Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 11 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
11
Dung lượng
205,41 KB
Nội dung
Bài4. Phương trìnhđốixứng và nửa đốixứng
231
Bài 2. PHƯƠNGTRÌNHĐỐIXỨNG
I. PHƯƠNGTRÌNHĐỐIXỨNG VÀ NỬA ĐỐIXỨNG VỚI SINX, COSX
1. Phương pháp chung
(
)
sin cos sin cos 0
a x x b x x c
+ + + =
(
)
sin cos sin cos 0
a x x b x x c
− + + =
Bước 1.
Đặt
(
)
( )
(
)
( )
2
2
1
sin cos 2 sin 2; 2 sin cos 1
4 2
1
sin cos 2 sin 2; 2 sin cos 1
4 2
t x x x x x t
t x x x x x t
π
= + = + ∈ − ⇒ = −
π
= − = − ∈ − ⇒ = −
Biến đổi đưa về phươngtrình bậc 2 ẩn
t
.
Bước 2.
Giải phươngtrình bậc 2 ẩn
t
. Từ đó suy ra nghiệm
x
.
2. Các bài tập mẫu minh họa
Bài 1.
Giải phương trình:
( )
( )
2 sin cos sin cos 1 1
x x x x+ − =
Giải
Đặt
(
)
2
1
sin cos 2 cos 2, 2 sin cos
4 2
t
t x x x x x
π −
= + = − ∈ − ⇒ =
. Ta có
( )
2
1 2 2 1 0 2 1 2; 2
t t t
⇔ − + = ⇔ = − ∈ −
(
)
2 2
cos cos
4 2
x
−
π
⇔ − = = α
( )
2 2
4 4
x k x k k
π π
− = ±α + π ⇔ = ± α + π ∈
»
Bài 2.
Giải phương trình:
( )
10
1 1
cos sin 1
cos sin 3
x x
x x
+ + + =
Giải
Điều kiện:
( )
sin cos 0 sin 2 0 2
2
k
x x x x
π
≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠
Với điều kiện (2) thì
( )
( ) ( )
10
1 sin cos sin cos sin cos sin cos
3
x x x x x x x x
⇔ + + + =
(
)
(
)
3 sin cos sin cos 1 10sin cos
x x x x x x
⇔ + + =
Đặt
(
)
2
1
sin cos 2 cos 2, 2 sin cos
4 2
t
t x x x x x
π −
= + = − ∈ − ⇒ =
. Khi đó
( )
2 2
1 1
1 3 1 10.
2 2
t t
t
− −
⇔ + =
(
)
(
)
2 2 3 2
3 1 10 1 3 10 3 10 0
t t t t t t
⇔ + = − ⇔ − + + =
( )
( )
2
2 19
2 3 4 5 0 2; 2
3
t t t t
−
⇔ − − − = ⇔ = ∈ −
(
)
(
)
2 19 2 19
2 cos cos cos
4 3 4
3 2
x x
− −
π π
⇔ − = ⇔ − = = α
( )
2 2
4 4
x n x n n
π π
⇔ − = ±α + π ⇔ = ± α + π ∈
»
(thỏa mãn (2))
Chương VII. Phươngtrình lượng giác – Trần Phương
232
Bài 3.
Giải phương trình:
( )
3 3
3
1 sin cos sin 2 1
2
x x x+ + =
Giải
( )
( ) ( )
3
3
1 1 sin cos 3sin cos sin cos sin 2
2
x x x x x x x
⇔ + + − + =
Đặt
(
)
2
1
sin cos 2 cos 2, 2 sin cos
4 2
t
t x x x x x
π −
= + = − ∈ − ⇒ =
Khi đó
( )
( ) ( ) ( )
2
3 2 3 2 2
1 3
1 1 3 1 2 3 3 1 3 1
2 2
t
t t t t t t t
−
⇔ + − = − ⇔ + − − = −
( )
(
)
3 2 2
3 3 5 0 1 2 5 0 1 2; 2
t t t t t t t
⇔ + − − = ⇔ + + − = ⇔ = − ∈ −
(
)
(
)
{
}
( )
1
2 cos 1 cos 2 ; 2
4 4 2
2
x x x k k k
π π π
−
⇔ − = − ⇔ − = ⇔ ∈ π + π − + π ∈
»
Bài 4.
Giải phương trình:
( )
2 3
sin cos 1 sin cos 1
3
x x x x+ = +
Giải
Đặt
(
)
2
1
sin cos 2 sin 2, 2 sin cos
4 2
t
t x x x x x
π −
= + = + ∈ − ⇒ =
Khi đó (1)
( )
2
2
2 2
0; 2
0; 2
6. 1 3
2
6 1 9
t
t
t t
t
t t
∈
∈
⇔ + = ⇔ ⇔
=
+ =
(
)
( )
2 sin 1 2
4 4
t x x k k
π π
⇔ = ⇔ + = ⇔ = + π ∈
»
Bài 5.
Giải phương trình:
(
)
sin cos 7 sin 2 1 1
x x x− + =
Giải
Đặt
(
)
2
sin cos 2 cos 2, 2 sin 2 1
4
t x x x x t
π
= − = − + ∈ − ⇒ = −
Khi đó
( )
(
)
2 2
1 7 1 1 7 6 0
t t t t
⇔ + − = ⇔ − − =
(
)
(
)
( )
2
3
1
cos cos
1
4 4
2
2
6
2
3 2
7
cos cos
4 7
2
4
x k
x
t
x k k
t
x
x k
= −π + π
π π
+ = − =
=
π
⇔ ⇔ ⇔ = + π ∈
−
=
π
+ = = α
π
= − ± α + π
»
Bài 6.
Giải phương trình:
(
)
( )
( )
1 2 sin cos 2sin cos 1 2 1
x x x x+ − + = +
Giải
Đặt
(
)
2
sin cos 2 cos 2, 2 2 sin cos 1
4
t x x x x x t
π
= − = − + ∈ − ⇒ = −
. Khi đó
( )
(
)
(
)
(
)
2 2
1 1 2 1 1 2 1 2 2 0 1 2
t t t t t t⇔ + + − = + ⇔ − − + = ⇔ = ∨ =
(
)
(
)
{
}
( )
3
1
cos cos 1 2 ; 2 ; 2
4 4 2 4
2
x x x k k k k
π π π π
−
⇔ + = ∨ + = − ⇔ ∈ −π + π + π + π ∈
»
Bài 4.Phươngtrìnhđốixứng và nửa đốixứng
233
Bài 7.
Giải phương trình:
(
)
sin 2 2 sin 1
4
x x x
π
+ − =
Giải
(
)
( )
( )
sin 2 2 sin 1 sin 2 sin cos 1 1
4
x x x x x x
π
+ − = ⇔ + − =
Đặt
(
)
2
sin cos 2 sin 2, 2 sin 2 1
4
t x x x x t
π
= − = − ∈ − ⇒ = −
Khi đó
( )
( )
2
1 1 1 1 0 0; 1
t t t t t t
⇔ − + = ⇔ − = ⇔ = =
(
)
(
)
{ }
( )
tg 1
sin cos 0
; 2 ; 2
1
sin
4 2
2 sin 1
4
4
2
x
x x
x k k k k
x
x
=
− =
π π
⇔ ⇔ ⇔ ∈ + π + π π + π ∈
π
π
− =
− =
»
Bài 8.
Giải phương trình:
(
)
sin 3 cos 3 2 sin cos 1
x x x x
− + + =
Giải
( )
(
)
(
)
( )
3 3
1 3sin 4sin 4 cos 3cos 2 sin cos 1
x x x x x x
⇔ − − − + + =
(
)
(
)
(
)
4 sin cos 1 sin cos 5 sin cos 1
x x x x x x
⇔ − + − + + =
Đặt
(
)
sin cos 2 sin 2; 2
4
t x x x
π
= + = + ∈ −
, khi đó ta có phương trình:
( )
( )
2
2
1
4 1 5 1 1 2 2 1 0 1
2
t
t t t t t t
−
− − + = ⇔ − + + = ⇔ =
2
4
x k
π
⇔ = + π
Bài 9.
