Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 20 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
20
Dung lượng
858 KB
Nội dung
http://kinhhoa.violet.vn CHUYÊN ĐỀ HỆPHƯƠNGTRÌNHĐỐIXỨNG Phần I. HỆ PHƯƠNGTRÌNHĐỐIXỨNG LOẠI I TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN I. Hệđốixứng loại (kiểu) I có dạng tổng quát: f(x, y) = 0 g(x, y) = 0 ì ï ï í ï ï î , trong đó f(x, y) = f(y, x) g(x, y) = g(y, x) ì ï ï í ï ï î Phương pháp giải chung: i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có). ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và 2 S 4P³ . iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệphương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng Vi–et đảo tìm x, y. Chú ý: i) Cần nhớ: x 2 + y 2 = S 2 – 2P, x 3 + y 3 = S 3 – 3SP. ii) Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv. iii) Có những hệphươngtrình trở thành đốixứng loại I sau khi đặt ẩn phụ. Ví dụ 1. Giải hệphươngtrình 2 2 3 3 x y xy 30 x y 35 ì ï + = ï í ï + = ï î . GIẢI Đặt S x y, P xy= + = , điều kiện 2 S 4P³ . Hệphươngtrình trở thành: 2 2 30 P SP 30 S 90 S(S 3P) 35 S S 35 S ì ï ï = ì ï = ï ï ï ï Û í í æ ö ï ï - = ÷ ç ï ï - = î ÷ ç ï ÷ ÷ ç ï è ø ï î S 5 x y 5 x 2 x 3 P 6 xy 6 y 3 y 2 ì ì ì ì = + = = = ï ï ï ï ï ï ï ï Û Û Û Ú í í í í ï ï ï ï = = = = ï ï ï ï î î î î . Ví dụ 2. Giải hệphươngtrình 3 3 xy(x y) 2 x y 2 ì - = - ï ï í ï - = ï î . GIẢI Đặt t y, S x t, P xt= - = + = , điều kiện 2 S 4P.³ Hệphươngtrình trở thành: 3 3 3 xt(x t) 2 SP 2 x t 2 S 3SP 2 ì ì + = = ï ï ï ï Û í í ï ï + = - = ï ï î î S 2 x 1 x 1 P 1 t 1 y 1 ì ì ì = = = ï ï ï ï ï ï Û Û Û í í í ï ï ï = = = - ï ï ï î î î . http://kinhhoa.violet.vn Trang 1 Ví dụ 3. Giải hệ phươngtrình 2 2 2 2 1 1 x y 4 x y 1 1 x y 4 x y ì ï ï + + + = ï ï ï í ï ï + + + = ï ï ï î . GIẢI Điều kiện x 0,y 0¹ ¹ . Hệphươngtrình tương đương với: 2 2 1 1 x y 4 x y 1 1 x y 8 x y ì æ ö æ ö ï ÷ ÷ ç ç ï + + + = ÷ ÷ ç ç ï ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ï è ø è ø ï í ï æ ö æ ö ï ÷ ÷ ç ç + + + = ÷ ÷ ï ç ç ÷ ÷ ï ÷ ÷ ç ç è ø è ø ï î Đặt 2 1 1 1 1 S x y ,P x y ,S 4P x y x y æ ö æ ö æ öæ ö ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç = + + + = + + ³ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç è ø è ø è øè ø ta có: 2 1 1 x y 4 S 4 S 4 x y P 4 1 1 S 2P 8 x y 4 x y ì æ ö æ ö ï ÷ ÷ ç ç ï + + + = ÷ ÷ ç ç ï ì ì ÷ ÷ = =ï ï ÷ ÷ ç ç ï è ø è ø ï ï ï Û Û í í í æ öæ ö ï ï ï = - = ÷ ÷ ç ç ï ï ï î î + + = ÷ ÷ ç ç ï ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ï è øè ø ï î 1 x 2 x 1 x 1 y 1 y 2 y ì ï ï + = ì ï = ï ï ï ï Û Û í í ï ï = ï ï î + = ï ï ï î . Ví dụ 4. Giải hệphươngtrình 2 2 x y 2xy 8 2 (1) x y 4 (2) ì ï + + = ï ï í ï + = ï ï î . GIẢI Điều kiện x,y 0³ . Đặt t xy 0= ³ , ta có: 2 xy t= và (2) x y 16 2tÞ + = - . Thế vào (1), ta được: 2 t 32t 128 8 t t 4- + = - Û = Suy ra: xy 16 x 4 x y 8 y 4 ì ì = = ï ï ï ï Û í í ï ï + = = ï ï î î . II. Điều kiện tham số để hệđốixứng loại (kiểu) I có nghiệm Phương pháp giải chung: i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có). ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và 2 S 4P³ (*). iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệphương trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m. Chú ý: Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện u, v. http://kinhhoa.violet.vn Trang 2 Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004). Tìm điều kiện m để hệphươngtrình sau có nghiệm thực: x y 1 x x y y 1 3m ì ï + = ï ï í ï + = - ï ï î . GIẢI Điều kiện x,y 0³ ta có: 3 3 x y 1 x y 1 x x y y 1 3m ( x) ( y) 1 3m ì ì ï ï + = + = ï ï ï ï Û í í ï ï + = - + = - ï ï ï ï î î Đặt S x y 0,P xy 0= + ³ = ³ , 2 S 4P.³ Hệphươngtrình trở thành: 2 S 1 S 1 P m S 3SP 1 3m ì ì = = ï ï ï ï Û í í ï ï = - = - ï ï î î . Từ điều kiện 2 S 0,P 0,S 4P³ ³ ³ ta có 1 0 m 4 £ £ . Ví dụ 2. Tìm điều kiện m để hệphươngtrình 2 2 x y xy m x y xy 3m 9 ì + + = ï ï í ï + = - ï î có nghiệm thực. GIẢI 2 2 x y xy m (x y) xy m xy(x y) 3m 9 x y xy 3m 9 ì ì + + = + + = ï ï ï ï Û í í ï ï + = - + = - ï ï î î . Đặt S = x + y, P = xy, 2 S 4P.³ Hệphươngtrình trở thành: S P m SP 3m 9 ì + = ï ï í ï = - ï î . Suy ra S và P là nghiệm của phươngtrình 2 t mt 3m 9 0- + - = S 3 S m 3 P m 3 P 3 ì ì = = - ï ï ï ï Þ Ú í í ï ï = - = ï ï î î . Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm 2 2 3 4(m 3) 21 m m 3 2 3 (m 3) 12 4 é ³ - ê Û Û £ Ú ³ + ê - ³ ê ë . Ví dụ 3. Tìm điều kiện m để hệphươngtrình x 4 y 1 4 x y 3m ì ï - + - = ï í ï + = ï î có nghiệm. GIẢI Đặt u x 4 0,v y 1 0= - ³ = - ³ hệ trở thành: 2 2 u v 4 u v 4 21 3m u v 3m 5 uv 2 ì + = ï ì ï + = ï ï ï Û í í - ï ï + = - = ï ï î ï î . Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của 2 21 3m t 4t 0 2 - - + = (*). Hệ có nghiệm Û (*) có 2 nghiệm không âm http://kinhhoa.violet.vn Trang 3 / 3m 13 0 0 13 2 S 0 m 7 21 3m 3 0 P 0 2 ì ì - ï ï D ³ ï ï ³ ï ï ï ï Û ³ Û Û £ £ í í ï ï - ï ï ³ ³ ï ï ï ï î î . Ví dụ 4. Tìm điều kiện m để hệphươngtrình 2 2 x y 4x 4y 10 xy(x 4)(y 4) m ì ï + + + = ï í ï + + = ï î có nghiệm thực. GIẢI 2 2 2 2 2 2 (x 4x) (y 4y) 10 x y 4x 4y 10 xy(x 4)(y 4) m (x 4x)(y 4y) m ìì ï + + + = ï + + + = ï ï Û í í ï ï + + = + + = ï ï î î . Đặt 2 2 u (x 2) 0,v (y 2) 0= + ³ = + ³ . Hệphươngtrình trở thành: u v 10 S 10 uv 4(u v) m 16 P m 24 ì ì + = = ï ï ï ï Û í í ï ï - + = - = + ï ï î î (S = u + v, P = uv). Điều kiện 2 S 4P S 0 24 m 1 P 0 ì ï ³ ï ï ï ³ Û - £ £ í ï ï ³ ï ï î . BÀI TẬP Giải các hệphươngtrình sau 1. 2 2 x y xy 5 x y xy 7 ì + + = ï ï í ï + + = ï î . Đáp số: x 1 x 2 y 2 y 1 ì ì = = ï ï ï ï Ú í í ï ï = = ï ï î î . 2. 2 2 x xy y 3 2x xy 2y 3 ì ï + + = ï í ï + + = - ï î . Đáp số: x 1 x 3 x 3 y 1 y 3 y 3 ì ì ì ï ï = - = = - ï ï ï ï ï ï Ú Ú í í í ï ï ï = - = - = ï ï ï î ï ï î î . 3. 3 3 x y 2xy 2 x y 8 ì + + = ï ï í ï + = ï î . Đáp số: x 2 x 0 y 0 y 2 ì ì = = ï ï ï ï Ú í í ï ï = = ï ï î î . 4. 3 3 x y 7 xy(x y) 2 ì ï - = ï í ï - = ï î . Đáp số: x 1 x 2 y 2 y 1 ì ì = - = ï ï ï ï Ú í í ï ï = - = ï ï î î . 5. 2 2 x y 2xy 5 x y xy 7 ì - + = ï ï í ï + + = ï î . Đáp số: 1 37 1 37 x x x 2 x 1 4 4 y 1 y 2 1 37 1 37 y y 4 4 ì ì ï ï - + ï ï = = ï ï ì ì = = - ï ï ï ï ï ï ï ï Ú Ú Ú í í í í ï ï ï ï = = - - - - + ï ï ï ï î î = = ï ï ï ï ï ï î î . 6. 2 2 2 2 1 (x y)(1 ) 5 xy 1 (x y )(1 ) 49 x y ì ï ï + + = ï ï ï í ï ï + + = ï ï ï î . Đáp số: http://kinhhoa.violet.vn Trang 4 x 1 x 1 7 3 5 7 3 5 x x 2 2 7 3 5 7 3 5 y y y 1 y 1 2 2 ì ì ì ì = - = - ï ï ï ï - + ï ï ï ï = = ï ï ï ï ï ï ï ï Ú Ú Ú í í í í - + ï ï ï ï = = ï ï ï ï = - = - ï ï ï ï ï ï ï ï î î î î . 7. x y y x 30 x x y y 35 ì ï + = ï ï í ï + = ï ï î . Đáp số: x 4 x 9 y 9 y 4 ì ì = = ï ï ï ï Ú í í ï ï = = ï ï î î . 8. x y 7 1 y x xy x xy y xy 78 ì ï ï + = + ï ï í ï ï + = ï ï î (chú ý điều kiện x, y > 0). Đáp số: x 4 x 9 y 9 y 4 ì ì = = ï ï ï ï Ú í í ï ï = = ï ï î î . 9. ( ) 2 2 3 3 3 3 2(x y) 3 x y xy x y 6 ì ï + = + ï ï í ï + = ï ï î . Đáp số: x 8 x 64 y 64 y 8 ì ì = = ï ï ï ï Ú í í ï ï = = ï ï î î . 10. Cho x, y, z là nghiệm của hệphươngtrình 2 2 2 x y z 8 xy yz zx 4 ì ï + + = ï í ï + + = ï î . Chứng minh 8 8 x,y,z 3 3 - £ £ . HƯỚNG DẪN GIẢI Hệ phươngtrình 2 2 2 2 2 x y 8 z (x y) 2xy 8 z xy z(x y) 4 xy z(x y) 4 ì ì ï + = - ï + - = - ï ï Û Û í í ï ï + + = + + = ï ï î î 2 2 (x y) 2[4 z(x y)] 8 z xy z(x y) 4 ì ï + - - + = - ï Û í ï + + = ï î 2 2 (x y) 2z(x y) (z 16) 0 xy z(x y) 4 ì ï + + + + - = ï Û í ï + + = ï î 2 2 x y 4 z x y 4 z xy (z 2) xy (z 2) ì ì + = - + = - - ï ï ï ï Û Ú í í ï ï = - = + ï ï î î . Do x, y, z là nghiệm của hệ nên: 2 2 2 2 2 (4 z) 4(z 2) 8 8 (x y) 4xy z ( 4 z) 4(z 2) 3 3 é - ³ - ê + ³ Û Û - £ £ ê - - ³ + ê ë . Đổi vai trò x, y, z ta được 8 8 x,y,z 3 3 - £ £ . 11. x y 1 1 1 16 16 2 x y 1 ì ï æ ö æ ö ï ÷ ÷ ç ç ï + = ÷ ÷ ç ç ï ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç í è ø è ø ï ï + = ï ï î . Đáp số: 1 x 2 1 y 2 ì ï ï = ï ï í ï ï = ï ï î . 12. sin (x y) 2 2 2 1 2(x y ) 1 p + ì ï = ï í ï + = ï î HƯỚNG DẪN GIẢI Cách 1: sin (x y) 2 2 2 2 2 2 sin (x y) 0 x y (1) 2 1 2(x y ) 1 2(x y ) 1 (2)2(x y ) 1 p + ì ì ì p + = + Î ï = ï ï ï ï ï Û Û í í í ï ï ï + = + =+ = ï ï ï î îî Z http://kinhhoa.violet.vn Trang 5 2 2 2 2 1 2 2 x x 1 2 2 2 (2) x y 2 x y 2 1 2 2 2 y y 2 2 2 ì ì ï ï ï ï £ - £ £ ï ï ï ï ï Û + = Þ Þ Þ - £ + £ í í ï ï ï ï £ - £ £ ï ï ï ï î ï î . x y 0 (1) x y 1 é + = ê Þ ê + = ± ê ë thế vào (2) để giải. Cách 2: Đặt S = x + y, P = xy. Hệ trở thành: sinS 2 2 S 2 1 4P 2S 12(S 2P) 1 p ì ì Î ï = ï ï ï Û í í ï ï = -- = ï ï îî Z . Từ điều kiện 2 S 4P³ ta suy ra kết quả tương tự. Hệ có 4 nghiệm phân biệt 1 1 1 1 x x x x 2 2 2 2 1 1 1 1 y y y y 2 2 2 2 ì ì ì ì ï ï ï ï ï ï ï ï = = - = = - ï ï ï ï ï ï ï ï Ú Ú Ú í í í í ï ï ï ï ï ï ï ï = = - = - = ï ï ï ï ï ï ï ï î î î î . Tìm điều kiện của m để các hệphươngtrình thỏa yêu cầu 1. Tìm m để hệphươngtrình 2 2 x xy y m 6 2x xy 2y m ì ï + + = + ï í ï + + = ï î có nghiệm thực duy nhất. HƯỚNG DẪN GIẢI Hệ có nghiệm duy nhất suy ra x = y, hệ trở thành: 2 2 2 2 2 3x m 6 3x 6 m m 3 m 21 x 4x m x 4x 3x 6 ì ì é ï = + ï - = = - ï ï ê Û Þ í í ê ï ï = + = + = - ê ï ï ë î î . + m = – 3: 2 2 2 x xy y 3 (x y) xy 3 2(x y) xy 3 2(x y) xy 3 ì ì ï + + = ï + - = ï ï Û í í ï ï + + = - + + = - ï ï î î x y 0 x y 2 x 3 x 3 x 1 xy 3 xy 1 y 1 y 3 y 3 ì ì ì ì ì ï ï + = + = - = = - = - ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï Û Ú Û Ú Ú í í í í í ï ï ï ï ï = - = = - = - = ï ï ï ï ï î î î ï ï î î (loại). + m = 21: 2 2 2 x xy y 27 (x y) xy 27 2x xy 2y 21 2(x y) xy 21 ì ì ï + + = ï + - = ï ï Û í í ï ï + + = + + = ï ï î î x y 8 x y 6 x 3 xy 37 xy 9 y 3 ì ì ì + = - + = = ï ï ï ï ï ï Û Ú Û í í í ï ï ï = = = ï ï ï î î î (nhận). Vậy m = 21. 2. Tìm m để hệphương trình: 2 2 x xy y m 1 x y xy m ì + + = + ï ï í ï + = ï î có nghiệm thực x > 0, y > 0. HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 x xy y m 1 (x y) xy m 1 xy(x y) m x y xy m ì ì + + = + + + = + ï ï ï ï Û í í ï ï + = + = ï ï î î x y 1 x y m xy m xy 1 ì ì + = + = ï ï ï ï Û Ú í í ï ï = = ï ï î î . http://kinhhoa.violet.vn Trang 6 H cú nghim thc dng 2 m 0 1 0 m m 2 1 4m m 4 4 ỡ > ù ù < Ê ớ ù ù ợ . Vy 1 0 m m 2 4 < Ê . 3. Tỡm m h phng trỡnh x y m x y xy m ỡ ù + = ù ù ớ ù + - = ù ù ợ cú nghim thc. HNG DN GII ( ) 2 2 x y m x y m x y m m m x y xy m xy x y 3 xy m 3 ỡ ù ỡ + = ỡ ù + = ù ù + = ù ù ù ù ù ù ớ ớ ớ - ù ù ù + - = = + - = ù ù ù ù ợ ù ù ợ ù ợ . Suy ra x, y l nghim (khụng õm) ca phng trỡnh 2 2 m m t mt 0 3 - - + = (*). H cú nghim (*) cú 2 nghim khụng õm / 2 2 0 m 4m 0 m 0 S 0 m 0 1 m 4 P 0 m m 0 ỡ ỡ ù ù D - Ê ù ù ộ = ù ù ù ù ờ ớ ớ ờ ù ù Ê Ê ờ ù ù ở - ù ù ù ù ợ ợ . Vy m 0 1 m 4= Ê Ê . 4. Tỡm m h phng trỡnh 2 2 2 x y 2(1 m) (x y) 4 ỡ ù + = + ù ớ ù + = ù ợ cú ỳng 2 nghim thc phõn bit. HNG DN GII 2 2 2 2 2 x y 2(1 m) (x y) 2xy 2(1 m) (x y) 4 (x y) 4 ỡ ỡ ù + = + ù + - = + ù ù ớ ớ ù ù + = + = ù ù ợ ợ xy 1 m xy 1 m x y 2 x y 2 ỡ ỡ = - = - ù ù ù ù ớ ớ ù ù + = + = - ù ù ợ ợ . H cú ỳng 2 nghim thc phõn bit khi ( ) 2 2 4(1 m) m 0 = - = . 5. Cho x, y l nghim ca h phng trỡnh 2 2 2 x y 2m 1 x y m 2m 3 ỡ + = - ù ù ớ ù + = + - ù ợ . Tỡm m P = xy nh nht. HNG DN GII t S x y, P xy= + = , iu kin 2 S 4P. 2 2 2 2 2 x y 2m 1 S 2m 1 x y m 2m 3 S 2P m 2m 3 ỡ ỡ + = - = - ù ù ù ù ớ ớ ù ù + = + - - = + - ù ù ợ ợ 2 2 2 S 2m 1 S 2m 1 3 (2m 1) 2P m 2m 3 P m 3m 2 2 ỡ = - ù ỡ ù = - ù ù ù ớ ớ ù ù - - = + - = - + ù ù ợ ù ợ T iu kin suy ra 2 2 4 2 4 2 (2m 1) 6m 12m 8 m . 2 2 - + - - + Ê Ê Xột hm s 2 3 4 2 4 2 f(m) m 3m 2, m 2 2 2 - + = - + Ê Ê . Ta cú 4 2 11 6 2 4 2 4 2 minf(m) f , m ; 2 4 2 2 ổ ử ộ ự - - - + ữ ỗ ờ ỳ ữ = = " ẻ ỗ ữ ỗ ờ ỳ ữ ữ ỗ ố ứ ờ ỳ ở ỷ http://kinhhoa.violet.vn Trang 7 Vy 11 6 2 4 2 minP m 4 2 - - = = . http://kinhhoa.violet.vn CHUYấN Phn II. H PHNG TRèNH I XNG LOI II 1. Dng 1: ỡ ù ù ớ ù ù ợ f(x, y) = 0 f(y, x) = 0 (i v trớ x v y cho nhau thỡ phng trỡnh ny tr thnh phng trỡnh kia) Phng phỏp gii chung Cỏch gii 1 Tr hai phng trỡnh cho nhau, a v phng trỡnh tớch, gii x theo y (hay ngc li) ri th vo mt trong hai phng trỡnh ca h. Vớ d 1. Gii h phng trỡnh 3 3 x 2x y (1) y 2y x (2) ỡ ù + = ù ù ớ ù + = ù ù ợ . Gii Tr (1) v (2) v theo v ta c: 3 3 2 2 x y 3x 3y 0 (x y)(x y xy 3) 0- + - = - + + + = 2 2 y 3y (x y) x 3 0 y x 2 4 ộ ự ổ ử ờ ỳ ữ ỗ - + + + = = ữ ỗ ờ ỳ ữ ữ ỗ ố ứ ờ ỳ ở ỷ Th y = x vo (1) hoc (2) ta c: 3 x x 0 x 0+ = = Vy h phng trỡnh cú nghim duy nht x 0 y 0 ỡ = ù ù ớ ù = ù ợ . Vớ d 2. Gii h phng trỡnh 2x 3 4 y 4 (1) 2y 3 4 x 4 (2) ỡ ù + + - = ù ù ớ ù + + - = ù ù ợ Gii iu kin: 3 x 4 2 3 x 4 2 ỡ ù ù - Ê Ê ù ù ớ ù ù - Ê Ê ù ù ợ . Tr (1) v (2) ta c: http://kinhhoa.violet.vn Trang 8 ( ) ( ) 2x 3 2y 3 4 y 4 x 0+ - + + - - - = (2x 3) (2y 3) (4 y) (4 x) 0 2x 3 2y 3 4 y 4 x + - + - - - Û + = + + + - + - 2 1 (x y) 0 x y 2x 3 2y 3 4 y 4 x æ ö ÷ ç ÷ Û - + = Û = ç ÷ ç ÷ ç è ø + + + - + - . Thay x = y vào (1), ta được: 2x 3 4 x 4 x 7 2 (2x 3)(4 x) 16+ + - = Û + + + - = 2 2 9 x 0 11 2 2x 5x 12 9 x x 3 x 9x 38x 33 0 9 ì - ³ ï ï Û - + + = - Û Û = Ú = í ï - + = ï î (nhận). Vậy hệphươngtrình có 2 nghiệm phân biệt 11 x x 3 9 y 3 11 y 9 ì ï ï = ì ï = ï ï ï Ú í í ï ï = ï ï î = ï ï î . Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải được) Cộng và trừ lần lượt hai phươngtrình đưa về hệphươngtrình mới tương đương gồm hai phươngtrình tích (thông thường tương đương với 4 hệphươngtrình mới). Ví dụ 3. Giải hệphươngtrình 3 3 x 2x y (1) y 2y x (2) ì ï = + ï ï í ï = + ï ï î Giải Trừ và cộng (1) với (2), ta được: 3 2 2 3 2 2 x 2x y (x y)(x xy y 1) 0 y 2y x (x y)(x xy y 3) 0 ì ì ï ï = + - + + - = ï ï ï ï Û í í ï ï = + + - + - = ï ï ï ï î î 2 2 2 2 2 2 2 2 x y 0 x y 0 x y 0 x xy y 1 x y 0 x xy y 3 x xy y 1 x xy y 3 ì ì ì ì ï - = + = ï ï - = + + = ï ï ï ï ï ï Û Ú Ú Ú í í í í ï ï ï ï + = - + = + + = - + = ï ï ï ï î î î ï î + x y 0 x 0 x y 0 x 0 ì ì - = = ï ï ï ï Û í í ï ï + = = ï ï î î + 2 2 2 x y 0 y x x 3 x 3 x xy y 3 x 3 y 3 y 3 ì ì ì ì ï ï - = = ï ï = = - ï ï ï ï ï ï Û Û Ú í í í í ï ï ï ï - + = = = = - ï ï ï ï î î ï ï î î + 2 2 2 x y 0 y x x 1 x 1 y 1 y 1 x xy y 1 x 1 ì ì ì ì + = = - ï ï = - = ï ï ï ï ï ï Û Û Ú í í í í ï ï ï ï = = - + + = = ï ï ï ï î î î î + 2 2 2 2 2 2 xy 1 x xy y 1 xy 1 x 1 x 1 x y 0 y 1 y 1 x y 2 x xy y 3 ì ì ì ì ì ï = - ï + + = = - = = - ï ï ï ï ï ï ï ï ï Û Û Û Ú í í í í í ï ï ï ï ï + = = - = + = - + = ï ï ï ï ï î î î î ï î Vậy hệphươngtrình có 5 nghiệm phân biệt: x 0 x 1 x 1 x 3 x 3 x 0 y 1 y 1 y 3 y 3 ì ì ì ì ì ï ï = = - = = = - ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï Ú Ú Ú Ú í í í í í ï ï ï ï ï = = = - = = - ï ï ï ï ï î î î ï ï î î . Cách 3. Sử dụng hàm số đơn điệu để suy ra x = y http://kinhhoa.violet.vn Trang 9 Vớ d 4. Gii h phng trỡnh 2x 3 4 y 4 (1) 2y 3 4 x 4 (2) ỡ ù + + - = ù ù ớ ù + + - = ù ù ợ Gii iu kin: 3 x 4 2 3 x 4 2 ỡ ù ù - Ê Ê ù ù ớ ù ù - Ê Ê ù ù ợ . Tr (1) v (2) ta c: 2x 3 4 x 2y 3 4 y+ - - = + - - (3) Xột hm s 3 f(t) 2t 3 4 t, t ; 4 2 ộ ự ờ ỳ = + - - ẻ - ờ ỳ ở ỷ , ta cú: / 1 1 3 f (x) 0, t ; 4 2 2t 3 2 4 t ổ ử ữ ỗ = + > " ẻ - ữ ỗ ữ ữ ỗ ố ứ + - (3) f(x) f(y) x yị = = . Thay x = y vo (1), ta c: 2x 3 4 x 4 x 7 2 (2x 3)(4 x) 16+ + - = + + + - = 2 11 2 2x 5x 12 9 x x 3 x 9 - + + = - = = (nhn). Vy h phng trỡnh cú 2 nghim phõn bit 11 x x 3 9 y 3 11 y 9 ỡ ù ù = ỡ ù = ù ù ù ớ ớ ù ù = ù ù ợ = ù ù ợ . Vớ d 5. Gii h phng trỡnh 3 3 x 2x y y 2y x ỡ ù + = ù ù ớ ù + = ù ù ợ . Gii Xột hm s 3 / 2 f(t) t 2t f (t) 3t 2 0, t= + ị = + > " ẻ Ă . H phng trỡnh tr thnh f(x) y (1) f(y) x (2) ỡ = ù ù ớ ù = ù ợ . + Nu x y f(x) f(y) y x> ị > ị > (do (1) v (2) dn n mõu thun). + Nu x y f(x) f(y) y x< ị < ị < (mõu thun). Suy ra x = y, th vo h ta c 3 x x 0 x 0.+ = = Vy h cú nghim duy nht x 0 y 0 ỡ = ù ù ớ ù = ù ợ . Chỳ ý: Khi gp h phng trỡnh i xng loi II dng 1, ta nờn gii cỏch 1. Nu gii khụng c mi ngh n cỏch 2 v 3, nu vn khụng gii c thỡ quay tr v bi v tỡm iu kin chớnh xỏc ri gii li cỏch 1! http://kinhhoa.violet.vn Trang 10 . http://kinhhoa.violet.vn CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG Phần I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN I. Hệ đối xứng loại (kiểu). hai phương trình đưa về hệ phương trình mới tương đương gồm hai phương trình tích (thông thường tương đương với 4 hệ phương trình mới). Ví dụ 3. Giải hệ phương