CHƯƠNGV PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SINX, COSX
a sin x cos x+ +bsin x cos x c= 1
Cách giải
Đặt =t sin x cos x với điều kiện t+ ≤ 2
Thì t 2 sin x 2 cos x
Ta có : t2 = +1 2sin x cos x nên 1 thành( )
( 2 )
b
2
2
Giải (2) tìm được t, rồi so với điều kiện t ≤ 2
giải phương trình ⎛⎜ + π⎞⎟=
2 sin x t
4 ta tìm được x Bài 106 : Giải phương trình sin x sin x cos x 0 *+ 2 + 3 = ( )
(*) ⇔sin x 1 sin x( + )+cos x 1 sin x( − 2 ) = 0
⇔ 1 sin x+ =0 hay sin x cos x 1 sin x+ − =0
( ) ( )
sin x cos x sin x cos x 0 2
= −
⎡
⇔ ⎢
⎢⎣
( )
2
2 Xét 2 : đặt t sin x cos x 2 cos x
4 điều kiện t 2 thì t 1 2sin x cos x
π
π
Vậy (2) thành t t2 1 0
2
−
2
t 2t 1 0
t 1 2
t 1 2 loại
⎡ = −
⇔ ⎢
= +
⎢⎣
Do đó ( 2 ) ⇔ 2 cos x 1 2
4
π
⎛ − ⎞= −
Trang 2
π
⇔ ⎜ − ⎟ = − = ϕ < ϕ <
π
π
2
2
x h2 , h , với cos
2
x h2 , h , với cos
π 1 1
Bài 107 : Giải phương trình 1 sin x cos x3 3 3sin 2x *( )
2
( )* 1 (sin x cos x 1 sin x cos x)( ) 3sin 2x
2
Đặt t sin x cos x 2 sin x
4
π
Với điều kiện t ≤ 2
Thì t2 = +1 2sin x cosx
Vậy (*) thành : 1 t 1 t2 1 3(t2 1)
− + ⎜⎜ − ⎟⎟ = −
2
với t = 1 thì sin x 1 sin
⎛ + ⎞= =
π
3
x k2 x k2 , k
2
3 2
3 2
ϕ in 2
Bài 108 :Giải phương trình 2 sin x cos x( + )= tgx cot gx *+ ( )
Điều kiện sin x 0 sin 2x 0
cos x 0
≠
⎧
⎩ Lúc đó (*) 2 sin x cos x( ) sin x cos x
cos x sin x
Trang 3( ) sin x cos x2 2 1
2 sin x cos x
sin x cos x sin x cos x
+
Đặt t sin x cos x 2 sin x
4
π
Thì t2 = +1 2 sin x cos x với t ≤ 2 và t2 ≠1
(*) thành 2t 22
=
−
3
(Hiển nhiên t = ±1 không là nghiệm)
2
2
t 2t 1 0 vô nghiệm
⎡ =
⇔ ⎢
⎢⎣
Vậy ( )* ⇔ 2 sin x 2
4
π
⎛ + ⎞ =
π
π
4
4 Bài 109 : Giải phương trình 3 cot gx cos x( − )−5 tgx sin x( − ) =2 *( )
Với điều kiện sin2x 0≠ , nhân 2 vế phương trình cho sinxcosx≠0 thì :
( )* ⇔ 3 cos x 1 sin x2 ( − )−5 sin x 1 cos x2 ( − ) =2 sin x cos x
( ) ( )
⎡
⇔ ⎢
⎢⎣
3 cos x 1 sin x 5 sin x 1 cos x 5 sin x cos x 3sin x cos x
3 cos x cos x 1 sin x sin x 5 sin x sin x 1 cos x cos x 0
3 cos x cos x sin x cos x sin x 5 sin x sin x sin x cos x cos x 0 sin x cos x sin x cos x 0 1
3 cos x 5 sin x 0 2
)
=
⎤⎦
=
( Ghi chú: A.B + A.C = A.D ⇔ A = 0 hay B + C = D )
Giải (1) Đặt t sin x cos x 2 sin x
4
π
Thì t2 = +1 2sin x cosx với điều kiện : t ≤ 2 và t ≠ ± 1
