Tham khảo tài liệu ''tài liệu ôn toán - bài tập giải tích lớp 12 - phần 4'', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm: a) x - 3(m + 1) x + mx - = b) x - x + 3(1 - m) x + + 3m = c) x - 3mx + 6(m - 1) x - 3m + 12 = d) x - x - 3(m - 4) x + 4m - = e) x + 3(m - 1) x + 6(m - 2) x + - m = f) x - 3mx + m = Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm: a) x - (m + 1) x - (2 m - 3m + 2) x + m(2 m - 1) = b) x - 3mx + m = c) x - (2m + 1) x + (3m + 1) x - (m + 1) = d) x - x + 3(1 - m) x + + 3m = Baøi Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: a) x - 3mx + 3(m - 1) x - (m - 1) = b) x - x - 3(m - 4) x + 4m - = x -x+m = Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm dương phân biệt: c) x + 3(m - 1) x + 6(m - 2) x + - m = d) a) x - 3mx + 3(m - 1) x - (m - 1) = b) x - x - 3(m - 4) x + 4m - = x - x + 4x + m + = d) x - mx + (2 m + 1) x - m - = Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm âm phân biệt: c) a) x + 3(m - 1) x + 6(m - 2) x + - m = b) x - 3mx + 3(m - 1) x - (m - 1) = c) x + x - x + m = d) x - x + 18mx - m = Trang 27 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG Ý nghĩa hình học đạo hàm: Đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số điểm M0 ( x0 ; f ( x0 ) ) Khi phương trình tiếp tuyến (C) điểm M0 ( x0 ; f ( x0 ) ) là: y – y0 = f ¢(x0).(x – x0) (y0 = f(x0)) Điều kiện cần đủ để hai đường (C1): y = f(x) (C2): y = g(x) tiếp xúc hệ phương trình sau có nghiệm: ì f ( x ) = g( x ) (*) í f '( x ) = g '( x ) ỵ Nghiệm hệ (*) hồnh độ tiếp điểm hai đường Nếu (C1): y = px + q (C2): y = ax2 + bx + c (C1) (C2) tiếp xúc Û phương trình ax + bx + c = px + q có nghiệm kép VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình tiếp tuyến đường cong (C): y = f(x) Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến D (C): y =f(x) điểm M0 ( x0 ; y0 ) : · Nếu cho x0 tìm y0 = f(x0) Nếu cho y0 tìm x0 nghiệm phương trình f(x) = y0 · Tính y¢ = f¢ (x) Suy y¢(x0) = f¢ (x0) · Phương trình tiếp tuyến D là: y – y0 = f¢ (x0).(x – x0) Bài tốn 2: Viết phương trình tiếp tuyến D (C): y =f(x), biết D có hệ số góc k cho trước Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm · Gọi M(x0; y0) tiếp điểm Tính f¢ (x0) · D có hệ s gúc k ị f (x0) = k (1) à Giải phương trình (1), tìm x0 tính y0 = f(x0) Từ viết phương trình D Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc · Phương trình đường thẳng D có dạng: y = kx + m · D tiếp xúc với (C) hệ phương trình sau có nghiệm: ì f ( x ) = kx + m (*) í f '( x ) = k ỵ · Giải hệ (*), tìm m Từ viết phương trình D Chú ý: Hệ số góc k tiếp tuyến D cho gián tiếp sau: + D tạo với chiều dương trục hồnh góc a k = tana + D song song với đường thẳng d: y = ax + b k = a + D vng góc với đường thẳng d: y = ax + b (a ¹ 0) k = a k -a + D tạo với đường thẳng d: y = ax + b góc a = tan a + ka Bài tốn 3: Viết phương trình tiếp tuyến D (C): y = f(x), biết D qua điểm A( x A ; y A ) Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm · Gọi M(x0; y0) tiếp điểm Khi đó: y0 = f(x0), y¢0 = f¢ (x0) · Phương trình tiếp tuyến D M: y – y0 = f¢ (x0).(x – x0) · D qua A( x A ; y A ) nên: yA – y0 = f¢ (x0).(xA – x0) (2) · Giải phương trình (2), tìm x0 Từ viết phương trình D Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc · Phương trình đường thẳng D qua A( x A ; y A ) có hệ số góc k: y – yA = k(x – xA) Trang 28 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số · D tiếp xúc với (C) hệ phương trình sau có nghiệm: ì f ( x) = k( x - x A ) + yA (*) í ỵ f '( x ) = k · Giải hệ (*), tìm x (suy k) Từ viết phương trình tiếp tuyến D Bài Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm ra: a) (C): y = x - x - x + A(0; 1) b) (C): y = x - x + B(1; 0) 3x + C(1; –7) d) (C): y = x + D(0; 3) 2x - 2x -1 Bài Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm ra: c) (C): y = x2 - 3x + điểm A có xA = x -2 3( x - 2) điểm B có yB = b) (C): y = x -1 x +1 c) (C): y = giao điểm (C) với trục hoành, trục tung x -2 a) (C): y = d) (C): y = x - x + giao điểm (C) với trục hoành, trục tung e) (C): y = x - x + điểm uốn (C) x - x - giao điểm (C) với trục hồnh 4 Bài Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với đường ra: f) (C): y = a) (C): y = x - x + x - d: y = x + b) (C): y = x - x + x - (P): y = - x + x - c) (C): y = x - x + x - (C’): y = x - x + x - Bài Tính diện tích tam giác chắn hai trục toạ độ tiếp tuyến đồ thị (C) điểm ra: x + 11 điểm A có xA = a) (C): y = 2x - b) (C): y = x - x + 26 điểm B có xB = Bài Tìm m để tiếp tuyến đồ thị (C) điểm chắn hai trục toạ độ tam giác có diện tích S cho trước: 2x + m a) (C): y = điểm A có xA = S = x -1 x - 3m b) (C): y = điểm B có xB = –1 S = x+2 c) (C): y = x3 + - m( x + 1) điểm C có xC = S = Bài Viết phương trình tiếp tuyến D (C), biết D có hệ số góc k ra: 2x -1 a) (C): y = x - x + ; k = 12 b) (C): y = ; k = –3 x -2 x2 - 3x + c) (C): y = ; k = –1 d) (C): y = x - x + ; k = x -1 Bài Viết phương trình tiếp tuyến D (C), biết D song song với đường thẳng d cho trước: Trang 29 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng x3 2x -1 - x + x + ; d: y = 3x + b) (C): y = ; d: y = - x + x -2 x - 2x - 3 c) (C): y = ; d: x + y - = d) (C): y = x - x + ; d: y = –4x + 4x + 2 Bài Viết phương trình tiếp tuyến D (C), biết D vng góc với đường thẳng d cho trước: a) (C): y = x3 x 2x -1 a) (C): y = - x + x + ; d: y = - + b) (C): y = ; d: y = x x -2 x2 + x2 + x - c) (C): y = ; d: y = –3x d) (C): y = ; d: x – x +1 x+2 Bài Viết phương trình tiếp tuyến D (C), biết D tạo với chiều dương trục Ox góc a: x3 x3 - x + x - 4; a = 600 b) (C): y = - x + x - 4; a = 750 3 3x - c) (C ) : y = ; a = 450 x -1 Bài 10 Viết phương trình tiếp tuyến D (C), biết D tạo với đường thẳng d góc a: a) (C): y = x3 a) (C): y = - x + x - 4; d : y = x + 7; a = 450 x3 - x + x - 4; d : y = - x + 3; a = 30 b) (C): y = 4x - ; d : y = x; a = 450 c) (C ) : y = x -1 3x - d) (C ) : y = ; d : y = - x; a = 60 -2 x + x2 - x + ; d : y = - x + 1; a = 60 e) (C ) : y = x -2 Bài 11 Tìm m để tiếp tuyến D (C) điểm vng góc với đường thẳng d cho trước: x + (2m + 1) x - + m điểm A có xA = d tiệm cận xiên (C) a) (C): y = x +1 x + mx - b) (C): y = ; điểm B có xB = d: x – 12y + = x -3 Baøi 12 Tìm m để tiếp tuyến D (C) điểm song song với đường thẳng d cho trước: (3m + 1) x - m + m (m ¹ 0) điểm A có yA = d: y = x - 10 x+m Bài 13 Viết phương trình tiếp tuyến D (C), biết D qua điểm ra: a) (C): y = a) (C): y = - x + x - ; A(2; –4) b) (C): y = x - x + ; B(1; –6) ỉ 3ư x - x + ; D ỗ 0; ữ 2 ố 2ø 3x + f) (C): y = ; F(2; 3) x -1 x2 - x + h) y = ; H(2; 2) x -1 c) (C): y = ( - x ) ; C(0; 4) d) (C): y = x +2 ; E(–6; 5) x -2 x2 - 3x + g) (C): y = ; G(1; 0) x -2 e) (C): y = Trang 30 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc Điều kiện cần đủ để hai đường (C1): y = f(x) (C2): y = g(x) tiếp xúc hệ phương trình sau có nghiệm: ì f ( x ) = g( x ) (*) í f '( x ) = g '( x ) ỵ Nghiệm hệ (*) hoành độ tiếp điểm hai đường Nếu (C1): y = px + q (C2): y = ax2 + bx + c (C1) (C2) tiếp xúc Û phương trình ax + bx + c = px + q có nghiệm kép Bài Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau: a) (C1 ) : y = x3 + (3 + m) x + mx + 2; (C2 ) : trục hoành b) (C1 ) : y = x - x - (m - 1) x + m; (C2 ) : trục hoành c) (C1 ) : y = x + m( x + 1) + 1; (C2 ) : y = x + d) (C1 ) : y = x + x + x - 1; (C2 ) : y = x + m Baøi Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau: a) (C1 ) : y = x + x + 1; (C2 ) : y = 2mx + m b) (C1 ) : y = - x + x - 1; (C2 ) : y = - x + m c) (C1 ) : y = - x + x + ; (C2 ) : y = - x + m 4 d) (C1 ) : y = ( x + 1)2 ( x - 1)2 ; (C2 ) : y = x + m (2m - 1) x - m e) (C1 ) : y = ; (C2 ) : y = x x -1 x2 - x + f) (C1 ) : y = ; (C2 ) : y = x + m x -1 VẤN ĐỀ 3: Lập phương trình tiếp tuyến chung hai đồ thị (C1): y = f(x) C2): y = g(x) Gọi D: y = ax + b tiếp tuyến chung (C1) (C2) u hoành độ tiếp điểm D (C1), v hoành độ tiếp điểm D (C2) · D tiếp xúc với (C1) (C2) hệ sau có nghiệm: ì f (u) = au + b (1) ïï f '(u) = a (2) í (3) ïg(v ) = av + b = g '( v ) a (4) ïỵ à T (2) v (4) ị f (u) = g (v) Þ u = h(v) (5) · Thế a từ (2) vào (1) Þ b = j(u) (6) · Thế (2), (5), (6) vào (3) Þ v Þ a Þ u Þ b Từ viết phương trình D Nếu (C1) (C2) tiếp xúc điểm có hồnh độ x0 tiếp tuyến chung (C1) (C2) tiếp tuyến (C1) (và (C2)) điểm Bài Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đồ thị: a) (C1 ) : y = x - x + 6; (C2 ) : y = - x + x - 11 b) (C1 ) : y = x - x + 6; (C2 ) : y = - x - x - 14 Trang 31 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng c) (C1 ) : y = x - x + 6; (C2 ) : y = x + x - 10 VẤN ĐỀ 4: Tìm điểm đồ thị (C): y = f(x) cho tiếp tuyến (C) song song vng góc với đường thẳng d cho trước · Gọi M(x0; y0) Ỵ (C) D tiếp tuyến (C) M Tính f¢ (x0) · Vì D // d nên f¢ (x0) = kd (1) D^d nên f¢ (x0) = (2) kd · Giải phương trình (1) (2) tìm x0 Từ tìm M(x0; y0) Ỵ (C) Bài Tìm điểm đồ thị (C) mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d cho trước: x2 + 3x + ; d: y = x x +1 x + x +1 b) (C): y = ; d tiệm cận xiên (C) x +1 x2 + x - ; d đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu (C) c) (C): y = x -1 x2 - x + d) (C): y = ; d: y = x x Bài Tìm điểm đồ thị (C) mà tiếp tuyến song song với đường thẳng d cho trước: a) (C): y = a) (C): y = x + x + x + 10 ; d: y = x b) (C): y = x2 - x + ; d: y = –x x VẤN ĐỀ 5: Tìm điểm đường thẳng d mà từ vẽ 1, 2, 3, … tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) Giả sử d: ax + by +c = M(xM; yM) Ỵ d · Phương trình đường thẳng D qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM · D tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm: ì f ( x ) = k ( x - x M ) + yM (1) í (2) ỵ f '( x ) = k · Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – xM).f¢ (x) + yM (3) · Số tiếp tuyến (C) vẽ từ M = Số nghiệm x (3) Bài Tìm điểm đồ thị (C) mà từ vẽ tiếp tuyến với (C): a) (C ) : y = - x + x - b) (C ) : y = x - x + Bài Tìm điểm đường thẳng d mà từ vẽ tiếp tuyến với (C): x2 + x + ; d trục hoành x -1 x + 3x + d) (C ) : y = ; d: x = x+2 x +1 ; d trục tung x -1 2x2 + x c) (C ) : y = ; d: y = x +1 x+3 e) (C ) : y = ; d: y = 2x + x -1 a) (C ) : y = b) (C ) : y = Trang 32 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Bài Tìm điểm đường thẳng d mà từ vẽ tiếp tuyến với (C): x2 - 6x + x + 3x + ; d trục tung b) (C ) : y = ; d trục tung x +1 -x + 2x +1 3x + ; d: x = d) (C ) : y = ; d: y = c) (C ) : y = x -2 4x - Bài Tìm điểm đường thẳng d mà từ vẽ hai tiếp tuyến với (C): a) (C ) : y = x2 + x - x2 - x -1 ; d trục hoành b) (C ) : y = ; d trục tung x+2 x +1 x + 3x + c) (C ) : y = ; d: y = –5 x+2 Bài Tìm điểm đường thẳng d mà từ vẽ ba tiếp tuyến với (C): a) (C ) : y = a) (C ) : y = - x + x - ; d: y = b) (C ) : y = x - x ; d: x = c) (C ) : y = - x + x + ; d trục hoành d) (C ) : y = x - 12 x + 12 ; d: y = –4 e) (C ) : y = x - x - ; d trục tung e) (C ) : y = - x + x - ; d trục tung Baøi Từ điểm A kẻ tiếp tuyến với (C): ỉ4 4ư a) (C ) : y = x - x + 17 x + ; A(–2; 5) b) (C ) : y = x - x + x + 4; A ỗ ; ữ ố9 3ø c) (C ) : y = x + x - 5; A(1; -4) Baøi Từ điểm đường thẳng d kẻ tiếp tuyến với (C): a) (C ) : y = x - x + x - ; d: x = b) (C ) : y = x - x ; d: x = VẤN ĐỀ 6: Tìm điểm mà từ vẽ tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) tiếp tuyến vng góc với Gọi M(xM; yM) · Phương trình đường thẳng D qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM · D tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm: ì f ( x ) = k ( x - x M ) + yM (1) í (2) ỵ f '( x ) = k · Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – xM).f¢ (x) + yM (3) · Qua M vẽ tiếp tuyến với (C) Û (3) có nghiệm phân biệt x1, x2 · Hai tiếp tuyến vng góc với Û f¢ (x1).f¢ (x2) = –1 Từ tìm M Chú ý: Qua M vẽ tiếp tuyến với (C) cho tiếp điểm nằm hai phía với trục ì(3) có nghiệm phân biệt hồnh í ỵ f ( x1 ) f ( x2 ) < Baøi Chứng minh từ điểm A kẻ hai tiếp tuyến với (C) vng góc với Viết phương trình tiếp tuyến đó: ỉ 1ư a) (C ) : y = x - x + 1; A ỗ 0; - ữ ố 4ứ c) (C ) : y = b) (C ) : y = x2 + 2x + ; A(1; 0) x +1 d) Trang 33 x2 + x +1 ; A(1; -1) x +1 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Baøi Tìm điểm đường thẳng d mà từ vẽ hai tiếp tuyến với (C) vng góc với nhau: a) (C ) : y = x - x + ; d: y = –2 b) (C ) : y = x + x ; d trục hoành x2 + x + x2 - x + ; d trục tung d) (C ) : y = ; d trục tung x +1 x -1 x - 3x + e) (C ) : y = ; d: x = x Baøi Tìm m để d cắt (C) hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến với (C) vng góc với nhau: c) (C ) : y = - x2 + x - m x + mx - a) (C ) : y = ; d: y = –1 b) (C ) : y = ; d trục hoành 2x + m x-m x - 2mx + m c) (C ) : y = ; d trục hồnh x+m Bài Tìm m để từ điểm A kẻ tiếp tuyến với (C) cho tiếp điểm nằm hai phía với trục hoành; x+2 a) (C ) : y = ; A(0; m) b) x -1 VẤN ĐỀ 7: Các tốn khác tiếp tuyến Bài Cho hypebol (H) điểm M thuộc (H) Gọi I giao điểm hai tiệm cận Tiếp tuyến M cắt tiệm cận A B 1) Chứng minh M trung điểm đoạn AB 2) Chứng minh diện tích DIAB số 3) Tìm điểm M để chu vi DIAB nhỏ 2x -1 x +1 4x - a) ( H ) : y = b) ( H ) : y = c) ( H ) : y = x -1 x -1 -2 x + Baøi Cho hypebol (H) điểm M thuộc (H) Gọi I giao điểm hai tiệm cận Tiếp tuyến M cắt tiệm cận A B 1) Chứng minh M trung điểm đoạn AB 2) Chứng minh tích khoảng cách từ M đến đường tiệm cận không đổi 2) Chứng minh diện tích DIAB số 3) Tìm điểm M để chu vi DIAB nhỏ x2 - 3x + x - 3x + x2 + x + b) ( H ) : y = c) ( H ) : y = 2x - x -1 x +1 Bài Tìm m để tiếp tuyến điểm M thuộc hypebol (H) cắt hai đường tiệm cận tạo thành tam giác có diện tích S: mx + a) ( H ) : y = ; S=8 x-m Bài Tìm điểm M thuộc hypebol (H) tiếp tuyến cắt trục toạ độ điểm A, B cho DOAB vuông cân: a) ( H ) : y = x2 + x + x2 + 5x x2 + 3x + a) ( H ) : y = b) ( H ) : y = c) ( H ) : y = x -1 x+2 x+2 2x - x +1 Baøi Cho (C): y = Chứng minh đường thẳng d: y = có điểm x -1 cho từ điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến tạo với góc 450 Trang 34 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Baøi Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C) tạo với trục toạ độ tam giác có diện tích S cho trước: a) (C ) : y = x + ; S = x x3 + 1 b) (C ) : y = ;S= x Trang 35 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng HỌ ĐỒ THỊ Cho họ đường (Cm): y = f(x, m) (m tham số) M(x0; y0) Ỵ (Cm) Û y0 = f(x0, m) (1) Xem (1) phương trình theo ẩn m Tuỳ theo số nghiệm (1) ta suy số đồ thị họ (Cm) qua M · Nếu (1) nghiệm với m đồ thị họ (Cm) qua M Khi đó, M gọi điểm cố định họ (Cm) · Nếu (1) có n nghiệm phân biệt có n đồ thị họ (Cm) qua M · Nếu (1) vơ nghiệm khơng có đồ thị họ (Cm) qua M VẤN ĐỀ 1: Tìm điểm cố định họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) Cách 1: · Gọi M(x0; y0) điểm cố định (nếu có) họ (Cm) M(x0; y0) Ỵ (Cm), "m Û y0 = f(x0, m), "m (1) · Biến đổi (1) dạng sau: · Dạng 2: (1) Û Am + Bm + C = , "m ìA = ï ìA = Ûí (2a) Û íB = (2b) ỵB = ïỵC = · Giải hệ (2a) (2b) ta tìm toạ độ (x0; y0) điểm cố định Chú ý: Các hệ (2a), (2b) hệ phương trình có ẩn x0, y0 Cách 2: · Gọi M(x0; y0) điểm cố định (nếu có) họ (Cm) M(x0; y0) Ỵ (Cm), "m Û y0 = f(x0, m), "m (1) · Đặt F(m) = f(x0, m) F(m) = y0 khơng đổi Þ F¢ (m) = (3) · Giải (3) tìm x0 Thay x0 vào (1) tìm y0 Từ đósuy điểm cố định · Dạng 1: (1) Û Am + B = 0, "m Baøi Tìm điểm cố định họ đồ thị (Cm) có phương trình sau: a) y = (m - 1) x - 2m + b) y = mx + 2(m - 2) x - 3m + c) y = (m + 1) x - mx - (m - 2) x + m + d) y = (1 - 2m ) x - (3m - 1) x + 5m - e) y = x + mx - x - 9m f) y = (m - 2) x - mx + g) y = 2mx - x - 4m + h) y = x + mx - m - i) y = (m - 1) x - (m ¹ -1, m ¹ -2) x-m k) y = l) y = x - 5mx + mx - m) y = n) y = ổ ỗm ± ÷ 3ø è x + 3m - (m + 2) x + 4m -2 x + (m + 2) x + m (m ¹ 0) 2x - m x + x + 4m x + (m - 1) x + m o) y = x + mx + m + x + (5m + 2) x + Baøi Chứng minh họ đồ thị (Cm) có điểm cố định thẳng hàng Viết phương trình đường thẳng qua điểm cố định đó: a) y = (m + 3) x - 3(m + 3) x - (6m + 1) x + m + b) y = (m + 2) x - 3(m + 2) x - x + 2m - c) y = (m - 4) x - (6 m - 24) x - 12mx + 7m - 18 Trang 36 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số d) y = (m + 1) x3 - (2 m + 1) x - m + VẤN ĐỀ 2: Tìm điểm mà khơng có đồ thị họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) qua · Gọi M(x0; y0) điểm mà đồ thị họ (Cm) qua M(x0; y0) Ï (Cm), "m Û y0 = f(x0, m) vô nghiệm m (1) · Biến đổi (1) dạng sau: ìA = · Dạng 1: (1) Û Am + B = vô nghiệm m Û (2a) ợB ộỡ A = B = ê íC ¹ (2b) · Dạng 2: (1) Û Am + Bm + C = vô nghim m ợ ờỡ A íỵ B2 - AC < ë Chú ý: · Kết tập hợp điểm · Những điểm nằm tiệm cận đứng cố định hàm hữu tỷ điểm đồ thị không qua Bài Tìm điểm mặt phẳng mà khơng có đồ thị họ (Cm) qua: m +1 m2 a) y = (m + 2) x + m + m b) y = c) y = mx + 2(1 - m ) x + + m (m ¹ 0) d) y = x - m x + m - e) y = x3 + 3mx - m - 5m - f) y = mx - m x - mx + m - m2 + m + x+ m2 + m + (3m + 1) x - m + m (m - 2) x - m + m - h) y = x+m x -m x + mx + - m x - mx + m + i) y = k) y = x -1 x-m 2 x + mx - 2m + x + (3m - 1) x - 10 l) y = m) y = x + 2x + x - 3x + Bài Tìm điểm thuộc (L) mà khơng có đồ thị họ (Cm) qua: g) y = a) (Cm): y = mx - m x - mx + m - ; (L) trục hoành b) (Cm): y = x - 3(m + 3) x + 18mx + ; (L): y = x + 14 c) (Cm): y = x - mx + m - m + ; (L) trục tung mx + m + m + (m + 1) x + m x + d) (Cm): y = ; (L): x = x+m m2 x + e) (Cm): y = ; (L): y = x VẤN ĐỀ 3: Tìm điểm mà số đồ thị họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) qua · Ta có: M(x0; y0) Ỵ (Cm) Û y0 = f(x0, m) (1) · Biến đổi (1) dạng sau: Am + B = (2a) Am + Bm + C = · Số nghiệm (2a) (2b) theo m = Số (Cm) qua M Trang 37 (2b) Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Bài Tìm điểm mặt phẳng cho có k đồ thị họ (Cm) qua: a) (Cm): y = mx + m2 + 2m ; k = 2( x + m ) b) (Cm): y = - x + mx - m ; k = x-m c) (Cm): xy - 2my - 2mx + m x - m = ; k = Bài Tìm điểm thuộc (L) cho có k đồ thị họ (Cm) qua: a) (Cm): y = x + (m + 1) x - m ; (L): x = 2; k = b) (Cm): y = x + (m + 1) x - m ; (L): x = 2; k = c) (Cm): y = x + (m + 1) x - m ; (L): x = 2; k = Baøi Chứng minh điểm thuộc (L) có k đồ thị họ (Cm) qua: mx - (m + m - 1) x + m - m + ; (L): x > 1; k = x-m (m + 1) x - m b) (Cm): y = ; (L): x > 0; k = x-m a) (Cm): y = c) (Cm): y = x - mx + m + ; (L): y = 1; k = d) (Cm): y = x - (m + 1) x - (2 m3 - 3m + 2) x + m(2m - 1) ; (L): x = 1, y > –2; k = Trang 38 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số TẬP HỢP ĐIỂM Bài tốn: Tìm tập hợp điểm M(x; y) thoả tính chất a · Nhận xét: Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng toạ độ tìm phương trình tập hợp điểm Dạng 1: Tìm toạ độ điểm M 1) Tìm điều kiện (nếu có) tham số m để tồn điểm M 2) Tính toạ độ điểm M theo tham số m Có trường hợp xảy ra: ì x = f (m) Trường hợp 1: M í ỵ y = g(m ) Khử tham số m x y, ta có hệ thức x, y độc lập với m có dạng: F(x, y) = (gọi phương trình quĩ tích) ì x = a (hằng số ) Trường hợp 2: M í ỵ y = g(m ) Khi điểm M nằm đường thẳng x = a ì x = f (m) Trường hợp 3: M í ỵ y = b (hằng số ) Khi điểm M nằm đường thẳng y = b 3) Giới hạn quĩ tích: Dựa vào điều kiện (nếu có) m (ở bước 1), ta tìm điều kiện x y để tồn điểm M(x; y) Đó giới hạn quĩ tích 4) Kết luận: Tập hợp điểm M có phương trình F(x, y) = (hoặc x = a, y = b) với điều kiện x y (ở bước 3) Dạng 2: Trong trường hợp ta khơng thể tính toạ độ điểm M theo tham số m mà thiết lập hệ thức chứa toạ độ M ta tìm cách khử tham số m hệ thức để tìm hệ thức dạng F(x, y) = Chú ý: Nếu toán hỏi : Điểm M chạy đường ta tìm phương trình F(x, y) = mà khơng cần tìm giới hạn quĩ tích Bài Tìm tập hợp điểm đặc biệt họ đồ thị cho a) (Pm): y = x - (m - 2) x + 2m - Tìm tập hợp đỉnh (Pm) b) (Cm): y = x - 3mx + x - 3m - Tìm tập hợp điểm uốn (Cm) c) (Cm): y = x3 - 3(2m + 1) x + 6m(m + 1) x + Tìm tập hợp điểm cực đại (Cm) (m - 1) x + Tìm tập hợp tâm đối xứng (Hm) mx - x - 3mx + 5m e) (Hm): y = Tìm tập hợp điểm cực đại (Hm) x -2 Bài Cho (C) (C¢) Tìm tập hợp trung điểm đoạn thẳng 1) Tìm m để (C) (C¢) cắt hai điểm phân biệt A, B 2) Tìm tập hợp trung điểm I đoạn thẳng AB d) (Hm): y = a) (C): y = x + x + mx + (C’): y = x + x + b) (C): y = x - mx + (C¢): y = mx + x -1 (C¢): x - y + m = x +1 ( x - 2)2 d) (C): y = (C¢) đường thẳng qua A(0; 3) có hệ số góc m 1- x c) (C): y = Trang 39 ... 2) x - 3m + c) y = (m + 1) x - mx - (m - 2) x + m + d) y = (1 - 2m ) x - (3m - 1) x + 5m - e) y = x + mx - x - 9m f) y = (m - 2) x - mx + g) y = 2mx - x - 4m + h) y = x + mx - m - i) y = (m - 1)... y = - x + x - 4; d : y = x + 7; a = 45 0 x3 - x + x - 4; d : y = - x + 3; a = 30 b) (C): y = 4x - ; d : y = x; a = 45 0 c) (C ) : y = x -1 3x - d) (C ) : y = ; d : y = - x; a = 60 -2 x + x2 - x... 2(1 - m ) x + + m (m ¹ 0) d) y = x - m x + m - e) y = x3 + 3mx - m - 5m - f) y = mx - m x - mx + m - m2 + m + x+ m2 + m + (3m + 1) x - m + m (m - 2) x - m + m - h) y = x+m x -m x + mx + - m x -