Trn S Tựng PP To trong khụng gian Trang 69 Gii: Chn h trc ta Axyz sao cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0) A / (0; 0; a), B / (a; 0; a), C / (a; a; a), D / (0; a; a) 000 222 aaa MN;;,;; ổửổử ị ỗữỗữ ốứốứ 1. Tớnh R: Phng trỡnh mt cu (S): 222 2220 xyzxyzd abg ++ += CDMNS / ,,,() ẻ , suy ra: 2 2 2 2 22201 22202 03 4 04 2 aaad aaad a ad a aad () () () () ab bg a bg ỡ += ù += ù ù ớ -+= ù ù += ù ợ (1) (2) suy ra: a = g (2) (4) suy ra: d = a 2 5 3 4 4 4 a a () () ag b ị== ị= ị Phng trỡnh mt cu (S): 2222 55 0 222 aaa xyzxyza ++ += 22 22 22 5535 44416 aaaa Ra ổử ổửổử =++-= ỗữ ỗữỗữ ốứốứốứ Vy 35 4 a R . = 2. Tớnh r: Phng trỡnh mt cu (SÂ): 2222 2220 xyzxyzd //// abg ++ += ABCDS //// ,,,(), ẻ suy ra: 2 2 2 2 20 20 32220 20 aad aad aaaad aad // // //// // g a abg b ỡ -+= ù ù -+= ớ += ù ù -+= ợ 0 2 a d //// , abg ị==== 222 0 Sxyzaxayaz / (): ị++ = v bỏn kớnh 3 2 a R / = D thy C(a; a; 0) SCC / ()() ẻịẻ Gi IIJ / ,, l tõm ca (S), (S / ) v (C) A / D / C / B / A D C B y x z N a K L M I / R / C (C) (S) I R J r PP To trong khụng gian Trn S Tựng Trang 70 55 444222 aaaaaa II / ;;,;; ổửổử ị ỗữỗữ ốứốứ Ta cú: JCII / ^ IICI rdCII II / / / [,] (,)ị== uur uur 3335 444444 aaaaaa IICI / ;;;; ổửổử =-= ỗữỗữ ốứốứ uur uur 2 132 4 a IICI / [,](;;) ị=- uur uur 14 19 raị= 3. Tớnh S: 2 213 4 CMN a nCMCN () [,](;;) == uuuruuur r ị Phng trỡnh mt phng (CMN): 230 xyza -+-= Phng trỡnh ng thng AAÂ: 0 0 x ytR zt () ỡ = ù =ẻ ớ ù = ợ Phng trỡnh ng thng DDÂ: 0x yatR zt () ỡ = ù =ẻ ớ ù = ợ Gi KCMNAALCMNDD // (),()=ầ=ầ ( ) 2 000 33 1 2 12 00 22333 CMKL aa KLa SSCMCKCKCL aaaa aaaaaa ;;,;; [,][,] ;;,;;;;,;; ổửổử ị ỗữỗữ ốứốứ ị==+ ổử ộựộự ổửổửổửổử = + ỗữ ỗữ ỗữỗữỗữ ờỳờỳ ỗữ ốứ ốứốứốứ ởỷởỷ ốứ uuuruuuruuuruuur 2 14 4 a S . ị= Trn S Tựng PP To trong khụng gian Trang 71 BI TP Baứi 1. Cho t din OABC cú ỏy OBC l tam giỏc vuụng ti O, OB=a, OC= 3 a , (a>0) v ng cao OA= 3 a . Gi M l trung im ca cnh BC. Tớnh khong cỏch gia hai ng thng AB v OM. HD: Chn h trc ta sao cho: 00000300030 OAaBaCa (;;),(;;),(;;),(;;) . ị 15 5 a dABOM(;)= Baứi 2. Cho hỡnh chúp O.ABC cú cỏc cnh OA = a, OB = b, OC = c ụi mt vuụng gúc. im M c nh thuc tam giỏc ABC cú khong cỏch ln lt n cỏc mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) l 1, 2, 3. Tớnh a, b, c th tớch O.ABC nh nht. HD: Chn h trc ta sao cho: 000000000 OAaBbCc (;;),(;;),(;;),(;;) . ị 1231 27 3 V abc min ==== Baứi 3. T din S.ABC cú cnh SA vuụng gúc vi ỏy v ABC D vuụng ti C. di ca cỏc cnh l SA = 4, AC = 3, BC = 1. Gi M l trung im ca cnh AB, H l im i xng ca C qua M. Tớnh cosin gúc hp bi hai mt phng (SHB) v (SBC). HD: Chn h trc to sao cho: A(0;0;0), B(1;3;0), C(0;3;0), S(0;0;4) v H(1;0;0). Baứi 4. Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy l tam giỏc ABC vuụng cõn ti A, AB = AC = a (a > 0), hỡnh chiu ca S trờn ỏy trựng vi trng tõm G ca DABC. t SG = x (x > 0). Xỏc nh giỏ tr ca x gúc gia hai mt phng (SAB) v (SAC) bng 60 o . HD: Chn h trc to sao cho: A(0;0;0), B(a;0;0), C(0; a; 0), 0 3322 aaaa GSx ;;,;; ổửổử ỗữỗữ ốứốứ . ị 3 a x . = Baứi 5. Cho hỡnh chúp tam giỏc u S.ABC cú di cnh ỏy l a. Gi M, N l trung im SB, SC. Tớnh theo a din tớch DAMN, bit (AMN) vuụng gúc vi (SBC). HD: Chn h trc to sao cho: O(0; 0; 0), S(0; 0; h), 3 3 a A; 0; 0 ổử ỗữ ỗữ ốứ (SO = h). ị 22 2 5110 0 12216 AMNSBC AMN aa AMNSBCnnhSAM AN ()() ()()., D ộự ^ị=ị=ị== ởỷ rruuuruuur Baứi 6. Cho lng tr ABC.A'B'C' cỏc cỏc mt bờn u l hỡnh vuụng cnh a. Gi D, F ln lt l trung im ca cỏc cnh BC, C'B'. Tớnh khong cỏch gia hai ng thng A'B v B'C'. HD: Chn h trc to sao cho: 3333 0000000 22222222 aaaaaaaa ABCAaBaCa (;;),;;,;;,'(;;),';;,';; ổửổửổửổử ỗữỗữỗữỗữ ốứốứốứốứ ị ( ) 21 7 a dABBC ';''. = Baứi 7. T din ABCD cú AB, AC, AD ụi mt vuụng gúc vi nhau, AB = 3, AC = AD = 4. Tớnh khong cỏch t A ti mt phng (BCD). HD: Chn h trc to sao cho: A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0). Baứi 8. Cho hỡnh chúp SABC cú di cỏc cnh u bng 1, O l trng tõm ca tam giỏc DABC. I l trung im ca SO. a. Mt phng (BIC) ct SA ti M. Tỡm t s th tớch ca t din SBCM v t din SABC. b. H l chõn ng vuụng gúc h t I xung cnh SB. Chng minh rng IH qua trng tõm G ca DSAC. PP To trong khụng gian Trn S Tựng Trang 72 HD: Chn h trc to sao cho: O(0; 0; 0), 3 00 3 A ;; ổử ỗữ ỗữ ốứ ; 31 0 62 B ;; ổử ỗữ ỗữ ốứ ; 31 0 62 C ;; ổử - ỗữ ỗữ ốứ ; 6 00 3 S ; ổử ỗữ ỗữ ốứ ; 6 00 6 I ;; ổử ỗữ ỗữ ốứ . 1 4 SBCM SABC V V () () ị= Baứi 9. Cho hỡnh lng tr ABCD. A 1 B 1 C 1 cú ỏy l tam giỏc u cnh a. AA 1 = 2a v vuụng gúc vi mt phng (ABC). Gi D l trung im ca BB 1 ; M di ng trờn cnh AA 1 . Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca din tớch tam giỏc MC 1 D. HD: Chn h trc to sao cho: A(0;0;0), B(0;a;0), A 1 (0;0;2a), 1 3 2 22 aa Ca ;; ổử ỗữ ỗữ ốứ , D(0;a;a) ị Giỏ tr ln nht 1 2 15 4 DCM a S = khi M A Baứi 10. Cho t din SABC cú ỏy l DABC vuụng cõn ti B, AB = a, SAABC () ^ v SA = a. AHSB ^ ti H, AKSC ^ ti K. a. Chng minh HKSC . ^ b. Gi IHKBC . =ầ Chng minh B l trung im CI. c. Tớnh sin gúc j gia SB v (AHK). d. Xỏc nh tõm v bỏn kớnh mt cu ngoi tip SABC. S: a/ 0 HKSC .; = uuuruur c/ 2 6 ; d/ 3 2 a SJJCR,== Baứi 11. Cho t din SABC cú ỏy l DABC vuụng cõn ti B, AB = a, SAABC () ^ v 2 SAa = . Gi D l trung im ca AC. a. Chng minh khong cỏch t A n (SBC) gp ụi khong cỏch t D n (SBC). b. Mt phng (a) qua A v vuụng gúc SC, (a) ct SC v SB ti M v N. Tớnh th tớch hỡnh chúp SAMN. c. Tớnh cosin ca gúc to bi hai mt phng (SAC) v (SBC). S: a/ 66 36 AB aa dd;== b/ 3 2 18 a d/ 3 3 Baứi 12. Cho DABC u cnh a. Trờn ng thng dABC () ^ ti A ly im S, SA = h. a. Tớnh d(A, (SBC)) theo a v h. b. ng thng SBC () D ^ ti trc tõm H ca DSBC, chng t D luụn qua im c nh khi S di ng trờn d. c. D ct d ti S / . Tớnh h theo a SS / nh nht. S: a/ 22 3 34 ah ah ; + b/ Trng tõm D ABC d/ 2 2 2 a ah ;. = Baứi 13. Cho hỡnh chúp S.ABCD ỏy l hỡnh vuụng cnh a, SAABCD () ^ v 2 SAa = . Mt phng (P) qua A v SC () a ^ ; (P) ct cỏc cnh SB, SC, SD ln lt ti H, M, K. a. Chng minh AHSBAKSD ,. ^^ b. Chng minh BD // (a) v BD // HK. Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian Trang 73 c. Chứng minh HK đi qua trọng tâm G của SAC. d. Tính V S.AHMK . ĐS: a/ 0 AHSBAKSD == uuuruuruuuruuur b/ 3 0 2 BDnBDHK .; a == uuurruuuruuur ; c/ HGGK //; d/ 3 2 18 a . Baøi 14. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, SAABCD () ^ và ABCD là hình chữ nhật có AB = a, AD = b, SA = 2a. N là trung điểm SD. a. Tính d(A, (BCN)), d(SB, CN). b. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC). c. Gọi M là trung điểm SA. Tìm điều kiện a và b để · 1 3 CMNcos = . Trong trường hợp đó tính V S.BCNM . ĐS: a/ 22 22 2 45 aab ab ;; + b/ 22 205 b ab ; + c/ 3 4 a abV ;. == Baøi 15. Trong mp(P) cho hình vuông ABCD. Trên tia Az () a ^ lấy điểm S. Đường thẳng 1 SBC ()() D ^ tại S cắt (P) tại M, 2 SCD ()() D ^ tại S cắt (P) tại N. Gọi I là trung điểm MN. a. Chứng minh A, B, M thẳng hàng; A, D, N thẳng hàng. b. Khi S di động trên Az, chứng tỏ I thuộc đường thẳng cố định. c. Vẽ AHSI ^ tại H. Chứng minh AH là đường cao tứ diện ASMN và H là trực tâm SMN. d. Cho OS = 2, AB = 1. Tính V ASMN . ĐS: a/ 22 MAhABNAhAD ,; == uuuruuuruuuruuur b/ 22 0 22 hh IAC ;;; æö Î ç÷ èø c/ AHSMNMNSHSMAH ();;; ^^^ d/ 16 3 . Baøi 16. Cho hình chóp S.ABCD có SAABCD () ^ , đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Trên các cạnh BC, CD lấy lần lượt các điểm M, N. Đặt CM = x, CN= y (0 < x, y < a). a. Tìm hệ thức giữa x và y để góc giữa hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) bằng 45 o . b. Tìm hệ thức giữa x và y để SAMSMN ()() ^ ĐS: a/ 4322 4420 aaxyaxyxyxy()() -+++-= b/ 2 0 xaxay -+= Baøi 17. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng 2 a , đường cao SO, cạnh bên bằng 5 a . a. Tính thể tích hình chóp. Xác định tâm I và bán kính R của hình cầu (S) nội tiếp hình chóp. b. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, AD, SC. Mặt phẳng (MNP) cắt SB, SD tại Q và R. Tính diện tích thiết diện. c. Chứng tỏ rằng mặt phẳng (MNP) chia hình chóp ra hai phần có thể tích bằng nhau. ĐS: a/ 3 4 32 aa VOIR; === b/ 2 2 a c/ 3 2 3 a . Baøi 18. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, đường cao SO. Mặt bên tạo với đáy góc 0 60 . Mặt phẳng (P) chứa cạnh AB và tạo với đáy góc 0 30 cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại M, N. a. Tính góc giữa AN với (ABCD) và BD. PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 74 b. Tính khoảng cách giữa AN và BD. c. Tính thể tích hình khối ABCDMN. ĐS: a/ 3 13 sin j = b/ 3 22 a c/ 3 53 48 a . Baøi 19. Cho hình vuông ABCD cạnh 2 a tâm O. Trên tia OzABCD () ^ lấy điểm S, mặt phẳng (SAD) tạo với đáy góc a. a. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và CD. b. Mặt phẳng (b) qua AC và vuông góc (SAD) chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó. ĐS: a/ 2a .sin a b/ 2 cos. a Baøi 20. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A¢B¢C¢D¢ có AB= 2, AD = 4, AA¢ = 6. Gọi I, J là trung điểm AB, CD¢. Gọi M, N thỏa AMmADBNmBB / ,== uuuur uuuruuuruuur 01 m () ££ a. Tính khoảng cách từ A đến (BDA¢). b. Chứng minh I, M, J, N đồng phẳng. c. Xác định tâm K và bán kính R của mặt cầu (S) ngoại tiếp ABDA¢. d. Tính bán kính r của đường tròn giao của (S) và (BDA¢). ĐS: a/ 12 7 b/ 0 INIJIM[,]. = uuruuruuur c/ 12314 KR (;;),; = d/ 526 7 . Baøi 21. Cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢ có các cạnh bằng 2. Gọi M, N là trung điểm AB và DD¢. a. Chứng minh MN // (BDC¢). Tính MN và d(MN, (BDC¢)). b. Gọi P là trung điểm C¢D¢ . Tính V C.MNP và góc giữa MN và BD. c. Tính bán kính R của đường tròn (A / BD). ĐS: a/ 3 06 3 MNnMNd .;;; === uuuurr b/ 130 o V ;; j == c/ 26 3 . Baøi 22. Cho lăng trụ OAB.O¢A¢D đáy DOAB vuông tại O, OA= a, OB = b, OO/ = h. Mặt phẳng (P) qua O vuông góc AB¢. a. Tìm điều kiện a, b, h để (a) cắt cạnh AB, AA / tại I, J (I, J không trùng A, B, A / ). b. Với điều kiện trên hãy tính: S DOIJ và tỉ số thể tích 2 phần do thiết diện chia lăng trụ. ĐS: a/ ah < b/ 32224 1 2222224 2 233 V ababha S V habahbha ; () ++ == ++- Baøi 23. Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông tại A, SCABC () ^ và SC = AB = AC = 2 a . Các điểm M thuộc SA và N thuộc BC sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a) a. Tính độ dài đoạn MN, tìm t để đoạn MN ngắn nhất. b. Khi MN ngắn nhất, chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của BC và SA. ĐS: a/ 22 62 342 33 aa MNtatat;min,=-+== b/ MNAMMNCN ,. ^^ Baøi 24. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, có AB= 3, BC = 4. Cạnh bên SAABC () ^ và SA = 4. a. Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC. b. Trên AB lấy 1 điểm E với AE = x. Mặt phẳng (P) qua E song song với SA và BC cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện. Tìm x để diện tích này lớn nhất. Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian Trang 75 ĐS: a/ 41 2 SIICR;== b/ 3 4 2 Sx max,. == Baøi 25. Cho tam giác đều SAD và hình vuông ABCD cạnh a nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc nhau. Gọi I là trung điểm của AD, M là trung điểm của AB, F là trung điểm của SB. a. Chứng minh rằng mặt phẳng CMFSIB ()() ^ . b. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và SD giữa CM và SA. ĐS: b/ 33 24 aa ;. Baøi 26. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A¢B¢C¢D¢ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc · 60 o BAD = . Gọi M là trung điểm cạnh AA¢ và N là trung điểm cạnh CC¢. a. Chứng minh rằng 4 điểm B¢, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. b. Tính cạnh AA¢ theo a để tứ giác B¢MDN là hình vuông. ĐS: b/ 2 a . Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này. transitung_tv@yahoo.com Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng Trang 76 ĐỀ THI TỐT NGHIỆP Baøi 1. (TN 2006–pb) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB bằng a 3 . 1. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. 2. Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. ĐS: 1) Va 3 1 2 3 = 2) IB = IC = ID = IS. Baøi 2. (TN 2007–pb) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC. ĐS: V = a 3 6 . Baøi 3. (TN 2007–pb–lần 2) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = AC. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. ĐS: V = a 3 2 3 . Baøi 4. (TN 2008–pb) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. 1. Chứng minh SA vuông góc với BC. 2. Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a. ĐS: 1) BC ^ AI, BC ^ SI Þ BC ^ SA 2) V = a 3 11 24 . Baøi 5. (TN 2008–pb–lần 2) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết AB = a, BC = a 3 và SA = 3a. 1. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. 2. Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI theo a. ĐS: 1) V = a 3 3 2 2) BI = a 13 2 . Baøi 6. (TN 2009) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết · BAC 0 120 = , tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a. ĐS: V = a 3 2 36 . Baøi 7. (TN 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng 0 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. ĐS: V = a 3 6 6 . Baøi 8. (TN 2011) ĐS: I. KHỐI ĐA DIỆN – KHỐI TRÒN XOAY Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trang 77 ĐỀ THI ĐẠI HỌC Baøi 1. (ĐH 2002A) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC). ĐS: 2 10 16 a S = Baøi 2. (ĐH 2002B) Cho hình lập phương ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 có cạnh bằng a. 1. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A 1 B và B 1 D. 2. Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB 1 , CD, A 1 D 1 . Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C 1 N. ĐS: 1) 6 6 a 2) 1 MPCN . ^ Baøi 3. (ĐH 2002D) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD). ĐS: 634 17 . Baøi 4. (ĐH 2002A–db1) Tính thể tích khối tứ diện ABCD, biết AB = 1, AC = b, AD = c và · · · BACCADAB 0 D60 === . ĐS: Baøi 5. (ĐH 2002A–db2) Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC = a. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại điểm A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) bằng 0 60 . Tính độ dài đoạn thẳng SA theo a. ĐS: Baøi 6. (ĐH 2002B–db1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE. ĐS: Baøi 7. (ĐH 2002B–db2) Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi a, b, g lần lượt là các góc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB). Chứng minh rằng: coscoscos3 abg ++£. ĐS: Baøi 8. (ĐH 2002D–db1) Cho hình tứ diện đều ABCD, cạnh a 62 = . Hãy xác định độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC. ĐS: Baøi 9. (ĐH 2002D–db2) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) theo a, biết rằng SA = a 6 2 . ĐS: Baøi 10. (ĐH 2003A) Cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢. Tính số đo của góc phẳng nhị diện [B, A¢C, D]. ĐS: 120 o Baøi 11. (ĐH 2003B) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A / B / C / D / có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc · 60 o BAD = . Gọi M là trung điểm cạnh AA / và Nlà trung điểm cạnh CC / . Chứng minh rằng bốn điểm B / , M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA / theo a để tứ giác B / MDN là hình vuông. Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng Trang 78 ĐS: 2 a . Baøi 12. (ĐH 2003D) Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng D. Trên D lấy hai điểm A, B với AB= a. Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với D và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a. ĐS: 32 22 aa RAH ;. == Baøi 13. (ĐH 2003A–db1) Cho tứ diện ABCD có AB = AC = a, BC = b. Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC) vuông góc với nhau và góc · BC 0 D90 = . Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a và b. ĐS: Baøi 14. (ĐH 2003A–db2) Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢ có đáy là tam giác cân với AB = AC = a và góc · BAC 0 120 = , cạnh bên BB¢ = a. Gọi I là trung điểm của CC¢. Chứng minh tam giác AB¢I vuông ở A. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB¢I). ĐS: Baøi 15. (ĐH 2003B–db1) Cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢. Tìm điểm M thuộc cạnh AA¢ sao cho mặt phẳng (BD¢M) cắt hình lập phương theo một thiết diện có diện tích nhỏ nhất. ĐS: Baøi 16. (ĐH 2003B–db2) Cho hình chóp đều S.ABC, cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc bằng j 00 (090) j << . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC). ĐS: Baøi 17. (ĐH 2003D–db1) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh rằng tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a. ĐS: 2 2 2 AMB Sa D = . Baøi 18. (ĐH 2003D–db2) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A, AD = a, AC = b, AB = c. Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh rằng abcabc 2S() ³++ . ĐS: Baøi 19. (ĐH 2004B) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng j ( 00 090 () j << . Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo j. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và j. ĐS: 3 2 2 6 a V .tan;.tan jj = Baøi 20. (ĐH 2004B–db1) Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và SA ^ (ABC). Tam giác ABC có AB = BC = 2a, góc · ABC 0 120 = . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC). ĐS: Baøi 21. (ĐH 2004D–db2) Cho hình vuông ABCD có cạnh AB = a. Trên các nửa đường thẳng Ax, By vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng (ABCD), lần lượt lấy các điểm M, N sao cho tam giác MNC vuông tại M. Đặt AM = m, BN = n. Chứng minh rằng mnma 2 () -= và tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích hình thang ABNM. ĐS: . B¢MDN là hình vuông. ĐS: b/ 2 a . Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này. transitung_tv@yahoo.com Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần. vuông góc chung của SA và CD. b. Mặt phẳng (b) qua AC và vuông góc (SAD) chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó. ĐS: a/ 2a .sin a b/ 2 cos. a Baøi 20. Cho hình. 4322 4420 aaxyaxyxyxy()() -+ + +-= b/ 2 0 xaxay -+ = Baøi 17. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng 2 a , đường cao SO, cạnh bên bằng 5 a . a. Tính thể tích hình chóp. Xác định tâm I và bán kính R của hình