(1) thành : t t2 1 0 t2 2t
2
t 1 2 loại do t 2
t 1 2 nhận so với điều kiện
⎢
⇔
⎢ = −
⎣
Trang 4Vậy sin x 1 2 sin (0 2 )
⎛ + ⎞ = = α < α < π
3
( )2 ⇔ tgx= 3 = tgβ ⇔ x = β + πh , h∈ (với 0< β < π)
5
Bài 110 : Giải phương trình
2
4 2 cos x
Điều kiện : cosx 0≠ ⇔sin x≠ ±1
Lúc đó : (*) tgx 3tg x 1 3 1 sin x 1 tg x( 2 ) ( ) ( 2 ) 4 1 cos x
2
4 1 sin x
( )
( )
2 2 2
tgx 3tg x 1 1 sin x 3 1 tg x 4 0
3tg x 1 tgx 1 sin x 0
3tg x 1 sin x cosx sin x cosx 0
3tg x 1 1
sin x cosx sin x cosx 0 2
⇔ ⎢
⎢⎣
=
( )
Giải 2 đặt t sin x cos x 2 sin x
4
π
• ⇔ = ⇔ = ± ⇔ = ± + πk
π
⎝ + ⎠ Với điều kiện t ≤ 2 và t≠ ± 1
Thì t2 = +1 2sin x cos x
(2) thành : t t 12 0 t2 2t 1
2
t 1 2 loại dođiều kiện t 2
t 1 2 nhận so với điều kiện
⎢
⇔
⎢ = − +
⎣
Vậy sin x 2 1 sin
3
Trang 5Bài 111 : Giải phương trình 2sin x sin x 2 cos x cosx cos2x *3 − = 3 − + ( )
( )* ⇔2 sin x cos x( 3 − 3 )−(sin x cos x− )+sin x cos x 02 − 2 =
( )
( )
sin x cosx 0 hay 2 1 sin x cosx 1 sin x cosx 0
sin x cosx 0 1
sin x cosx sin 2x 1 0 2
⎡
⇔ ⎢
⎢⎣
( )
( )
4 xét 2 đặt t sin x cosx 2 cosx x
4
π
⇔ = + π ∈
π
¢
− Với điều kiện : t ≤ 2
2
t = +1 sin 2x
Vậy 2 thành t+ t − + =1 1 0
Khi t = 0 thì cos x 0
4
π
⎛ − ⎞=
x 2k 1 , k
3
4
π
¢
¢ Khi t 1 thì cos x 1 cos3
= − ⎜ − ⎟= − =
3
x k2 hay x k2 ,k
2
⇔ − = ± + π ∈
π
⇔ = π + π = − + π ∈
¢
¢
Bài 112 : Giải phương trình
( )
sin x sin x sin x sin x cosx cos x cos x cos x *+ + + = + + +
Ta có : (*)
sin x cosx sin x cos x sin x cos x sin x cos x 0 sin x cosx 0 hay 1 sin x cosx 1 sin x.cosx sin x cosx 0
( )
sin x cosx 0 1
2 sin x cosx sin x cosx 2 0 2
⎡
⇔ ⎢
⎢⎣
Ta có : (1) ⇔ tgx 1=
x k , k
4 π
⇔ = + π ∈ ¢
Trang 6Xét (2) : đặt t sin x cos x 2 cos x
4
π
Với điều kiện t ≤ 2
Thì t2 = +1 2sin x cos x
(2) thành 2t t 12 2 0
2
−
2
t 4t 3 0
t 1 t 3 loại
⇔ + + =
⇔ = − ∨ = −
khi t = -1 thì cos x 1 cos3
⎛ − ⎞= − =
3
4 4 3
x k2 ,k
2
⎡ − = + π ∈
⎢
⇔ ⎢
⎢ − = − + π ∈
⎢⎣
= π + π ∈
⎡
⎢
⎢ = − + π ∈
⎣
¢
¢
¢
¢ k
Bài 113 : Giải phương trình tg x 1 sin x2 ( − 3 )+cos x 1 0 *3 − = ( )
Điều kiện : cosx 0≠ ⇔sin x≠ ±1
2
sin x 1 sin x cos x 1 0 cos x
1 cos x 1 sin x 1 cos x 1 sin x 0
1 cosx 1 sin x 0
hay 1 cosx 1 sin x sin x 1 cosx cos x 1 sin x 0
cos x 1 nhận do điều kiện
sin x 1 loại do điều kiện
sin x sin x cosx cos x sin x cos x 0
⎢
⎢
⎢⎣
=
cos x 1
sin x cos x sin x cos x sin x cos x 0
=
⎡
⎣
cosx 1
sin x cosx 0 hay sin x cosx sin x cosx 0
=
⎡
⎣
cosx 1 tgx 1
sin x cosx sin x cosx 0
⎡
⎣
x k2 ,k
x k ,k
4 sin x cos x sin x cos x 0
= π ∈
⎡
⎢ π
⎢
⎢
⎣
¢
¢
Trang 7xét pt sin x cosx sin x cosx 0+ + =
đặt
t sin x cos x 2 cos x x điều kiện t 2 và t 1
4
π
2
t 1 2sin x cos x
⇒ = +
Ta được phương trình t t2 1 0 t2 2t 1
2
−
t 1 2 loại
t 1 2 nhận so với đk
⎡ = − −
⎢
⇔
⎢ = − +
⎣
Vậy cos x 2 1 cos
⇔ − = ±ϕ + π ∈ ⇔ = ± ϕ +¢ π ∈k ¢
Bài 114 : Cho phương trình m sin x cosx 1 1 sin 2x *( + + = +) ( )
Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 0,
2
π
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦ Đặt t sin x cos x 2 sin x
4
π
⎛
⎞
⎟, điều kiện t ≤ 2 Thì t2 = +1 sin 2x
Vậy (*) thành : m t 1( + =) t2
Do đó 2 sin x 1
π
⇔ ≤ ≤
ta có m t 1( + =) t2
2 t m
t 1
+ (do t = -1 không là nghiệm của phương trình) Xét y t2 trên 1,
Thì
2 2
t 2t
t 1
= + > ∀ ∈ ⎣ ⎦ Vậy y tăng trên 1, 2⎡ ⎤
⎣ ⎦ Vậy (*) có nghiệm trên 1, y 1( ) m y 2( )
2
π
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⇔ ≤1 m 2 2 1≤ −
2
Trang 8Bài 115 : Cho phương trình cos x sin x m sin x cosx *3 + 3 = ( )
a/ Giải phương trình khi m= 2
b/ Tìm m để (*) có nghiệm
Ta có : (*) ⇔(cosx sin x 1 sin x cosx+ )( − )=msin x cosx
Đặt t sin x cos x 2 cos x x
4
π
Với điều kiện (t ≤ 2)
Thì t2 = +1 2sin x cos x
Vậy (*) thành t 1 t2 1 m t2 1
⎞
⎟
⎠ ( 2) ( 2 )
t 3 t m t 1
a/ Khi m = 2 ta có phương trình
( 2) ( ( 2 ) )
t 3 t− = 2 t 1−
2
t 2 hay t 2 1 hay t 2 1( loại)
⇔ − = ±α + π ∈ ⇔ = ± α +¢ π ∈k ¢
b/ Xét phương trình t 3 t( − 2) (=k t2−1 **) ( )
Do t = ±1 không là nghiệm của (**) nên
( )** m 3t t2 3
t 1
−
−
3t t
t 1
Ta có
( )
4 2 2
t 3
t 1
− −
)
suy ra y giảm trên 1,1(− và
→ − = + ∞ → = − ∞
Do đó trên 1,1(− )⊂ −⎡⎣ 2, 2 \ 1⎤⎦ { }± ta có
(d) y = m cắt (C) y 3t t2 3 với m
t 1
−
Vậy (*) có nghiệm ∀ ∈m R
Trang 9Bài 116 : Cho phương trình
m sin x cos x 1 tgx cot gx 0
a/ Giải phương trình khi m 1
2
= b/ Tìm m để (*) có nghiệm trên 0,
2
π
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ Với điều kiện sin 2x 0≠ ta có
(*) m sin x cos x 1( ) 1 sin x cos x 1 1 0
2 cos x sin x sin x cos x
( )
( )
2
m sin 2x sin x cos x sin 2x 1 cos x sin x 0
m sin 2x sin x cos x sin 2x 1 cos x sin x 0
m sin 2x sin x cos x sin x cos x sin x cos x 0
sin x cos x 0 1
m sin 2x sin x cos x 1 0 2
⇔ ⎢
⎢⎣
=
=
Xét (2) đặt t sin x cos x 2 cos x
4
π
Thì t2 = +1 sin 2x
Do sin 2x 0 nên t≠ ≤ 2 và t= ± 1
Vậy (*) thành : ( 2 )
t 0
m t 1 t 1 0
=
⎡
⎢
− + + =
⎢⎣
t 0 nhận so điều kiện
m t 1 1 0 ( do t 1)
⎡ =
⇔ ⎢
⎢⎣
a/ Khi m 1 thì ta được :
2
=
t 0
t 1 loại do điều kiện
=
⎡
⎢ =−
⎢⎣
Vậy sinx + cosx = 0
tgx 1
4
π
⇔ = − + π ∈ ¢
< < ⇔ − < − <
4
π Lúc đó
π
< ⎜ − ⎟≤ ⇒ < ≤
(
t 0= ∉ 1, 2 ⎤⎦
Do
Trang 10Nên ta xét phươn trình : g m t 1 1 0 **( − + =) ( )
( )** ⇔mt m 1= −
1
t 1
m
⇔ = − (do m 0 thì (**) vô nghiệm)
Do đó : yêu
= cầu bài toán ⇔ < −1 1 1 ≤ 2
m
⎧− > ⎧ <
1
m
⎪⎩
Bài 117 : Cho f x( )=cos 2x 2 sin x cosx2 + ( + )3−3sin2x m+ a/ Giải phương trình f(x) = 0 khi m = -3
b/ Tính theo m giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x) Tìm m cho ⎡⎣f x( )⎤⎦2 ≤36 x R∀ ∈
t= sin x cos x 2 cos⎛x ⎞ điều kiện t 2
4
π
x
Đặt
Thì t2 = +1 sin 2
cos 2x 1 si= − n 2x 1 t= − −1 = − +t 2t2
Vậy f x thành g t( ) ( )= − +t4 2t2 +2t3 −3 t( 2 − +1) m a/ Khi m = -3 thì g(t) = 0
t 0 t 1
⇔ = ∨ =
vậy khi m = -3 thì f( ) = 0
t t 2t 1 0
⇔ − 2 2− + =
x
1 cos x 0 hay cos x
π
π ⎞
− ⎟=
x 3 k
4
π
⇔ = + π hay x k2 x k2 , k
2
π
= + π ∨ = π ∈ ¢ b/ Ta có g' t( )= −4t3+6t2−2t= −2t 2t( 2− +3t 1)
Vậy ⎧⎪ t 0g'( ) t 0 t 1 t 1
2
=
⇔ = ∨ = ∨ =
∈ −
Ta có :
⎩
2 16
⎛ ⎞
⎝ ⎠
g 2 = 4 2 3 m, g 2− + = − −m 3 4 2
Trang 11Vậy : ( ) ( )
t 2 , 2 x
Maxf x Max g t m
∈ −
¡
3 +
( ) t 2 , 2 ( )
x R
∈ −
f x ≤36, x R∀ ∈ ⇔ − ≤6 f x ≤6, x R∀ ∈
( ) ( )
R R
Max f x 6
Min f x 6
m 3 6
m 3 4 2 6
≤
⎧⎪
⇔ ⎨
≥ −
⎪⎩
+ ≤
⎧⎪
⇔ ⎨
⇔4 2 3 m 3− ≤ ≤
g t = −t t − + + + = −2t 1 3 m ⎡⎣t t 1− ⎤⎦ + +3 m Đặt u t= −2 t
Khi t 2, 2 thì u 1,2 2
4
∈ −⎣ ⎦ ∈ −⎢ + ⎥=
Vậy g t( ) ( )=h u = − + +u 3 m2
∈
∈ −⎣ ⎦
Chú ý 1 : Phương trình giả đối xứng
a sin x cosx− +b sin x cosx =0
đặt t = sinx – cosx
thì t 2 sin x 2 cos x
= ⎜ − ⎟= − ⎜
⎞ + ⎟⎠ với điều kiện t ≤ 2 thì t2 = −1 2sin x cosx
Bài 118 : Giải phương trình 2sin x cot gx 2sin 2x 1 *+ = + ( )
Điều kiện : sin x 0≠ ⇔ cos x= ±1
Lúc đó (*) 2sin x cos x 4 sin x cos x 1
sin x
=
( ) ( )
− =
⎡
⇔ ⎢
⎢⎣
2 sin x cos x 4 sin x cos x sin x
2 sin x sin x cos x 4 sin x 1 0
sin x 2 sin x 1 cos x 2 sin x 1 2 sin x 1 0
2 sin x 1 0 hay sin x cos x 2 sin x 1 0
sin x cos x sin 2x 0 2
Trang 12( ) ( )
• Ta có 1 ⇔sin x = 1 nhận do sin x 0
⇔ x = +k2π ∨ =x 5 +k2 , kπ ∈
Xét 2 Đặt t sin x cos x 2 sin x
4
− Với điều kiện ≤t 2 và t ± 1≠
x 0
Thì t2 = −1 sin 2
Vậy (2) thành : t−(1 t− 2) =0
2
Do đó : 2 sin x 1 5(nhận do t 2 và t 1)
5 1
π
⎡ − = ϕ + π ∈
⎢
⇔ ⎢
π
⎢ − = π − ϕ + π ∈
⎢⎣
4
π
⎡ = ϕ + + π ∈
⎢
⇔ ⎢
π
⎢⎣
4 5
Bài 119 : Giải phương trình
cos2x 5 2 2 cos x sin x cos x *+ = − −
Ta có : ( )* ⇔(cos x sin x2 − 2 )+ =5 2 2 cos x sin x cos x( − )( − ) (sin x cos x 2 2 cos x) ( ) (sin x cos x) 5 0
(sin x cos x sin x cos x 4) [ ] 5 0
Đặt t sin x cos x 2 sin x
4
π
Với điều kiện t ≤ 2
(*) thành : t t 4( + )− =5 0
2
t 4t 5 0
t 1 t 5 loại
⇔ = ∨ = −
Vậy ( )* ⇔sin x 1 sin
⎛ − ⎞ = =
Trang 13π π π π
π
⇔ = + π ∨ = π + π ∈
3
2
Bài 120 : Giải phương trình cos x sin x cos 2x *3 + 3 = ( )
Ta có (*) ⇔ (cos x sin x 1 sin x cos x+ )( − ) =cos x sin x2 − 2
( ) ( )
⎡
⇔ ⎢
⎢⎣
cos x sin x 0 hay 1 sin x cos x cosx sin x
sin x cos x sin x cos x 1 0 2
Ta có : ( )1 ⇔ tgx= −1
π
⇔ x = − + πk , k∈
4 Xét (2) đặt t sin x cos x 2 sin x
4
π
Với điều kiện t ≤ 2
Thì t2 = −1 2sin x cosx
(2) thành t 1 t2 1 0 t2 2t 1
2
−
⇔ = −
⎛ − ⎞= − = ⎛−
⎞
⎟
⎠
⎢⎣
x k2 , k
Bài 121 : Cho phương trình cos x sin x m3 − 3 = ( )1
a/ Giải phương trình (1) khi m = 1 bằng cách đặt ẩn phụ t c= os x sin x− b/ Tìm m sao cho (1) có đúng hai nghiệm x ,
4 4
π π
∈ −⎢ ⎥
Ta có (1) ⇔ (cos x sin x 1 sin x cos x− )( + )= m
Đặt t cos x sin x 2 cos x
4
π
Với điều kiện t ≤ 2
Thì t2 = −1 2sin x cosx
Vậy (1) thành : t 1 1 t2 m
2
Trang 14a/ Khi m = 1 thì (2) thành t3 −3t 2 0+ =
2
t 1 t 2 loại
⇔ = ∨ = −
Vậy ⎛⎜ + π⎞⎟ = ⇔ + π = ± +π π ∈
2
π
⇔ x k2= π ∨ = − +x k2 , kπ ∈
2 b/ Nếu x ,
4 4
π π
∈ −⎢ ⎥
⎣ ⎦ thì 0 x
4 2
π π
≤ + ≤
4
π
≤ ⎜ + ⎟
⎝ ⎠ ≤
4
π
nhận xét rằng với mỗi t tìm được trên 0, 2⎡⎣ ⎤⎦
ta tìm duy nhất một x ,
4 4
π π
∈ −⎢ ⎥
xét f t( ) = − +t3 3t trên 0, 2⎡⎣ ⎤⎦
vậy (1) có đúng hai nghiệm x ,
4 4
π π
∈ −⎢ ⎥
( )d y 2m cắt C y( ) t3 3t trên 0, 2⎡ ⎤
⇔ 2 2m 2 ≤ <
2
⇔ ≤ <
Bài 122 : Cho phương trình
2cos2x sin x cos x sin x cos x m sin x cos x *+ + = + a/ Giải phương trình khi m = 2
b/ Tìm m để phương trình (*) có ít nhất một nghiệm trên 0,
2
π
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Ta có : ( )* ⇔ 2 cos x sin x( 2 − 2 )+sin x cos x sin x cos x( + ) =m sin x cos x( + )
⇔cos x sin x+ = 0 (1) hay 2 cos x sin x− +sin x cos x m ( 2) =
Trang 15Đặt t cos x sin x 2 cos x
4
π
⎛
⎞
⎟ (điều kiện t ≤ 2) Thì t2 = −1 2sin x cosx
x
Ta có : ( )1 ⇔sin x = −cos
π
⇔ tgx= − ⇔1 x = − + πk , k∈
4
Ta có : (2) thành 2t 1 t2 m
2
−
( )
2
t 4t 1 2m * *
a/ Khi m = 2 thì (**) thành t2 −4t 3 0+ =
⇔ = ∨ =t 1 t 3 loại
vậy ⎛⎜ + π⎞⎟ = ⇔ + π = ± +π π ∈
2
π
⇔ x k2= π ∨ = − + πx k , k∈
2
Do đó :
( )* ⇔ x= − + π ∨ =π k x k2π ∨ = − +x π k2 , kπ ∈
b/ Ta có ∈⎡⎢ π⎤⎥ ⇔ + ∈π ⎡⎢π π⎤⎥
3
π
1 t 1
⇒ − ≤ ≤
Do nghiệm = − + π ∉π ⎡⎢ π⎤⎥ ∀ ∈
Nên yêu cầu bài toán ⇔( )* * có nghiệm trên [−1,1]
Xét y = − +t2 4t 1 thì y '+ = − + > ∀ ∈ −2t 4 0 t [ 1,1]
y tăng trên 1,1
Do đó : yêu cầu bài toán
4 y 1 2m y 1 4
2 m 2
⇔ − ≤ ≤
* Chú ý 2 : Phương trình lượng giác dạng
a tgx cot gx± +b tg x cot g x+ = 0
ta đặt t tgx cot gx thì t= ± 2 = tg x cot g x 22 + 2 ±
khi t tgx cot gx 2 thì t 2 do sin 2x( 1)
sin 2x
Bài 123 : Giải phương trình
( )
3tg x 4tgx 4 cot gx 3cot g x 2 0 *+ + + + =
Trang 16Đặt t tgx cot gx 2
sin 2x
Với điều kiện t ≥ 2
Thì t2 = tg x cot g x2 + 2 +2
(*) thành : 3 t( 2 −2)+4t 2 0+ =
2
3t 4t 4 0
2
t loại do điều kiện
3
t 2
⎡ =
⎢
⇔
⎢
= −
⎣
2sin x
π
π
⇔ = − + π ∈
2
4
Bài 124 : Giải phương trình
( )
tgx tg x tg x cotgx cotg x cotg x 6 *+ + + + + =
Ta có (*) ⇔ (tgx cot gx+ )+(tg x cot g x2 + 2 ) (+ tg x cot g x3 + 3 ) =6
tgx cot gx tgx cot gx 2 tgx cot gx tg x cot g x 1 6 tgx cot gx tgx cot gx tgx cot gx tgx cot gx 3 8
Đặt t tgx cot gx 2 (điều kiện t 2)
sin 2x
Vậy (*) thành : t t+ 2 +t t( 2 −3) =8
3 2
2
2
t 2
t 3t 4 0 vô nghiệm
t 2
=
⎡
⎣
⇔ =
sin 2x = ⇔ =1
π
π
2x k2 , k
2
x k , k
4
Bài 125 : Giải phương trình
( )
2
2 2tg x 5tgx 5 cot gx 4 0 * sin x
Cách 1 : (*) ⇔2 1 cot g x( + 2 )+2tg x 5 tgx cot gx2 + ( + )+ =4 0
Trang 17( ) ( )
2
2 tg x cot g x 5 tgx cot gx 6 0
2 tgx cot gx 2 5 tgx cot gx 6 0=
Đặt t tgx cot gx= + = 2 , với t ≥2
sin 2x
Ta được phương trình : 2t2 +5t 2 0+ =
⇔ = − ∨ = −t 2 t 1 loại
2 Vậy( )* ⇔ 2 2 sin 2x
sin 2x = − ⇔ = −1 π
π
⇔ = − + π ∈
2
4
Cách 2 : Đặt u = tgx (với điều kiện u 0≠ )
Vậy (*) thành : 2
2
⎡ = −
⇔ ⎢
+ + =
⎢⎣
2
u 1 nhận
2u u 2 0 vô nghiệm
Vậy (*) ⇔tgx = -1
π
⇔ x = − + πk , k∈
4
Bài 126 : Cho phương trình
2 2
1 cot g x m tgx cot gx 2 0 1
a/ Giải phương trình khi m 5
2
= b/ Tìm m để phương trình có nghiệm
Ta có : (1) ⇔ tg x cot g x m tgx cot gx2 + 2 + ( + )+ =3 0
Đặt t tgx cot gx 2 (điều kiện t 2)
sin 2x
t tg x cot g x
Vậy (1) thành : t2 +mt 1 0+ = ( )2
a/ Khi m 5
2
= ta được phương trình 2t2 +5t 2 0+ =
Trang 18( )
1
t 2 t loại
2
⇔ = − ∨ = −
sin 2x = − ⇔ = −1
π
π
⇔ = − + π ∈
2
4
b/ Cách 1 :
Ta có : (2) ⇔ mt = − −1 t2
1
m
t
⇔ = − −t(do t = 0 không là nghiệm của (2))
Xét y 1 t với t
t
Thì y ' 12 1 1 2 2
−
Ta có : y ' 0= ⇔ = ±t 1
Do đó (1) có nghiệm ⇔ (d) cắt C trên( ) (−∞ −, 2 U 2,] [ +∞)
5
m
2
⇔ ≤ − ∨ ≥
Cách 2 : Yêu cầu bài toán
( ) 2
⇔ = + + = 0 có nghiệm t thỏa t ≥2
Nhận xét rằng do P = 1 nên nếu f(t) có hai nghiệm t , t với t1 2( 1 ≤t2)và có nghiệm thì ta có ⎧⎪⎨ ≤ ∨⎧⎪⎨ ≥
Do đó :
Yêu cầu bài toán ⇔ t1 ≤ − <2 t1 < ∨ − <2 2 t1 < ≤2 t2
( )
( )
( ) ( )
Trang 19BÀI TẬP
1 Giải các phương trình :
a/ 1 cos x sin x sin x+ 3 − 3 =
b/ cos x cos x 2sin x 2 03 + 2 + − =
c/ cos2x 5 2 2 cos x sin x cos x+ = ( − )( − )
d/ cot gx tgx sin x cos x− = +
e/ sin x cos x sin x cos x3 − 3 = −
f/ 1 t+ gx sin x cos x= +
g/ sin 2x 2 sin x 1
4
π
⎝ ⎠= k/ sin 2x 12 sin x cos x− ( − )+12 0=
l/ sin x cos x 1
sin 2x 1
+ m/ 1 cos 2x 1 cos x33
1 cos 2x 1 sin x
n/ 5 sin x cos x( + )+sin 3x cos 3x 2 2 2 sin 2x− = ( + )
o/ 1+sin x cos x sin 2x 2cos2x 0+ + + =
p/ sin x cos x cos 2x sin x cos x sin x cos x2 − + = 2 +
r/ cos2x 5 2 2 cos x sin x cos x+ = ( − )( − )
=
s/ cos x sin x cos x 02 + 3 +
t/ 4 sin x 1 3sin x3 − = − 3 cos 3x
2 Cho phương trình sin 2x sin x cos x( + )= m 1( )
a/ Chứng minh nếu m > 2 thì (1) vô nghiệm
b/ Giải phương trình khi m = 2
3 Cho phương trình sin 2x 4 cos x sin x+ ( − ) =m
a/ Giải phương trình khi m = 4
b/ Tìm m để phương trình có nghiệm
4 Cho phương trình : sin x cos x m sin x cos x− ( + )+ =1 0
a/ Giải phương trình khi m = 2
b/ Tìm m để phương trình có nghiệm (ĐS : m ≥1)
2
3 3tg x m tgx cot gx 1
Tìm m để phương trình có nghiệm (ĐS : m ≥ 4)
Th.S Phạm Hồng Danh
TT luyện thi ĐH CLC Vĩnh Viễn