Giải phương trình:
( )
(
)
1 1
2 2 sin 2 tan cot 0
sin cos
x x x
x x
+ + + + + =
Giải
Đặt
(
)
sin cos 2 sin 2; 2 , 1
4
t x x x t
π
= + = + ∈ − ≠ ±
. Biến đổi ta nhận được
( ) ( )
( )
2 2 2 3 2
2
2 2
2 1 0 2 2 1 2 2 0 2 4 2 0
1
t
t t t t t t t
t
+
+ + = ⇔ − + + + = ⇔ + + =
−
( ) ( )
2
2 1 0 0 1 sin cos 0 tan 1
4
t t t t x x x x k
π
⇔ + = ⇒ = ≠ ± ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = − + π
Bài 10.
Tìm
m
để phương trình:
(
)
sin cos sin 2 0
m x x x
+ + =
có nghiệm.
Giải
Đặt
(
)
2
sin cos 2 cos 2; 2 sin 2 1
4
t x x x x t
π
= + = − ∈ − ⇒ = −
Khi đó phươngtrình
2
1 0
mt t
⇔ + − =
( )
2
1 0
f t t mt
⇔ = + − =
với
2; 2
t
∈ −
Để ý rằng:
2
1
4 0
m
∆ = + >
nên
(
)
0
f t
=
có 2 nghiệm phân biệt
1 2
,
t t
Chương VII. Phươngtrình lượng giác – Trần Phương
234
Theo định lý Viét, ta có
1 2 1 2
. 1 . 1
t t t t
= − ⇒ =
(
)
( )
1
1
2
2
0 1 2
2, 2
0 1 2
2, 2
t
t
t
t
< ≤ <
∈ −
⇒ ⇒
< ≤ <
∈ −
Vậy phươngtrình đã cho luôn có nghiệm
m
∀ ∈
Bài 11.
Tìm
m
để phương trình:
(
)
sin 2 4 cos sin
x x x m
+ − =
có nghiệm
Giải
Đặt
cos sin 2; 2
t x x
= − ∈ −
và
2
sin 2 1
x t
= −
, khi đó phươngtrình đã cho
( )
2
4 1
f t t t m
⇔ = − + + =
với
2; 2
t
∈ −
.
Ta có
( )
4 2 0 2, 2
f t t t
′
= − > ∀ ∈ −
(
)
f t
⇒
đồng biến trên
2, 2
−
⇒
Tập giá trị
(
)
f t
là
(
)
(
)
2 , 2 4 2 1, 4 2 1
f f
− = − − +
Do đó phươngtrình đã cho có nghiệm
(
)
f t m
⇔ =
có nghiệm
2, 2
t
∈ −
4 2 1 4 2 1
m
⇔ − − ≤ ≤ +
Bài 12.
Tìm
m
để:
3 3
sin cos
x x m
− =
có 3 nghiệm phân biệt
[
]
0,
x
∈ π
Giải
Biến đổi:
( ) ( )
3
3 3
sin cos sin cos 3sin cos sin cos
x x m x x x x x x m
− = ⇔ − + − =
Đặt
(
)
[ ]
sin cos 2 sin 1, 2 0,
4
t x x x x
π
= − = − ∈ − ∀ ∈ π
;
2
1
sin cos
2
t
x x
−
=
.
Khi đó phươngtrình
( )
( )
2
3 3 2 3
1
3 2 3 1 2 3 2
2
t
t t m t t t m f t t t m
−
⇔ − = ⇔ + − = ⇔ = − + =
Ta có
( )
2
3 3 0 1
f t t t
′
= − + = ⇔ = ± ⇒
Bảng biến thiên
Với
(
)
2 1, 1
t t= ∨ ∈ −
cho ta
1 nghiệm
[
]
0,
x
∈ π
và với mỗi
)
1, 2
t
∈
cho ta 2 nghiệm
[
]
0,
x
∈ π
.
