Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích log x 2 log 2x 1 1 .log x 0 Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng khơng thể biến đổi để đặt ẩn phụ đượ
Trang 1DẠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Phương trình mũ cơ bản cĩ dạng: ax =m, trong đĩ a>0, a≠1 và m là số đã cho.
● Nếu m≤0, thì phương trình ax =m vơ nghiệm
● Nếu m>0, thì phương trình ax =m cĩ nghiệm duy nhất x=log m.a
Bài 1 Giải các phương trình sau:
1) x 1 x x 1
5 + +6.5 −3.5 − =52
2) 3x 1+ +3x 2+ +3x 3+ =9.5x +5x 1+ +5x 2+
3) x x 1
3 2 + =72
4) 4x2− +3x 2+4x2+ +6x 5=42x2+ +3x 7+1
5) 5.32x 1− −7.3x 1− + 1 6.3− x+9x 1+
Bài 2 Giải các phương trình sau:
1) log x x3 ( + =2) 1
log x − −3 log 6x 10− + =1 0
3) log x 15( + )+log 2x 5( − =) 2
4) ( x 1 )
2 log 2 + − =5 x
Bài 3 Bài tập rèn luyện Giải các phương trình sau:
1) x 1 x 2
x 1
+
3) 3.2x 1+ +2.5x 2− =5x+2x 2− 4) log 16 logx 2 − x7=2
5)
x 3x 1
0
−
4
2 log 2x log x 2x 1
3
7) log x 1 log x log x2 2
9) log 3(x−2 log x) 5 =2 log3(x−2) 10) x 5 x 7
3 2 − −5 2 − =32
11) ( x x 2) x 1 ( x 1 x 1)
3 10 −6 + +4.10 + =5 10 − −6 −
MŨ – LOGARIT
Trang 2Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
DẠNG 2 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
Phương pháp đưa về cùng cơ số
Sử dụng cơng thức:
● aα =aβ ⇔ =α β
log b log c
b c
>
=
hoỈc > 0
Bài 1 Giải các phương trình sau:
1) 2x 1 x 1 x
5 + +7 + −175 −35=0 3) 2 x 1 x 3 2 2 x 3 4 x 1
x 2 + +2 − + =x 2 − + +2 −
2) 3.4x 1.9x 2 6.4x 1 1.9x 1
x 1
x x 1 x
4 + +2− =2 + +1
Bài 2 Giải các phương trình sau:
16 64 log 2.log 2=log 2
5x 5
5
3) log x2 +log x3 +log x4 =log x20
x 3
1
log + 2
5)
5) ( 2 )2
−
log x +3x+ +2 log x +7x 12+ = +3 log 3
Bài 3. Giải phương trình sau: ( ) ( )8 ( )
2
Bài 4. Bài tập rèn luyện Giải các phương trình sau:
1)
2 3x
3
x 1 x x 3
3
−
+
=
log 6 4x− −x =2 log x+4
2) 3.13x+13x 1+ −2x 2+ =5.2x 1+ 7) ( ) 1 5
2 log x 1 log x log x
2
3) log4(log x2 )+log2(log x4 )=2 8) 2 ( )
2 log x=log x.log 2x 1 1+ −
x 1 log x 2x 3 log
x 3
−
log x − −1 log x 1− =log x−2
log x 1+ + =2 log 4 x− +log 4+x
Trang 3DẠNG 3 ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH A.B = 0
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x2+x−4.2x2−x −22x + =4 0
HD: x 2 x x 2 x 2x ( x 2 x ) ( 2x )
2 + −4.2 − −2 + = ⇔4 0 2 − −1 2 − =4 0
Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng khơng thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do đĩ ta phải phân
2x −x−1 2 x −4 ðây là phương trình tích đã biết cách giải
Bài 1. Giải các phương trình sau:
8.3 + 3.2 =24 6+
2) 2x2+x−4.2x2−x−22x+ =4 0
3) 12.3x+3.15x−5x 1+ =20
Ví dụ 2: Giải phương trình: ( )2 ( )
2 log x =log x.log 2x 1 1+ −
Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích
log x 2 log 2x 1 1 log x 0
Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng khơng thể biến đổi để đặt ẩn phụ
được thì ta biến đổi thành tích
