Bài 4. Phương trình đối xứng pptx

Bài 4. Phương trình đối xứng và nửa đối xứng 231 Bài 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG I. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ NỬA ĐỐI XỨNG VỚI SINX, COSX 1. Phương pháp chung ( ) sin cos sin cos 0 a x x b x x c + + + = ( ) sin cos sin cos 0 a x x b x x c − + + = Bước 1. Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 sin cos 2 sin 2; 2 sin cos 1 4 2 1 sin cos 2 sin 2; 2 sin cos 1 4 2 t x x x x x t t x x x x x t  π   = + = + ∈ − ⇒ = −     π    = − = − ∈ − ⇒ = −    Biến đổi đưa về phương trình bậc 2 ẩn t . Bước 2. Giải phương trình bậc 2 ẩn t . Từ đó suy ra nghiệm x . 2. Các bài tập mẫu minh họa Bài 1. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 sin cos sin cos 1 1 x x x x+ − = Giải Đặt ( ) 2 1 sin cos 2 cos 2, 2 sin cos 4 2 t t x x x x x π −   = + = − ∈ − ⇒ =   . Ta có ( ) 2 1 2 2 1 0 2 1 2; 2 t t t   ⇔ − + = ⇔ = − ∈ −   ( ) 2 2 cos cos 4 2 x − π ⇔ − = = α ( ) 2 2 4 4 x k x k k π π − = ±α + π ⇔ = ± α + π ∈ » Bài 2. Giải phương trình: ( ) 10 1 1 cos sin 1 cos sin 3 x x x x + + + = Giải Điều kiện: ( ) sin cos 0 sin 2 0 2 2 k x x x x π ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ Với điều kiện (2) thì ( ) ( ) ( ) 10 1 sin cos sin cos sin cos sin cos 3 x x x x x x x x ⇔ + + + = ( ) ( ) 3 sin cos sin cos 1 10sin cos x x x x x x ⇔ + + = Đặt ( ) 2 1 sin cos 2 cos 2, 2 sin cos 4 2 t t x x x x x π −   = + = − ∈ − ⇒ =   . Khi đó ( ) 2 2 1 1 1 3 1 10. 2 2 t t t   − − ⇔ + =     ( ) ( ) 2 2 3 2 3 1 10 1 3 10 3 10 0 t t t t t t ⇔ + = − ⇔ − + + = ( ) ( ) 2 2 19 2 3 4 5 0 2; 2 3 t t t t −   ⇔ − − − = ⇔ = ∈ −   ( ) ( ) 2 19 2 19 2 cos cos cos 4 3 4 3 2 x x − − π π ⇔ − = ⇔ − = = α ( ) 2 2 4 4 x n x n n π π ⇔ − = ±α + π ⇔ = ± α + π ∈ » (thỏa mãn (2)) Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương 232 Bài 3. Giải phương trình: ( ) 3 3 3 1 sin cos sin 2 1 2 x x x+ + = Giải ( ) ( ) ( ) 3 3 1 1 sin cos 3sin cos sin cos sin 2 2 x x x x x x x ⇔ + + − + = Đặt ( ) 2 1 sin cos 2 cos 2, 2 sin cos 4 2 t t x x x x x π −   = + = − ∈ − ⇒ =   Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 2 2 1 3 1 1 3 1 2 3 3 1 3 1 2 2 t t t t t t t t   − ⇔ + − = − ⇔ + − − = −     ( ) ( ) 3 2 2 3 3 5 0 1 2 5 0 1 2; 2 t t t t t t t   ⇔ + − − = ⇔ + + − = ⇔ = − ∈ −   ( ) ( ) { } ( ) 1 2 cos 1 cos 2 ; 2 4 4 2 2 x x x k k k π π π − ⇔ − = − ⇔ − = ⇔ ∈ π + π − + π ∈ » Bài 4. Giải phương trình: ( ) 2 3 sin cos 1 sin cos 1 3 x x x x+ = + Giải Đặt ( ) 2 1 sin cos 2 sin 2, 2 sin cos 4 2 t t x x x x x π −   = + = + ∈ − ⇒ =   Khi đó (1) ( ) 2 2 2 2 0; 2 0; 2 6. 