Nên để phươngtrình
3 3
sin cos
x x m
− =
có 3 nghiệm phân biệt
[
]
0,
x
∈ π
thì
(
)
2
f t m
=
phải có 2 nghiệm
1 2
,
t t
sao cho
1 2
2
1 1 2 2 2 2 1
2
t t m m
− < < < < ⇔ < < ⇔ < <
.
–1 1
2
2
0
0
+
–
–2
2
t
f
′
(t)
f(t)
Bài 4.Phươngtrìnhđốixứng và nửa đốixứng
235
II. PHƯƠNGTRÌNHĐỐIXỨNG VỚI TAN, COT
I. CÔNG THỨC SỬ DỤNG
(
)
(
)
(
)
sin sin cos
tan tan ; tan tan ; tan cot
cos cos cos cos cos sin
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
+ − −
+ = − = + =
(
)
cos
2
cot tan ; tan cot ; cot tan 2 cot 2
sin cos sin 2
a b
a b a a a a a
a b a
+
− = + = − =
II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA
Bài 1.
Giải phương trình:
( )
( )
3 tan cot 4 1
x x+ =
Giải
(
)
1
⇔
2 3 2 3 3
4 sin 2
sin 2 4 2 6 3
x x n x n
x
π π
= ⇔ = = ⇔ = + π ∨ = + π
Bài 2.
Giải phương trình:
( )
( )
2 sin cos tan cot 1
x x x x+ = +
Giải
Điều kiện:
( )
sin cos 0 sin 2 0 2
2
k
x x x x
π
≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠
Đặt
(
)
2
sin cos 2 cos 2, 2 sin 2 1
4
t x x x x t
π
= + = − ∈ − ⇒ = −
( )
( )
( )
2 3
2
1 2 sin cos 1 2 2 0
sin 2
x x t t t t
x
⇔ + = ⇔ − = ⇔ − − =
(
)
1
t
≠ ±
( )( )
(
)
2
2 2 1 0 2 cos 1
4
t t t t x
π
⇔ − + + = ⇔ = ⇔ − =
2
4
x n
π
⇔ = + π
Bài 3.
Giải phương trình:
(
)
(
)
3 tan cot 2 2 sin 2
x x x
+ = +
(1)
Giải
Điều kiện:
( )
sin cos 0 sin 2 0 2
2
k
x x x x
π
≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠
( )
3
1 2 sin 2
sin 2
x
x
⇔ = +
2
sin 2 2sin 2 3 0 sin 2 1
x x x
⇔ + − = ⇔ =
4
x n
π
⇔ = + π
Bài 4.
Giải phương trình:
( )
2
tan 2 cot 8 cos 1
x x x+ =
Giải
ĐK:
(
)
sin .cos 2 0, 2
x x ≠
, ta có (1)
(
)
2 2
cos 2
8cos cos 8cos .cos2 .sin
cos2 .sin
x x
x x x x x
x x
−
⇔ = ⇔ =
(
)
(
)
cos 1 8 cos cos 2 sin 0 cos 1 2sin 4 0
x x x x x x
⇔ − = ⇔ − =
{
}
5
1
cos 0 sin 4 ; ;
2 2 2 24 2 24 2
k k k
x x x
π π π π π π
⇔ = ∨ = ⇔ ∈ + + +
Chương VII. Phươngtrình lượng giác – Trần Phương
236
Bài 5.
Giải phương trình:
( )
3
tan cot 2 cot 2 1
x x x= +
Giải
Điều kiện:
( )
sin cos sin 2 0 sin 2 0 2
2
k
x x x x x
π
≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠
( )
3
1 tan cot 2cot 2
x x x
⇔ − = ⇔
3
2 cos 2
2 cot 2
2sin cos
x
x
x x
−
⇔ =
(
)
2
cot 2 1 cot 0 cot 2 0
x x x
⇔ + = ⇔ =
2
2 4 2
n
x n x
π π π
⇔ = + π ⇔ = +
Bài 6.
Giải phương trình:
(
)
tan cot 2 sin 2 cos 2
x x x x
+ = +
(1)
Giải
Điều kiện:
( )
sin cos 0 sin 2 0 2
2
k
x x x x
π
≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠
( )
( )
2
1 2 sin 2 cos 2
sin 2
x x
x
⇔ = +
(
)
sin 2 sin 2 cos 2 1
x x x
⇔ + =
(
)
2
sin 2 cos 2 1 sin 2 0
x x x
⇔ − − =
(
)
cos 2 sin 2 cos 2 0
x x x
⇔ − =
cos 2 0 tan 2 1
4 2 8 2
n n
x x x x
π π π π
⇔ = ∨ = ⇔ = + ∨ = +
Bài 7.
Giải phương trình:
(
)
6 tan 5cot 3 tan 2 1
x x x+ =
Giải
( )
( )
(
)
(
)
5cos 3 sin 2
1 5 tan cot 3 tan 2 tan
cos .sin 3 cos 2 .cos
x x x x
x x x x
x x x x
− −
⇔ + = − ⇔ =
2 2 2
5cos 2 sin 3 .sin 10 cos 2 2 sin 3 sin 10 cos 2 cos 2 cos
4
x x x x x x x x x
⇔ = ⇔ = ⇔ = −
(
)
2 2 2
10 cos 2 cos 2 2cos 2 1 12 cos 2 cos 2 1 0
x x x x x
⇔ = − − ⇔ − − =
1
cos 2 cos
2 2
2
3
2 2
1
cos 2 cos
4
2
x k
x
x k
x k
x
x k
α
= ± + π
= = α
= ±α + π
⇔ ⇔ ⇔
β
= ±β + π
= − = β
= ± + π
(thỏa mãn (2))
(
)
n ∈
»
Bài 8.
Giải phương trình:
[
]
(
)
2 cot2 cot 3 tg2 cot 3 1
x g x x g x− = +
Giải
Điều kiện:
(
)
sin 2 sin 3 cos 2 0 sin 4 sin 3 0 2
x x x x x≠ ⇔ ≠
( )
(
)
(
)
2sin 3 2 cos 3 2
1
sin 2 .sin 3 sin 3 .cos 2
x x x x
x x x x
− −
⇔ =
(
)
2 2 2
2.sin cos sin cos 0
x x x x
⇔ − − =
3
sin 0 sin 0 sin 2 2sin cos 0 sin 4 0 sin 4 .sin 3 0
x x x x x x x x
⇔ = ⇔ = ⇒ = = ⇒ = ⇒ =
(3)
Do (2) và (3) mâu thuẫn nhau nên phươngtrình (1) vô nghiệm.
Bài 4.Phươngtrìnhđốixứng và nửa đốixứng
237
Bài 9.
Giải phương trình:
( )
2
2 tan cot 3 1
sin
x x
x
+ = +
Giải
Điều kiện:
( )
sin cos 0 sin 2 0 2
2
k
x x x x
π
≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠
( )
( )
2 2 2
1 tan tan cot 3 tan 3
sin sin sin
x x x x
x x x
⇔ + + = + ⇔ + = +
tan 3
3
x x n
π
⇔ = ⇔ = + π
(thỏa mãn (2))
(
)
n ∈
»
Bài 10.
Giải phương trình:
( )
2
3 tan 3 cot 2 2 tan 1
sin 4
x x x
x
+ = +
Giải
Điều kiện:
(
)
sin 2 sin 4 cos cos cos 3 0 sin 4 .cos 3 0 2
x x x x x x x≠ ⇔ ≠
( )
( ) ( )
2
1 2 tan 3 tan tan 3 cot 2
sin 4
x x x x
x
⇔ − + + =
2sin 2 cos
2
4sin sin 4 2cos cos 2 2 cos 3
cos 3 cos cos 3 sin 2 sin 4
x x
x x x x x
x x x x x x
⇔ + = ⇔ + =
4sin sin 4 cos cos 3 2 cos 3 4 sin sin 4 cos cos 3 0
x x x x x x x x x
⇔ + + = ⇔ + − =
( )
(
)
sin sin 2
1
2sin sin 2 4 cos 2 1 cos 2 cos
4
4 cos 2 1 0
x x loai
x x x x x
x
−
⇔ + ⇔ ⇔ = =
+ =
2 2
2
x k x k
α
⇔ = ±α + π ⇔ = ± + π
(thỏa mãn (2))
(
)
n ∈
»
Bài 11.
Giải phương trình:
( )
1
2 tan cot 2 2sin 2 1
sin 2
x x x
x
+ = +
Giải
Điều kiện:
sin 2 0
2
k
x x
π
≠ ⇔ ≠
(2)
Sử dụng:
sin 2 sin cos 2 cos cos
1
tan cot 2
cos .sin 2 cos sin sin 2
x x c x x
x x
x x x x x
+
+ = = =
(
)
(
)
(
)
1 tan tan cot 2 sin 2 tan cot
x x x x x x
⇔ + + = + +
(
)
2 2
tan 4sin cos sin 4sin cos sin 1 4 cos 0
x x x x x x x x
⇔ = ⇔ = ⇔ − =
( )
( )
( )
2
2
sin 0
2
1
cos 2 2 2
1
2 3 3
cos
4
x
x x n x n n
x
=
π π
⇔ → = − ⇔ = ± + π ⇔ = ± + π ∈
=
»
Chương VII. Phươngtrình lượng giác – Trần Phương
238
Bài 12.
Giải phương trình:
2
3 tan 6 2 tan 2 cot 4
sin 8
x x x
x
− = −
(1)
Giải
ĐK:
cos 6 .sin 8 0
x x
≠
,
( )
( )
cos 4
1
1 tan 6 2 tan 6 tan 2
sin 4 cos 4 sin 4
x
x x x
x x x
⇔ + − = −
(
)
tan 6 2 tan 6 tan 2 tan 4
x x x x
⇔ + − =
(
)
(
)
tan 6 tan 4 2 tan 6 tan 2 0
x x x x
⇔ − + − =
(
)
sin 2 2 sin 4
1
0 sin 2 4 0
cos 6 cos 4 cos 6 cos 2 cos 4
x x
x
x x x x x
⇔ + = ⇔ + =
. Do
sin 8 0
x
≠
nên
Phương trình chỉ có nghiệm
( )
1
cos 4 cos
4 4 2
k
x x k
α π
= − = α ⇔ = ± + ∈
»
Bài 13.
Giải phương trình:
( )
2
3 tan 2 4 tan 3 tan 3 .tan 2 1
x x x x− =
Giải
Điều kiện:
{
}
( )
cos 2 .cos 3 0 ; | 2
4 2 6 3
k k
x x x k
π π π π
≠ ⇔ ∉ + + ∈»
(
)
(
)
(
)
1 3 tan 2 3 tan 3 tan 3 1 tan 3 tan 2 3
x x x x x⇔ − = +
Nếu
1 tan 3 tan 2 0
x x
+ =
thì từ
( )
tan 2 tan 3 0
3
1 tan 3 tan 2 0
x x
x x
− =
⇒
+ =
2
tan 2 tan 3
1 tan 3 0
x x
x
=
⇔ ⇒
+ =
Vô lý
1 tan 3 . tan 2 0
x x
⇒ + ≠
Khi đó
( )
( )
(
)
( )
3 tan 2 tan 3
1 3 tan 3 3 tan tan 3
1 tan 2 tan 3
x x
x x x
x x
−
⇔ ⇔ = ⇔ − =
+
( )
3
3 2
2
3 tan tan
3 tan 3tan tan 3 tan 1 3 tan
1 3 tan
x x
x x x x x
x
−
⇔ = − ⇔ − = − −
−
( )
2
2 2
tan 0 tan 0
2 tan 5 tan 3 0
3
tan tan
5
x
x n
x x
x
x n
= =
= π
⇔ − = ⇔ ⇔
= = α
= ±α + π
(thỏa mãn (2))
Bài 14.
