Giải pháp hữu ích năm 2008 – 2009 Lê Trung Hiếu - Tổ toán HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN Hệ phương trình đối xứng (đối xứng loại một và đối xứng loại hai) là một mảng thường hay được nhắc đến trong lớp các bài toán về hệ phương trình nói chung. Việc nắm được cách giải của chúng là quan trọng, nhưng nếu biết đưa một phương trình, một hệ phương trình vốn không phải là hệ đối xứng về hệ phương trình đối xứng lại càng quan trọng hơn. Bài viết này sẽ đưa một số phương trình, hệ phương trình không đối xứng về hệ phương trình đối xứng thông qua việc chọn các ẩn phụ thích hợp. Sau đây là một số bài toán. 1. Dùng ẩn phụ để đưa hệ phương trình không đối xứng về hệ phương trình đối xứng 1.1 Đưa hệ phương trình vô tỷ về hệ phương trình đối xứng Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 30 35 x y y x x x y y + = + = • Dùng ẩn phụ u x= và v y= đưa hệ phương trình về hệ phương trình đối xứng loại một. • Nghiệm của hệ phương trình là (4;9),(9;4). Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 4 4 1 1 1 1 x y y x + − = + − = • Dùng ẩn phụ 4 1u x= − và 4 1v y= − đưa hệ phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai. • Nghiệm của hệ phương trình là (1;1). Ví dụ 3. Giải hệ phương trình 2 2 x y y y x x = − = − • Dùng ẩn phụ u x= và v y= đưa hệ phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai. • Nghiệm của hệ phương trình là (0;0),(2;2),(2; 2),( 2;2),( 2; 2).− − − − Ví dụ 4. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 2 5 5 x y x y x y x y + = − + + + − = • Dùng ẩn phụ u x y= + và v x y= − đưa hệ phương trình về hệ phương trình đối xứng loại một. • Nghiệm của hệ phương trình là 1 3 3 1 1 3 3 1 3 1 3 1 1 3 1 3 ( ; ),( ; ),( ; ),( ; ),( ; ),( ; ),( ; ),( ; ). 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − − − − − − − − 1.2 Đưa hệ phương trình mũ, logarit về hệ phương trình đối xứng Ví dụ 5. Giải hệ phương trình 2cot sin sin cot 9 3 9 81 2 x y y x + = − = 1 Giải pháp hữu ích năm 2008 – 2009 Lê Trung Hiếu - Tổ toán • Dùng ẩn phụ 2cot 9 x u = − và sin 9 y v = đưa hệ phương trình về hệ phương trình đối xứng loại một. • Nghiệm của hệ phương trình là , 2 x k π π = + 2 6 y l π π = + và , 2 x k π π = + 5 2 . 6 y l π π = + Ví dụ 6. Giải hệ phương trình 2 2 ln( ) ln 1 ln( ) ln 1 xy x xy y = + = + • Dùng ẩn phụ lnu x = và lnv y= đưa hệ phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai. • Nghiệm của hệ phương trình là ( , ).e e 1.3 Đưa một số hệ phương trình khác về hệ phương trình đối xứng Ví dụ 7. Giải hệ phương trình 2 2 8 ( 1)( 1) 12 x y x y xy x y + + + = + + = • Dùng ẩn phụ ( 1)u x x= + và ( 1)v y y= + đưa hệ phương trình về hệ phương trình đối xứng loại một. • Nghiệm của hệ phương trình là (1;2),(1; 3),( 2;2),( 2; 3),(2;1),(2; 2),( 3;1),( 3; 2).− − − − − − − − Ví dụ 8. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 1 1 4 1 1 4 x y x y x y x y + + + = + + + = • Dùng ẩn phụ 1 u x x = + và 1 v y y = + đưa hệ phương trình về hệ phương trình đối xứng loại một. • Nghiệm của hệ phương trình là (1;1). Ví dụ 9. Giải hệ phương trình 2 2 sin tan 1 tan sin 1 x y y x + = + = • Dùng ẩn phụ sinu x = và tanv y= đưa hệ phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai. • Nghiệm của hệ phương trình là ,x m π = ; 4 y n π π = + 2 , 2 x m π π = + ;y n π = 5 1 arcsin( ) 2 , 2 x k π − = + 5 1 arctan( ) 2 y l π − = + và 5 1 arcsin( ) 2 , 2 x k π π − = − + 5 1 arctan( ) . 