1 3 2 6 1 9 t t t t t t t       ∈ ∈       ⇔ + = ⇔ ⇔   = + =     ( ) ( ) 2 sin 1 2 4 4 t x x k k π π ⇔ = ⇔ + = ⇔ = + π ∈ » Bài 5. Giải phương trình: ( ) sin cos 7 sin 2 1 1 x x x− + = Giải Đặt ( ) 2 sin cos 2 cos 2, 2 sin 2 1 4 t x x x x t π   = − = − + ∈ − ⇒ = −   Khi đó ( ) ( ) 2 2 1 7 1 1 7 6 0 t t t t ⇔ + − = ⇔ − − = ( ) ( ) ( ) 2 3 1 cos cos 1 4 4 2 2 6 2 3 2 7 cos cos 4 7 2 4 x k x t x k k t x x k = −π + π  π π  + = − = =    π   ⇔ ⇔ ⇔ = + π ∈  − =    π  + = = α   π  = − ± α + π   » Bài 6. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 1 2 sin cos 2sin cos 1 2 1 x x x x+ − + = + Giải Đặt ( ) 2 sin cos 2 cos 2, 2 2 sin cos 1 4 t x x x x x t π   = − = − + ∈ − ⇒ = −   . Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 0 1 2 t t t t t t⇔ + + − = + ⇔ − − + = ⇔ = ∨ = ( ) ( ) { } ( ) 3 1 cos cos 1 2 ; 2 ; 2 4 4 2 4 2 x x x k k k k π π π π − ⇔ + = ∨ + = − ⇔ ∈ −π + π + π + π ∈ » Bài 4. Phương trình đối xứng và nửa đối xứng 233 Bài 7. Giải phương trình: ( ) sin 2 2 sin 1 4 x x x π + − = Giải ( ) ( ) ( ) sin 2 2 sin 1 sin 2 sin cos 1 1 4 x x x x x x π + − = ⇔ + − = Đặt ( ) 2 sin cos 2 sin 2, 2 sin 2 1 4 t x x x x t π   = − = − ∈ − ⇒ = −   Khi đó ( ) ( ) 2 1 1 1 1 0 0; 1 t t t t t t ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ = = ( ) ( ) { } ( ) tg 1 sin cos 0 ; 2 ; 2 1 sin 4 2 2 sin 1 4 4 2 x x x x k k k k x x =  − =  π π   ⇔ ⇔ ⇔ ∈ + π + π π + π ∈ π π  − =  − =    » Bài 8. Giải phương trình: ( ) sin 3 cos 3 2 sin cos 1 x x x x − + + = Giải ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 1 3sin 4sin 4 cos 3cos 2 sin cos 1 x x x x x x ⇔ − − − + + = ( ) ( ) ( ) 4 sin cos 1 sin cos 5 sin cos 1 x x x x x x ⇔ − + − + + = Đặt ( ) sin cos 2 sin 2; 2 4 t x x x π   = + = + ∈ −   , khi đó ta có phương trình: ( ) ( ) 2 2 1 4 1 5 1 1 2 2 1 0 1 2 t t t t t t t   − − − + = ⇔ − + + = ⇔ =     2 4 x k π ⇔ = + π Bài 9. Giải phương trình: ( ) ( ) 1 1 2 2 sin 2 tan cot 0 sin cos x x x x x + + + + + = Giải Đặt ( ) sin cos 2 sin 2; 2 , 1 4 t x x x t π   = + = + ∈ − ≠ ±   . Biến đổi ta nhận được ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 2 2 2 2 1 0 2 2 1 2 2 0 2 4 2 0 1 t t t t t t t t t +   + + = ⇔ − + + + = ⇔ + + =   −   ( ) ( ) 2 2 1 0 0 1 sin cos 0 tan 1 4 t t t t x x x x k π ⇔ + = ⇒ = ≠ ± ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = − + π Bài 10. Tìm m để phương trình: ( ) sin cos sin 2 0 m x x x + + = có nghiệm. Giải Đặt ( ) 2 sin cos 2 cos 2; 2 sin 2 1 4 t x x x x t π   = + = − ∈ − ⇒ = −   Khi đó phương trình 2 1 0 mt t ⇔ + − = ( ) 2 1 0 f t t mt ⇔ = + − = với 2; 2 t   ∈ −   Để ý rằng: 2 1 4 0 m ∆ = + > nên ( ) 0 f t = có 2 nghiệm phân biệt 1 2 , t t Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương 234 Theo định lý Viét, ta có 1 2 1 2 . 1 . 1 t t t t = − ⇒ = ( ) ( ) 1 1 2 2 0 1 2 2, 2 0 1 2 2, 2 t t t t   < ≤ < ∈ −   ⇒ ⇒   < ≤ < ∈ −  Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm m ∀ ∈  Bài 11. Tìm m để phương trình: ( ) sin 2 4 cos sin x x x m + − = có nghiệm Giải Đặt cos sin 2; 2 t x x   = − ∈ −   và 2 sin 2 1 x t = − , khi đó phương trình đã cho ( ) 2 4 1 f t t t m ⇔ = − + + = với 2; 2 t   ∈ −   . Ta có ( ) 4 2 0 2, 2 f t t t   ′ = − > ∀ ∈ −   ( ) f t ⇒ đồng biến trên 2, 2   −   ⇒ Tập giá trị ( ) f t là ( ) ( ) 2 , 2 4 2 1, 4 2 1 f f     − = − − +     Do đó phương trình đã cho có nghiệm ( ) f t m ⇔ = có nghiệm 2, 2 t   ∈ −   4 2 1 4 2 1 m ⇔ − − ≤ ≤ + Bài 12. Tìm m để: 3 3 sin cos x x m − = có 3 nghiệm phân biệt [ ] 0, x ∈ π Giải Biến đổi: ( ) ( ) 3 3 3 sin cos sin cos 3sin cos sin cos x x m x x x x x x m − = ⇔ − + − = Đặt ( ) [ ] sin cos 2 sin 1, 2 0, 4 t x x x x π   = − = − ∈ − ∀ ∈ π   ; 2 1 sin cos 2 t x x − = . Khi đó phương trình ( ) ( ) 2 3 3 2 3 1 3 2 3 1 2 3 2 2 t t t m t t t m f t t t m   − ⇔ − = ⇔ + − = ⇔ = − + =     Ta có ( ) 2 3 3 0 1 f t t t ′ = − + = ⇔ = ± ⇒ Bảng biến thiên Với ( ) 2 1, 1 t t= ∨ ∈ − cho ta 1 nghiệm [ ] 0, x ∈ π và với mỗi ) 1, 2 t  ∈  cho ta 2 nghiệm [ ] 0, x ∈ π . Nên để phương trình 3 3 sin cos x x m − = có 3 nghiệm phân biệt [ ] 0, x ∈ π thì ( ) 2 f t m = phải có 2 nghiệm 1 2 , t t sao cho 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 t t m m − < < < < ⇔ < < ⇔ < < . –1 1 2 2 0 0 + – –2 2 t f ′ (t) f(t) Bài 4. Phương trình đối xứng và nửa đối xứng 235 II. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI TAN, COT I. CÔNG THỨC SỬ DỤNG ( ) ( ) ( ) sin sin cos tan tan ; tan tan ; tan cot cos cos cos cos cos sin a b a b a b a b a b a b a b a b a b + − − + = − = + = ( ) cos 2 cot tan ; tan cot ; cot tan 2 cot 2 sin cos sin 2 a b a b a a a a a a b a + − = + = − = II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA Bài 1. Giải phương trình: ( ) ( ) 3 tan cot 4 1 x x+ = Giải ( ) 1 ⇔ 2 3 2 3 3 4 sin 2 sin 2 4 2 6 3 x x n x n x π π = ⇔ = = ⇔ = + π ∨ = + π Bài 2. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 sin cos tan cot 1 x x x x+ = + Giải Điều kiện: ( ) sin cos 0 sin 2 0 2 2 k x x x x π ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ Đặt ( ) 2 sin cos 2 cos 2, 2 sin 2 1 4 t x x x x t π   = + = − ∈ − ⇒ = −   ( ) ( ) ( ) 2 3 2 1 2 sin cos 1 2 2 0 sin 2 x x t t t t x ⇔ + = ⇔ − = ⇔ − − = ( ) 1 t ≠ ± ( )( ) ( ) 2 2 2 1 0 2 cos 1 4 t t t t x π ⇔ − + + = ⇔ = ⇔ − = 2 4 x n π ⇔ = + π Bài 3. Giải phương trình: ( ) ( ) 3 tan cot 2 2 sin 2 x x x + = + (1) Giải Điều kiện: ( ) sin cos 0 sin 2 0 2 2 k x x x x π ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ( ) 3 1 2 sin 2 sin 2 x x ⇔ = + 2 sin 2 2sin 2 3 0 sin 2 1 x x x ⇔ + − = ⇔ = 4 x n π ⇔ = + π Bài 4. Giải phương trình: ( ) 2 tan 2 cot 8 cos 1 x x x+ = Giải ĐK: ( ) sin .cos 2 0, 2 x x ≠ , ta có (1) ( ) 2 2 cos 2 8cos cos 8cos .cos2 .sin cos2 .sin x x x x x x x x x − ⇔ = ⇔ = ( ) ( ) cos 1 8 cos cos 2 sin 0 cos 1 2sin 4 0 x x x x x x ⇔ − = ⇔ − = { } 5 1 cos 0 sin 4 ; ; 2 2 2 24 2 24 2 k k k x x x π π π π π π ⇔ = ∨ = ⇔ ∈ + + + Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương 236 Bài 5. Giải phương trình: ( ) 3 tan cot 2 cot 2 1 x x x= + Giải Điều kiện: ( ) sin cos sin 2 0 sin 2 0 2 2 k x x x x x π ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ( ) 3 1 tan cot 2cot 2 x x x ⇔ − = ⇔ 3 2 cos 2 2 cot 2 2sin cos x x x x − ⇔ = ( ) 2 cot 2 1 cot 0 cot 2 0 x x x ⇔ + = ⇔ = 2 2 4 2 n x n x π π π ⇔ = + π ⇔ = + Bài 6. Giải phương trình: ( ) tan cot 2 sin 2 cos 2 x x x x + = + (1) Giải Điều kiện: ( ) sin cos 0 sin 2 0 2 2 k x x x x π ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ( ) ( ) 2 1 2 sin 2 cos 2 sin 2 x x x ⇔ = + ( ) sin 2 sin 2 cos 2 1 x x x ⇔ + = ( ) 2 sin 2 cos 2 1 sin 2 0 x x x ⇔ − − = ( ) cos 2 sin 2 cos 2 0 x x x ⇔ − = cos 2 0 tan 2 1 4 2 8 2 n n x x x x π π π π ⇔ = ∨ = ⇔ = + ∨ = + Bài 7. Giải phương trình: ( ) 6 tan 5cot 3 tan 2 1 x x x+ = Giải ( ) ( ) ( ) ( ) 5cos 3 sin 2 1 5 tan cot 3 tan 2 tan cos .sin 3 cos 2 .cos x x x x x x x x x x x x − − ⇔ + = − ⇔ = 2 2 2 5cos 2 sin 3 .sin 10 cos 2 2 sin 3 sin 10 cos 2 cos 2 cos 4 x x x x x x x x x ⇔ = ⇔ = ⇔ = − ( ) 2 2 2 10 cos 2 cos 2 2cos 2 1 12 cos 2 cos 2 1 0 x x x x x ⇔ = − − ⇔ − − = 1 cos 2 cos 2 2 2 3 2 2 1 cos 2 cos 4 2 x k x x k x k x x k α   = ± + π = = α = ±α + π    ⇔ ⇔ ⇔    β = ±β + π  = − = β  = ± + π    (thỏa mãn (2)) ( ) n ∈ » Bài 8. Giải phương trình: [ ] ( ) 2 cot2 cot 3 tg2 cot 3 1 x g x x g x− = + Giải Điều kiện: ( ) sin 2 sin 3 cos 2 0 sin 4 sin 3 0 2 x x x x x≠ ⇔ ≠ ( ) ( ) ( ) 2sin 3 2 cos 3 2 1 sin 2 .sin 