Giải phương trình:
( )
2 3 2 3
tan tan tan cot cot cot 6 1
x x x x x x+ + + + + =
Giải
Điều kiện:
( )
sin cos 0 sin 2 0 2
2
k
x x x x
π
≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠
( )
(
)
(
)
( )
3 3 2 2
1 tan cot tan cot tan cot 6
x x x x x x
⇔ + + + + + =
( ) ( ) ( )
3 2
tan cot 3 tan cot tan cot tan cot
x x x x x x x x
⇔ + − + + +
(
)
tan cot 8
x x
+ + =
Bài 4. Phương trìnhđốixứng và nửa đốixứng
239
( ) ( ) ( )
3 2
tan cot tan cot 2 tan cot 8 0
x x x x x x
⇔ + + + − + − =
Đặt
tan cot tan cot 2 tan cot 2
x x t t x x x x
+ = ⇒ = + ≥ =
Khi đó
( )
(
)
3 2 2
2 8 0 2 3 4 0
t t t t t t
+ − − = ⇔ − + + =
( )
(
)
2
3 7
2
2 0 2 tan cot 2
2 4 sin 2
t t t x x
x
⇔ − + + = ⇔ = ⇔ + = =
sin 2 1
4
x x n
π
⇔ = ⇔ = + π
(thỏa mãn (2))
(
)
n ∈
»
Bài 15.
Giải phương trình:
(
)
tan 2 tan 3 tan 5 tan 2 . tan 3 .tan 5 1
x x x x x x− − =
Giải
Điều kiện:
(
)
cos 2 .cos 3 .cos 5 0 2
x x x ≠
(
)
(
)
(
)
1 tan 2 5 tan tan 3 1 tan 2 .tan 5 3
x x x x x⇔ − = +
. Nếu
1 tan 2 .tan 5 0
x x
+ =
thì
từ
( )
tan 2 tan 5 0
3
1 tan 2 tan 5 0
x x
x x
− =
⇒
+ =
2
tan 2 tan 5
1 tan 2 0
x x
x
=
⇔ ⇒
+ =
Vô lý
1 tan 2 tan 5 0
x x
⇒ + ≠
Khi đó
( )
( ) ( ) ( )
tan 2 tan 5
1 3 tan 3 tan 2 5 tan 3 tan 3
1 tan 2 tan 5
x x
x x x x x
x x
−
⇔ ⇔ = = − = − = −
+
tan 3 0
3
k
x x
π
⇔ = ⇔ =
(thỏa mãn (2))
(
)
n ∈
»
Bài 16.
Giải phương trình:
( )
2 2 2 2
tan 2 . tan 3 .tan 5 tan 2 tan 3 tan 5 1
x x x x x x= − +
Giải
ĐK:
(
)
cos 2 .cos 3 .cos 5 0 2
x x x ≠
;
( )
(
)
( )
2 2 2 2
1 tan 3 tan 2 tan5 1 tan 3 tan 2 , 3
x x x x x⇔ − = −
Nếu
2 2
1 tan 3 .tan 2 0
x x
− =
thì từ
( )
2 2
2 2
tan 3 tan 2 0
3
1 tan 3 .tan 2 0
x x
x x
− =
⇒
− =
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
tan 3 tan 2 tan 2 1 cos 2 sin 2
tan 3 .tan 2 1 tan 3 1 cos 3 sin 3
x x x x x
x x x x x
= = =
⇔ ⇔ ⇔
= = =
cos 4 0
cos 6 0
x
x
=
⇔
=
( )
2
2
2 cos 2 1 0
cos 2 4cos 2 3 0
x
x x
− =
⇔
− =
2
2
1
cos 2
2
3
cos 2
4
x
x
=
⇔ ⇒
=
Vô lý
2 2
1 tan 3 tan 2 0
x x
⇒ − ≠
Khi đó
( )
( )
tan 3 tan 2 tan 3 tan 2
1 3 tan 5 tan . tan 5
1 tan 3 . tan 2 1 tan 3 tan 2
x x x x
x x x
x x x x
− +
⇔ ⇔ = ⋅ =
+ −
( )
( )
( )
2
tan 5 0 tan 5 0
tan 5 0
5
tan 1 cos 2 0
x x
k
x x k
x x
= =
π
⇔ ⇔ → = ⇒ = ∈
= ⇒ =
»
Chương VII. Phươngtrình lượng giác – Trần Phương
240
Bài 17.
