· Khi giải các bất phương trình mũ ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số mũ.. · Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit.. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOG
Trang 1· Khi giải các bất phương trình mũ ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số mũ
1 ( ) ( )
( ) ( )
a
f x g x
a
f x g x
éì >
í
êỵ >
> Û ê
ì < <
êí
êỵ <
ë
· Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ: – Đưa về cùng cơ số
– Đặt ẩn phụ
– …
Chú ý: Trong trường hợp cơ số a cĩ chứa ẩn số thì:
a >a Û a- M N- >
Bài 1 Giải các bất phương trình sau (đưa về cùng cơ số):
a) 2
1
3
3
6 2 3 1 1
<
c) 2x+2-2x+3-2x +4 >5x+1-5x+2 d) 3 x +3 x -1-3 x-2<11
e) 9x2- +3 2x -6x2- +3 2x < 0 f) 62x+3 <2x+7.33x-1
g) 4x2+x.2x2+1+3.2x2 >x2.2x2 +8x+12 h) 6.x2 +3 x.x+31 + x <2.3 x.x2+3x+9 i) 9x+9x+1+9x+2<4x +4x+1+4x+2 k) 7.3x+1+5x+3£3x+4+5x+2
l) 2x+2+5x+1<2x +5x+2 m) 2x-1.3x+ 2 > 36
n) ( 10 3) 31 ( 10 3) 13
1
x x
x
+
2
2
x
2 x- ³2 x+
Bài 2 Giải các bất phương trình sau (đặt ẩn phụ):
a) 2.14x+3.49x -4x ³ 0 b)
4x - -2x - - £ 3 0
3
4x -2 x- +8 x- >52 d) 8.3 x+4x +91+4x >9 x
e) 25.2x-10x+5x >25 f) 52x+1+6x+1>30 5 30+ x x
g) 6x -2.3x-3.2x + ³ 6 0 h) 27x+12x >2.8x
i)
49x -35x £25x k) 3 1 22 1 122 0
x
x+ - x+ - <
l) 252x x- +2 1+92x x- +2 1³34.252x x- 2 m) 32x-8.3x+ x+ 4 -9.9 x+ 4 >0
o) 4x 1+ x - -5.2x 1 1+ x - + +16 0³ p) ( 3+ 2) (x + 3- 2)x £ 2
r)
-ỉ ư ỉ ư
ç ÷ ç ÷
è ø è ø t)
1 1 2 1
2x + +2 - x < 9 u) (22 1x + -9.2x +4 ) x2+2x- ³ 3 0
VII BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Trang 2Bài 3 Giải các bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):
a) 2 32 1
x
1 2
1 2
21
£
-+
-x
x x
2
3
2
3
£
+
x x
x x
d) 3 x+4 +2 2 4x+ >13
e) 32 3 2 0
x
x
x
6
x x
+ - >
3x 5x 2 2x 3 2x 3xx 5x 2 2x 3
Bài 4 Tìm m để các bất phương trình sau cĩ nghiệm:
a) 4x-m.2x+ + £ m 3 0 b) 9x -m.3x+ + £ m 3 0
c) 2x + +7 2x - £ 2 m d) ( ) (2 ) 2 1
2 1+ x + 2 1- x - + = m 0
Bài 5 Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với:
a) (3m+1).12x + -(2 m).6x+3x < , "x > 0 b) 0 (m-1)4x +2x+1+ + > , "x m 1 0 c) m.9x -(2m+1 6) x +m.4x £ , "x Ỵ [0; 1] d) 0 m.9x +(m-1).3x+2+ - > , "x m 1 0 e) 4cosx +2 2( m+1 2) cosx +4m2- < , "x f) 3 0 4x-3.2x+1- ³m 0, "x
g) 4x-2x - ³ , "x Ỵ (0; 1) m 0 h) 3x + +3 5 3- x £ , "x m
i) 2.25x -(2m+1).10x+(m+2).4x ³ , "x ³ 0 k) 0 4x-1-m.(2x+ > , "x 1) 0
Bài 6 Tìm m để mọi nghiệm của (1) đều là nghiệm của bất phương trình (2):
a)
2 2
+
ì
ïïç ÷ + ç ÷ >
íè ø è ø
ï
ïỵ
b)
+
ì
ï - >
í
ỵ
c) 22 12 9.2 4 0 (1)
+
í
+ + + + >
2
+
ì
ïïç ÷ + ç ÷ >
íè ø è ø ï
+ + + - <
ïỵ
Trang 3· Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit
1 ( ) ( ) 0 log ( ) log ( )
0 ( ) ( )
a
f x g x
a
f x g x
éì >
í
êỵ > >
ì < <
êí
êỵ < <
ë
· Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình logarit:
– Đưa về cùng cơ số
– Đặt ẩn phụ
– …
Chú ý: Trong trường hợp cơ số a cĩ chứa ẩn số thì:
loga B> Û0 (a-1)(B - > ; 1) 0 log
0 ( 1)( 1) 0 loga a
A
B > Û - - >
Bài 1 Giải các bất phương trình sau (đưa về cùng cơ số):
a) log5(1-2x)<1+log 5(x+1) b) log 1 2 log2( - 9x)< 1
log 5- <x log 3-x d) 2 1 5
3
log log log x > 0
1
2 1 (log
3
+
+
x
x
1 2
4 log 0
x - x>
3
log logéë x -5 ùû>0 h) 6log26x +xlog 6x £12
i) log2(x+ ³ +3 1 log) 2( )x- 1 k) ( )2
2
log logỉ xư ³0
8
2
2 log ( 2) log ( 3)
3
x- + x- >
log logéë x + +1 x ùû>log logéê x + -1 x ùú
Bài 2 Giải các bất phương trình sau:
2
lg 1
x
x
- <
2
0
>
-c) lg( 2 3 2) 2
lg lg 2
x
>
5log 2 log
1
1 3
log 2 >
+
-x
x
4
x
x x< x +
g) log (log (2x 4 x-4)) 1£ h) log3x x- 2(3-x) 1>
5
2
log x x -5x+6 < 1
VIII BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Trang 4l) 6 2
3
1
2
x
>
è ø m) logx-1( )x+ >1 logx2-1( )x+ 1 n) (4x2-16x+7).log (3 x- > 3) 0 o) (4x-12.2x +32).log (22 x- £ 1) 0
Bài 3 Giải các bất phương trình sau (đặt ẩn phụ):
a) log2x +2 log 4 3 0x - £ b) 5( ) ( )
5
log 1 2- x < +1 log x+ 1 c) 2 log5x -log 125 1x < d) log 64 log 16 32x + x2 ³
e) log 2.log 2.log 4x 2x 2 x > 1 f) 21 1 2
log x+log x < 0
2
2
1 log 1 log 1 log
2 log
4
1
2 2
£
-+
i) log2 6log2 8 0
2
1 x- x+ £ k) log32x-4 log3x+ ³9 2 log3x- 3
l) log (3 4 2) 1 log (3 2 4 2)
3
2
9 x + x+ + > x + x+ m)
5 log- x+1 log+ x <
1 9log- x > -1 4 log x o) log 100 1log100 0
2
p)
2
3
3
1 log
1
1 log
x x
+
>
16
1 log 2.log 2
-Bài 4 Giải các bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):
a) ( x 1)log+ 20,5x+(2x+5) log0,5x+ ³ 6 0 b) log2(2x+1)+log3(4x +2)£2
c)
log x 1 >log x 1
5 lg
2x 3 1
x x x
+
- <
Bài 5 Tìm m để các bất phương trình sau cĩ nghiệm:
1/2
log x -2x m+ > - 3 b) log 100 1log 100 0
2
2
1 log
1
1 logm m
x x
+
>
+
e) log2 x m+ >log2x f) logx m- (x2- >1) logx m- (x2+ - x 2)
Bài 6 Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với:
log 7x +7 ³log mx +4x m+ , "x
b) log ( 2 ) 4 log ( 2 2 ) 5
2
2
2 x - x+m + x - x+m £ , "x Ỵ[0; 2]
c) 1 log (+ 5 x2+ ³1) log (5 mx2+4x m+ ), "x
, "x
Bài 7 Giải bất phương trình, biết x = a là một nghiệm của bất phương trình:
a) logm(x2- -x 2)>logm(-x2+2x+3 ;) a=9 / 4
b). log (2m x2+ + £x 3) log (3m x2-x); a= 1
Trang 5Bài 8 Tìm m để mọi nghiệm của (1) đều là nghiệm của bất phương trình (2):
a)
ï
í
ï + + + <
ỵ
b) log (52 2 8 43) 2 (1)
ï í
- + - >
ïỵ
Bài 9 Giải các hệ bất phương trình sau:
a)
2
2
16 64
lg 7 lg( 5) 2 lg2
x
>
ï
-ỵ
1
1 lg 2 lg 2 1 lg 7.2 12
x
x x
+
ï í
+ >
ïỵ
2
4
log x y 2 2 0
y x
ï
1 2
log ( 5) 0 logx y (4 ) 0
y x
-+
ï
Trang 6Bài 1 Giải các phương trình sau:
a)
1
8
x
-c) 0,2 0,5 (0,04)
25 5
2
=
e) 7 2 1.7 1 14.7 1 2.7 48
7
x+ - x+ - x- + x = f) (3x2 - 7,2 3,9x+ -9 3 lg(7) -x) 0= g)
2
3 2
x
i)
2
1
1 lg
3
3
1 100
x
l)
lg 5
5 lg
x
x x
+
+
3
x
Bài 2 Giải các phương trình sau:
a) 4x2+2-9.2x2+2+ = 8 0 b) 4x- x2-5-12.2x- -1 x2-5+ = 8 0 c) 64.9x-84.12x +27.16x = 0 d)
64x -2 +x +12 0= e) 9x2-1-36.3x2-3+ = 3 0 f) 34 8x+ -4.32 5x+ +28 2 log= 2 2
g) 32 1x+ =3x+2+ 1 6.3- x+32( 1)x+ h) ( 5+ 24) (x + 5- 24)x =10 i) 91 log+ 3x -31 log+ 3x-210 0= k) 4lg 1x+ -6lgx-2.3lgx2+2 = 0
l) 2sin2x+4.2cos2x = 6 m) 3lg(tan )x -2.3lg(cot ) 1x + = 1
Bài 3 Giải các bất phương trình sau:
a)
6 5
2 5
x x
-+
ỉ ư
<
ç ÷
1 1
x x
-+
- <
+ c) x2.5x -52+x < 0 d) xlg2x-3lg 1x+ >1000
e) 4 2 4 2
1
x
2
3
x x
> + ç ÷è ø
-g) 2x+2-2x+3-2x+4 >5x+1-5x+2 h)
2 2
log ( 1)
2
x
-ỉ ư
>
ç ÷
è ø i)
2
2
3
x
x
+
-ỉ ư
>
ç ÷
1 2 2
x x
+
-ỉ ư
>
ç ÷
è ø l)
1
x
x
+
>
ỉ ư ỉ ư
>
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
IX ƠN TẬP HÀM SỐ LUỸ THỪA – MŨ – LOGARIT
Trang 7Bài 4 Giải các bất phương trình sau:
a) 4x -2.52x -10x > 0 b) 25-x-5- +x 1³50
c)
9.4-x +5.6-x <4.9-x d) 3lgx+2 <3lgx2+5- 2
e) 4x+1-16x <2 log 84 f)
2 3
2
x
è ø g)
2( 2)
x
2 3
3
x
è ø i) 9x-3x+2 >3x- 9 k) 9x+3x- ³ -2 9 3x
Bài 5 Giải các phương trình sau:
a) log (33 x - = - 8) 2 x b) log5-x(x2-2x+65) 2=
c) log (27 x - +1) log (27 x- = 7) 1 d) log (1 log (23 + 3 x-7)) 1=
e) 3log lg 3 x -lgx+lg2x- = 3 0 f) 9log (1 2 ) 3 - x =5x2- 5
g) x1 lg+ x =10x h) ( )log 5 1
5
x
i)
2 2
2
=
lg 7
lg 1
x
x x
+
+
= l) log log3 9 1 9 2
2
x
-Bài 6 Giải các phương trình sau:
a) ( )2
2 logx 5 -3logx 5 1 0+ = b) log1/3x-3 log1/3x+ = 2 0
c) log22x+2 log2 x- = 2 0 d) 3 2 log+ x+13 2 log (= 3 x+ 1)
e) ( )2 2
3
log log x-3log x+5 = 2 g) lg (100 ) lg (10 ) lg2 x - 2 x + 2x= 6 h) log (2 ).log (16 )2 2 2 9log22
2
i) log (93 x+9)= +x log (28 2.3 )3 - x k) log (42 x +4) log 2= 2 x+log (22 x+1- 3) l) log (252 x+3- = +1) 2 log (52 x+3+ 1) m) lg(6.5x+25.20 )x = +x lg 25
Bài 7 Giải các bất phương trình sau:
a) log (0,5 x2-5x+6)> - 1 b) log72 6 0
x x
->
-c) log3x -log3x- < 3 0 d) log1/32 3x 1
x
- ³ - e) log (21/4 ) log1/4 2
1
x
x
- >
2
log éëlog (x -5)ùû>0
g) 2 2
1/2
log ( 1)
x
x
- <
2
log ( 1)
0 1
x x
+
>
-i) log log (3xéë 9 x -9)ùû<1 k) log2 3x+ x2< 1
l) 2log 2-x(x2+ + 8 15)x < 1 m) 1/3 2
5 log
3
x x
+ + >
Trang 8Bài 8 Giải các hệ phương trình sau:
a)
2
x y
x y
-+
í
=
x y
x y
+
í
=
2 12 5
x y
ì + =
ỵ d) 3.2 2.3 2,75
í
- =
16 0
x
y
ìï - = í
3 2 972 log ( ) 2
x y
x y
ïỵ g)
5
-ì
í
-ỵ
h) 32 2/2 77
ìï - = í
2 2
2 2
y x
x y
ï í
ïỵ
Bài 9 Giải các hệ phương trình sau:
a) log42 log2 2 0
í
ỵ b) 2 log( y x logx xy y) 85
ï
20
y x xy
ỵ d) log2 2 log2 24 3
16
í
15 logx y x log y 1 log 5
ì
- = ï
í
ỵ
7
log 2 log log 3 log
3 2
x y
y x
y x
í
= ïỵ
g) lg( 2 2) 1 lg13
lg(x y) lg(x y x y) 3lg2
9 8
ì
ï í
ỵ
i)
2
3 2 576 log ( ) 4
x y
y x
ïỵ
2 log 3 15
3 log 2 log 3
y
x
ï
í
ïỵ l) log (3 4 ) 1 log (32 3 )
x y
y x
+
ì
í
ỵ
m)
Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này
transitung_tv@yahoo.com
Trang 91 Khái niệm nguyên hàm
· Cho hàm số f xác định trên K Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu:
F x'( )= f x( ), "x Î K
· Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:
òf x dx F x C( ) = ( )+ , C Î R
· Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K
2 Tính chất
· ò f x dx f x C'( ) = ( )+ · ò [f x( )±g x dx( )] =òf x dx( ) ±òg x dx( )
· òkf x dx k f x dx k( ) = ò ( ) ( ¹0)
3 Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
4 Phương pháp tính nguyên hàm
a) Phương pháp đổi biến số
Nếu ò f u du F u C( ) = ( )+ và u u x= ( ) có đạo hàm liên tục thì:
òf u x u x dx F u x[ ( ) '( )] = [ ( )]+C
b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:
CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
I NGUYÊN HÀM
· 0dx Cò =
· dx x Cò = +
1
x
x dx= + +C ¹
-+
a
· 1dx ln x C
ò
· òe dx e x = x +C
ln
x
a
ò
· cosò xdx=sinx C+
· sinò xdx= -cosx C+
· 12 tan cos x dx= x C+
ò
sin x dx= - x C+
ò
· cos(ax b dx) 1sin(ax b C a) ( 0)
a
ò
· sin(ax b dx) 1cos(ax b C a) ( 0)
a
ò
· e ax b dx 1e ax b C a, ( 0)
a
ò
· 1 dx 1ln ax b C
ax b+ =a + +
ò
Trang 10VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản
Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:
– Nắm vững bảng các nguyên hàm
– Nắm vững phép tính vi phân
Bài 1 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) f x( ) x2– 3x 1
x
4 2
( ) x
f x
x
+
x
-= d)
2
( 1) ( ) x
f x
x
-= e) f x( )= x+3 x+4x f) f x( ) 1 32
-g) ( ) 2sin2
2
x
f x = h) f x( ) tan= 2x i) f x( ) cos= 2x
k) ( ) 2 1 2
sin cos
f x
sin cos
x
f x
= m) f x( ) 2sin3 cos2= x x
n) f x( )=e e x( x– 1) o) ( ) 2 2
cos
x
f x e
x
= çç + ÷÷
3 1
( ) x
f x =e +
Bài 2 Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
a) f x( )=x3-4x+5; F(1) 3= b) f x( ) 3 5cos ;= - x F( ) 2p = c)
2
3 5
x
2
x
x
+
e) f x( )=x321; F( 2) 0
x
f) f x( ) x x 1 ; F(1) 2
x
g) ( ) sin 2 cos ; ' 0
3
f x = x x F ỉ ưç ÷=
è ø
p
h)
2
x
x
2
( 1)
x
f x( ) sin2 ; F
ỉ ư
è ø
Bài 3 Cho hàm số g(x) Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
2
g x =x x x f x+ =x x Fỉ ưç ÷=
è ø
p
b) g x( )=xsinx x f x+ 2; ( )=xcos ;x F( ) 0p =
c) g x( )=x x x f xln + 2; ( ) ln ;= x F(2)= - 2
Bài 4 Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
a) ( ) (4 5)
( ) (4 1)
x x
-í
4
( ) 4 tan 4 tan 3
-í
ïỵ c)
2 2
4 ( ) ln
3 2 ( )
x
F x
x x
f x
ï = çç ÷÷
ỵ
d)
2 2 2 4
2 1 ( ) ln
2 1
2 2( 1) ( )
1
F x
x
f x
x
= ï
í
ỵ
Trang 11Bài 5 Tìm điều kiện để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
a) ( ) 23 (3 2) 2 4 3
( ) 3 10 4
í
2
2
( )
Tìm m x
f x
ï
+
ỵ
2
F x ax bx c x x Tìm a b c
-í
2
( ) ( 3)
x x
F x ax bx c e Tìm a b c
í
= -ïỵ
e) ( ) ( 22 ) 22 . , ,
x x
F x ax bx c e Tìm a b c
í
2 2
( ) ( 3 2)
x x
F x ax bx c e Tìm a b c
í
ïỵ g)
Tìm a b c
( ) ( 1)sin sin 2 sin3
( ) cos
, ,
í
f x
x Tìm a b c
2 2
( )
, ,
-ï
í
=
-ỵ
· Dạng 1: Nếu f(x) cĩ dạng: f(x) = g u x u x thì ta đặt [ ( ) '( )] t u x= ( )Þ dt u x dx= '( )
Khi đĩ: ịf x dx( ) = ịg t dt( ) , trong đĩ ịg t dt( ) dễ dàng tìm được
Chú ý: Sau khi tính ịg t dt( ) theo t, ta phải thay lại t = u(x)
· Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau:
Bài 1 Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1):
a) ị(5x-1)10dx b) 5
(3 2 )
dx x
d) ị(2x2+1)7xdx e) ị(x3+5)4 2x dx f) 2
5
x dx
x +
ị
g) ị x2+1.xdx h)
2 3
3
5 2
x dx x
+
(1 )
dx
x + x
ị
k) ịsin4xcosxdx l) sin5
cos
x dx x
cos
xdx x
ị
n)
3
x
x
e dx
e
x
e dx x
ị
f(x) cĩ chứa Cách đổi biến
x a= t - £ £p t p hoặc x a= cos ,t 0£ £t p
a +x hoặc
a2 x2
1 +
tan ,
x a= t - < <p t p hoặc x a= cot ,t 0< <t p
Trang 12q)
3
ln x dx
x
1
x
dx
e +
tan 2
cos
x
x
Bài 2 Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2):
a)
2 3
(1 )
dx
x
(1 )
dx x
+
d)
2
4
dx
x
1
dx x
+
ị
g)
2
2
1
x dx
x
1
dx
x + +x
VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:
Bài 1 Tính các nguyên hàm sau:
a) ịx.sinxdx b) ịxcosxdx c) ị(x2+5)sinxdx
d) ị(x2+2x+3) cosxdx e) ịxsin 2xdx f) ịxcos2xdx
g) ịx e dx x h) ịx e dx 3 x2 i) ịln xdx
k) ịx xdxln l) ịln xdx2 m) ịln(x2+1)dx
n) ịxtan2xdx o) ịx2cos2xdx p) ịx2cos2xdx
q) ịxln(1+x dx2) r) ịx.2x dx s) ịx xdxlg
Bài 2 Tính các nguyên hàm sau:
a) ịe dx x b) ln xdx
x
d) ịcos x dx e) ịx.sin x dx f) ịsin xdx3
g) ln(ln )x dx
x
Bài 3 Tính các nguyên hàm sau:
a) ịe x.cosxdx b) ịe x(1 tan+ x+tan )2x dx c) ịe x.sin 2xdx
d) ln(cos )2
cos
x dx x
x
+
cos
x dx x
ị
2
1
x
+
3 2
1
x dx x
+
2
ln x dx x
ị
( ) x
P x e dx
ị ịP x( ).cosxdx ịP x( ).sinxdx ịP x( ).lnxdx
Trang 13VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ
Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x), ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn so với f(x) Từ đĩ suy ra nguyên hàm của f(x) Bước 1: Tìm hàm g(x)
Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức là:
1 2
( ) ( ) ( )
F x G x A x C
F x G x B x C
ỵ
Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra ( ) 1[ ( ) ( )]
2
F x = A x +B x + là nguyên hàm của f(x) C
Bài 1 Tính các nguyên hàm sau:
a) sin
sin cos
x dx
x- x
sin cos
x dx
x- x
sin cos
x dx
x+ x
ị
d) cos
sin cos
x dx
x+ x
sin cos
x dx
sin cos
x dx
ị
g) ị2sin sin 22x xdx h) ị2 cos sin 22x xdx i)
x
e dx
e -e
-ị
k) x e x x dx
e e
e +e
-+
ị
VẤN ĐỀ 5: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
1 f(x) là hàm hữu tỉ: ( ) ( )
( )
P x
f x
Q x
=
– Nếu bậc của P(x) ³ bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức
– Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) cĩ dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định)
x a x b- - = x a x b- +
-2
x m
+
1
x a x b- - = - + x a- + - + x b
-2 f(x) là hàm vơ tỉ
+ f(x) = R x,m ax b
cx d
+
ax b t
cx d
+
= +
R
x a x b
® đặt t= x a+ + x b +
· f(x) là hàm lượng giác
Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ bản Chẳng hạn:
Trang 14+ 1 1 .sin ([ ) ( )]
sin( ).sin( ) sin( ) sin( ).sin( )
+ - +
=
sin( ) 1
sin( )
a b sử dụng
a b
cos( ).cos( ) sin( ) cos( ).cos( )
+ - +
=
sin( ) 1
sin( )
a b sử dụng
a b
sin( ).cos( ) cos( ) sin( ).cos( )
+ - +
=
cos( ) 1
cos( )
a b sử dụng
a b
=
+ Nếu R( sin ,cos )- x x = -R(sin ,cos )x x thì đặt t = cosx
+ Nếu R(sin , cos )x - x = -R(sin ,cos )x x thì đặt t = sinx
+ Nếu R( sin , cos )- x - x = -R(sin ,cos )x x thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx)
Bài 1 Tính các nguyên hàm sau:
a)
( 1)
dx
x x +
( 1)(2 3)
dx
x+ x
1
x dx x
+
-ị
d) 2
7 10
dx
x - x+
dx
x - x+
4
dx
x
-ị
g)
( 1)(2 1)
x+ x+
x - x
x - x+
ị
k) 2
( 1)
dx
x x +
1
dx x
+
1
x dx
x
-ị
Bài 2 Tính các nguyên hàm sau:
1+ x+1dx
2
x x
+
1+ x+1dx
ị
d) 14 dx
x+ x
x- x
( 1)
x dx
x x +
ị
2
dx
x+ x+ x
1
x dx
x x
-+
1
x dx
x x
-+
ị
k)
2
dx
x+ - x+
dx
x - x+
dx
x + x+
ị
Bài 3 Tính các nguyên hàm sau:
a) ịsin 2 sin 5x xdx b) ịcos sin3x xdx c) ị(tan2x+tan )4x dx
d) cos2
1 sin cos
x dx
+
2sin 1
dx
x +
cos
dx x
ị
g) 1 sin
cos
x dx x
3
sin cos
x dx x
cos cos
4
dx
x ỉçx+ ư÷
k) ịcos cos2 cos3x x xdx l) ịcos xdx3 m) ịsin xdx4