Chuyên đề 23 phương trình đường thẳng và một số bài toán liên quan

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 CHUN PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐỀ 23 TRUY CẬP https://diendangiaovientoan.vn/tai-lieu-tham-khao-d8.html ĐỂ ĐƯỢC NHIỀU HƠN MỤC LỤC PHẦN A CÂU HỎI Dạng Xác định VTCP Dạng Xác định phương trình đường thẳng Dạng 2.1 Xác định phương trình đường thẳng Dạng 2.2 Xác định phương trình đường thẳng biết yếu tố vng góc Dạng 2.3 Xác định phương trình đường thẳng biết yếu tố song song 10 Dạng 2.4 Xác định số phương trình đường thẳng đặc biệt (phân giác, trung tuyến…) 11 Dạng Một số toán liên quan điểm với đường thẳng 14 Dạng 3.1 Bài tốn liên quan điểm (hình chiếu) thuộc đường, khoảng cách 14 Dạng 3.2 Bài toán cực trị 17 Dạng Một số toán liên quan đường thẳng với mặt phẳng 19 Dạng 4.1 Bài tốn liên quan khoảng cách, góc 19 Dạng 4.2 Bài tốn phương trình mặt phẳng, giao tuyến mặt phẳng 20 Dạng 4.3 Bài toán giao điểm (hình chiếu, đối xứng) đường thẳng với mặt phẳng 22 Dạng 4.4 Bài toán cực trị 25 Dạng Một số toán liên quan đường thẳng thẳng với đường thẳng 30 Dạng Một số toán liên quan đường thẳng với mặt cầu 32 Dạng Một số toán liên quan điểm – mặt – đường – cầu 32 Dạng 7.1 Bài tốn tìm điểm 32 Dạng 7.2 Bài tốn tìm mặt phẳng 34 Dạng 7.3 Bài tốn tìm đường thẳng 34 Dạng 7.4 Bài tốn tìm mặt cầu 35 Dạng 7.5 Bài toán cực trị 37 PHẦN B LỜI GIẢI THAM KHẢO 40 Dạng Xác định VTCP 40 Dạng Xác định phương trình đường thẳng 41 Dạng 2.1 Xác định phương trình đường thẳng 41 Dạng 2.2 Xác định phương trình đường thẳng biết yếu tố vng góc 43 Dạng 2.3 Xác định phương trình đường thẳng biết yếu tố song song 48 Dạng 2.4 Xác định số phương trình đường thẳng đặc biệt (phân giác, trung tuyến…) 50 Dạng Một số toán liên quan điểm với đường thẳng 58 Dạng 3.1 Bài tốn liên quan điểm (hình chiếu) thuộc đường, khoảng cách 58 Dạng 3.2 Bài toán cực trị 61 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Dạng Một số toán liên quan đường thẳng với mặt phẳng 65 Dạng 4.1 Bài toán liên quan khoảng cách, góc 65 Dạng 4.2 Bài tốn phương trình mặt phẳng, giao tuyến mặt phẳng 67 Dạng 4.3 Bài tốn giao điểm (hình chiếu, đối xứng) đường thẳng với mặt phẳng 69 Dạng 4.4 Bài toán cực trị 78 Dạng Một số toán liên quan đường thẳng thẳng với đường thẳng 95 Dạng Một số toán liên quan đường thẳng với mặt cầu 97 Dạng Một số toán liên quan điểm – mặt – đường – cầu 99 Dạng 7.1 Bài tốn tìm điểm 99 Dạng 7.2 Bài toán tìm mặt phẳng 102 Dạng 7.3 Bài tốn tìm đường thẳng 104 Dạng 7.4 Bài tốn tìm mặt cầu 106 Dạng 7.5 Bài toán cực trị 112 PHẦN A CÂU HỎI Dạng Xác định VTCP Câu x   t  (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , đường thẳng d :  y   2t có vectơ z   t  phương là:  A u1   1; 2;3 Câu  B u3   2;1;3 (Mã 102 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : vectơ phương đường thẳng d  A u  1;3;  2 Câu  C u4   1; 2;1  B u   2;5;3  D u2   2;1;1 x 1 y  z  Vectơ   5  C u   2;  5;3  D u  1;3;2  (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm A 1;1;  B  0;1;  Vectơ vectơ phương đường thẳng AB     A d   1;1;  B a   1;0; 2  C b   1; 0;  D c  1; 2;  Câu (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , đường thẳng d : vectơ phương  A u1   3;  1;5  Câu  B u4  1;  1;   C u2   3;1;5  (Mã 103 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : vectơ phương d ?  A u4  1;3;   B u3   2;1;3    D u3  1;  1;   x  y 1 z    Vectơ 3 C u1   2;1;  Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong x  y 1 z  có   1  D u2  1;  3;  CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Câu Câu ĐT:0946798489 x  y 1 z   (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : 1 Đường thẳng d có vectơ phương     u   1;2; u  2;1; u  2;1;1 u A  B  C  D  1;2;1    (Mã đề 104 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d : x  y 1 z  Vectơ   2 sau vectơ phương đường thẳng d ?  A u2  (1; 2;3) Câu  B u3  (2;6; 4) (Mã đề 101 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : vectơ phương d ?   A u4  (1; 2; 3) B u3  (1; 2;1) Câu  C u4  ( 2; 4;6)  D u1  (3; 1;5) x  y 1 z  Vectơ   1  C u1  (2;1; 3)  D u2  (2;1;1) (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Trong không gian x 1 y  z  qua điểm đây?   1 A Q  2; 1;  B M  1; 2; 3 C P 1; 2;3 Oxyz , đường thẳng d: D N  2;1; 2  Câu 10 (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 1; 2;3 Gọi M , M hình chiếu vng góc M lên trục Ox , Oy Vectơ véctơ phương đường thẳng M 1M ?  A u4   1; 2;   B u1   0; 2;   C u2  1; 2;0   D u3  1; 0;  Câu 11 (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng x y  z 3   Hỏi vectơ sau, đâu vectơ phương d ?      A u1   1; 2;3 B u2   3; 6; 9  C u3  1; 2; 3  D u4   2; 4;3 d: Câu 12 (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng  sau nhận u   2;1;1 vectơ phương? x  y 1 z 1 x y 1 z     B  1 x 1 y  z x  y 1 z 1     C D 2 1 1 1 A Câu 13 (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : A   x 1 y  z  nhận véc tơ u  a; 2; b  làm véc tơ phương Tính a  b   2 B C D 4 Câu 14 (THPT LÊ Q ĐƠN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Trong khơng gian Oxyz , tọa độ sau tọa độ  x   4t  véctơ phương đường thẳng  :  y   6t ,  t    ?  z  9t  Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG  1  ;  3 4 A  ; 1 3 3 4 B  ; ;  C  2;1;  ĐT:0946798489 D  4;  6;  Câu 15 (ĐỀ THI THỬ VTED 02 NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong không gian x 1 y  z  có vectơ phương   1    A u1  1; 2;3 B u2   2;1;  C u3   2; 1;  Oxyz , đường thẳng d :  D u4   1; 2; 3 Câu 16 (CHUYÊN KHTN LẦN NĂM 2018-2019) Vectơ sau vectơ phương đường thẳng x  y 1 z    2 1 A  2;1; 3 B  3; 2;1 C  3; 2;1 D  2;1;3  Câu 17 (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng x 1 y  z  nhận vectơ vectơ phương?   4 A  2; 4;1 B  2; 4;1 C 1; 4;2  D  2; 4;1 d  : Câu 18 (ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz véc tơ x  1 t  véc tơ phương đường thẳng d :  y  ,  z   2t     A u  (1; 4;3) B u  (1; 4; 2) C u  (1;0; 2)  D u  (1;0; 2) Dạng Xác định phương trình đường thẳng Dạng 2.1 Xác định phương trình đường thẳng Câu 19 (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Trong khơng gian tọa độ Oxyz , phương trình  x   2t  ? phương trình tắc đường thẳng d :  y  3t  z  2  t  x 1 y z  x 1 y z      D 2 Câu 20 (ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M 1;  2;1 A x 1 y z    B x 1 y z    2 C , N  0; 1; 3 Phương trình đường thẳng qua hai điểm M , N x 1 y  z 1 x 1 y  z      B 1 2 x y 1 z  x y 1 z     C D  1 2 A Câu 21 (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình tham số trục Oz A z  x   B  y  t z   x  t  C  y  z   Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong x   D  y  z  t  CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 22 Trong khơng gian Oxyz, phương trình tham số đường thẳng qua điểm M  2;0; 1 có véctơ  phương a   2; 3;1  x   2t  A  y   z   t   x  2  2t  B  y   3t z  1 t   x  2  4t  C  y   6t  z   2t   x   2t  D  y   3t  z  1  t  Câu 23 (THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz , cho E ( 1; 0; 2) F (2;1; 5) Phương trình đường thẳng EF x 1 y z  x 1 y z      A B 7 7 x 1 y z  x 1 y z      C D 1 3 1 Câu 24 (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz , trục yOy có phương trình xt  A  y  z   x   B  y  t z   x   C  y  z t  xt  D  y  z t  Câu 25 Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng  qua điểm M  2;0; 1 có vectơ phương  a   4; 6;2  Phương trình tham số   x  2  4t  A  y  6t  z   2t   x   2t  B  y  3t  z  1  t   x   2t  C  y  6 z   t   x  2  2t  D  y  3t z  1 t  Câu 26 (THPT YÊN PHONG BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình đường thẳng qua hai điểm P 1;1; 1 Q  2;3;  x 1  x 1  C A y 1 z  x 1 y 1 z     B 2 y 2 z 3 x2 y 3 z 2    D 1 Câu 27 (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz , phương trình đường thẳng qua hai điểm A 1;2;3 B  5; 4;  1 x  y  z 1 x 1 y  z  B     2 4 x 1 y  z  x  y  z 1 C D     4 2 1 A Câu 28 (TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong khơng gian Oxyz , đường thẳng Oy có phương trình tham số x  t  A  y  t  t    z  t  x   B  y   t  t    z   x   C  y   t    z  t  Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong x  t  D  y   t    z   CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 29 (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong khơng gian Oxyz có đường thẳng có  x   2t  phương trình tham số (d ) :  y   t Khi phương trình tắc đường thẳng d  z  3  t  x 1  x 1 C  A y2  1 y2  z3 x 1 B  z3 x 1 D  y 2 z 3  1 y  z 3  1 Dạng 2.2 Xác định phương trình đường thẳng biết yếu tố vng góc Câu 30 (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình phương trình đường thẳng qua A  2; 3;  vng góc với mặt phẳng  P  : x  y  z   ? x   t  A  y   3t z   t  x   t  B  y  3t z   t   x   3t  C  y   3t z   t   x   3t  D  y   3t z   t  Câu 31 (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz cho điểm A 1; 2;3 đường thẳng x  y 1 z  Đường thẳng qua A , vng góc với d cắt trục Ox có phương trình   2  x  1  2t x  1 t  x  1  2t x  1 t     A  y  2t B  y   2t C  y  2t D  y   2t z  t  z   3t  z  3t  z   2t     d: Câu 32 (Mã 102 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz, cho điểm A1;0; 2 , B 1; 2;1 , C 3; 2;0 D 1;1;3 Đường thẳng qua A vng góc với mặt phẳng  BCD có phương trình  x  1 t  A  y  4t   z   2t  x   t  B  y    z   2t  x   t  C  y   4t   z   2t Câu 33 (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Trong không gian  x  1 t  D  y   4t   z   2t Oxyz , cho hai đường thẳng x 3 y 3 z  x  y 1 z      ; d2 : mặt phẳng  P  : x  y  3z   Đường 1 2 3 thẳng vng góc với  P  , cắt d1 d2 có phương trình d1 : x 1  x 3  C A Câu 34 (Mã đề y 1 z x  y  z 1    B 1 y 3 z  x 1 y 1 z    D 3 101 - BGD - 2019) Trong không gian A 1;2;0  , B  2;0;2  , C  2; 1;3 , D 1;1;3 Đường thẳng qua  ABD  có phương trình Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong Oxyz , cho điểm C vng góc với mặt phẳng CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG  x  2  4t  A  y  4  3t z   t   x   2t  B  y   t  z   3t   x  2  4t  C  y  2  3t z   t  ĐT:0946798489  x   4t  D  y  1  3t z   t  Câu 35 (Mã đề 104 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A  2;  1;0 , B 1;2;1 , C  3;  2;0 , D 1;1;  3 Đường thẳng qua D vng góc với mặt phẳng  ABC  có phương trình là: x  1 t  A  y   t  z  2  3t  x  1 t  B  y   t  z  3  2t  x  t  C  y  t  z  1  2t  x  t  D  y  t  z   2t  Câu 36 (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm A  2;1;3 đường thẳng x 1 y 1 z  Đường thẳng qua A , vng góc với d cắt trục Oy có phương trình   2  x  2t  x   2t  x   2t  x  2t     A  y  3  4t B  y   t C  y   3t D  y  3  3t  z  3t  z   3t  z   2t  z  2t     d: Câu 37 (Mã 103 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz cho A  0;0;  , B  2;1;0  , C 1; 2;  1 D  2;0;   Đường thẳng qua A vng góc với  BCD  có phương trình x   A  y   z  1  2t   x   3t  B  y   2t z  1 t   x  3t  C  y  2t z   t   x   3t  D  y  2  2t z  1 t  Câu 38 (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A 1;0;  và đường thẳng d có phương trình: x 1 y z 1 Viết phương trình đường thẳng  qua A , vuông   1 góc và cắt d A x 1 y z    2 B x 1 y z2   3 C x 1 y z    1 D x 1 y z    1 1 8 3 Đường thẳng qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác O AB vng góc với mặt phẳng (OAB) có phương trình là: 2 x y z 9 9 B x   y   z  A 2 2 11 x y z x 1 y  z 1 3 3 C D   2 2 Câu 39 (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2; 2;1), B (  ; ; ) Câu 40 (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : x 1 y z    1 mặt phẳng ( P ) : x  y  z   Đường thẳng nằm mặt phẳng ( P ) đồng thời cắt vng góc với d có phương trình là: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG  x  1  t  A  y  4t  z  3t  x   t  B  y  2  4t z   t  x   t  C  y  2  4t  z   3t  ĐT:0946798489  x   2t  D  y  2  6t z   t  Câu 41 (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian Oxyz cho điểm M  1;1;  hai đường thẳng x 1 y  z 1 x1 y z ,  : Phương trình phương trình đường thẳng     1 2 qua M vng góc với     x  1  t  x  t  x  1  t  x  1  t     A  y   t B  y   t C  y   t D  y   t  z   3t z   t z   t z   t     : x y 1 z 1 mặt   phẳng  P  : x  y z  Đường thẳng nằm  P  đồng thời cắt vng góc với  có phương Câu 42 (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng  : trình là:  x   2t  A  y   t z    x  3  B  y  t  z  2t  x   t  C  y   2t  z   3t  x   D  y   t  z   2t  Câu 43 (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng  x   3t x 1 y  z    mặt phẳng  P  : x  y  z  Phương trình d1 :  y  2  t , d2 : 1 z   phương trình mặt phẳng qua giao điểm d1  P  , đồng thời vng góc với d2 ? A x  y  z  13  B x  y  z  22  C x  y  z  13  D x  y  z  22  Câu 44 (THPT YÊN PHONG SỐ BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng   : x  y  z  Trong đường thẳng sau, đường thẳng vuông góc với   x y 1 z  A d1 :  1  x  2t x y 1 z x y 1 z    B d :  C d :  D d :  y  1 1 1 1  z  t  Câu 45 (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz , đường thẳng qua điểm A 1;1;1 vng góc với mặt phẳng tọa độ  Oxy  có phương trình tham số là: x  1 t  A  y  z   x   B  y  z  1 t  x  1 t  C  y  z   x  1 t  D  y   t z   Câu 46 (ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho điểm M 1;  3;  mặt phẳng  P  : x  y  z   Tìm phương trình đường thẳng d qua M vng góc với  P  A x 1 y  z  x 1 y  z  B     3 3 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG C x y z   3 D ĐT:0946798489 x 1 y  z    3 Câu 47 (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian với hệ tọa độ x  y  z 1 x  y  z 1   , d2 :   2 1 Phương trình đường thẳng qua A , vng góc với d1 cắt d Oxyz cho A1; 1; 3 hai đường thẳng d1 : x 1 y 1 z  x 1 B    x 1 y 1 z  x 1 C D    1 A y 1 z   y 1 z   1 1 Câu 48 (SỞ GD&ĐT THANH HĨA NĂM 2018 - 2019) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1;0;2  x 1 y z 1 Đường thẳng  qua A , vng góc cắt d có phương trình   1 x  y 1 z 1 x 1 y z      A  : B  : 1 1 1 x  y 1 z 1 x 1 y z      C  : D  : 2 1 3 đường thẳng d : Câu 49 (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐƠN ĐIỆN BIÊN LẦN NĂM 2018-2019) Trong khơng gian Oxyz , cho điểm M 1;0;1 đường thẳng d : Oz có phương trình  x   3t  A  y  z  1 t  x 1 y  z  Đường thẳng qua M , vuông góc với d cắt    x   3t  B  y  z  1 t   x   3t  C  y  t z  1 t   x   3t  D  y  z  1 t  Câu 50 (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ - NĂM 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng x 1 y z    Gọi  đường thẳng nằm  P  , cắt 2 vng góc với d Phương trình sau phương trình tham số  ?  x  2  4t  x  3  4t  x   4t  x  3  4t     A  y   5t B  y   5t C  y   5t D  y   5t  z   7t  z   7t  z  4  7t  z   7t      P  : 3x  y  z  đường thẳng d : Câu 51 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1; 1;3 hai đường thẳng: x  y  z 1 x  y 1 z 1 Viết phương trình đường thẳng d qua A ,   , d2 :   2 1 vng góc với đường thẳng d1 cắt đường thẳng d x 1 y 1 z  x 1 y 1 z  A B     1 1 x 1 y 1 z  x 1 y 1 z  C D     4 1 d1 : Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 x y3 z2 mặt phẳng  P  : x  y  z     3 Đường thẳng nằm  P  cắt vng góc với d có phương trình là? Câu 52 Trong khơng gian Oxyz , cho đường thẳng d : x2 y2 z5 x2 y 2 z 5     B 7 x  y  z 1 x  y  z 1   D   C 7 A Câu 53 (ĐỀ THI THỬ VTED 02 NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng x3 y2 z2 x 1 y 1 z    ; d2 :   1 4 3 Đường thẳng vng góc mặt phẳng  P  cắt hai đường thẳng d1 ; d có phương trình  P  : x  y  3z   x7  x4 C  A hai đường thẳng d1 : y z6 x  y 1 z  B    3 y  z 1 x3 y2 z 2 D    3 Dạng 2.3 Xác định phương trình đường thẳng biết yếu tố song song Câu 54 (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A  0; 1;3 , B 1;0;1 , C  1;1; 2 Phương trình phương trình tắc đường thẳng qua A song song với đường thẳng BC ?  x  2t  A x  y  z  B  y  1  t z   t  C x y 1 z    2 1 D x 1 y z 1   2 1 Câu 55 (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A 1; 2;3 hai mặt phẳng  P  : x  y  z   ,  Q  : x  y  z   Phương trình phương trình đường thẳng qua A , song song với  P   Q  ? x  1 t  A  y  2 z   t   x  1  t  B  y   z  3  t   x   2t  C  y  2  z   2t  x   D  y  2  z   2t  Câu 56 (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  1; 2; 3  ; x2 y2 z3   Phương trình phương trình 1 đường thẳng qua trung điểm đoạn AB song song với d ? x y 1 z 1 x y 1 z 1   A  B  1 1 x 1 y 1 z 1 x y2 z2    C D  1 1 B  1; 4;1 đường thẳng d : Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Bán kính đường tròn  C  R   R   d  I ;  P   ĐT:0946798489 3      Câu 229 Cách 1:  Ta có AB  3;1; 2  véc tơ phương đường thẳng AB  x  3t  Phương trình tham số đường thẳng AB  y  t  z   2t  Giả sử AB cắt  P  T  3t ; t ;  2t  Do T   P  :2 x  y  z    t  7 Khi 7 26    14  14   10 20  10 14  T  7; ;  ; TA  7; ;  TA  ; TB  10; ;    TB  3  3    3   980 14  TC  Ta có TC  TA.TB  14 Điểm C thuộc mặt phẳng  P  cách điểm T cố định khoảng 14 Vậy C thuộc đường tròn cố định bán kính r  Cách 2: Ta có TA d  A,  P     ; AB  14 TB d  B,  P   10 Giả sử AB cắt  P  T Suy A nằm B T ( A, B phía so với  P  ) Khi ta có  14 TB  TA  14 TA   980 14    TC  TA.TB   TC    TA  TB TB  10 14 10   Câu 230 Chọn B    Ta có: AB   2;  1;  1 , AD  1;1;1 DC   2;  1;  1     5 2   Ta thấy: AB AD  2.1  1.1  1.1  AB  DC nên tứ giác ABCD hình chữ nhật Gọi M trung điểm AC Ta có: M  ; 2;3  Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 109 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Gọi d đường thẳng qua M vng góc với mặt phẳng  ABCD    Ta có:  AB , AD    0;  3;3    Vectơ phương đường thẳng d là: u   0;  1;1  x   Phương trình tham số đường thẳng d là:  y   t z   t      Ta có: SA   0;3;  3 Ta thấy SA phương với u nên suy SA   ABCD    9 2 Gọi N trung điểm SA , ta có: N  1; ;   5  I  d  I  ;  t ;3  t  Do I  x ; y ; z  tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD nên   2     NI  d  NI  u    3   3  5 9 Mà: NI   ;  t ;   t  Suy ra: NI u   t   t    t   I  ; ;   2 2 2 2   Ta có:  SA , AD    6;  3;  3      Một vectơ pháp tuyến  SAD  là: n   SA , AD    2;  1;  1 Phương trình tổng quát mặt phẳng  SAD  là:  x  1   y     z  3   x  y  z      2  Vậy d  I ,  SAD    11 x  1 t  Câu 231 Có A(1;1;1), B (2;2;1)  Phương trình AB:  y   t z   Gọi K giao điểm AB  P   K  1; 1;1 Có Mặt cầu  S  tiếp xúc với  P  H  HK tiếp tuyến  S     KH  KA KB  12  KH  khơng đổi  Biết H chạy đường tròn bán kính khơng đổi Câu 232 Chọn C Gọi I  a; b; c  tâm mặt cầu     Theo giả thiết ta có R  d I ,     d I ,    Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 110 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 a b   c 1 m 1 m Mà d  I ,      1  1 m 1  m  Ta có 1  1 1  1    1  2 2 m 1  m  m 1 m  m 1 m    1 1   1   1(do m   0;1  2 m 1 m m 1  m   m 1  m   Nên a 1  m   bm  cm 1  m   m 1  m  m 1  m  R 1 m 1  m  R a  am  bm  cm  cm  m  m m2  m   R  Rm  Rm  a  am  bm  cm  cm  m  m  2   R  Rm  Rm  a  am  bm  cm  cm  m  m  m  R  c  1  m  a  b  c  R  1  R  a  1   m  R  c  1  m  b  c  a  R  1  R  a    Xét (1) mặt cầu tiếp xúc với tiếp xúc đồng thời với hai mặt phẳng    ,    với m   0;1 nên pt (1) nghiệm với m   0;1 R  c 1  a  R    a  b  c  R    b  R  I  R; R;1  R  R  a  c   R     Mà R  d I ,     R  R  R  1  R   10 R   3R  12  R    R  6(l ) Xét (2) tương tự ta R  c 1  a   R    b  c  a  R    b   R  I   R;  R; R  1 R  a  c  R      Mà R  d I ,     R  2 R  R  1  R   10 R   3R  12  R    R  3(l ) Vậy R1  R2  Câu 233 Chọn B Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 111 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 A d G I B D M C Gọi d trục ABC , ta có  ABC  : x  y  z    x    t     2 2  ABC d Do nên qua trọng tâm G   ;  ;   có VTCP u  (1;1;1) , suy d :  y    t  3 3   z    t  Ta thấy DAB  DBC  DCA , suy DA  DB  DC  D  d nên giả sử 2   D    t;   t;   t  3     2       2  Ta có AD    t ;   t ;   t  ; BD     t ;  t ;   t  ; CD     t ;   t ;  t  3  3  3  3     4 4    AD.BD  t    D   ;  ;    Có     AD.CD  t   D 0;0;0 (loai )    2   Ta có I  d  I    t ;   t ;   t  , tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu tâm I nên 3    1 1 IA  ID  t   I   ;  ;    S  1  3 3 Dạng 7.5 Bài toán cực trị Câu 234 Chọn C Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 112 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG   ĐT:0946798489  Mặt phẳng P có vtpt n   1;  2;  Mặt cầu  S  có tâm I  1; 2; 1 bán kính r  Nhận thấy   ο        r nên  P  không cắt S  góc u n 45 Vì d I ; P NH  NH nên MN lớn sin 45ο NH lớn Điều xảy N  N H  H  với N  giao điểm đường thẳng d qua I , vng góc  P  H  hình chiếu I lên  P    45 ο MN  Gọi H hình chiếu N lên  P  NMH      MN Lúc NH max  N H   r  d I ; P max  NH max 3 sin 45ο Câu 235 Ta có tâm I 1; 2;  bán kính R  Khoảng cách từ I đến mặt phẳng  P  ngắn M hình chiếu I lên mặt phẳng  P   x   2t  Đường thẳng qua I vng góc với mặt phẳng  P  có phương trình tham số  y  2  t Khi  z  2t  tọa độ M nghiệm hệ phương trình  x     x   2t  x   2t y    y  2  t  y  2  t        z  2t  z  2t z   2 x  y  z   2 1  2t    2  t    2t      t    Câu 236 Chọn C Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 113 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489    Mặt phẳng P có vtpt n   1;  2;  Mặt cầu  S  có tâm I  1; 2; 1 bán kính r  Nhận thấy          r nên  P  không cắt S  ο góc u n 45 Vì d I ; P NH  NH nên MN lớn sin 45ο NH lớn Điều xảy N  N H  H  với N  giao điểm đường thẳng d qua I , vng góc  P  H  hình chiếu I lên  P    45 ο MN  Gọi H hình chiếu N lên  P  NMH NH max 3 sin 45ο 1  2.2  2.1  Câu 237  S  có tâm I  1; 2;1 bán kính R  Ta có: d  I ,  P      R 12  22  22      MN Lúc NH max  N H   r  d I ; P max  Gọi H hình chiếu vng góc N mặt phẳng  P   góc MN NH    Vì MN phương với u nên góc  có số đo khơng đổi,   HNM Có HN  MN cos   MN  HN nên MN lớn  HN lớn  cos  HN  d  I ,  P    R    1 Có cos   cos u, nP  nên MN  HN  cos    Câu 238 Lời giải Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 114 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 I M P H N Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; 2; 1) , bán kính R  ; d  I ;( P)    R  mặt cầu ( S ) mặt phẳng ( P ) khơng có điểm chung Dựng IH  ( P ), ( H  ( P )) Ta có: MN nhỏ M giao điểm đoạn IH với ( S ) NH  x   2t  Phương trình đường thẳng IH :  y  2  t ;  t     z  1  2t  2 Điểm M 1  2t; 2  t; 1  2t   ( S ) nên  x  1   y     z  1  2   2t    t    2t    t  1 Khi M1  3; 3;1 , M  1; 1; 3 Thử lại: d  M1 ;( P)   ; d  M ;( P)    IH  (loại)  11 10  ; ;  3 3 Vậy MN  MH  M  3; 3;1 ; N  Câu 239 Gọi H  2t ;1  2t ; 1  t  hình chiếu I lên đường thẳng d   Ta có: IH ud    2t  1    2t    2  t    t  4 5  H  ; ;   3 3 Vì IH  10   R  d cắt mặt cầu  S  điểm phân biệt Mặt phẳng  Q  chứa d ln cắt  S  theo đường tròn bán kính r 2 Khi r  R  d  I , Q   R  d  I , d   16  10  Do mặt phẳng  P  chứa d cắt mặt cầu theo đường tròn có diện tích nhỏ    d  I ,  P    d  I , d  hay mặt phẳng  P  qua H nhận IH   ; ;   làm vectơ pháp tuyến, 3 3  P  có phương trình x  y  8z  13  Khi điểm O  0; 0;  có khoảng cách đến  P  lớn Câu 240 Gọi I  d   P   I 1;  t ;1 I   P    t    t   I 1;1;1 Ta có d   P   M thuộc đường tròn tâm I 1;1;1 , R1  Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 115 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489     N  x; y; z   NA  1  x; 3  y;11  z  ; NB   x;  y;8  z  2  2 NA  NB  1  x     y   11  z   2     x   y    z       x  y  z  x  y  42 z  126   x  y  z  x  y  14 z  42    Vậy N  S J 1;1;7  ; R2  J   P  : y  Nên N thuộc đường tròn tâm J 1;1;7  ; R2  Ta có IJ   R1  R2  MN  IJ  R1  R2     Câu 241 Xét điểm I cho: IA  IB  Giả sử I  x; y; z  , ta có:   IA   x;3  y;1  z  , IB   x;1  y;3  z  2   x    x     Do đó: IA  IB   2   y    y  I  5;5; 1  2 1  z    z     Do đó: P  MA2  MB  MI  IA  MI  IB          MI  IA  MI IA  MI  IB  MI IB           MI  IA  IB  MI IA  IB  MI  IA2  IB  MI IA  IB            MI  IA2  IB Do I cố định nên IA2 , IB không đổi Vậy P lớn (nhỏ nhất)  MI lớn (nhỏ nhất)  MI lớn (nhỏ nhất)  M giao điểm đường thẳng IK (với K 1; 2; 1 tâm mặt cầu (S)) với mặt cầu (S)  Ta có: MI qua I  5;5; 1 có vectơ phương KI  4;3;   x   4t  Phương trình MI là:  y   3t  z  1  Tọa độ điểm M cần tìm ứng với giá trị t nghiệm phương trình:  t  2 2 1  4t  1    3t     1  1   25t    t     17 19  Với t   M  ; ; 1  M I  (min)  5  m  Pmax  48    m  n  60 Với t    M   ; ; 1  M I  (max) Vậy   5  n  Pmin  12     Câu 242 Gọi N điểm thỏa mãn NA  NB  NC  , suy N  2;0;1 Khi đó:              MA  MB  MC  MN  NA  MN  NB  MN  NC  NA  NB  NC  MN  MN      Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong    116 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489    Suy MA  MB  MC nhỏ MN nhỏ Mặt cầu  S  có tâm I  2;4; 1 , suy ra:  x   2t   NI   4; 4; 2    2; 2; 1 Phương trình NI   y   2t Thay phương trình NI vào phương trình  z  1  t   t 1 2  S  ta được:  2t    2t    t    t    t  1 Suy NI cắt  S  hai điểm phân biệt N1  3;6; 2  , N  0; 2;0  Vì NN1  NN nên MN nhỏ M  N Vậy M  0; 2;0  điểm cần tìm Suy ra: a  b  Câu 243 Mặt cầu  S  có tâm I  3;1;0  bán kính R  Gọi H hình chiếu I d  H  d  H 1  2t; 1  t; t  ; IH   2  2t ; 2  t ; t   Véctơ phương d u d   2;1; 1   IH ud    2  2t   1 2  t   t   t  Suy H  3;0; 1  IH  Gọi  P  mặt phẳng chứa đường thẳng d cắt mặt cầu  S  theo đường tròn có bán kính r Ta có 2 r  R   d  I ,  P       d  I ,  P    Mà d  I ,  P    IH  2 nên r    d  I ,  P      IH   Suy r  , đạt IH   P   2   Khi mặt phẳng  P  qua H  3;0; 1 nhận IH   0; 1; 1 làm véctơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng  P  là:  x  3  1 y    1 z  1   y  z   Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 117 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 I H Câu 244 Mặt cầu  S  có tâm I 1; 2;3 , bán kính R  B K A  Mặt phẳng  P  có vec-tơ pháp tuyến nP   a; b; c  Theo giả thiết B  0;1;0    P  : b    b    Ta có: AB   3;3; 6  phương với u  1; 1;  x  t  Phương trình đường thẳng AB :  y   t  z  2t  Gọi r bán kính đường tròn giao tuyến K hình chiếu vng góc I lên đường thẳng AB, H hình chiếu vng góc I lên  P   Ta có: K  AB  K  t ;1  t ; 2t   IK   t  1; t  1; 2t  3    IK  AB  AB.IK   t   IK   0; 2; 1 r  R  d  I ,  P    25  d  I ,  P    25  IH Ta có: rmin  IH max   Mà IH  IK  IH max  IK  H  K   P   IK  nP IK phương a  a    a     nP  k IK  b  2k  k  1    t  a  b  c     c  c   k c    Câu 245 Chọn C M A B H C     Ta có: AB  (2; 2; 0), AC  (-2; 2; 4)  AB AC   ABC suy ABC vuông A Gọi H hình chiếu vng góc điểm M mặt phẳng  ABC  Ta có: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 118 CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489   MA,  ABC     MA, HA  MAH   MB,  ABC     MB, HB   MBH   MC,  ABC     MC, HC   MCH   MBH   MCH   MAH  MBH  MCH  g c.g  Theo giả thiết MAH Do đó: HA  HB  HC nên H tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Suy ra: H trung điểm BC  H 1;2;     Ta có:  AB, AC    8; 8;8  , Chọn vecto phương đường thẳng MH uMH  1; 1;1   x  1 t  Phương trình đường thẳng MH có dạng:  y   t z   t  Mặt cầu ( S ) có tâm I  3; 2;3 bán kính R  ,t   I N M Gọi K 1  t;  t;  t  hình chiếu vng góc điểm I đường thẳng MH   Ta có: IK   t  2; t ; t  1 , uMH  1; 1;1   Do IK  MH nên IK uMH  , ta được: t  Khi đó: K  2;1;3 IK  Do IK > R nên đường thẳng MH không cắt mặt cầu Ta có: MN  d  I , MH   IN  IK  IN  2    Câu 247 Gọi điểm I thỏa mãn 3IA  IB   I  ; ;  1        Khi 3MA2  MB  MI  IA  MI  IB  4MI  3IA2  IB  2MI 3IA  IB Vậy giá trị nhỏ độ dài đoạn MN        4MI  3IA2  IB2 2 2 Do 3IA  IB khơng đổi ba điểm A; B; I cố định nên 3MA  MB đạt giá trị nhỏ MI nhỏ Khi M giao điểm đường thẳng IJ với mặt cầu  S  , ( J  ; ; 3 tâm mặt cầu  S  ) Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 119 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489  x   2t  M  4; ; 1  Ta có phương trình đường thẳng IJ  y   t  IJ   S    M ; ;     z   2t   Kiểm tra IM  IM    nên M  4; 2;1 điểm cần tìm Vậy T  a.b.c  d A I M K B Câu 248 Mặt cầu  S  có tâm I  3; 4; 5 bán kính R  27  Đường thẳng d có véc-tơ phương u   2;3;   d   P  Gọi K giao điểm mặt phẳng  P  đường thẳng d Vì I  d nên K tâm đường tròn giao tuyến KB  d    Ta có IA  1; 2; 2   IA  IA.u   IA  d   Ta tính IK  d I ,  P    3   4    5   107 2 3 4  29 KB  R  IK  Do M di động đường thẳng d (trục đường tròn giao tuyến) B thuộc đường tròn giao tuyến nên biểu thức MA  MB nhỏ M  AB  d MI IA   MI  MK  IK  29 MK KB Suy MI  29 , MK  29 2 Ta có AM  IA  MI  30  BM  AM  30 Vậy giá trị nhỏ MA  MB AM  BM  30  30  30 Khi đó, ta có Cách 2: Ta có  S  có tâm I  3; 4; 5 , bán kính R  27 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 120 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Dễ thấy d qua I  3; 4; 5 vng góc với  P   P  cắt  S  theo đường tròn có bán kính r  M  d  M 1  2t ;  3t ;3  4t  2 Ta có T  MA  MB  MA  MH  r Lại có MH  d ( M ;( P ))  29t  87 29 29t  29  Suy T  29t  116t  125  29  t  3   29  t  2   29 29  t  3  29          , v    t;   u  v   5;  29  29  29         Do T  29 u  v  29 u  v  50  Xét u   t  2;   Câu 249  - Đường thẳng d qua A có vectơ phương u   3; 4;   có phương trình là: x 1 y  z     giao điểm d  P  B   2; 2;1 4 - Do M ln nhìn đoạn AB góc 90 nên M nằm mặt cầu  S  đường kính AB     Gọi E trung điểm AB  E    ; 0; 1  AE  41   S  : x2  y2  z  x  z   - Lại M   P  nên M nằm đường tròn giao tuyến mặt phẳng  P  mặt cầu  S  , gọi đường tròn  C  - Mặt khác B điểm cố định đường tròn  C  nên độ dài MB lớn MB đường kính đường tròn  C  - Gọi F tâm  C   F hình chiếu vng góc E  P   Đường thẳng EF nhận vectơ pháp tuyến n   2; 2; 1  P  làm vectơ pháp tuyến Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 121 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489  y  z   F    ; 2;0  (là giao điểm  P  EF )  EF :   2 1    - Vì MB đường kính  C  nên M   3; 2; 1  MB  1;0;  vectơ phương đường thẳng MB  phương trình đường thẳng MB là:  x  2  t  t     y  2  z   2t  x - Trong điểm cho đáp án A, B, C, D có điểm I  1; 2;3 (đáp án D) thuộc đường thẳng MB Câu 250 Mặt cầu  S  có tâm I  4;3; 2  bán kính R  Gọi H trung điểm AB IH  AB IH  nên H thuộc mặt cầu  S   tâm I bán kính R  Gọi M trung điểm AB AA  BB  HM , M nằm mặt phẳng  P   R nên  P  cắt mặt cầu  S  sin  d ;  P    sin   Gọi K 3 hình chiếu H lên  P  HK  HM sin  Vậy để AA  BB lớn HK lớn 43   HK qua I nên HK max  R  d  I ;  P     3   3  3 24  18 Vậy AA  BB lớn     5     Mặt khác ta có d I ;  P   Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 122 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 251 Mặt phẳng thiết diện qua tâm I , M , N cắt đường thẳng d H  IH  d , d  I , d   IH Ta có MN  MK  IH  r r IH  4 x  MH MI     f  x  với x  IH  IH IH IH x Ta có f   x   Do MN x2 x2   0, x  , suy hàm số đồng biến  2;     u d , IA     IH Ta có u d  1;  m; m  1 , A 1; 0;0   d , suy d  I , d    ud 25m  20m  17 2m  2m  25m  20m  17 Xét hàm số f  m   có bảng biến thiên m  2m   x  1 t  1  Suy IH m  Đường thẳng d có phương trình d :  y   t  t    5    z   t    AB, u d  416 273   Khoảng cách d  B, d      21 42 ud Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 123 ... 78 Dạng Một số toán liên quan đường thẳng thẳng với đường thẳng 95 Dạng Một số toán liên quan đường thẳng với mặt cầu 97 Dạng Một số toán liên quan điểm – mặt – đường – cầu... điểm đoạn thẳng AB  A Một đường thẳng có vectơ phương u   9;8; 5   B Một đường thẳng có vectơ phương u   5;9;8  C Một đường thẳng có vectơ phương u  1; 2; 5   D Một đường thẳng. .. DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Dạng Một số toán liên quan đường thẳng với mặt phẳng 65 Dạng 4.1 Bài toán liên quan khoảng cách, góc 65 Dạng 4.2 Bài toán