Giải phương trình:
2 2 2
1 1 1
tan . tan 2 tan 2 .tan 4 tan 4 tan8 tan8 2
2 4 4
x x x x x x x
+ + = −
Giải
Điều kiện:
cos cos 2 cos 4 cos8 0
x x x x
≠
.
Ta có
cot 2 cot 2 tan
a a a
− =
⇒
2
1 2
tan tan 2 2 tan tan tan 2
tan tan 2
a a a a a
a a
− = ⇔ − =
Khi đó:
( ) ( ) ( )
1 1 1
tan 2 2 tan tan 4 2 tan 2 tan 8 2 tan 4 tan 8 2
2 4 4
x x x x x x x
− + − + − = −
( )
tan 1
4
x x k k
π
⇔ = ⇔ = + π ∈
thỏa mãn điều kiện.
Bài 18.
Giải phương trình:
2 2 2 2
tan 4 tan 2 16 tan 4 64 cot 8 41
x x x x
+ + = +
(1)
Giải
Điều kiện:
sin 8 0
x
≠
.
Xét đẳng thức
cot 2 cot 2 tan
a a a
− =
.
Đạo hàm 2 vế của đẳng thức này ta có
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
1 4 1
1 cot 4 1 cot 2 1 tan
sin sin 2 cos
a a a
a a a
− + = ⇔ − − + + = +
2 2 2
4 cot 2 cot tan 2
a a a
⇔ − = −
.
Sử dụng đẳng thức này ta có
( )
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2
1 tan 2 4 tan 2 2 16 tan 4 2 64cot 8 1
x x x x
⇔ − + − + − = −
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2 2
4cot 2 cot 4 4cot 4 cot 2 16 4cot 8 cot 4 64cot 8 1
x x x x x x x
⇔ − + − + − = −
( )
2
cot 1 cot 1
4 2
k
x x x k
π π
⇔ = ⇔ = ± ⇔ = + ∈
Bài 19.
Giải phương trình:
2 2 2
2 2 2
sin cos 2 sin 3 cos 6 sin 9 cos18
0
cos 3 cos 9 cos 27
x x x x x x
x x x
+ + =
Giải
Điều kiện:
cos 27 0
x
≠
.
Ta có công thức
2
2 2
2
8sin cos 2
tan 3 tan
cos 3
a a
a a
a
− =
. Biến đổiphươngtrình ta có
2 2 2
2 2 2
sin cos 2 sin 3 cos 6 sin 9 cos18
0
cos 3 cos 9 cos 27
x x x x x x
x x x
+ + =
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2
tan 3 tan tan 9 tan 3 tan 27 tan 9 0
x x x x x x
⇔ − + − + − =
2 2
tan 27 tan
x x
⇔ =
( )
27
26 28
k k
x x k x x k
π π
⇒ = ± + π ⇔ = ∨ = ∈
[...].. .Bài 4Phươngtrình i x ng và n a i x ng 241 . Bài 4. Phương trình đối xứng và nửa đối xứng
231
Bài 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ NỬA ĐỐI XỨNG VỚI SINX, COSX
1. Phương. 2
4 4 2 4
2
x x x k k k k
π π π π
−
⇔ + = ∨ + = − ⇔ ∈ −π + π + π + π ∈
»
Bài 4. Phương trình đối xứng và nửa đối xứng
233
Bài 7.
Giải phương trình: