -1 ; y ≥ 1 §Æt x + 1 = u (u ≥ 0) ⇒ v2 = x _ 1 y − 1 = v ( v ≥ 0) ⇒ u2 = y -1 Do ®ã x + y = u2 - v2 Khi ®ã hÖ ®· cho trë thµnh u+v=a u+v=a ⇔ 2 uv = a2 - 2a + 1 ⇔ (u + v)2 - 2 uv = 2a + 1 ⇔ u+v=a 2u v = a2 - 2a - 1 u+v=a uv = a2 - 2a -1 2 Do ®ã u,v lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x2 - ax + a2 - 2a -1 = 0 (+) 2 Ta ph¶i t×m ®iÒu kiÖn cña a ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm kh«ng ©m. §iÒu nµy x¶y ra khi vµ chØ khi ≥0 a2 - 2 (a2 - 2a -1) ≥ 0 1 2 x +x ≥ 0 ⇔ a≥0 gi¶i c¸c ®iÒu kiÖn trªn 1 2 2 ≥ ≥ x .x 0 a - 2a - 1 0 2 Ta ®îc 1 + 2 ≤ a ≤ 2 + 6 13 2- D¹ng 2: chuyÓn ph¬ng trinh v« tÝ vÒ hÖ ph¬ng tr×nh h÷u tÝ. Bµi to¸n 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh. x3 35 − x3 + ( x + 3 35 − x3 ) = 30 Gi¶i: §Æt 3 35 − x3 = y ⇒ y3 = 35 - x3 ⇒ x3 + y3 = 35 Do ®ã ta cã hÖ ph¬ng tr×nh xy (x+y) = 30 x3 + y3 = 35 ⇔ 3xy (x+y) = 90 ⇔ x3 + y3 = 35 xy (x+y) = 36 (x+y)3 = 125 ⇔ x+y =5 xy = 6 x=2 y=3 ⇔ x=3 y=2 VËy ph¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm s = 2;3 Bµi to¸n 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh 1 + x 1 2 − x2 = 2 ®k Gi¶i: ®kx® - 2 < x< 2 vµ x ≠ 0 §Æt: 2 − x 2 = y (y>0) ⇒ 2 - x2 + y2 = 2 Do ®ã ta cã hÖ ph¬ng tr×nh 1 1 + x y =2 ≠ ≠ x 0, y 0 ⇔ x + y = 2 xy 2 2 x +y =2 x2 + y2 = 2 Do ®ã ta cã (x+ y2) - (x+y)- 2=0 x+ y = -1 ⇔ x+ y =2 ≠ ≠ x 0, y 0 ⇔ x+y = 2xy (x+y)2 - 2xy =2 1 do ®ã x,y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 2 +1 − 3 x= 2 +1 + 3 X= 2 Víi x=y = -1 khi ®ã xy = x2 - x - 1 =0 ⇔ 2 14 Víi x+ y =2 khi ®ã xy =1 do ®ã x,y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x2 - 2x +1 = 0 ⇔ x=1 Tõ ®ã ta t×m ®îc x =1. vËy tËp nghiÖm cña nã lµ s = Bµi to¸n 3: gi¶i ph¬ng tr×nh x3 + 1 = 2 3 2 x − 1 Gi¶i: §Æt 3 2 x − 1 = y ta cã y3 = 2x -1 Do ®ã ta cã hÖ x3 +1 =2y x3 = 2y -1 x3 - y3 =2 (y-x) ⇔ ⇔ y = 2x -1 y =2x -1 3 ⇔ (x-y) (x2 + xy + y2 + 2)= 0 ⇔ x =2y -1 3 ⇔ x3 = 2y -1 3 x= y do x2 + xy + y2 + 2 > 0 ∀ x,y x = 2y -1 3 x3 -2x +1 = 0 x =1 tõ ®ã ta t×m ®îc x=y x= −1 ± 5 2 Bµi to¸n 4 Gi¶i ph¬ng tr×nh 2x2 + 2x +1 = 4 x + 1 Gi¶i ®k x®: x ≥ − 1 4 §Æt y = x2 + x Ph¬ng tr×nh ®ã trë thµnh 2y + 1 4 x + 1 ⇒ (2y + 1)2 = 4x+ 4 ⇒ x = y2 + y Do ®ã ta cã hÖ : y = x2 + x (x-y)(x + y + 2) =0 ⇔ x= y2 + y x = y2 + y ⇔ x=y x= y2 + y x+y+2 =0 x= y2 +y Gi¶i ra ta ®îc x = 0. Häc sinh còng cã thÓ gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p bÊt ®¼ng thøc nh vËy bµi to¸n 1 vµ bµi to¸n 2 ta ®· chuyÓn ph¬ng tr×nh v« tØ vÒ hÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i II. Bµi to¸n 3 vµ bµi to¸n 4 ta ®· chuyÓn ph¬ng tr×nh v« tØ vÒ hÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i II, râ rµng viÖc gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh trë lªn ®¬n gi¶n h¬n rÊt nhiÒu. 15 3- D¹ng 3 : t×m ®iÒu kiÖn ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt. Bµi to¸n 1 : T×n c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt 1+ x + 6− y = m 6 − x + 1+ x = m Gi¶i : ®kx® -1 ≤ x, y ≤ 6 §iÒu kiÖn cÇn : Gi¶i sö hÖ cã nghiÖm ( x0 ; y0 ) khi ®ã ta cã : 1 + x + 6 − y0 = m 1 + (5 − x0 ) + 6 + (5 − y0 ) = m ⇔ 6 − x0 + 1 + y0 = m 6 + (5 − x0 ) + 1 + (5 − y0 ) = m Ta thÊy (5 - x0 ; 5 - y0) còng lµ nghiÖm cña hÖ. VËy ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt th× : x0 =5 - x0 ⇔ x 0 - y0 = y0 =5-y0 5 Thay x0 =y0 = vµo 1 trong 2 ph¬ng tr×nh ta ®îc m = 2 5 2 14 ®iÒu kiÖn ®ñ: Víi m= 14 hÖ ®· cho trë thµnh 1 + x + 6 − y = 14 6 − x + 1 + y = 14 ⇔ 1 + x + 6 − y = 14 1 + x + 6 − x + 6 − y + 1 + y = 2 14 Ta xÐt: ( 1 − + x + 6 − x ) 2 = 1+x+6-x + 2 (1 + x)(6 − x) = 7 + 2 (1 + x)(6 − x) Víi - 1 ≤ x ≤ 6 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc cãi cho 2 sè kh«ng ©m 1+x. 6-x ta cã: 2 (1 + x)(6 − x) ≤ 1 + x + 6 − x = 7 Do ®ã 1 + x + 6 − x ≤ 14 hÖ sè cã thÓ tr×nh bµy nhiÒu c¸ch Chøng minh t¬ng tù ta cã 1 + y + 6 − y ≤ 14 Do ®ã 1 + x + 6 − x + 6 − y + 1 + y ≤ 2 14 dÊu = x¶y ra khi vµ chØ khi 1+x =6-x 1+ x + 6 − x ⇔ 6 − y = 1+ y x= ⇔ 6-y =1+y y= 5 2 5 2 5 tho¶ m·n ph¬ng tr×nh thø nhÊt, vËy hÖ ®· cho cã nghiÖm duy 2 nhÊt khi vµ chØ khi m= 14 Ta thÊy x =y = 16 Víi bµi nµy ë ®iÒu kiÖn cÇn tõ 1 trong 2 ph¬ng tr×nh cña hÖ sè cã thÓ ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc 2, xong c¸ch lµm nµy kh¸ dµi. Ph¬ng ph¸p t×m ®iÒu kiÖn cÇn ë ®©y lµ gi¶ sö hÖ cã nghiÖm duy nhÊt x= x0 dùa vµo cÊu tróc cña ph¬ng tr×nh ta suy ra do x= x0 lµ nghiÖm nªn x= g (x0) còng lµ nghiÖm (ë ®©y g (x0) lµ biÓu thøc nµo ®ã cña nghiÖm) do tÝnh duy nhÊt ta suy ra x0 = g (x0) tõ ®ã t×m ®îc ®iÒu kiÖn cÇn víi sè m. Bµi to¸n 2: X¸c ®Þnh m ®Ó hÖ sau cã nghiÖm duy nhÊt. y2 =x3 -4x2 +mx x2 = y3 - 4y2 + my Gi¶i: §iÒu kiÖn cÇn: Gi¶ sö hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm (x0, y0) khi ®ã (y0, x0) còng lµ nghiÖm cña hÖ do tÝnh chÊt duy nhÊt cña nghiÖm ta cã x0 = y0 Khi ®è ta cã ph¬ng tr×nh x 02 = x 02 −402 + mx0 ⇔ x 0 ( x02 − 5 x0 + m) = 0 ⇔ x0= 0 x02 − 5 x0 + m = 0(*) HÖ cã nghiÖm duy nhÊt khi vµ chØ khi (*) cã nghiÖm duy nhÊt b»ng 0 hoÆc v« nghiÖm, Ph¬ng tr×nh (*) kh«ng thÓ cã nghiÖm duy nhÊt x 0 = 0 do ®ã ph¬ng tr×nh (*) ph¶i v« nghiÖm. Tøc lµ  ®iÒu kiÖn ®ñ : Ta cã y 2 = x3 − 4 x 2 + mx ⇔ x 2 = y 3 − 4 y 2 + my 25 4 x 2 = x 3 − 4 x 2 + mx y 2 − x 2 = x3 − y 3 − 4( x 2 − y 2 ) + m( x − y ) x 2 = x 3 − 4 x 2 − mx (I) ⇔ x 2 = x 3 − 4 x 2 − mx ⇔ (x-y) ( x + xy + y − 3x + m) = 0 2 2 x=y y 2 = x 3 − 4 x 2 + mx x 2 + xy + y 2 − 3x − 3 y + m = 0( II ) 17 Ta xÐt hÖ (I) y 2 = x − 4 x 2 - mx ⇔ X= y x= y x ( x 2 − 5 x + m) = 0 ⇔ x 2 = x 3 − 4 x 2 + mx x=y=0 ⇔ x= y x2 − 5x + m = 0 x= y xÐt ph¬ng tr×nh x 2 − 5 x + m = 0  = 25 − 4m < 0 víi m 25 4 Do ®ã hÖ (I) lu«n cã nghiÖm (x,y) = (0;0) víi m> 25 4 Ta xÐt hÖ II 2 2 2 xÐt ph¬ng tr×nh x 2 + xy + y − 3x − y + m = 0 ⇔ x + x( y − 3) + y − 3 y + m = 0 (*) víi ph¬ng tr×nh (*) lµ ph¬ng tr×nh hËc 2 víi Èn x ta cã.  = ( y − 3)3 − 4( y 2 − 3 y + m) = - 3( y − 1)2 − 6 − 4m < 0 víi ∀y vµ m > Do ®ã hÖ II cã nghiÖm 25 4 VËy hÖ ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt khi vµ chØ khi m > 25 ë ®iÒu kiÖn ®ñ ta thÊy 4 biÕn ®æi hÖ ®· cho vÒ 2 hÖ ph¬ng tr×nh vµ tõ hÖ (I) ta ®· t×m ®îc nghiÖm duy nhÊt (x,y)= (0;0) do ®ã ta cÇn chøng tá hÖ II cã nghiÖm, trong trêng hîp nµy ta kh¼ng ®Þnh mét trong hai ph¬ng tr×nh cña hÖ (II) cã nghiÖm. §Ó chøng tæ ph¬ng tr×nh x 2 + xy + y 2 − 3x − y + m = 0 c« nghiÖm, ta còng cßn c¸ch biÕn ®æi chøng tá ph¬ng tr×nh x 2 + xy + y 2 − 3x − y + m > 0 víi ∀m > 25 4 II/ HiÖu qu¶ khi ¸p dông ®Ò tµi. Khi ¸p dông ®Ò tµi n»y ®èi víi häc sinh trêng THCS Lý Tù Träng t«i thÊy 90% häc sinh hiÓu bµi tèt, 80% c¸c em cã thÓ lµm bµi ®îc trong ph¹m vi kiÕn thøc c¸c em häc h¬n n÷a, c¸c em cßn rÊt høng thó lµm c¸c bµi tËp ®îc khai th¸c tõ bµi to¸n ®· gi¶i. Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y t«i thÊy sau khi truyÒn thô c¸c kiÕn thøc cÇn thiÕt th× viÖc rÌn kü n¨ng tr×nh bµy cho häc sinh còng rÊt quan träng vµ ®Æc biÖt ph¶i biÕt khai th¸c c¸c khÝa c¹nh cña bµi to¸n tøc lµ tõ mét bµi tËp cña thÇy híng dÉn häc sinh cã thÓ gi¶i ®îc nhiÒu bµi tËp khai th¸c tõ bµo tËp ®ã. S¸ng kiÕn tiÕp theo mµ t«i dù kiÕn nghiªn cøu lµ: §iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt. 18 PhÇn III. KÕt luËn §Ó gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng t«i viÕt ë trªn t«i thÊy r»ng viÖc ¸p dông vµo c«ng t¸c gi¶ng d¹y rÊt cã hiÖu qu¶. Tuú tõng ®èi tîng häc sinh mµ cã c¸c bµi to¸n phï hîp. Häc sinh dÔ dµng nhËn thøc hÖ ph¬ng tr×nh thuéc lo¹i nµo vµ gi¶i ®îc mét c¸ch thµnh t¹o. §èi víi c¸c bµi to¸n ®åi hái ph¶i cã sù t duy cao th× häc sinh còng rÊt say mª, høng thó t×m tßi ®Ó t×m c¸ch ®a bµi to¸n vÒ c¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n. T«i thÊy c¸c em ®· chñ ®éng, s¸ng t¹p trong viÖc suy nghÜ t×m c¸ch gi¶i cho mét sè bµi to¸n, ®iÒu nµy tr¸nh ®îc t×nh tr¹ng tiÕp thu kiÕn thøc mét c¸c thô ®éng, ¸p dông kiÕn thøc mét c¸ch m¸y mãc. T«i mong r»ng trong qu¸ tr×nh häc to¸n c¸c em cã sù say mª t×m tßi s¸ng t¹o vµ còng mong ®îc sù ®ãng gãp ý kiÕn cña c¸c ®ång nghiÖp ®Ó ®Ò tµi cña t«i ®îc hoµn chØnh h¬n vµ viÖc ¸p dông vµo c«ng t¸ gi¶ng d¹y ®¹t kÕt qu¶ cao. 19 Nh÷ng tµi liÖu tham kh¶o - B¸o to¸n häc tuæi trÎ, to¸n häc tuæi th¬. - Chuyªn ®Ò båi dìng häc sinh giái to¸n THCS. - NguyÔn §øc TÊn -Chuyªn ®Ò båi dìng häc sinh giái to¸n tHCS - NguyÔn Vò Thanh - 12 chuyªn ®Ò vÒ ®¹i sè s¬ cÊp - NguyÔn V¨n VÜnh - §Ò thi vµo chuyªn VÜnh Phóc - Mét sè s¸ch n©ng cao ®¹i sè 10. 20 MỤC LỤC PhÇn I . Më ®Çu.......................................................................................................1 PhÇn II: Néi dung cña ®Ò tµi.....................................................................................2 A/ Néi dung..........................................................................................................2 I/ C¬ së lý luËn khoa häc cña ®Ò tµi.....................................................................2 1- HÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i I...................................................................2 2- HÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i II..................................................................2 II/ §èi tîng phôc vô cña ®Ò tµi ...........................................................................2 III/ Néi dung vµ ph¬ng ph¸p nghiªn cøu.............................................................3 1- Ph¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i I..........................................................................3 2- Ph¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i II........................................................................8 IV/ KÕt qu¶ :.......................................................................................................11 V/ Gi¶i ph¸p míi s¸ng t¹o.................................................................................11 B. øng dông vµo thùc tiÔn c«ng t¸c gi¶ng d¹y...................................................12 I/ Qu¸ tr×nh ¸p dông cña b¶n th©n.....................................................................12 1- D¹ng 1: Tõ hÖ ph¬ng tr×nh cha ph¶i hÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng ta ®a ®îc vÒ hÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng.................................................................................12 2- D¹ng 2: chuyÓn ph¬ng trinh v« tÝ vÒ hÖ ph¬ng tr×nh h÷u tÝ.....................14 3- D¹ng 3 : t×m ®iÒu kiÖn ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt...............16 II/ HiÖu qu¶ khi ¸p dông ®Ò tµi..........................................................................18 PhÇn III. KÕt luËn..................................................................................................19 Nh÷ng tµi liÖu tham kh¶o.......................................................................................20 21 [...]... Quá trình áp dụng của bản thân Từ hai loại phơng trình đối xứng nói trên có thể áp dụng vào giải một số dạng toán sau: 1- Dạng 1: Từ hệ phơng trình cha phải hệ phơng trình đối xứng ta đa đợc về hệ phơng trình đối xứng Bài toán 1: Giải hệ phơng trình x 2 - y2 + x - y = 5 x3 - x2y - xy2 + y3 = 6 Giải: X2 - y2 + x -y =5 x - x y - xy + y = 6 y) = 6 3 2 2 (x + y ) (x - y) = 6 3 x 2 - y2 = u x-y=v Hệ đã... 3) + y 3 y + m = 0 ( *) với phơng trình ( *) là phơng trình hậc 2 với ẩn x ta có = ( y 3)3 4( y 2 3 y + m) = - 3( y 1)2 6 4m < 0 với y và m > Do đó hệ II có nghiệm 25 4 Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m > 25 ở điều kiện đủ ta thấy 4 biến đổi hệ đã cho về 2 hệ phơng trình và từ hệ (I) ta đã tìm đợc nghiệm duy nhất (x,y)= (0; 0) do đó ta cần chứng tỏ hệ II có nghiệm, trong trờng hợp... ta đã chuyển phơng trình vô tỉ về hệ phơng trình đối xứng loại II, rõ ràng việc giải hệ phơng trình trở lên đơn giản hơn rất nhiều 15 3- Dạng 3 : tìm điều kiện để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất Bài toán 1 : Tìn các giá trị của tham số m để hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất 1+ x + 6 y = m 6 x + 1+ x = m Giải : đkxđ -1 x, y 6 Điều kiện cần : Giải sử hệ có nghiệm ( x0 ; y0 ) khi đó ta có : 1... trên còn đối với các em học giỏi có thể tăng cờng các bài tập chứa tham số chẳng hạn Bài toán 1: Cho hệ phơng trình (x + y) ( y + 1) = m + 4 xy ( x + y) = 3m a- Xác định m để có nghiệm b- xác định để hệ có 4 nghiệm phân biệt Bài toán 2 Tìm giá trị của tham số m để sau có nghiệm duy nhất xy + ( x + 4 ) z 2 = m x 2 + y2 + z 2 = m v Bài toán 3 Chứng minh rằng với a 0 có hệ phơng trình sau có nghiệm duy... nào đó của nghiệm) do tính duy nhất ta suy ra x0 = g (x 0) từ đó tìm đợc điều kiện cần với số m Bài toán 2: Xác định m để hệ sau có nghiệm duy nhất y2 =x3 -4x2 +mx x2 = y3 - 4y2 + my Giải: Điều kiện cần: Giả sử hệ phơng trình có nghiệm (x0, y 0) khi đó (y0, x 0) cũng là nghiệm của hệ do tính chất duy nhất của nghiệm ta có x0 = y0 Khi đố ta có phơng trình x 02 = x 02 402 + mx0 x 0 ( x02 5 x0 + m) = 0 x0=... 0( *) Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi ( *) có nghiệm duy nhất bằng 0 hoặc vô nghiệm, Phơng trình ( *) không thể có nghiệm duy nhất x 0 = 0 do đó phơng trình ( *) phải vô nghiệm Tức là điều kiện đủ : Ta có y 2 = x3 4 x 2 + mx x 2 = y 3 4 y 2 + my 25 4 x 2 = x 3 4 x 2 + mx y 2 x 2 = x3 y 3 4( x 2 y 2 ) + m( x y ) x 2 = x 3 4 x 2 mx (I) x 2 = x 3 4 x 2 mx (x-y) (... x2 + x Phơng trình đó trở thành 2y + 1 4 x + 1 (2y + 1)2 = 4x+ 4 x = y2 + y Do đó ta có hệ : y = x2 + x (x-y)(x + y + 2) =0 x= y2 + y x = y2 + y x=y x= y2 + y x+y+2 =0 x= y2 +y Giải ra ta đợc x = 0 Học sinh cũng có thể giải hệ phơng trình bằng phơng pháp bất đẳng thức nh vậy bài toán 1 và bài toán 2 ta đã chuyển phơng trình vô tỉ về hệ phơng trình đối xứng loại II Bài toán 3 và bài toán 4 ta đã... 2 1- Hệ phơng trình đối xứng loại I 2 2- Hệ phơng trình đối xứng loại II 2 II/ Đối tợng phục vụ của đề tài 2 III/ Nội dung và phơng pháp nghiên cứu 3 1- Phơng trình đối xứng loại I 3 2- Phơng trình đối xứng loại II 8 IV/ Kết quả : .11 V/ Giải pháp mới sáng tạo .11 B ứng dụng vào thực tiễn công tác giảng dạy 12 I/ Quá trình. .. trình áp dụng của bản thân 12 1- Dạng 1: Từ hệ phơng trình cha phải hệ phơng trình đối xứng ta đa đợc về hệ phơng trình đối xứng .12 2- Dạng 2: chuyển phơng trinh vô tí về hệ phơng trình hữu tí 14 3- Dạng 3 : tìm điều kiện để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất .16 II/ Hiệu quả khi áp dụng đề tài 18 Phần III Kết luận 19 Những tài liệu tham khảo .20 21 ... tí Bài toán 1: Giải phơng trình x3 35 x3 + ( x + 3 35 x3 ) = 30 Giải: Đặt 3 35 x3 = y y3 = 35 - x3 x3 + y3 = 35 Do đó ta có hệ phơng trình xy (x+y) = 30 x3 + y3 = 35 3xy (x+y) = 90 x3 + y3 = 35 xy (x+y) = 36 (x+y)3 = 125 x+y =5 xy = 6 x=2 y=3 x=3 y=2 Vậy phơng trình có tập nghiệm s = 2;3 Bài toán 2: Giải phơng trình 1 + x 1 2 x2 = 2 đk Giải: đkxđ - 2 < x< 2 và x 0 Đặt: 2 x 2 = y (y> 0) 2 ... học đề tài 1- Hệ phơng trình đối xứng loại I a- Định nghĩa: Một hệ phơng trình đợc gọi hệ phơng trình đối xứng loại I mõi phơng trình hệ cho đối xứng với ẩn x, y (nghĩa phơng trình hệ không thay... y đợc gọi hệ đối xứng loại II, trao đổi vị trí x,y hệ phơng trình chuyển thành phơng trình hệ b- Tính chất: Nếu (xo, yo) nghiệm hệ (y o, xo) nghiệm hệ để có nghiệm hất x0 = yo nghĩa nghiệm có... X= - Hệ có nghiệm (0, 0) (-2; - 2) TH: x+ y + 2m + = y = -x - 2m -2 thay vào ( 1) ta đợc phơng trình x2 + ( m + 1) x + 2m (m + 1) = ( +) Hệ cho nghiệm phân biệt phơng trình ( +) vô nghiệm có nghiệm