2 y l π − = + 2. Dùng ẩn phụ để đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng 2.1 Đưa phương trình vô tỷ về hệ phương trình đối xứng Ví dụ 10. Giải phương trình 4 4 6 2 2x x− + − = • Dùng ẩn phụ 4 6u x= − và 4 2v x= − đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại một. • Nghiệm của phương trình là 2x = và 6.x = 2 Giải pháp hữu ích năm 2008 – 2009 Lê Trung Hiếu - Tổ toán Ví dụ 11. Giải phương trình 3 3 7 tan 2 tan 3x x+ + − = • Dùng ẩn phụ 3 7 tanu x= + và 3 2 tanv x= − đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại một. • Nghiệm của phương trình là 4 x k π π = + và arctan( 6) .x l π = − + Ví dụ 12. Giải phương trình 3 3 1 2 2 1x x+ = − • Dùng ẩn phụ 3 2 1u x= − đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai. • Nghiệm của phương trình là 1 5 2 x − ± = và 1.x = Ví dụ 13. Giải phương trình 9 9 x x+ + = • Dùng ẩn phụ 9u x= + đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai. • Nghiệm của phương trình là 19 37 . 2 x + = 2.2 Đưa phương trình mũ, logarit về hệ phương trình đối xứng Ví dụ 14. Giải phương trình 2 2 sin cos 81 81 30 x x + = • Dùng ẩn phụ 2 sin 81 x u = và 2 cos 81 x v = đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại một. • Nghiệm của phương trình là 3 x k π π = ± + và . 6 x l π π = ± + Ví dụ 15. Giải phương trình 3 7 7 2log (6 1) 1 x x= + + • Dùng ẩn phụ 7 log (6 1)u x= + đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai. • Nghiệm của phương trình là 0x = và 1.x = 2.3 Đưa một số phương trình khác về hệ phương trình đối xứng Ví dụ 16. Giải phương trình 4 4 cos (1 cos ) 1x x+ − = • Dùng ẩn phụ sinu x= và 1 sinv x= − đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại một. • Nghiệm của phương trình là 2x k π = và . 2 x l π π = + Ví dụ 17. Giải phương trình 6 6 ( 2) (4 ) 64x x− + − = • Dùng ẩn phụ 2u x= − và 4v x= − đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại một. • Nghiệm của phương trình là 2x = và 4.x = Ví dụ 18. Giải phương trình 2 2 1 2(1 2 )x x− − = • Dùng ẩn phụ 2 1 2u x= − đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai. 3 Giải pháp hữu ích năm 2008 – 2009 Lê Trung Hiếu - Tổ toán • Nghiệm của phương trình là 1 5 , 4 x ± = 1 2 x = và 1.x = − 4 . phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai. • Nghiệm của phương trình là 0x = và 1.x = 2.3 Đưa một số phương trình khác về hệ phương trình đối xứng Ví dụ 16. Giải phương trình 4 4 cos. 2 sin 81 x u = và 2 cos 81 x v = đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại một. • Nghiệm của phương trình là 3 x k π π = ± + và . 6 x l π π = ± + Ví dụ 15. Giải phương trình 3 7 7. phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai. • Nghiệm của phương trình là 19 37 . 2 x + = 2.2 Đưa phương trình mũ, logarit về hệ phương trình đối xứng Ví dụ 14. Giải phương trình 2 2 sin cos 81