3 sin 3 .cos 2 x x x x x x x x − − ⇔ = ( ) 2 2 2 2.sin cos sin cos 0 x x x x   ⇔ − − =   3 sin 0 sin 0 sin 2 2sin cos 0 sin 4 0 sin 4 .sin 3 0 x x x x x x x x ⇔ = ⇔ = ⇒ = = ⇒ = ⇒ = (3) Do (2) và (3) mâu thuẫn nhau nên phương trình (1) vô nghiệm. Bài 4. Phương trình đối xứng và nửa đối xứng 237 Bài 9. Giải phương trình: ( ) 2 2 tan cot 3 1 sin x x x + = + Giải Điều kiện: ( ) sin cos 0 sin 2 0 2 2 k x x x x π ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ( ) ( ) 2 2 2 1 tan tan cot 3 tan 3 sin sin sin x x x x x x x ⇔ + + = + ⇔ + = + tan 3 3 x x n π ⇔ = ⇔ = + π (thỏa mãn (2)) ( ) n ∈ » Bài 10. Giải phương trình: ( ) 2 3 tan 3 cot 2 2 tan 1 sin 4 x x x x + = + Giải Điều kiện: ( ) sin 2 sin 4 cos cos cos 3 0 sin 4 .cos 3 0 2 x x x x x x x≠ ⇔ ≠ ( ) ( ) ( ) 2 1 2 tan 3 tan tan 3 cot 2 sin 4 x x x x x ⇔ − + + = 2sin 2 cos 2 4sin sin 4 2cos cos 2 2 cos 3 cos 3 cos cos 3 sin 2 sin 4 x x x x x x x x x x x x x ⇔ + = ⇔ + = 4sin sin 4 cos cos 3 2 cos 3 4 sin sin 4 cos cos 3 0 x x x x x x x x x ⇔ + + = ⇔ + − = ( ) ( ) sin sin 2 1 2sin sin 2 4 cos 2 1 cos 2 cos 4 4 cos 2 1 0 x x loai x x x x x x  − ⇔ + ⇔ ⇔ = =  + =  2 2 2 x k x k α ⇔ = ±α + π ⇔ = ± + π (thỏa mãn (2)) ( ) n ∈ » Bài 11. Giải phương trình: ( ) 1 2 tan cot 2 2sin 2 1 sin 2 x x x x + = + Giải Điều kiện: sin 2 0 2 k x x π ≠ ⇔ ≠ (2) Sử dụng: sin 2 sin cos 2 cos cos 1 tan cot 2 cos .sin 2 cos sin sin 2 x x c x x x x x x x x x + + = = = ( ) ( ) ( ) 1 tan tan cot 2 sin 2 tan cot x x x x x x ⇔ + + = + + ( ) 2 2 tan 4sin cos sin 4sin cos sin 1 4 cos 0 x x x x x x x x ⇔ = ⇔ = ⇔ − = ( ) ( ) ( ) 2 2 sin 0 2 1 cos 2 2 2 1 2 3 3 cos 4 x x x n x n n x =  π π  ⇔ → = − ⇔ = ± + π ⇔ = ± + π ∈ =   » Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương 238 Bài 12. Giải phương trình: 2 3 tan 6 2 tan 2 cot 4 sin 8 x x x x − = − (1) Giải ĐK: cos 6 .sin 8 0 x x ≠ , ( ) ( ) cos 4 1 1 tan 6 2 tan 6 tan 2 sin 4 cos 4 sin 4 x x x x x x x ⇔ + − = − ( ) tan 6 2 tan 6 tan 2 tan 4 x x x x ⇔ + − = ( ) ( ) tan 6 tan 4 2 tan 6 tan 2 0 x x x x ⇔ − + − = ( ) sin 2 2 sin 4 1 0 sin 2 4 0 cos 6 cos 4 cos 6 cos 2 cos 4 x x x x x x x x ⇔ + = ⇔ + = . Do sin 8 0 x ≠ nên Phương trình chỉ có nghiệm ( ) 1 cos 4 cos 4 4 2 k x x k α π = − = α ⇔ = ± + ∈ » Bài 13. Giải phương trình: ( ) 2 3 tan 2 4 tan 3 tan 3 .tan 2 1 x x x x− = Giải Điều kiện: { } ( ) cos 2 .cos 3 0 ; | 2 4 2 6 3 k k x x x k π π π π ≠ ⇔ ∉ + + ∈» ( ) ( ) ( ) 1 3 tan 2 3 tan 3 tan 3 1 tan 3 tan 2 3 x x x x x⇔ − = + Nếu 1 tan 3 tan 2 0 x x + = thì từ ( ) tan 2 tan 3 0 3 1 tan 3 tan 2 0 x x x x − =  ⇒  + =  2 tan 2 tan 3 1 tan 3 0 x x x =   ⇔ ⇒  + =   Vô lý 1 tan 3 . tan 2 0 x x ⇒ + ≠ Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) 3 tan 2 tan 3 1 3 tan 3 3 tan tan 3 1 tan 2 tan 3 x x x x x x x − ⇔ ⇔ = ⇔ − = + ( ) 3 3 2 2 3 tan tan 3 tan 3tan tan 3 tan 1 3 tan 1 3 tan x x x x x x x x − ⇔ = − ⇔ − = − − − ( ) 2 2 2 tan 0 tan 0 2 tan 5 tan 3 0 3 tan tan 5 x x n x x x x n = =  = π   ⇔ − = ⇔ ⇔  = = α = ±α + π    (thỏa mãn (2)) Bài 14. Giải phương trình: ( ) 2 3 2 3 tan tan tan cot cot cot 6 1 x x x x x x+ + + + + = Giải Điều kiện: ( ) sin cos 0 sin 2 0 2 2 k x x x x π ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 1 tan cot tan cot tan cot 6 x x x x x x ⇔ + + + + + = ( ) ( ) ( ) 3 2 tan cot 3 tan cot tan cot tan cot x x x x x x x x ⇔ + − + + + ( ) tan cot 8 x x + + = Bài 4. Phương trình đối xứng và nửa đối xứng 239 ( ) ( ) ( ) 3 2 tan cot tan cot 2 tan cot 8 0 x x x x x x ⇔ + + + − + − = Đặt tan cot tan cot 2 tan cot 2 x x t t x x x x + = ⇒ = + ≥ = Khi đó ( ) ( ) 3 2 2 2 8 0 2 3 4 0 t t t t t t + − − = ⇔ − + + = ( ) ( ) 2 3 7 2 2 0 2 tan cot 2 2 4 sin 2 t t t x x x   ⇔ − + + = ⇔ = ⇔ + = =     sin 2 1 4 x x n π ⇔ = ⇔ = + π (thỏa mãn (2)) ( ) n ∈ » Bài 15. Giải phương trình: ( ) tan 2 tan 3 tan 5 tan 2 . tan 3 .tan 5 1 x x x x x x− − = Giải Điều kiện: ( ) cos 2 .cos 3 .cos 5 0 2 x x x ≠ ( ) ( ) ( ) 1 tan 2 5 tan tan 3 1 tan 2 .tan 5 3 x x x x x⇔ − = + . Nếu 1 tan 2 .tan 5 0 x x + = thì từ ( ) tan 2 tan 5 0 3 1 tan 2 tan 5 0 x x x x − =  ⇒  + =  2 tan 2 tan 5 1 tan 2 0 x x x =   ⇔ ⇒  + =   Vô lý 1 tan 2 tan 5 0 x x ⇒ + ≠ Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) tan 2 tan 5 1 3 tan 3 tan 2 5 tan 3 tan 3 1 tan 2 tan 5 x x x x x x x x x − ⇔ ⇔ = = − = − = − + tan 3 0 3 k x x π ⇔ = ⇔ = (thỏa mãn (2)) ( ) n ∈ » Bài 16. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 2 tan 2 . tan 3 .tan 5 tan 2 tan 3 tan 5 1 x x x x x x= − + Giải ĐK: ( ) cos 2 .cos 3 .cos 5 0 2 x x x ≠ ; ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 tan 3 tan 2 tan5 1 tan 3 tan 2 , 3 x x x x x⇔ − = − Nếu 2 2 1 tan 3 .tan 2 0 x x − = thì từ ( ) 2 2 2 2 tan 3 tan 2 0 3 1 tan 3 .tan 2 0 x x x x  − =  ⇒  − =   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 tan 3 tan 2 tan 2 1 cos 2 sin 2 tan 3 .tan 2 1 tan 3 1 cos 3 sin 3 x x x x x x x x x x    = = =    ⇔ ⇔ ⇔    = = =       cos 4 0 cos 6 0 x x =  ⇔  =  ( ) 2 2 2 cos 2 1 0 cos 2 4cos 2 3 0 x x x  − =  ⇔  − =   2 2 1 cos 2 2 3 cos 2 4 x x  =  ⇔ ⇒   =  Vô lý 2 2 1 tan 3 tan 2 0 x x ⇒ − ≠ Khi đó ( ) ( ) tan 3 tan 2 tan 3 tan 2 1 3 tan 5 tan . tan 5 1 tan 3 . tan 2 1 tan 3 tan 2 x x x x x x x x x x x − + ⇔ ⇔ = ⋅ = + − ( ) ( ) ( ) 2 tan 5 0 tan 5 0 tan 5 0 5 tan 1 cos 2 0 x x k x x k x x = =   π ⇔ ⇔ → = ⇒ = ∈   = ⇒ =   » Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương 240 Bài 17. Giải phương trình: 2 2 2 1 1 1 tan . tan 2 tan 2 .tan 4 tan 4 tan8 tan8 2 2 4 4 x x x x x x x + + = − Giải Điều kiện: cos cos 2 cos 4 cos8 0 x x x x ≠ . Ta có cot 2 cot 2 tan a a a − = ⇒ 2 1 2 tan tan 2 2 tan tan tan 2 tan tan 2 a a a a a a a − = ⇔ − = Khi đó: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 tan 2 2 tan tan 4 2 tan 2 tan 8 2 tan 4 tan 8 2 2 4 4 x x x x x x x − + − + − = − ( ) tan 1 4 x x k k π ⇔ = ⇔ = + π ∈  thỏa mãn điều kiện. Bài 18. Giải phương trình: 2 2 2 2 tan 4 tan 2 16 tan 4 64 cot 8 41 x x x x + + = + (1) Giải Điều kiện: sin 8 0 x ≠ . Xét đẳng thức cot 2 cot 2 tan a a a − = . Đạo hàm 2 vế của đẳng thức này ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 4 1 1 cot 4 1 cot 2 1 tan sin sin 2 cos a a a a a a − + = ⇔ − − + + = + 2 2 2 4 cot 2 cot tan 2 a a a ⇔ − = − . Sử dụng đẳng thức này ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 tan 2 4 tan 2 2 16 tan 4 2 64cot 8 1 x x x x ⇔ − + − + − = − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4cot 2 cot 4 4cot 4 cot 2 16 4cot 8 cot 4 64cot 8 1 x x x x x x x ⇔ − + − + − = − ( ) 2 cot 1 cot 1 4 2 k x x x k π π ⇔ = ⇔ = ± ⇔ = + ∈  Bài 19. Giải phương trình: 2 2 2 2 2 2 sin cos 2 sin 3 cos 6 sin 9 cos18 0 cos 3 cos 9 cos 27 x x x x x x x x x + + = Giải Điều kiện: cos 27 0 x ≠ . Ta có công thức 2 2 2 2 8sin cos 2 tan 3 tan cos 3 a a a a a − = . Biến đổi phương trình ta có 2 2 2 2 2 2 sin cos 2 sin 3 cos 6 sin 9 cos18 0 cos 3 cos 9 cos 27 x x x x x x x x x + + = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 tan 3 tan tan 9 tan 3 tan 27 tan 9 0 x x x x x x ⇔ − + − + − = 2 2 tan 27 tan x x ⇔ = ( ) 27 26 28 k k x x k x x k π π ⇒ = ± + π ⇔ = ∨ = ∈  [...].. .Bài 4 Phương trình i x ng và n a i x ng 241 . Bài 4. Phương trình đối xứng và nửa đối xứng 231 Bài 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG I. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ NỬA ĐỐI XỨNG VỚI SINX, COSX 1. Phương. 2 4 4 2 4 2 x x x k k k k π π π π − ⇔ + = ∨ + = − ⇔ ∈ −π + π + π + π ∈ » Bài 4. Phương trình đối xứng và nửa đối xứng 233 Bài 7. Giải phương trình: