Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian Trang 39 VẤN ĐỀ 5: Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu Cho mặt phẳng ( a ) và mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R. · ( a ) và (S) không có điểm chung Û dIR (,()) a > · ( a ) tiếp xúc với (S) Û dIR (,()) a = (( a ) là tiếp diện) Khi đó tiếp điểm H của ( a ) và (S) là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P). · ( a ) cắt (S) theo một đường tròn Û dIR (,()) a < Khi đó tâm H của đường tròn giao tuyến là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P). Bán kính r của đường tròn giao tuyến: 22 rRIH =- Baøi 1. Xét vị trí tương đối giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S): a) 222 2210 62450 Pxyz Sxyzxyz (): (): ì ++-= í ++ ++= î b) 222 23690 13216 Pxyz Sxyz (): ():()()() ì -+-= í -+-++= î c) 222 2110 24220 Pxyz Sxyzxyz (): (): ì + = í +++ += î d) 222 2250 648130 Pxyz Sxyzxyz (): (): ì -++= í ++ += î e) Pxyz Sxyzxyz 222 ():220 ():622100 ì ++= í ++-+-+= î f) Pz Sxyzxyz 222 ():30 ():6216220 ì -= í ++-+-+= î Baøi 2. Biện luận theo m, vị trí tương đối giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S): a) 222 2240214480 PxyzSxyzmxmyzm():;():() =++ +++= b) 2222 424501231 PxyzSxyzm ():;():()()()() -+-=-+++-=- c) 2222 326702112 PxyzSxyzm ():;():()()()() +-+=-+-++=+ d) 2222 23610042123540 PxyzSxyzmxmyzmm():;():() -+-=+++-+-+++-= Baøi 3. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P) cho trước: a) 3522310 IPxyz (;;),(): += b) 147667420 IPxyz (;;),(): +-+= c) 1122230 IPxyz (;;),(): +++= d) 2112250 IPxyz (;;),(): -+-+= Baøi 4. Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) cho trước: a) Sxyz 222 ():(3)(1)(2)24 -+-++= tại 130 M (;;) - b) Sxyzxyz 222 ():62450 ++ ++= tại 430 M (;;) c) 222 13249 Sxyz():()()() -+++-= tại 715 M (;;) - d) 222 222220 Sxyzxyz(): ++ = và song song với mặt phẳng 326140 xyz -++= . e) 222 642110 Sxyzxyz(): ++-++-= và song song với mặt phẳng 43170 xz +-= . f) 222 2440 Sxyzxyz(): ++ += và song song với mặt phẳng 2250 xyz +++= . g) 222 26280 Sxyzxyz(): ++-+++= và chứa đường thẳng 44311 dxt yt zt :,, =+=+=+ h) Tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tại A với A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1), D(4; 1; 0). i) Tiếp xúc với mặt cầu: 011326210 222 =-++-++ zyxzyx và song song với 2 đường thẳng: 1 5113 232 xyz d: +-+ == - , 1 718 320 xyz d : ++- == - . PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 40 Bài tập ôn: Phương trình mặt phẳng Baøi 1. Cho tứ diện ABCD. · Viết phương trình các mặt của tứ diện. · Viết phương trình mặt phẳng chứa một cạnh và song song với cạnh đối diện. · Viết phương trình mặt phẳng đi qua một đỉnh và song song với mặt đối diện. · Viết phương trình mặt phẳng đi qua cạnh AB và vuông góc với (BCD). · Viết phương trình mặt phẳng trung trực của các cạnh tứ diện. · Tìm toạ độ các điểm A¢, B¢, C¢, D¢ lần lượt là các điểm đối xứng với các điểm A, B, C, D qua các mặt đối diện. · Tính khoảng cách từ một đỉnh của tứ diện đến mặt đối diện. · Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tâm I và bán kính R của (S). · Viết phương trình các tiếp diện của (S) tại các đỉnh A, B, C, D của tứ diện. · Viết phương trình các tiếp diện của (S) song song với các mặt của tứ diện. a) ( ) ( ) ( ) ( ) 513162504406 A B C D ;;,;;,;;,;; b) ( ) ( ) ( ) ( ) 110021102111 A B C D ;;,;;,;;,;; c) ( ) ( ) ( ) ( ) 200040006246 A B C D ;;,;;,;;,;; d) 231412637548 ABCD (;;),(;;),(;;),(;;) e) 572311944150 ABCD (;;),(;;),(;;),(;;) f) 010231222112 ABCD (;;),(;;),(;;),(;;) Baøi 2. Cho hai mặt phẳng (P), (Q) lần lượt cắt ba trục toạ độ tại các điểm: A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; –3) và E(–2; 0; 0), F(0; 1; 0), G(0; 0; 1). a) Tìm phương trình tổng quát của (P) và (Q). b) Tính độ dài đường cao của hình chóp O.ABC. c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (P), (Q). Baøi 3. Cho bốn điểm: A(1; 1; 1), B(3; 3; 1), C(3; 1; 3) và D(1; 3; 3). a) Chứng minh ABCD là một tứ diện đều. b) Chứng minh tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi một vuông góc. c) Tìm phương trình tổng quát của các mặt phẳng (ABC), (ABD), (ACD), (BCD). d) Tính góc giữa các cặp mặt phẳng: (ABC) và (ABD), (BCD) và (ACD). Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong khơng gian Trang 41 1. Phương trình tham số của đường thẳng · Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm 0000 Mxyz (;;) và có VTCP 123 aaaa (;;) = r : 1 2 3 o o o xxat dyyattR zzat ():() ì =+ ï =+Ỵ í ï =+ ỵ · Nếu 123 0 aaa ¹ thì 000 123 xxyyzz d aaa (): == đgl phương trình chính tắc của d. 2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d, d ¢ có phương trình tham số lần lượt là: 01 02 03 xxta dyyta zzta : ì =+ ï =+ í ï =+ ỵ và 01 02 03 xxta dyyta zzta : ¢¢¢ ì =+ ï ¢¢¢¢ =+ í ï ¢¢¢ =+ ỵ · d // d ¢ Û 0101 0202 0303 aacùngphương xtaxta hệytaytaẩnttvônghiệm ztazta , (,) ¢ ì ï ¢¢¢ ì +=+ ï ï í ¢¢¢¢ +=+ í ï ï ¢¢¢ +=+ ï ỵ ỵ rr Û 0000 aacùngphương Mxyzd , (;;) ¢ ì í ¢ Ï ỵ rr Û 00 aacùngphương aMMkhôngcùngphương , , ¢ ì í ¢ ỵ rr uuuuuur r Û [ ] 00 0 0 aa aMM , , ì ¢ = ï í éù ¢ ¹ ï ëû ỵ r rr uuuuuur r r · d º d ¢ Û 0101 0202 0303 xtaxta hệytaytaẩnttcóvôsốnghiệm ztazta (,) ¢¢¢ ì +=+ ï ¢¢¢¢ +=+ í ï ¢¢¢ +=+ ỵ Û 0000 aacùngphương Mxyzd , (;;) ¢ ì í ¢ Ỵ ỵ rr Û 00 aaMMđôimộtcùngphương ,, ¢¢ uuuuuur rr Û [ ] 00 0 aaaMM,, éù ¢¢ == ëû uuuuuur r rrr · d, d ¢ cắt nhau Û hệ 0101 0202 0303 xtaxta ytayta ztazta ¢¢¢ ì +=+ ï ¢¢¢ +=+ í ï ¢¢¢ +=+ ỵ (ẩn t, t ¢ ) có đúng một nghiệm Û 00 aakhôngcùngphương aaMMđồngphẳng , ,, ¢ ì í ¢¢ ỵ rr uuuuuur rr Û [ ] [ ] 00 0 0 aa aaMM , ,. ì ¢ ¹ ï í ¢¢ = ï ỵ r rr uuuuuur rr · d, d ¢ chéo nhau Û 0101 0202 0303 aakhôngcùngphương xtaxta hệytaytaẩnttvônghiệm ztazta , (,) ¢ ì ï ¢¢¢ ì +=+ ï ï í ¢¢¢¢ +=+ í ï ï ¢¢¢ +=+ ï ỵ ỵ rr Û 00 aaMMkhôngđồngphẳng ,, ¢¢ uuuuuur rr Û [ ] 00 0 aaMM,. ¢¢ ¹ uuuuuur rr · d ^ d ¢ Û aa ¢ ^ rr Û 0 aa . ¢ = rr IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 42 3. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng Cho mặt phẳng (a): 0 AxByCzD +++= và đường thẳng d: 01 02 03 xxta yyta zzta ì =+ ï =+ í ï =+ î Xét phương trình: 010203 0 AxtaBytaCztaD()()() ++++++= (ẩn t) (*) · d // ( a ) Û (*) vô nghiệm · d cắt ( a ) Û (*) có đúng một nghiệm · d Ì ( a ) Û (*) có vô số nghiệm 4. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt cầu Cho đường thẳng d: 01 02 03 xxta yyta zzta ì =+ ï =+ í ï =+ î (1) và mặt cầu (S): 2222 xaybzcR ()()()-+-+-= (2) Để xét VTTĐ của d và (S) ta thay (1) vào (2), được một phương trình (*). · d và (S) không có điểm chung Û (*) vô nghiệm Û d(I, d) > R · d tiếp xúc với (S) Û (*) có đúng một nghiệm Û d(I, d) = R · d cắt (S) tại hai điểm phân biệt Û (*) có hai nghiệm phân biệt Û d(I, d) < R 5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (chương trình nâng cao) Cho đường thẳng d đi qua M 0 và có VTCP a r và điểm M. 0 MMa dMd a , (,) éù ëû = uuuuur r r 6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (chương trình nâng cao) Cho hai đường thẳng chéo nhau d 1 và d 2 . d 1 đi qua điểm M 1 và có VTCP 1 a r , d 2 đi qua điểm M 2 và có VTCP 2 a r 1212 12 12 aaMM ddd aa ,. (,) , éù ëû = éù ëû uuuuuur rr rr Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d 1 , d 2 bằng khoảng cách giữa d 1 với mặt phẳng ( a ) chứa d 2 và song song với d 1 . 7. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng ( a ) song song với nó bằng khoảng cách từ một điểm M bất kì trên d đến mặt phẳng ( a ). 8. Góc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d 1 , d 2 lần lượt có các VTCP 12 aa , rr . Góc giữa d 1 , d 2 bằng hoặc bù với góc giữa 12 aa , rr . ( ) 12 12 12 aa aa aa . cos, . = rr rr rr 9. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng Cho đường thẳng d có VTCP 123 aaaa (;;) = r và mặt phẳng ( a ) có VTPT nABC (;;) = r . Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( a ) bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d ¢ của nó trên ( a ). · ( ) 123 222222 123 AaBaCa d ABCaaa sin,() . a ++ = ++++ Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian Trang 43 VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d và một VTCP của nó. Dạng 1: d đi qua điểm 0000 Mxyz (;;) và có VTCP 123 aaaa (;;) = r : 1 2 3 o o o xxat dyyattR zzat ():() ì =+ ï =+Î í ï =+ î Dạng 2: d đi qua hai điểm A, B: Một VTCP của d là AB uuur . Dạng 3: d đi qua điểm 0000 Mxyz (;;) và song song với đường thẳng D cho trước: Vì d // D nên VTCP của D cũng là VTCP của d. Dạng 4: d đi qua điểm 0000 Mxyz (;;) và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước: Vì d ^ (P) nên VTPT của (P) cũng là VTCP của d. Dạng 5: d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q): · Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP. – Tìm toạ độ một điểm A Î d: bằng cách giải hệ phương trình P Q () () ì í î (với việc chọn giá trị cho một ẩn) – Tìm một VTCP của d: PQ ann , éù = ëû rrr · Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d, rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó. Dạng 6: d đi qua điểm 0000 Mxyz (;;) và vuông góc với hai đường thẳng d 1 , d 2 : Vì d ^ d 1 , d ^ d 2 nên một VTCP của d là: 12 dd aaa , éù = ëû rrr Dạng 7: d đi qua điểm 0000 Mxyz (;;) , vuông góc và cắt đường thẳng D . · Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M 0 trên đường thẳng D . 0 H MHa ì ÎD í ^ î V uuuuur r Khi đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M 0 , H. · Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d; (Q) là mặt phẳng đi qua A và chứa d. Khi đó d = (P) Ç (Q) Dạng 8: d đi qua điểm 0000 Mxyz (;;) và cắt hai đường thẳng d 1 , d 2 : · Cách 1: Gọi M 1 Î d 1 , M 2 Î d 2 . Từ điều kiện M, M 1 , M 2 thẳng hàng ta tìm được M 1 , M 2 . Từ đó suy ra phương trình đường thẳng d. · Cách 2: Gọi (P) = 01 Md (,) , (Q) = 02 Md (,) . Khi đó d = (P) Ç (Q). Do đó, một VTCP của d có thể chọn là PQ ann , éù = ëû rrr . Dạng 9: d nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d 1 , d 2 : Tìm các giao điểm A = d 1 Ç (P), B = d 2 Ç (P). Khi đó d chính là đường thẳng AB. Dạng 10: d song song với D và cắt cả hai đường thẳng d 1 , d 2 : Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa D và d 1 , mặt phẳng (Q) chứa D và d 2 . Khi đó d = (P) Ç (Q). Dạng 11: d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d 1 , d 2 chéo nhau: · Cách 1: Gọi M Î d 1 , N Î d 2 . Từ điều kiện 1 2 MNd MNd ì ^ í ^ î , ta tìm được M, N. Khi đó, d là đường thẳng MN. · Cách 2: PP To trong khụng gian Trn S Tựng Trang 44 Vỡ d ^ d 1 v d ^ d 2 nờn mt VTCP ca d cú th l: 12 dd aaa , ộự = ởỷ rrr . Lp phng trỡnh mt phng (P) cha d v d 1 , bng cỏch: + Ly mt im A trờn d 1 . + Mt VTPT ca (P) cú th l: 1 Pd naa , ộự = ởỷ rrr . Tng t lp phng trỡnh mt phng (Q) cha d v d 2 . Khi ú d = (P) ầ (Q). Dng 12: d l hỡnh chiu ca ng thng D lờn mt phng (P): ã Lp phng trỡnh mt phng (Q) cha D v vuụng gúc vi mt phng (P) bng cỏch: Ly M ẻ D . Vỡ (Q) cha D v vuụng gúc vi (P) nờn QP nan , D ộự = ởỷ rrr . Khi ú d = (P) ầ (Q). Dng 13: d i qua im M, vuụng gúc vi d 1 v ct d 2 : ã Cỏch 1: Gi N l giao im ca d v d 2 . T iu kin MN ^ d 1 , ta tỡm c N. Khi ú, d l ng thng MN. ã Cỏch 2: Vit phng trỡnh mt phng (P) qua M v vuụng gúc vi d 1 . Vit phng trỡnh mt phng (Q) cha M v d 2 . Khi ú d = (P) ầ (Q). Baứi 1. Vit phng trỡnh tham s ca ng thng i qua im M v cú VTCP a r cho trc: a) Ma (1;2;3),(1;3;5) -=- r b) Ma (0;2;5),(0;1;4) -= r c) Ma (1;3;1),(1;2;1) -=- r d) Ma (3;1;3),(1;2;0) =- r e) Ma (3;2;5),(2;0;4) -=- r f) Ma (4;3;2),(3;0;0) -=- r Baứi 2. Vit phng trỡnh tham s ca ng thng i qua hai im A, B cho trc: a) ( ) ( ) 231124 A, B ;;;; - b) ( ) ( ) 110012 A, B ;;;; - c) ( ) ( ) 315211 A, B ;;;; d) ( ) ( ) 210012 A, B ;;;; e) ( ) ( ) 127124 A, B ;;;; - f) ( ) ( ) 213422 A, B ;;;; Baứi 3. Vit phng trỡnh tham s ca ng thng i qua im A v song song vi ng thng D cho trc: a) ( ) 324 A, Ox ;; D - b) ( ) 253532212 AủiquaMN ;;,(;;),(;;) D c) 23 25334 52 xt Ayt zt (;;),: D ỡ =- ù -=+ ớ ù =- ợ d) 252 422 423 xyz A(;;),: D + -== e) 34 13222 31 xt Ayt zt (;;),: D ỡ =+ ù -=- ớ ù =- ợ f) 312 523 234 xyz A(;;),: D +-+ -== Baứi 4. Vit phng trỡnh tham s ca ng thng i qua im A v vuụng gúc vi mt phng (P) cho trc: a) ( ) 243236190 A, (P)xyz;;: ++= b) ( ) 110 A, Pcaựcmptoaùủoọ ;;():- c) ( ) 3212540 APxy;;,(): -+= d) 236236190 APxyz (;;),(): ++= Baứi 5. Vit phng trỡnh tham s ca ng thng l giao tuyn ca hai mt phng (P), (Q) cho trc: a) 62230 35210 Pxyz Qxyz (): (): ỡ +++= ớ = ợ b) 23340 230 Pxyz Qxyz (): (): ỡ -+-= ớ +-+= ợ c) 33470 6260 Pxyz Qxyz (): (): ỡ +-+= ớ ++-= ợ d) 230 10 Pxyz Qxyz (): (): ỡ +-+= ớ ++-= ợ e) 10 20 Pxz Qy (): (): ỡ +-= ớ -= ợ f) 210 10 Pxyz Qxz (): (): ỡ ++-= ớ +-= ợ Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian Trang 45 Baøi 6. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với hai đường thẳng d 1 , d 2 cho trước: a) 12 121 105322 113 ìì =+=- ïï =-=+ íí ïï =+=- îî xtxt Adytdyt ztzt ' (;;),:,:' ' b) 12 113 21122 33 ìì =+=+ ïï -=-+=-+ íí ïï ==+ îî xtxt Adytdyt zzt ' (;;),:,:' ' c) 12 11 123222 333 ìì =-= ïï -= =-+ íí ïï =-=+ îî xtx Adytdyt ztzt (;;),:,:' ' d) 12 731 4144292 4312 ìì =-+=+ ïï =-=-+ íí ïï =+= îî xtxt Adytdyt ztzt ' (;;),:,:' ' e) 12 132 213134 222 ìì =+= ïï =+=-+ íí ïï =-+=- îî xtxt Adytdyt ztzt ' (;;),:,:' ' f) 12 314112 20 ìì == ïï -=-=- íí ïï =-= îî xtxt Adytdyt ztz ' (;;),:,:' Baøi 7. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc và cắt đường thẳng D cho trước: a) 1221 2 xt Ayt zt (;;),: D ì = ï -=- í ï = î b) 32 4241 14 xt Ayt zt (;;),: D ì =-+ ï =- í ï =-+ î c) 13 2131 22 xt Ayt zt (;;),: D ì =+ ï =+ í ï =-+ î d) 3141 2 xt Ayt zt (;;),: D ì = ï -=- í ï =- î e) 1 12322 33 xt Ayt zt (;;),: D ì =- ï -= í ï =- î f) 1 2112 3 xt Ayt z (;;),: D ì =+ ï -=-+ í ï = î Baøi 8. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và cắt cả hai đường thẳng d 1 , d 2 cho trước: a) 12 121 105322 113 ìì =+=- ïï =-=+ íí ïï =+=- îî xtxt Adytdyt ztzt ' (;;),:,:' ' b) 12 113 21122 33 ìì =+=+ ïï -=-+=-+ íí ïï ==+ îî xtxt Adytdyt zzt ' (;;),:,:' ' c) 12 1322 4533213 215 ìì =-+=+ ïï = =-+ íí ïï =-=- îî xtxt Adytdyt ztzt ' (;;),:,:' ' d) 12 13 21124 352 ìì =+=- ïï -=-+= íí ïï =-+= îî xtxt Adytdyt ztzt ' (;;),:,:' ' e) 12 243 231121 1323 ìì =+=-+ ïï -=-=+ íí ïï =+=-+ îî xtxt Adytdyt ztzt ' (;;),:,:' ' f) 12 3332 325141 2223 ìì =-+=+ ïï -=+=- íí ïï =+=- îî xtxt Adytdyt ztzt ' (;;),:,:' ' Baøi 9. Viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d 1 , d 2 cho trước: a) 12 20 2 1 42 114 1 Pyz xt xyz ddyt z (): :,: ì += ï ï ì =- ï - í ===+ í ï - ï = ï î î b) 12 62230 121 322 113 ì +++= ï ï ìì =+=- ïï í =-=+ íí ï ïï =+=- ï îî î Pxyz xtxt dytdyt ztzt (): ' :,:' ' c) 12 23340 731 4292 4312 ì -+-= ï ï ìì =-+=+ ïï í =-=-+ íí ï ïï =+= ï îî î Pxyz xtxt dytdyt ztzt (): ' :,:' ' d) 12 33470 11 222 333 ì +-+= ï ï ìì =-= ïï í = =-+ íí ï ïï =-=+ ï îî î Pxyz xtx dytdyt ztzt (): :,:' ' Baøi 10. Viết phương trình tham số của đường thẳng song song với đường thẳng D và cắt cả hai đường thẳng d 1 , d 2 cho trước: PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 46 a) 1 2 11 212 11 121 213 321 xyz xyz d xyz d : : : D ì == ï - ï ï +- == í - ï -++ ï == ï î b) 1 2 15 311 122 143 47 591 xyz xyz d xyz d : : : D ì == ï - ï ï -+- == í ï ++ ï == ï î c) 1 2 122 : 143 122 : 143 47 : 591 -+- ì D== ï ï -+- ï == í ï ++ ï == ï î xyz xyz d xyz d d) 1 2 132 321 221 341 739 121 xyz xyz d xyz d : : : D ì ++- == ï ï ï -+- == í ï ï == ï î- Baøi 11. Viết phương trình tham số của đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d 1 , d 2 cho trước: a) 12 3223 144 2412 xtxt dytdyt ztzt ' :,:' ' ìì =-=+ ïï =+=- íí ïï =-+=- îî b) 12 1223 312 2344 xtxt dytdyt ztzt ' :,:' ' ìì =+=-+ ïï =-+=+ íí ïï =+=-+ îî c) 12 221 13 312 xtxt dytdyt ztzt ' :,:' ' ìì =+=+ ïï =+=+ íí ïï =-=+ îî d) 12 2312 312 122 xtxt dytdyt ztzt ' :,:' ' ìì =+=-+ ïï = =- íí ïï =+=+ îî Baøi 12. Viết phương trình tham số của đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng D trên mặt phẳng (P) cho trước: a) 231 213 2230 xyz Pxyz : (): D ì + ï == í - ï -++= î b) 322 123 34230 xyz Pxyz : (): D ì + ï == í - ï +-+= î c) 113 122 2230 xyz Pxyz : (): D ì + ï == í - ï -+-= î d) 1 211 10 xyz Pxyz : (): D ì - ï == í - ï +-+= î e) 221 341 2340 xyz Pxyz : (): D ì -+- ï == í ï +++= î f) 12 121 2350 xyz Pxyz : (): D ì ï == í ï += î g) 54250 220 210 xyz xz Pxyz : (): D ì ì = ï í +-= í î ï -+-= î h) 10 220 210 xyz xz Pxyz : (): D ì ì = ï í +-= í î ï + = î Baøi 13. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d 1 và cắt đường thẳng d 2 cho trước: a) 12 1 12 011 311 1 x xyz Addyt zt (;;),:,: ì =- ï === í ï =+ î b) 12 2 11 11112 211 1 x xyz Addyt zt (;;),:,: ì = ï -+ ===+ í - ï = î c) 12 14113 123 623325 xyzxyz Add(;;),:,: + +- ==== Baøi 14. Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1); D(1; 1; 1). Viết phương trình tham số của các đường thẳng sau: Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian Trang 47 a) Chứa các cạnh của tứ diện tứ diện ABCD. b) Đường thẳng qua C và vuông góc với mp(ABD). c) Đường thẳng qua A và qua trọng tâm của tam giác BCD. Baøi 15. Cho tam giác ABC có A(1; 2; 5) và hai trung tuyến: 1 3 2 6 2 3 :)( 1 - = - = - - zyx d , 1 2 4 2 1 4 :)( 2 - = - - = - zyx d . Viết phương trình tham số của các đường thẳng sau: a) Chứa các cạnh của tam giác ABC. b) Đường phân giác trong của góc A. Baøi 16. Cho tam giác ABC có 3111275143 ABC (;;),(;;),(;;) . Viết phương trình tham số của các đường thẳng sau: a) Trung tuyến AM. b) Đường cao BH. c) Đường phân giác trong BK. d) Đường trung trực của BC trong DABC. Baøi 17. Cho bốn điểm 121341141321 SABC (;;),(;;),(;;),(;;) . a) Chứng minh S.ABC là một hình chóp. b) Viết phương trình tham số của các đường thẳng chứa các cạnh của hình chóp. c) Viết phương trình đường vuông góc chung của SA và BC. Baøi 18. Cho bốn điểm 123223113125 SABC (;;),(;;),(;;),(;;) . a) Chứng minh S.ABC là một tứ diện. b) Viết phương trình các hình chiếu của SA, SB trên mặt phẳng (ABC). PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 48 VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Để xét VTTĐ giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau: · Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ giữa các VTCP và các điểm thuộc các đường thẳng. · Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng. Baøi 1. Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d 1 , d 2 cho trước: a) { 12 124 123 213 xyz ddxtytzt :;:;; -+- ===-+=-=-+ - b) { { 12 52153231 dxtytztdxtytzt :;;;:';';' =+=-=-=+= =- c) { { 12 2211113 =+=-+===+=- dxt yt z dx yt zt :;;;:;';' d) 12 123765 963642 xyzxyz dd:;: ==== e) 12 153613 214321 xyzxyz dd:;: -+ ++ ==== f) 12 2172 4686912 xyzxyz dd:;: -+ ==== g) 12 2220220 2240210 xyzxyz dd xyzxyz :;: ìì -+-=+-+= íí +-+=-+-= îî h) { 12 23390 953 230 xyz dxtytztd xyz :;;;: ì = ===- í -++= î Baøi 2. Chứng tỏ rằng các cặp đường thẳng sau đây chéo nhau. Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng: a) { { 12 123232132 =-=+= ==+=- dxtytztdxtytzt :;;;:';';' b) { { 12 12222534 =+=-=-==-= dxtytztdxtytz:;;;:';'; c) { { 12 32144223412 =-=+=-=+=-=- dxtytztdxtytzt :;;;:';';' d) 12 2111 322124 -+-+ ==== - xyzxyz dd:;: e) 12 739311 121723 ==== xyzxyz dd:;: f) 12 213311 212221 +- ==== xyzxyz dd:;: g) 12 2220220 2240210 ìì -+-=+-+= íí +-+=-+-= îî xyzxyz dd xyzxyz :;: Baøi 3. Tìm giao điểm của hai đường thẳng d 1 và d 2 : a) { { 12 123124 dxtytztdxtytzt :;;;:';';' ==-=+=+==+ b) { { 12 1243123 dxtytztdxtytzt :;;;:';';' ==+= =+=-+=- c) { { 12 2385272 dxtytztdxtytzt :;;;:;; ==+= =+= = d) 12 210330 10210 xyxyz dd xyzxy :;: ìì ++=+-+= íí -+-=-+= îî Baøi 4. Tìm m để hai đường thẳng d 1 và d 2 cắt nhau. Khi đó tìm toạ độ giao điểm của chúng: a) { { 12 1121223 dxmtytztdxtytzt :;;;:';';' =+==-+=-=+=- . b) 2222 42 45 0123 1 PxyzSxyzm ():;():()()()() -+ - =-+ + +-= - c) 2222 326702 112 PxyzSxyzm ():;():()()()() +-+ =-+ -+ +=+ d) 2222 2361004 2123 54 0 PxyzSxyzmxmyzmm():;():() -+ -= ++ +-+ -+ + +-= Baøi 3 trước: a) { 12 124 123 213 xyz ddxtytzt :;:;; -+ - == =-+ =-= -+ - b) { { 12 52 153 231 dxtytztdxtytzt :;;;:';';' =+ =-= -= += =- c) { { 12 2211113 =+ =-+ ===+ =- dxt yt z dx yt. d) 12 2111 32 2124 -+ -+ ==== - xyzxyz dd:;: e) 12 739311 121 723 ==== xyzxyz dd:;: f) 12 213311 2122 21 +- ==== xyzxyz dd:;: g) 12 2220220 2240210 ìì -+ -= +-+ = íí +-+ =-+ -= îî xyzxyz dd xyzxyz :;: