Trần Sĩ Tùng Khối tròn xoay Trang 19 Baøi 1. Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ^ (ABC) và SA = a. M là một điểm thay đổi trên cạnh AB. Đặt · ACM =a , hạ SH vuông góc với đường thẳng CM. a) Tìm quỹ tích điểm H. Suy ra giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện SAHC. b) Hạ AI ^ SC, AK ^ SH. Tính độ dài SK, AK và thể tích tứ diện SAKI. HD: a) Quĩ tích điểm H là một cung tròn. MaxV SAHC = 3 12 a b) AK = 2 1 asin sin a a + , SK = 2 1 a sin a + , V = 3 2 2 241 a sin (sin) a a + Baøi 2. Cho DABC cân tại A có AB = AC = a và góc · BAC2 =a . Trên đường thẳng d qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy điểm S sao cho SA = 2a. Gọi I là trung điểm của BC. Hạ AH ^ SI. a) Chứng minh AH ^ (SBC). Tính độ dài AH theo a, a. b) K là một điểm thay đổi trên đoạn AI, đặt AK x AI = . Mặt phẳng (R) qua K và vuông góc với AI cắt các cạnh AB, AC, SC, SB lần lượt tại M, N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì? Tính diện tích tứ giác này. HD: a) AH = 2 2 4 a.cos cos a a + b) S MNPQ = 2 41 axxa (–)sin . Baøi 3. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2x æö ç÷ ç÷ èø 2 0 < x < 2 và AC = AD = BC = BD = 1. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. a) Chứng minh AB ^ CD và IJ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD. b) Tính thể tích tứ diện ABCD theo x. Tìm x để thể tích này lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó. HD: b) V = 22 212 3 xx - ; MaxV = 2 93 khi x = 3 3 Baøi 4. Trong mặt phẳng (P), cho hình vuông ABCD cạnh a, có tâm là O. Trên các nửa đường thẳng Ax, Cy vuông góc với (P) và ở về cùng một phía đối với (P) lấy lần lượt hai điểm M, N. Đặt AM = x, CN = y. a) Tính độ dài MN. Từ đó chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để OMN vuông tại O là: 2 2 xya = . b) Giả sử M, N thay đổi sao cho OMN vuông tại O. Tính thể tích tứ diện BDMN. Xác định x, y để thể tích tứ diện này bằng 3 a 4 . HD: a) MN = 22 2 axy () +- b) V = 3 6 a xy () + , (x, y) = 2 a a ; æö ç÷ èø hoặc 2 a a ; æö ç÷ èø . Baøi 5. Trong mặt phẳng (P), cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo của hình vuông ABCD. Trên đường thẳng Ox vuông góc (P) lấy điểm S. Gọi ÔN TẬP TỔNG HỢP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Khi trũn xoay Trn S Tựng Trang 20 a l gúc nhn to bi mt bờn v mt ỏy ca hỡnh chúp SABCD. a) Tớnh th tớch v din tớch ton phn ca hỡnh chúp SABCD theo a v a. b) Xỏc nh ng vuụng gúc chung ca SA v CD. Tớnh di ng vuụng gúc chung ú theo a v a. HD: a) V = 3 6 a tan a , S tp = 2 1 1a cos a ổử + ỗữ ốứ b) d = a tan cos a a Baứi 6. Trờn na ng trũn ng kớnh AB = 2R ly mt im C tựy ý. Dng CH vuụng gúc vi AB (H thuc on AB) v gi I l trung im ca CH. Trờn na ng thng It vuụng gúc vi mt phng (ABC) ti I ly im S sao cho gúc ã ASB = 90 o . a) Chng minh tam giỏc SHC l tam giỏc u. b) t AH = h. Tớnh th tớch V ca t din SABC theo h v R. HD: b) V = ( ) 3 2 Rh2Rh Baứi 7. Cho hỡnh vuụng ABCD cnh 2a. Trờn ng thng d qua trung im I ca cnh AB v vuụng gúc vi mt phng (ABCD) ly im E sao cho IE = a. M l im thay i trờn cnh AB, h EH ^ CM. t BM = x. a) Chng minh im H di ng trờn mt ng trũn. Tớnh di IH. b) Gi J l trung im ca on CE. Tớnh di JM v tỡm giỏ tr nh nht ca JM. HD: a) IH = 22 2 4 axa ax - + b) JM = 2 2 5 24 aa x ổử -+ ỗữ ốứ MinJM = 5 2 a khi x = 2 a Baứi 8. Cho hỡnh hp ch nht ABCDA'B'C'D' v im M trờn cnh AD. Mt phng (A'BM) ct ng chộo AC' ca hỡnh hp ti im H. a) Chng minh rng khi M thay i trờn cnh AD thỡ ng thng MH ct ng thng A'B ti mt im c nh. b) Tớnh t s th tớch ca hai khi a din to bi mt phng A'BM ct hỡnh hp trong trng hp M l trung im ca cnh AD. c) Gi s AA' = AB v MB vuụng gúc vi AC. Chng minh rng mt phng A'BM vuụng gúc vi AC' v im H l trc tõm ca tam giỏc A'BM. HD: a) MH ct A Â B ti trung im I ca A Â B. b) 1 2 1 11 V V = Baứi 9. Cho hỡnh vuụng ABCD cnh bng a. I l trung im AB. Qua I dng ng vuụng gúc vi mt phng (ABCD) v trờn ú ly im S sao cho 2IS = a 3 . a) Chng minh rng tam giỏc SAD l tam giỏc vuụng. b) Tớnh th tớch khi chúp S.ACD ri suy ra khong cỏch t C n mt phng (SAD). HD: b) V = 3 3 12 a , d = 3 2 a Baứi 10. Cho hỡnh hp ch nht ABCD.ABCD cú AB = a, AD = 2a, AA = a. a) Tớnh khong cỏch gia hai ng thng AD v BC. b) Gi M l im chia trong on AD theo t s 3 AM MD = . Hóy tớnh khong cỏch t im M n mt phng (ABC). c) Tớnh th tớch t din ABDC. HD: a) d(AD Â , B Â C) = a b) d(M, (AB Â C)) = 2 a c) V = 3 2 3 a Baứi 11. Trong mt phng (P), cho mt hỡnh vuụng ABCD cú cnh bng a. S l mt im bt Trần Sĩ Tùng Khối tròn xoay Trang 21 kỳ nằm trên đường thẳng At vuông góc với mặt phẳng (P) tại A. a) Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD khi SA = 2a. b) M, N lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh CB, CD (M Î CB, N Î CD) và đặt CM = m, CN = n. Tìm một biểu thức liên hệ giữa m và n để các mặt phẳng (SMA) và (SAN) tạo với nhau một góc 45°. HD: a) V = 3 a6 p b) ( ) 0 2 2a2mnamn– ++= Baøi 12. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, () SAABCD ^ và 2 SAa = .Trên cạnh AD lấy điểm M thay đổi. Đặt góc · a = ACM . Hạ SNCM ^ . a) Chứng minh N luôn thuộc một đường tròn cố định và tính thể tích tứ diện SACN theo a và a . b) Hạ AHSC ^ , AKSN ^ . Chứng minh rằng () SCAHK ^ và tính độ dài đoạn HK. HD: a) N thuộc đường tròn đường kính AC cố định, V = 3 2 2 6 a sin a b) HK = cos 2 1sin a a + a Baøi 13. Cho hình chóp S.ABC có các cạnh bên SA, SB, SC đôi một vuông góc. Đặt SA = a, SB = b, SC = c. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. a) Tính độ dài đoạn SG theo a, b, c. b) Một mặt phẳng (P) tuỳ ý đi qua S và G cắt đoạn AB tại M và cắt đoạn AC tại N. i) Chứng minh rằng 3 ABAC AMAN += . ii) Chứng minh rằng mặt cầu đi qua các điểm S, A, B, C có tâm O thuộc mặt phẳng (P). Tính thể tích khối đa diện ASMON theo a, b, c khi mặt phẳng (P) song song với BC HD: a) SG = 1 222 3 ++ abc b) V = 1 9 abc Baøi 14. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Trên nửa đường thẳng Ox vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông, ta lấy điểm S sao cho góc · 60 =° SCB . a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SD. b) Gọi ( a ) là mặt phẳng chứa BC và vuông góc với mặt phẳng (SAD). Tính diện tích thiết diện tạo bởi ( a ) và hình chóp S.ABCD. HD: a) d(BC, SD) = 6 3 a b) S = 2 6 4 a Baøi 15. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho AM = x (0 £ x £ a). Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại điểm A, lấy điểm S sao cho SA = y (y > 0). a) Chứng minh rằng (SAB) ^ (SBC). b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC). c) Tính thể tích khối chóp S.ABCM theo a, y và x. d) Biết rằng x 2 + y 2 = a 2 . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCM. HD: b) d(M, (SAC)) = 2 2 x c) V = 1 () 6 yaax + d) MaxV = 3 3 8 a khi x = 2 a Baøi 16. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A; · 0 30 ABC = ; SBC là tam Khối tròn xoay Trần Sĩ Tùng Trang 22 giác đều cạnh a. Mặt bên SAB vuông góc với đáy ABC. M là trung điểm SB. a) Chứng minh AM là đoạn vuông góc chung của SB và AC. Tính cosin góc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và (ABC). b) Tính thể tích của hình chóp S.ABC. HD: a) · 1 3 SABcos = b) V = 3 2 24 a Baøi 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, góc µ 0 120 A = , BD = a > 0. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 60 0 . Một mặt phẳng (P) đi qua BD và vuông góc với cạnh SC. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần của hình chóp do mặt phẳng (P) tạo ra khi cắt hình chóp. HD: 1 2 1 12 V V = Baøi 18. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB = AD = a, AA’ = 2 3a và góc · 0 60 BAD = . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh rằng AC¢ vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN. HD: V = 3 3 16 a Baøi 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 o . Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM = 3 3a . Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S.BCNM . HD: V = 27 310 3 a Baøi 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc · 0 60 BAD = , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = a. Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AC’ và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B’, D’. Tính thể tích của khối chóp S.AB’C’D’. HD: V = 18 3 3 a Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này. transitung_tv@yahoo.com Trn S Tựng PP To trong khụng gian Trang 23 1. nh ngha v cỏc phộp toỏn ã nh ngha, tớnh cht, cỏc phộp toỏn v vect trong khụng gian c xõy dng hon ton tng t nh trong mt phng. ã Lu ý: + Qui tc ba im: Cho ba im A, B, C bt k, ta cú: ABBCAC += uuuruuuruuur + Qui tc hỡnh bỡnh hnh: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD, ta cú: ABADAC += uuuruuuruuur + Qui tc hỡnh hp: Cho hỡnh hp ABCD.AÂBÂCÂDÂ, ta cú: ABADAAAC '' ++= uuuruuuruuuruuuur + Hờù thc trung im on thng: Cho I l trung im ca on thng AB, O tu ý. Ta cú: 0 IAIB += uuruur r ; 2 OAOBOI += uuuruuuruur + H thc trng tõm tam giỏc: Cho G l trng tõm ca tam giỏc ABC, O tu ý. Ta cú: 03 GAGBGCOAOBOCOG ;++=++= uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur r + H thc trng tõm t din: Cho G l trng tõm ca t din ABCD, O tu ý. Ta cú: 04 GAGBGCGDOAOBOCODOG ;+++=+++= uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur r + iu kin hai vect cựng phng: 0 avaứbcuứngphửụngakRbka ()!: ạ$ẻ= r rr rrr + im M chia on thng AB theo t s k (k ạ 1), O tu ý. Ta cú: 1 OAkOB MAkMBOM k ; - == - uuuruuur uuuruuuruuur 2. S ng phng ca ba vect ã Ba vect c gi l ng phng nu cỏc giỏ ca chỳng cựng song song vi mt mt phng. ã iu kin ba vect ng phng: Cho ba vect abc ,, r rr , trong ú avaứb r r khụng cựng phng. Khi ú: abc ,, r rr ng phng $! m, n ẻ R: cmanb =+ r rr ã Cho ba vect abc ,, r rr khụng ng phng, x r tu ý. Khi ú: $! m, n, p ẻ R: xmanbpc =++ r rrr 3. Tớch vụ hng ca hai vect ã Gúc gia hai vect trong khụng gian: ã ã 00 0180 ABuACvuvBACBAC ,(,)() ==ị=ÊÊ uuuruuur rrrr ã Tớch vụ hng ca hai vect trong khụng gian: + Cho 0 uv, ạ r rr . Khi ú: uvuvuv cos(,) = rrrrrr + Vi 00 uhoaởcv == rr rr . Qui c: 0 uv . = rr + 0 uvuv . ^= rrrr + 2 uu = rr CH NG III PHNG PHP TO TRONG KHễNG GIAN I. VECT TRONG KHễNG GIAN PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 24 1. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian: Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi ijk ,, rrr là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz. Chú ý: 222 1 ijk === rrr và 0 ijikkj === rrrrrr . 2. Tọa độ của vectơ: a) Định nghĩa: ( ) uxyzuxiyjzk ;;=Û=++ rrrrr b) Tính chất: Cho 123123 aaaabbbbkR (;;),(;;), ==Î rr · 112233 abababab (;;) ±=±±± r r · 123 kakakaka (;;) = r · 11 22 33 ab abab ab ì = ï =Û= í ï = î rr · 0000100010001 ijk (;;),(;;),(;;),(;;) ==== r r rr · a r cùng phương 0 bb () ¹ r r r Û akbkR () =Î rr 11 312 22123 123 33 0 akb aaa akbbbb bbb akb ,(,,) ì = ï Û=Û==¹ í ï = î · 112233 abababab =++ r r · 112233 0 abababab ^Û++= rr · 2222 123 aaaa =++ r · 222 122 aaaa =++ r · 112233 222222 123123 ababab ab ab ab aaabbb . cos(,) . . ++ == ++++ r r r r r r (với 0 ab, ¹ r r r ) 3. Tọa độ của điểm: a) Định nghĩa: MxyzOMxyz (;;)(;;) Û= uuur (x : hồnh độ, y : tung độ, z : cao độ) Chú ý: · M Î (Oxy) Û z = 0; M Î (Oyz) Û x = 0; M Î (Oxz) Û y = 0 · M Î Ox Û y = z = 0; M Î Oy Û x = z = 0; M Î Oz Û x = y = 0 b) Tính chất: Cho AAABBB AxyzBxyz (;;),(;;) · BABABA ABxxyyzz (;;) = uuur · 222 BABABA ABxxyyzz ()()() =-+-+- · Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1): 111 ABABAB xkxykyzkz M kkk ;; æö ç÷ èø · Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: 222 ABABAB xxyyzz M ;; æö +++ ç÷ èø · Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: 333 ABCABCABC xxxyyyzzz G ;; æö ++++++ ç÷ èø · Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD: II. HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Trn S Tựng PP To trong khụng gian Trang 25 444 ABCDABCDABCC xxxxyyyyzzzz G ;; ổử +++++++++ ỗữ ốứ 4. Tớch cú hng ca hai vect: (Chng trỡnh nõng cao) a) nh ngha: Cho 123 aaaa (,,) = r , 123 bbbb (,,) = r . [ ] ( ) 233112 233231131221 233112 aaaaaa abababababababab bbbbbb ,;;;; ổử ==ỗữ= ỗữ ốứ rr rr Chỳ ý: Tớch cú hng ca hai vect l mt vect, tớch vụ hng ca hai vect l mt s. b) Tớnh cht: ã [ ] ijkjkikij ,;,;, ộự ộự === ởỷởỷ rrr rrrrrr ã abaabb [,];[,] ^^ rrrrrr ã ( ) ababab [,] sin, = rr rr rr ã ab , rr cựng phng 0 ab[,] = rrr c) ng dng ca tớch cú hng: ã iu kin ng phng ca ba vect: ab , rr v c r ng phng 0 abc[,]. = rrr ã Din tớch hỡnh bỡnh hnh ABCD: ABCD SABAD , ộự = ởỷ Y uuuruuur ã Din tớch tam giỏc ABC: 1 2 ABC SABAC , D ộự = ởỷ uuuruuur ã Th tớch khi hp ABCD.A Â B Â C Â D Â : ABCDABCD VABADAA .'''' [,].' = uuuruuuruuur ã Th tớch t din ABCD: 1 6 ABCD VABACAD [,].= uuuruuuruuur Chỳ ý: Tớch vụ hng ca hai vect thng s dng chng minh hai ng thng vuụng gúc, tớnh gúc gia hai ng thng. Tớch cú hng ca hai vect thng s dng tớnh din tớch tam giỏc; tớnh th tớch khi t din, th tớch hỡnh hp; chng minh cỏc vect ng phng khụng ng phng, chng minh cỏc vect cựng phng. [] [] 0 0 0 abab avaứbcuứngphửụngab abcủongphaỳngabc . , ,,,. ^= = = rr rr r rr rr rr rrrr 5. Phng trỡnh mt cu: ã Phng trỡnh mt cu (S) tõm I(a; b; c), bỏn kớnh R: 2222 xaybzcR ()()()-+-+-= ã Phng trỡnh 222 2220 xyzaxbyczd ++++++= vi 222 0 abcd ++-> l phng trỡnh mt cu tõm I(a; b; c) v bỏn kớnh R = 222 abcd ++- . PP To trong khụng gian Trn S Tựng Trang 26 VN 1: Cỏc phộp toỏn v to ca vect v ca im S dng cỏc cụng thc v to ca vect v ca im trong khụng gian. S dng cỏc phộp toỏn v vect trong khụng gian. Baứi 1. Vit ta ca cỏc vect sau õy: 2 aij =-+ rr r ; 78 bik =- rr r ; 9 ck =- r r ; 345 dijk =-+ rr rr Baứi 2. Vit di dng xiyjzk ++ r rr mi vect sau õy: 1 02 2 a ;; ổử = ỗữ ốứ r ; 450 b (;;) =- r ; 41 0 3 3 c ;; ổử = ỗữ ốứ r ; 11 3 5 d ;; p ổử = ỗữ ốứ r Baứi 3. Cho: ( ) ( ) ( ) 253021172 abc ;;;;;; ,, === r rr . Tỡm to ca cỏc vect u r vi: a) 1 43 2 uabc =-+ r rrr b) 42 uabc = r rrr c) 2 4 3 ubc =-+ r rr d) 35 uabc =-+ r rrr e) 14 2 23 uabc = r rrr f) 32 43 uabc = r rrr Baứi 4. Tỡm ta ca vect x r , bit rng: a) 0 ax += r rr vi ( ) 121 a ;; =- r b) 4 axa += rrr vi ( ) 021 a ;; =- r c) 2 axb += r rr vi ( ) 541 a ;; =- r , ( ) 253 b ;; =- r Baứi 5. Cho 134 a (;;) =- r . a) Tỡm y v z 2 byz (;;) = r cựng phng vi a r . b) Tỡm to ca vect c r , bit rng avaức rr ngc hng v 2 ca = rr . Baứi 6. Cho ba vect ( ) ( ) ( ) 111401321 abc ;;,;;,;; =-=-=- r rr . Tỡm: a) ( ) abc . r rr b) ( ) 2 abc . r rr c) 222 abbcca ++ rr rrrr d) ( ) 2 32 aabbcb + rrr rrr e) 22 45 acbc . +- r rrr Baứi 7. Tớnh gúc gia hai vect a r v b r : a) ( ) ( ) 431123 ab ;;,;; ==- r r b) ( ) ( ) 254603 ab ;;,;; ==- r r c) 212022 ab (;;),(;;) =-=- r r d) 32233231 ab (;;),(;;) ==- r r e) 42422220 ab (;;),(;;) =-=- r r f) 321211 ab (;;),(;;) =-=- r r Baứi 8. Tỡm vect u r , bit rng: a) 213132324 51120 abc auubuc (;;),(;;),(;;) .,.,. ỡ =-=-=- ớ =-=-= ợ r rr r rrrrr b) 231123211 6 abc uaubuc (;;),(;;),(;;) ,,. ỡ =-=-=- ớ ^^=- ợ r rr r rrrrr c) 231121243 342 abc aubucu (;;),(;;),(;;) .,.,. ỡ == =- ớ === ợ r rr r rrrrr d) 532143324 1694 abc aubucu (;;),(;;),(;;) .,.,. ỡ =-=-=- ớ ===- ợ r rr r rrrrr e) 723435111 57 abc aubucu (;;),(;;),(;;) .,., ỡ ==-=- ớ =-=-^ ợ r rr r rrrrr Baứi 9. Cho hai vect ab , r r . Tỡm m : a) 212022 23 ab uambvaứvmabvuoõnggoực (;;),(;;) ỡ =-=- ớ =+=- ợ r r rr rrrr b) 321211 332 ab umabvaứvambvuoõnggoực (;;),(;;) ỡ =-=- ớ =-=+ ợ r r rr rrrr c) 321211 332 ab umabvaứvambcuứngphửụng (;;),(;;) ỡ =-=- ớ =-=+ ợ r r rr rrrr Baứi 10. Cho hai vect ab , r r . Tớnh X, Y khi bit: Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian Trang 27 a) 46 abab Xab ,, ì ==^ í =- î rr rr r r b) 21264 abab Yab (;;),, ì = =-= í =+ î rr rr r r c) ( ) 0 46120 abab XabYab ,,, , ì === í =-=+ î rr rr rr rr d) ( ) 0 212660 abab XabYab (;;),,, , ì = == í =-=+ î rr rr rr rr Baøi 11. Cho ba vectơ abc ,, r rr . Tìm m, n để [ ] cab , = r rr : a) ( ) ( ) ( ) 31212517 abmc ;;,;;,;; = == r rr b) ( ) ( ) ( ) 625363310 ambnc ;;,;;,;; =-=-= r rr c) ( ) ( ) ( ) 2315641 abcmn ;;,;;,;; === r rr Baøi 12. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ abc ,, r rr trong mỗi trường hợp sau đây: a) ( ) ( ) ( ) 111012423 abc ;;,;;,;; =-== r rr b) ( ) ( ) ( ) 434212121 abc ;;,;;,;; ==-= r rr c) ( ) ( ) ( ) 312111221 abc ;;,;;,;; = ==- r rr d) ( ) ( ) ( ) 425313201 abc ;;,;;,;; === r rr e) 231120324 abc (;;),(;;),(;;) ==-=- r rr f) 548230177 abc (;;),(;;),(;;) =-=-=- r rr g) 243122321 abc (;;),(;;),(;;) =-=-=- r rr h) 243132321 abc (;;),(;;),(;;) =-= =- r rr Baøi 13. Tìm m để 3 vectơ abc ,, r rr đồng phẳng: a) ( ) ( ) ( ) 12121022 ambmcm ;;,;;,;; ==+=- r rr b) 21121122212 ammbmmcmm (;;);(;;),(;;) =+-=++=+ r rr c) ( ) ( ) ( ) 1212122 ammmbmmmc ;;,;;,;; =+-=-+= r rr d) ( ) ( ) ( ) 132121022 abmmmcm ;;,;;,;; =-=+ =- r rr Baøi 14. Cho các vectơ abcu ,,, r rrr . Chứng minh ba vectơ abc ,, r rr không đồng phẳng. Biểu diễn vectơ u r theo các vectơ abc ,, r rr : a) ( ) ( ) ( ) 210112221 377 abc u ;;,;;,;; (;;) ì ==-=- í =- î r rr r b) ( ) ( ) ( ) 17936117 4136 abc2 u ;;,;;,;; (;;) ì =-=-=- í = î r rr r c) ( ) ( ) ( ) 101011110 891 abc u ;;,;;,;; (;;) ì ==-= í =- î r rr r d) ( ) ( ) ( ) 102230034 1622 abc u ;;,;;,;; (;;) ì ==-=- í = î r rr r e) ( ) ( ) ( ) 231125226 312 abc u ;;,;;,;; (;;) ì =-=-=- í = î r rr r f) ( ) ( ) ( ) 211132322 435 abc u ;;,;;,;; (;;) ì =-=-= í =- î r rr r Baøi 15. Chứng tỏ bốn vectơ abcd ,,, rr rr đồng phẳng: a) ( ) ( ) ( ) 2614324222111 abcd ;;,;;,;;,(;;) = = = = rr rr b) ( ) ( ) ( ) 2612114322111 abcd ;;,;;,;;,(;;) =-=-=-=- rr rr Baøi 16. Cho ba vectơ abc ,, r rr không đồng phẳng và vectơ d r . Chứng minh bộ ba vectơ sau không đồng phẳng: a) bcdmanb ,, =+ rrr rr (với m, n ≠ 0) b) acdmanb ,, =+ rr rrr (với m, n ≠ 0) c) abdmanbpc ,, =++ rrr rrr , (với m, n, p ≠ 0) d) bcdmanbpc ,, =++ rrr rrr , (với m, n, p ≠ 0) e) acdmanbpc ,, =++ rr rrrr , (với m, n, p ≠ 0) PP To trong khụng gian Trn S Tựng Trang 28 VN 2: Xỏc nh im trong khụng gian. Chng minh tớnh cht hỡnh hc. Din tớch Th tớch. S dng cỏc cụng thc v to ca vect v ca im trong khụng gian. S dng cỏc phộp toỏn v vect trong khụng gian. Cụng thc xỏc nh to ca cỏc im c bit. Tớnh cht hỡnh hc ca cỏc im c bit: ã A, B, C thng hng ABAC , uuuruuur cựng phng ABkAC = uuuruuur 0 ABAC, ộự = ởỷ uuuruuur r ã ABCD l hỡnh bỡnh hnh ABDC = uuuruuur ã Cho D ABC cú cỏc chõn E, F ca cỏc ng phõn giỏc trong v ngi ca gúc A ca D ABC trờn BC. Ta cú: AB EBEC AC . =- uuuruuur , AB FBFC AC . = uuuruuur ã A, B, C, D khụng ng phng ABACAD ,, uuuruuuruuur khụng ng phng 0 ABACAD,. ộự ạ ởỷ uuuruuuruuur Baứi 1. Cho im M. Tỡm ta hỡnh chiu vuụng gúc ca im M: ã Trờn cỏc mt phng ta : Oxy, Oxz, Oyz ã Trờn cỏc trc ta : Ox, Oy, Oz a) 123 M (;;) b) 312 M (;;) - c) 113 M (;;) d) 121 M (;;) - e) 257 M (;;) - f) 22157 M (;;) - g) 11910 M (;;) - h) 367 M (;;) Baứi 2. Cho im M. Tỡm ta ca im MÂ i xng vi im M: ã Qua gc to ã Qua mp(Oxy) ã Qua trc Oy a) 123 M (;;) b) 312 M (;;) - c) 113 M (;;) d) 121 M (;;) - e) 257 M (;;) - f) 22157 M (;;) - g) 11910 M (;;) - h) 367 M (;;) Baứi 3. Xột tớnh thng hng ca cỏc b ba im sau: a) 131012001 ABC (;;),(;;),(;;) b) 111431951 ABC (;;),(;;),(;;) c) 1091220345034 ABC (;;),(;;),(;;) d) 1510578227 ABC (;;),(;;),(;;) Baứi 4. Cho ba im A, B, C. ã Chng t ba im A, B, C to thnh mt tam giỏc. ã Tỡm to trng tõm G ca DABC. ã Xỏc nh im D sao cho ABCD l hỡnh bỡnh hnh. ã Xỏc nh to cỏc chõn E, F ca cỏc ng phõn giỏc trong v ngi ca gúc A ca DABC trờn BC. Tớnh di cỏc on phõn giỏc ú. ã Tớnh s o cỏc gúc trong DABC. ã Tớnh din tớch DABC. T ú suy ra di ng cao AH ca DABC. a) 1230371250 ABC (;;),(;;),(;;) - b) 013211123171019 ABC (;;),(;;),(;;) - c) 347532123 ABC (;;),(;;),(;;) d) 423211387 ABC (;;),(;;),(;;) e) 312121113 ABC (;;),(;;),(;;) f) 414074312 ABC (;;),(;;),(;;) g) ( ) ( ) ( ) 100001211 A B C ;;,;;,;; h) 126251184 ABC (;;),(;;),(;;) Baứi 5. Trờn trc Oy (Ox), tỡm im cỏch u hai im: a) 310 A (;;) , 241 B (;;) - b) 1211107 AB (;;),(;;) - c) 414074 AB (;;),(;;) - d) 312121 AB (;;),(;;) e) 347532 AB (;;),(;;) f) 423211 AB (;;),(;;) Baứi 6. Trờn mt phng Oxy (Oxz, Oyz), tỡm im cỏch u ba im: a) 111110311 ABC (;;),(;;),(;;) b) 324007533 ABC (;;),(;;),(;;) c) 312121113 ABC (;;),(;;),(;;) d) 013211123171019 ABC (;;),(;;),(;;) - e) 102211132 ABC (;;),(;;),(;;) f) 126251184 ABC (;;),(;;),(;;) Baứi 7. Cho hai im A, B. ng thng AB ct mt phng Oyz (Oxz, Oxy) ti im M. ã im M chia on thng AB theo t s no ? ã Tỡm ta im M. . 23 1120 32 4 abc (;;),(;;),(;;) = =-= - r rr f) 548 230 177 abc (;;),(;;),(;;) =-= - =- r rr g) 24 31 22 32 1 abc (;;),(;;),(;;) =-= - =- r rr h) 2 431 3 232 1 abc (;;),(;;),(;;) =-= =- r rr Baøi 13. Tìm m để 3 vectơ abc ,, r rr . ca DABC. a) 1 23 03 7125 0 ABC (;;),(;;),(;;) - b) 0 132 1 11 23 171019 ABC (;;),(;;),(;;) - c) 34 7 53 21 23 ABC (;;),(;;),(;;) d) 4 232 1 138 7 ABC (;;),(;;),(;;) e) 31 21 211 13 ABC (;;),(;;),(;;) . 3 2121 1 ab (;;),(;;) =-= - r r Baứi 8. Tỡm vect u r , bit rng: a) 2 131 3 232 4 5 1120 abc auubuc (;;),(;;),(;;) .,.,. ỡ =-= - =- ớ =-= -= ợ r rr r rrrrr b) 23 11 23 211 6 abc uaubuc (;;),(;;),(;;) ,,. ỡ =-= - =- ớ ^^ =- ợ r rr r rrrrr