Bài 2. Giải phương trình: log x2 +2.log x7 = +2 log x.log x2 7
DẠNG 3 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Sử dụng cơng thức về hàm số mũ và lơgarit để biến đổi bài tốn, sau đĩ đặt ẩn số phụ, quy phương trình đã cho về các phương trình đại số (phương trình chứa hoặc khơng chứa căn thức) Sau khi giải phương trình trung gian ta quy về giải tiếp các phương trình mũ hoặc lơgarit cơ bản
A - Phương pháp đặt ẩn phụ dạng 1
PHƯƠNG TRÌNH MŨ
● Phương trình αkakx αk 1a(k 1) x− αk 2a( k 2) x− α1ax α0 0
+ + + + + = , khi đĩ ta đặt t=ax, t>0
● Phương trình x x
1a 2b 3 0
α +α +α = , với a.b=1 Khi đĩ đặt t a , tx 0 bx 1
t
= > ⇒ = , ta được
phương trình: α1t2+α3t+α2 =0
● Phương trình α1a2x+α2(ab)x +α3b2x =0 Chia hai vế cho a hoặc 2x b ta được 2x
2x x
0
α +α +α =
x a
b
= >
.
Trang 4Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
Bài 1 Giải các phương trình sau:
1) 4x+ x2−2−5.2x 1− + x2−2 − =6 0
2) 43 2cos x+ −7.41 cos x+ − =2 0
26 15 3+ +2 7+4 3 −2 2− 3 =1
Bài 2. Giải các phương trình sau:
1) ( ) (x )x
3x x 1
2) 5.23 x 1− −3.25 3x− + =7 0 4) 27x+12x =2.8x
PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT
● Nếu ñặt t=log x, xa ( >0) thì log xak t ; log ak x 1, 0 x 1
t
● Nếu ñặt log x b
t=a thì log a b
t=x Vì log c b log a b
Bài 1 Giải các phương trình sau:
1) ( x 1 ) ( x )
log 4 + +4 log 4 + =1 3 4) log 3 log xx 3 log x3 log3 x 1
2
2) log4(log x2 )+log2(log x4 )=2 5) log2(x 1+ =) logx 1+ 16
3
4
1 log x
−
Bài 2. Giải các phương trình sau:
log 6.5 +25.20 = +x log 25 3) 2 8
4 16
log 4x log x
log 2x =log 8x
2 x log x.log (4x ) 12= 4) log x2 =log3( x +2)
B - Phương pháp ñặt ẩn phụ dạng 2
PHÖÔNG TRÌNH MUÕ
Phương pháp: Ý tưởng là sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban ñầu thành một phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ só vẫn còn chứa ẩn x Khi ñó thường ta ñược một phương trình bậc 2 theo ẩn phụ có biệt số ∆ là một số chính phương
Ví dụ : Giải phương trình: x ( ) x
9 +2 x−2 3 +2x 5− =0
HD: ðặt x ( )
t= 3 * , khi ñó ta có: 2 ( )
t +2 x−2 t+2x 5− =0 ⇒ t= −1, t= −5 2x Thay vào (*) ta tìm ñược x
Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi ∆ là số chính phương
Trang 5Bài 1 Giải phương trình: x 2 ( 2 ) x 2 2
9 + x −3 3 −2x + =2 0
Bài 2. Giải phương trình: 42x +23x 1+ +2x 3+ − =16 0
PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT
Ví dụ 2: Giải phương trình: 2( ) ( ) ( )
log x 1+ + −x 5 log x 1+ −2x+ =6 0
HD: ðặt t=log3(x 1+ ), ta có: 2 ( )
t + −x 5 t−2x+ =6 0 ⇒ t=2, t= −3 x Suy ra
x= 8, x=2
Bài 1. Giải phương trình: 2( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 2
lg x + +1 x −5 lg x + −1 5x =0
Bài 2 Giải các phương trình sau:
lg x−lgxlog 4x +2log x=0
2) lg x4 +lg x3 −2lg x 9lgx 92 − − =0
C - Phương pháp ñặt ẩn phụ dạng 3
PHÖÔNG TRÌNH MUÕ
Phương pháp: Lựa chọn ẩn phụ thích hợp rồi chuyển phương trình về hệ ñơn giản.
Bài 1 Giải phương trình: 4x2+1+21 x− 2 =2(x 1)+ 2 +1
Bài 2. Giải phương trình: x2 3x 2 x2 6x 5 2x2 3x 7
4 − + +4 + + =4 + + +1
PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT
Sử dụng 2 ẩn phụ cho 2 biểu thức logarit trong phương trình và khéo léo biến ñổi phương trình thành phương trình tích
Bài 1. Giải phương trình: ( )2 ( 2 )
log x x 1− +log xlog x − − =x 2 0
Bài 2. Giải phương trình: log x22 −log x2 +log x3 −log xlog x2 3 =0
Bài 3. Giải phương trình: ( )log x 2 ( )log x 2
2
2+ 2 +x 2− 2 = +1 x
D - Phương pháp ñặt ẩn phụ dạng 4. ðặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình
PHÖÔNG TRÌNH MUÕ
Ví dụ : Giải phương trình:
x
x 1 x x 1 1 x
2 − 1+2 2=2 − 2− 2
HD: Viết phương trình dưới dạng x 18 1 x1 x 1 181 x
2 − 1+2− 2=2 − 2− 2
x 1 1 x
u=2 − +1, v=2− +1; u, v>0
Trang 6Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
Nhận xét: .u v= +u v Từ ñó ta có hệ:
+ =
+
= +
Bài 1. Giải phương trình: 22x − 2x+ =6 6
PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT
Bài 1. Giải phương trình: ( 2 ) ( 2 )
log x− x − +1 3log x+ x − =1 2
Bài 2 Giải phương trình: 32 lgx− = −1 lgx 1−
3 log+ x −4x+ +5 2 5 log− x −4x+5 =6
E - Phương pháp ñặt ẩn phụ dạng 5
PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT
Sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban ñầu thành một hệ phương trình với một ẩn phụ và một ẩn x Ta thực hiện các bước:
+ ðặt ñiều kiện có nghĩa cho phương trình
+ Biến ñổi phương trình về dạng: f(x; φ(x)) = 0
+ ðặt y = φ(x) ñưa về hệ: ( )
( ; ) 0
f x y
φ
=
=
Chú ý: ðối với phương trình logarít có một dạng rất ñặc biệt, ñó là phương trình
dạng ax b ( )
s
s + =c log dx e+ +αx+β Với d =ac+α;e=bc+β
Cách giải:
- ðiều kiện có nghĩa của phương trình: 0 1
0
s
< ≠
+ ≠
- ðặt ay+ =b log dx s( +e) khi ñó phương trình ñã cho trở thành:
s
- Lấy (1) trừ cho (2) ta ñược: s ax b+ +acx=s ay b+ +acy (3)
- Xét hàm số ( ) at b
f x =s + +act là hàm số dơn ñiệu trên R Từ (3) ta có f(x) = f(y) ⇔ x = y, khi ñó (2) ⇔s ax b+ =dx e+ (4) dùng phương pháp hàm số ñể xác ñịnh nghiệm phương trình (4)
Ví dụ: Giải phương trình: x 1 ( )
7
7 − =6log 6x 5− +1
HD: ðặt y 1 log− = 7(6x 5− ) Khi ñó chuyển thành hệ
Trang 7( ) ( )
x 1 y 1
y 1 7
−
Xét hàm số ( ) t 1
f t =7− +6t suy ra x=y, Khi ñó 7x 1− −6x+ =5 0 Xét hàm số ( ) x 1
g x =7 − −6x 5+ Nhẩm nghiệm ta ñược 2 nghiệm: x=1, x=2
Bài 2. Giải các phương trình sau:
1) log x22 + log x 12 + =1 3) 3log x 12 + =4log x 13log x22 + 2 −5
2) lgx 1+ =lg x2 +4lgx+5 4) 3log x 12 + = −4log x 13log x 522 + 2 −
Bài 3 Giải các phương trình sau:
1) lgx 1+ =lg x2 +4lgx+5 3) x ( )
6
6 =3log 5x 1− +2x 1+
log x+ =2 3 3log x−2 4) 3 3
x + =1 3 2x 1−
Bài 4. Bài tập rèn luyện Giải các phương trình sau:
1) 9x−10.3x + =9 0 16) ( ) (cosx )cosx
5
2
2) 4x2 −6.2x2 + =8 0 17) ( ) (x )x
x
2+ 3 + 2− 3 =2
15.25 −34.15 +15.9 =0 18) ( ) (x )x
4− 15 + 4+ 15 =8
4) ( ) (x )x
x
7 3 5+ + −7 3 5 =14.2
5) x 1 x 2
5 − +5.0, 2 − =26 20) logx 3x log x 13 + =0
25 −12.2 −6, 25.0,16 =0 21) 2 8
4 16
log 4x log x
log 2x =log 8x
7)
1 3 3
x x
64 −2+ +12=0 22) 1 2 log+ x 2+ 5=log5(x+2)
8) 4x −4 x 1+ =3.2x+ x 23) ( ) ( 3 )
log log x +log log x − =2 0
9) 9x−8.3x+ =7 0 24) ( x ) ( x 1 )
3 log 3 −1 log 3 + − =3 6
10) 1.42x 1 21 13.4x 1
2
2 log 9 2− = −3 x
11)
6.9 −13.6 +6.4 =0 26) log x3 log 3x 5
2
12) 325x −39x +315x =0 27) log x 2 3log x 8
2x +2x− − =5 0
13) 9sin x2 +9cos x2 =10 28) log x 2 log 5 2
5 +2.x =15
Trang 8Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
14) 2sin x2 +5.2cos x2 =7 29) 2 ( )
log 5x 1 log 7
15) cos2x cos x2
4 +4 =3 30) log x log 5
25 = +5 4.x
F - Một số bài toán (ñặc biệt là các bài logarrit) ta thường phải ñưa về phương trình – hệ phương trình – bất phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên
● Dạng 1 Khác cơ số
Ví dụ: Giải phương trình: log x7 =log ( x3 +2)
ðặt t=log x 7 ⇒ x=7t
3
● Dạng 2 Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp
Ví dụ 1: Giải phương trình: 4 ( ) ( )
log x −2x− =2 2 log x −2x 3− ðặt 2
t=x −2x 3− , ta có log6( )t 1+ =log t5
Ví dụ 2: Giải phương trình: ( log x 6 )
log x+3 =log x
ðặt t=log x6 , phương trình tương ñương
t
t t t t 3
2
● Dạng 3 log b ( x c )
a + =x (ðiều kiện: b= +a c)
Ví dụ 1. Giải phương trình: log 7 ( x 3 )
4 + =x
7
t=log x+3 ⇒ 7 = +x 3
Phương trình trở thành:
= − ⇔ + =
Ví dụ 2. Giải phương trình: log 3 ( x 5 )
2 + = +x 4
ðặt t= +x 4 Phương trình trở thành: log 3 ( ) t 1
2 + =t
Trang 9DẠNG 5 PHƯƠNG PHÁP LÔGARIT HÓA
Sử dụng cơng thức lấy logarit hai vế của phương trình với cơ số thích hợp
PHƯƠNG TRÌNH MŨ
● Dạng 1: f ( x )
a
0 a 1, b 0
f (x) log b
< ≠ >
=
● Dạng 2: af ( x ) =bg( x ) ⇔ log aa f ( x ) =log ba g( x ) ⇔ f (x)=g(x).log b.a
Bài 1 Giải các phương trình sau:
1) log x 2 4 3 log x 1 ( 4 )
x − =2 − 2) xlg x lg x2 3 3 2
−
Bài 2. Giải các phương trình sau:
1)
4x 1 3x 2
=
lg x 2
x =1000x
PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
● Dạng 1: log f (x)a b 0 a 1b
f (x) a
< ≠
=
● Dạng 2: log f (x)a log g(x) a 0 a 1
f (x) g(x) 0
< ≠
= >
Bài 1. Giải các phương trình sau:
x log x +4x− =4 3 3) logx(x+ =6) 3
1 log 2log 1 log 1 3log x
2
Bài 2 Giải các phương trình sau:
1) 3
2x 3 log x
−
log (x 1)− =2log (x + +x 1)
2 log x − =1 log x 1− 4) x+lg(1 2 )+ x =xlg5 lg6+
Bài 3. Bài tập rèn luyện Giải các phương trình sau:
1) x 1 2x 1
2 =3
3) 2x2−2x.3x =1, 5 4) 5 3x x2 =1
5)
2x 1
x x 1
−
x
x x 2
3 8 + =6
7)
3x
x x 2
3 2 + =6
Trang 10Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
DẠNG 6 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH
BIẾN CỦA HÀM SỐ
● Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất (thường là sử dụng cơng cụ đạo hàm)
● Ta thường sử dụng các tính chất sau:
Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng (a;b) thì phương trình
f(x) = C cĩ khơng quá một nghiệm trong khoảng (a;b) ( do đĩ nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = C thì đĩ là nghiệm duy nhat của phương trình f(x) = C)
Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khoảng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong
khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) cĩ nhiều nhất một nghiệm trong khoảng (a;b) ( do đĩ nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đĩ là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))
Tính chất 3 : ðịnh lí Rơn: Nếu hàm số y=f x( ) lồi hoặc lõm trên khoảng ( )a; b thì phương trình f x( )=0 cĩ khơng qua hai nghiệm thuộc khoảng ( )a; b
Ví dụ 1: Giải phương trình: log x 2
x+2.3 =3
HD: log x 2 lo g x 2
x+2.3 = ⇔3 2.3 = −3 x, vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên phương trình cĩ nghiệm duy nhất x=1
Ví dụ 2: Giải phương trình: x x x x
6 +2 =5 +3
HD: Phương trình tương đương 6x −5x = −3x 2x, giả sử phương trình cĩ nghiệm α Khi đĩ: 6α −5α =3α −2α Xét hàm số f t( ) ( )= +t 1α −tα, với t>0 Ta nhận thấy
( ) ( )
f 5 =f 2 nên theo định lý lagrange tồn tại c∈( )2;5 sao cho:
( ) ( ) 1 1
f ' c = ⇔0 α c 1+ α− −cα− = ⇔0 α =0, α =1, thử lại ta thấy x=0, x=1 là nghiệm của phương trình
Ví dụ 3: Giải phương trình: x2 x x 1 ( )2
HD: Viết lại phương trình dưới dạng x 1 x2 x 2
2 − + − =x 1 2 − +x −x, xét hàm số
( ) t
f t = +2 t là hàm đồng biến trên R (???) Vậy phương trình được viết dưới dạng:
( ) ( 2 ) 2
f x 1− =f x −x ⇔ − = x 1 x − ⇔ =x x 1
Ví dụ 4: Giải phương trình: x x
3 +2 =3x+2
HD: Dễ dàng ta tìm được nghiệm: x=0 và x=1 Ta cần chứng minh khơng cịn nghiệm nào khác