Tham khảo tài liệu ''tài liệu ôn toán - bài tập giải tích lớp 12 - phần 6'', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Sĩ Tùng VII BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ · Khi giải bất phương trình mũ ta cần ý tính đơn điệu hàm số mũ é ìa > ê í f ( x ) > g( x ) a f ( x ) > a g( x ) Û ê ỵ ê ìí0 < a < êë ỵ f ( x ) < g( x ) · Ta thường sử dụng phương pháp giải tương tự phương trình mũ: – Đưa số – Đặt ẩn phụ – … Chú ý: Trong trường hợp số a có chứa ẩn số thì: a M > a N Û (a - 1)( M - N ) > Baøi Giải bất phương trình sau (đưa số): a) ổ1ử ỗ ữ ố3ứ x2 - x x - x -1 c) x + - x + - x e) x -3 x + - 6x g) x + x.2 x 2 +4 -3 x + +1 ổ1ử b) ỗ ữ ố2ứ > 5x + - 5x + 36 n) ( x -3 x +1 10 + ) x -1 < ( p) £2 10 - ) x +3 o) ( x -1 x -2 x Bài Giải bất phương trình sau (đặt ẩn phụ): x x x a) 2.14 + 3.49 - ³ c) ( x - 2) 2( x - 1) x -2 + 83 > 52 + 1) x +1 q) x -1 b) 1 -1 -2 x -2x - 1) x -1 ³ x +1 x+4 x d) 8.3 x ³( -3 £ + 91+ x x >9 e) 25.2 x - 10 x + x > 25 f) 52 x + + x + > 30 + x 30 x g) x - 2.3 x - 3.2 x + ³ h) 27 x + 12 x > 2.8 x i) 49 x - 35 x l) 252 x - x +1 £ 25 x + 92 x - x k) +1 ³ 34.252 x - x +1 ổ ửx r) ỗ ữ + ç ÷ è3ø è3ø -2 x +1 m) x - 8.3 x + o) x + x - - 5.2 x + x - + + 16 ³ ỉ ưx x +1 p) ( ổ1ử -ỗ ữ ố8ứ 0 x - 2) £ x -1 - 128 ³ u) ( 22 x + - 9.2 x + ) x + x - ³ Trang 70 Trần Sĩ Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Baøi Giải bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu): a) x x 13 >0 -3x - x + + 2x > x 2x -3x - x + + ( 2x ) 3x Bài Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: a) x - m.2 x + m + £ c) b) x - m.3 x + m + £ d) ( 2x + + 2x - £ m x + 1) + ( x -1 - 1) +m=0 Bài Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với: a) (3m + 1).12 x + (2 - m).6 x + x < , "x > b) (m - 1)4 x + x +1 + m + > , "x c) m.9 x - ( 2m + 1) x + m.4 x £ , "x Î [0; 1] d) m.9 x + (m - 1).3 x +2 + m - > , "x e) cos x + ( 2m + 1) cos x + m - < , "x f) x - 3.2 x +1 - m ³ , "x g) x - x - m ³ , "x Ỵ (0; 1) h) x + + - x £ m , "x i) 2.25 x - (2m + 1).10 x + (m + 2).4 x ³ , "x ³ k) x -1 - m.(2 x + 1) > , "x Bài Tìm m để nghiệm (1) nghiệm bất phương trình (2): ì +1 ì ỉ ưx +1 ïïỉ x ï > 12 (1) a) ớỗố ữứ + ỗố ÷ø b) í2 x - x > ï ïỵ4 x - mx - (m - 1)2 < 2 ( ) ( ) ïỵ m - x - m - x - m - < (2) ìï2 - 9.2 + £ c) í ïỵ(m + 1) x + m( x + 3) + > x +1 x ì +2 ỉ ửx ùùổ x > 12 d) ớỗ ữ + ỗ ữ ố ứ ố ứ ï ỵï2 x + ( m + ) x + - 3m < (1) (2) Trang 71 (1) (2) (1) (2) Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Sĩ Tùng VIII BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT · Khi giải bất phương trình logarit ta cần ý tính đơn điệu hàm số logarit é ìa > ê í f ( x ) > g( x ) > log a f ( x ) > log a g( x ) Û ê ỵ ê ìí0 < a < êë ỵ0 < f ( x ) < g( x ) · Ta thường sử dụng phương pháp giải tương tự phương trình logarit: – Đưa số – Đặt ẩn phụ – … Chú ý: Trong trường hợp số a có chứa ẩn số thì: log a A log a B > Û (a - 1)( B - 1) > ; > Û ( A - 1)( B - 1) > log a B Bài Giải bất phương trình sau (đưa số): a) log (1 - x) < + log b) log (1 - log x ) < ( x + 1) c) log - x < log ( - x ) e) log (log d) log log log5 x > 3 + 2x )>0 1+ x f) ( x - ) log x > g) log éë log4 ( x - )ùû > h) log26 x + x log6 x £ 12 log x k) 2( ) + x log2 x i) log ( x + ) ³ + log2 ( x - 1) l) log3 æ log x ỗ ữ ố ứ é ù é n) log ë log5 x + + x û > log3 ê log êë Bài Giải bất phương trình sau: ( ) m) log8 ( x - 2) + log ( x - 3) > ( ) ù x2 + - x ú úû lg ( x - 1) a) 2 lg x + lg d) x log2 x + x 5log x - log x - 18 < 3x - >0 x2 +1 f) log3 x log2 x < log3 x + log2 e) log x g) log x (log (2 x - 4)) £ x2 - 3x - h) log3 x - x (3 - x ) > i) log x ( x - x + 16 ) ³ k) log x ( x - x + ) < Trang 72 log ( x + 1) - log3 ( x + 1) >0 x Trần Sĩ Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit ỉ x -1 l) log x +6 ỗ log ữ>0 x+2ứ ố m) log x -1 ( x + 1) > log x -1 ( x + 1) n) (4 x - 16 x + 7).log3 ( x - 3) > o) (4 x - 12.2 x + 32).log2 (2 x - 1) £ Baøi Giải bất phương trình sau (đặt ẩn phụ): a) log x + log x - £ b) log (1 - x ) < + log c) log5 x - log x 125 < d) log x 64 + log x 16 ³ e) log x 2.log2 x log x > f) log 21 x + log x < g) log x log x + > - log x + log x - log 22 x h) i) log 21 x - log x + £ k) ( x + 1) + £1 + log x - log x log32 x - log3 x + ³ log3 x - l) log (3 x + x + 2) + > log (3 x + x + 2) m) n) p) o) log x 100 - log100 x > - log21 x > - log x + 1 + log3 x q) log x log x > 16 log2 x - Bài Giải bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu): a) ( x + 1)log20,5 x + (2 x + 5) log0,5 x + ³ b) log (2 x + 1) + log (4 x + 2) £ 5+ x 5- x < > d) x log ( x + 1) log ( x + 1) - 3x + Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: log1/ ( x - x + m ) > -3 b) log x 100 - log m 100 > 2 + log m x d) + 1 - logm x + log m x + log m x lg c) Baøi a) c) e) f) log x -m ( x - 1) > log x -m ( x + x - 2) log2 x + m > log2 x Bài Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với: a) log ( x + ) ³ log2 ( mx + x + m ) , "x b) log ( ) ( ) x - x + m + log x - x + m £ , "x Ỵ[0; 2] c) + log5 ( x + 1) ³ log (mx + x + m ) , "x æ æ æ m ö m ö m ö d) ç - log ÷ x - ç + log ữ x - ỗ + log ữ > , "x ỗ ỗ ç 1+ m ÷ 1+ m ÷ 1+ m ÷ è ø è ø è ø Baøi Giải bất phương trình, biết x = a nghiệm bất phương trình: a) log m ( x - x - ) > log m ( - x + x + ) ; b) log m (2 x + x + 3) £ log m (3 x - x ); a = 9/ a =1 Trang 73 Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Sĩ Tùng Baøi Tìm m để nghiệm (1) nghiệm bất phương trình (2): a) Bài a) c) ìlog x + log x < (1) ï í ï x + mx + m + m < (2) î Giải hệ bất phương trình sau: ì x2 + ï >0 í x - 16 x + 64 ïlg x + > lg( x - 5) - lg ỵ ìïlog2 - x ( - y ) > í ïỵlog4 - y ( x - ) > ìïlog (5 x - x + 3) > b) í x ïỵ x - x + - m > ( ) ( (1) (2) ì( x - 1) lg + lg x +1 + < lg 7.2 x + 12 ï b) í ïỵlog x ( x + ) > ìïlog ( y + 5) < d) í x -1 ïỵlog y +2 (4 - x ) < Trang 74 ) Trần Sĩ Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit IX ÔN TẬP HÀM SỐ LUỸ THỪA – MŨ – LOGARIT Baøi Giải phương trình sau: a) c) 22 x -1.4 x +1 x -1 0, x + 0,5 b) x -1 = 38 x -2 = 64 (0, 04) x = 25 ( e) x +2 - x +1 - 14.7 x -1 + 2.7 x = 48 ổ g) ỗố 2(2 i) x +3 x ) 1- lg x x = f) x x -1 +2 - 9.2 x +2 m) -1 - 36.3 x x +1 x +2 e) x g) =3 -3 d) ( x )log + - 6.3 + c) x x - 52 + x < d) x lg 4x + x - £2 x -1 g) -2 x +2 ổ 2- x i) ỗ ữ ố3ứ x +1 ổ 1- x l) ỗ ữ ố5ứ -2 -5 x 52 ổ2ử > 1+ ỗ ÷ è3ø 3x - x log2 ( x -1) x+ x ổ1ử m) 372 ỗ ÷ è3ø Trang 75 > 1000 x -2 ỉ1ư k) ỗ ữ ố3ứ -3 9 ổ1ử >ỗ ÷ è5ø x +1 + f) >5 +8 = + 12 = 24 ) + ( x -1 - b) x +1 x -5 24 ) +2 x > x >1 27 ổ1ử ỗ ữ ố3ứ x >1 x =0 m) 3lg(tan x ) - 2.3lg(cot x )+1 = -5 x x+4 =3 - 12.2 x -1- 3+ -2 x 5+ ỉ 2+ x 25 a) ỗ ữ < ố5ứ x +3 x -1 k) 4lg x +1 - lg x - 2.3lg x x +2 x -5 64 x h) ( 2( x +1) x l) 2sin x + 4.2 cos x = Baøi Giải bất phương trình sau: e) - lg(7 - x ) = f) 34 x +8 - 4.32 x +5 + 28 = log2 +3 = i) 91+ log3 x - 31+ log x - 210 = ) -7,2 x +3,9 b) x - +8 = c) 64.9 x - 84.12 x + 27.16 x = k) x lg x = 1000 x 100 ỉ5ư =ỗ ữ ố3ứ x lg x +5 x a) x x +2 x -11 h) x x-1 = 500 =4 = 105+lg x Baøi Giải phương trình sau: l) ỉ ç ÷ è 25 ø ÷ ø x +1 ổ5ử d) ỗ ữ ố3ứ = 10 Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Sĩ Tùng Bài Giải bất phương trình sau: a) x - 2.52 x - 10 x > c) 9.4 - x + 5.6 - x < 4.9 - b) 25- x - 5- x +1 ³ 50 x d) 3lg x + < 3lg x g) - 2( x -1) 2( x -2) +8 +5 ỉ1ư f) 22 x +1 - 21 ỗ ữ ố2ứ e) x +1 - 16 x < log x -3 x > 52 h) x - x +2 > x - Baøi Giải phương trình sau: -2 x +3 ỉ1ư - 35 ç ÷ è3ø +2³ -3 x +6³ 9x + 3x - ³ - 3x i) k) a) log3 (3 x - 8) = - x b) log 5- x ( x - x + 65) = c) log (2 x - 1) + log7 (2 x - 7) = d) log3 (1 + log3 (2 x - 7)) = e) 3log3 lg f) 9log3 (1-2 x ) = x - x - lg x + lg2 x - = g) x1+ lg x = 10 x h) ( x )log k) lg x +7 x lg x +lg x -2 ổ lg x = lg x i) ỗ ữ ố ứ ổ l) log3 ỗ log9 x + + x ÷ = x è ø Bài Giải phương trình sau: ( a) log x ) m) log3 - log x + = x -1 =5 = 10 lg x +1 x -3 x -3 + = log3 x -7 x -1 b) log1/3 x - log1/3 x + = c) log 22 x + log2 x - = d) + log x +1 = log3 ( x + 1) ( e) log x ( x ) log32 x = ) f) log3 log1/2 x - log1/ x + = log22 x g) lg2 (100 x ) - lg2 (10 x ) + lg x = h) log (2 x ).log2 (16 x ) = i) log3 (9 x + 9) = x + log3 (28 - 2.3 x ) k) log (4 x + 4) = log2 x + log2 (2 x+1 - 3) l) log (25 x +3 - 1) = + log2 (5 x +3 + 1) m) lg(6.5 x + 25.20 x ) = x + lg 25 Baøi Giải bất phương trình sau: 2x - >0 2x -1 - 3x d) log1/3 ³ -1 x a) log 0,5 ( x - x + 6) > -1 b) log c) log3 x - log3 x - < e) log1/4 (2 - x ) > log1/ g) x2 - log1/2 ( x - 1) x +1 f) log1/3 éë log4 ( x - 5)ùû > 0 x -1 1 Trần Sĩ Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Baøi Giải hệ phương trình sau: ìï ( x - y )2 -1 = a) í4 x + y = 125 ïỵ ìï x + y = 128 b) í x -2 y -3 =1 ïỵ5 y ì x c) í2 + = 12 ỵ x+y=5 ìï3.2 x + 2.3 x = 2,75 d) í x - y = -0, 75 ïỵ 5y-x ì x ï y g) í4 - 3.4 y = 16 ï x - y = 12 - ỵ ìï7 x - 16 y = e) í x ïỵ4 - 49 y = ìï f) í ïỵlog ìï32 x - y = 77 h) í x y /2 ïỵ3 - = ìï x + y y - x = i) í x2 + y = x -y ïỵ ( 3 x y = 972 ( x - y) = ( ) ) Baøi Giải hệ phương trình sau: ìlog x - log2 y = a) í 42 ỵ x - 5y + = ìlog x + log2 y = d) í x + y = 16 ỵ ì lg( x + y ) - = lg13 g) í ỵlg( x + y) - lg( x - y) = lg y ïì2 log x - = 15 k) í y y +1 ïỵ3 log2 x = log2 x + ìï xy = ì lg y c) í x = b) í ïỵ2 log y x + log x y = ỵ xy = 20 ì1 ìï3log x = y log y ï - = e) í x y 15 f) í log log x ïlog x + log y = + log ïỵ2 y = x î 3 ( ) ìx y ìï ï 2+ =8 h) í y i) í x ïỵlog ïlog x + log y = ỵ x y ì + ï l) í m) y x = 32 ỵïlog3 ( x - y ) = - log3 ( x + y ) x.2 y = 576 (y - x) = Chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp em học sinh đọc tập tài liệu transitung_tv@yahoo.com Trang 77 Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG I NGUYÊN HÀM Khái niệm nguyên hàm · Cho hàm số f xác định K Hàm số F đgl nguyên hàm f K nếu: F '( x ) = f ( x ) , "x Ỵ K · Nếu F(x) nguyên hàm f(x) K họ nguyên hàm f(x) K là: ò f ( x )dx = F ( x ) + C , C Ỵ R · Mọi hàm số f(x) liên tục K có nguyên hàm K Tính chất · ị f '( x )dx = f ( x ) + C · ò [ f ( x ) ± g( x )]dx = ò f ( x )dx ± ò g( x )dx · ò kf ( x )dx = k ò f ( x )dx (k ¹ 0) Nguyên hàm số hàm số thường gặp ax + C (0 < a ¹ 1) ln a · ị cos xdx = sin x + C · ò 0dx = C · ò a x dx = · ò dx = x + C · ò xa dx = · xa +1 + C, a +1 (a ¹ -1) · ị sin xdx = - cos x + C ò x dx = ln x + C · ò e x dx = e x + C · ò cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C (a ¹ 0) a · ò sin(ax + b)dx = - cos(ax + b) + C (a ¹ 0) a dx = tan x + C cos2 x · ò dx = - cot x + C sin x · ò e ax + b dx = e ax + b + C , (a ¹ 0) a 1 ·ò dx = ln ax + b + C ax + b a · ò Phương pháp tính nguyên hàm a) Phương pháp đổi biến số Nếu ò f (u)du = F (u) + C u = u( x ) có đạo hàm liên tục thì: ị f [u( x )] u '( x )dx = F [u( x )] + C b) Phương pháp tính nguyên hàm phần Nếu u, v hai hàm số có đạo hàm liên tục K thì: ò udv = uv - ò vdu Trang 78 Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng nguyên hàm Chú ý: Để sử dụng phương pháp cần phải: – Nắm vững bảng nguyên hàm – Nắm vững phép tính vi phân Bài Tìm ngun hàm hàm số sau: a) f ( x ) = x – x + d) f ( x ) = b) f ( x ) = ( x - 1)2 x2 g) f ( x ) = 2sin k) f ( x ) = x x 2x4 + c) f ( x ) = x2 x -1 x2 e) f ( x ) = x + x + x f) f ( x ) = h) f ( x ) = tan x i) f ( x ) = cos2 x x cos x m) f ( x ) = 2sin x cos x sin x.cos2 x æ e- x ö o) f ( x ) = e x ỗỗ + p) f ( x ) = e3 x +1 n) f ( x ) = e x ( e x – 1) ÷ ÷ cos x ø è Bài Tìm ngun hàm F(x) hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: 2 sin x.cos x a) f ( x ) = x - x + 5; - 5x ; x x3 - ; e) f (x )= x2 c) f ( x ) = g) f ( x ) = sin x.cos x; i) f ( x ) = l) f ( x ) = x - F (1) = b) f ( x ) = - cos x; x +1 ; x F (e ) = d) f ( x ) = F(-2) = f) f ( x ) = x x + ổp F 'ỗ ÷ = è3ø h) f ( x ) = F (p ) = F(1) = x ; F (1) = -2 3x - x3 + ; F (1) = x2 æp ö p x k) f ( x ) = sin ; F ỗ ữ = ố2ứ x3 + x2 + 3x - ; F(0) = ( x + 1)2 Baøi Cho hàm số g(x) Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: ỉp a) g( x ) = x cos x + x ; f ( x ) = x sin x; Fỗ ữ =3 ố2ứ b) g( x ) = x sin x + x ; f ( x ) = x cos x; F (p ) = c) g( x ) = x ln x + x ; f ( x ) = ln x; F(2) = -2 Baøi Chứng minh F(x) nguyên hàm hàm số f(x): ìïF ( x ) = (4 x - 5)e x ìïF ( x ) = tan x + x - a) í b) í x ïỵ f ( x ) = (4 x - 1)e ïỵ f ( x ) = tan x + tan x + ì ì ỉ x2 + ö x2 - x + ïF ( x ) = ln ỗỗ ữữ ùF ( x ) = ln ï ï x + x +1 è x2 + ø c) í d) í -2 x ï f ( x) = ï f ( x ) = 2( x - 1) ïỵ ïỵ ( x + 4)( x + 3) x4 +1 Trang 79 Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng Bài Tìm điều kiện để F(x) nguyên hàm hàm số f(x): ìF ( x ) = ln x - mx + ï b) í Tìm m 2x + ï f ( x) = x + 3x + ỵ ìïF ( x ) = mx + (3m + 2) x - x + a) í Tìm m ïỵ f ( x ) = x + 10 x - ìïF ( x ) = (ax + bx + c) x - x ìïF ( x ) = (ax + bx + c)e x Tìm a, b, c d) í Tìm a, b, c c) í x f ( x ) = ( x 3) e ï ïỵ f ( x ) = ( x - 2) x - x ỵ ìïF ( x ) = (ax + bx + c)e- x ïìF ( x ) = (ax + bx + c)e-2 x f) Tìm a , b , c Tìm a, b, c e) í í -2 x -x ïỵ f ( x ) = -(2 x - x + 7)e ïỵ f ( x ) = ( x - x + 2)e ìF ( x ) = (ax + bx + c) x - ì b c ïF ( x ) = (a + 1)sin x + sin x + sin x ï 2 g) í h) í f ( x ) = 20 x - 30 x + ï ïỵ f ( x ) = cos x 2x - ỵ Tìm a, b, c Tìm a, b, c ò f ( x )dx phương pháp đổi biến số f(x) = g [u( x )] u '( x ) ta đặt t = u( x ) Þ dt = u '( x )dx VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm · Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: ị f ( x )dx Khi đó: = ị g(t )dt , ị g(t )dt dễ dàng tìm Chú ý: Sau tính ị g(t )dt theo t, ta phải thay lại t = u(x) · Dạng 2: Thường gặp trường hợp sau: f(x) có chứa Cách đổi biến x = a sin t , a2 - x x = a cos t , hoặc a2 + x x = a tan t , x = a cot t, a2 + x p p £t£ 2 0£t £p - p p