Tham khảo tài liệu ''tài liệu ôn toán - bài tập giải tích lớp 12 - phần 8'', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nguyên hàm – Tích phân g) y = Trần Sĩ Tùng x2 , y= + x2 h) y = x + + , y = x i) y = x + x, y = x + k) y = x + 2, y = - x Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y = x , x = - y b) y + x - = 0, x + y - = c) y - y + x = 0, x + y = d) y = x + 1, y = x - e) y = x, y = x , y = 0, y = f) y = ( x + 1)2 , x = sin py g) y = x, x + y = 16 h) y = (4 - x )3 , y = x k) x + y = 8, y = x i) x - y + = 0, x + y - = Baøi Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y = x.e x ; y = 0; x = -1; x = b) y = x.ln x; y = 0; x = 1; x = e c) y = e x ; y = e- x ; x = d) y = x -2 ; y = 0; x = 0; y = - x e) y = ( x + 1)5 ; y = e x ; x = 1 f) y = ln x , y = 0, x = , x = e e g) y = sin x + cos2 x, y = 0, x = 0, x = p h) y = x + sin x; y = x; x = 0; x = 2p i) y = x + sin x; y = p; x = 0; x = p k) y = sin x + sin x + 1, y = 0, x = 0, x = Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) (C ) : y = x + p , tiệm cận xiên (C), x = x = x2 x2 + x + b) (C ) : y = , y = , tiệm cận xiên (C), x = –1 x = x+2 c) (C ) : y = x - x + x - 3, y = tiếp tuyến với (C) điểm có hồnh độ x = d) (C ) : y = x - x + 2, x = -1 tiếp tuyến với (C) điểm có hồnh độ x = –2 e) (C ) : y = x - x tiếp tuyến với (C) O(0; 0) A(3; 3) (C) VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể Bài Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình (H) giới hạn đường sau quay quanh trục Ox: p a) y = sin x, y = 0, x = 0, x = b) y = x - x , y = 0, x = 0, x = p d) y = x , y = 0, x = c) y = sin x + cos6 x , y = 0, x = 0, x = e) y = x - 1, y = 0, x = -1, x = g) y = f) y = x , y = x x2 x3 , y= i) y = sin x , y = cos x, x = h) y = - x + x , y = x + p p ,x= k) ( x - 2)2 + y = 9, y = l) y = x - x + 6, y = - x - x + m) y = ln x , y = 0, x = Bài Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình (H) giới hạn đường sau quay quanh trục Oy: Trang 98 Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân a) x = , y = 1, y = y b) y = x , y = c) y = e x , x = 0, y = e d) y = x , y = 1, y = Bài Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình (H) giới hạn đường sau quay quanh: i) trục Ox ii) trục Oy a) y = ( x - 2)2 , y = c) y = b) y = x , y = x , y = d) y = x - x , y = , y = 0, x = 0, x = x +1 e) y = x.ln x , y = 0, x = 1, x = e f) y = x ( x > 0), y = -3 x + 10, y = h) ( x – ) + y = g) y = x , y = x i) x2 y2 + =1 k) y = x - 1, y = 2, y = 0, x = l) x - y = 0, y = 2, x = m) y = x , y = 0, x = Trang 99 Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng IV ƠN TẬP TÍCH PHÂN Bài Tính tích phân sau: a) òx - x dx 2 æ x -1 d) ũ ỗ ữ dx + x ố ø -1 e) xdx ò ( x + 1) x ò h) dx l) x +1 Bài Tính tích phân sau: 1+ ò -1 x 1+ ò dx x - x -1 g) x4 ò x +1 h) i) + 2x + òx ò ( x + 1) x +1 + x + f) - x dx i) o) ò x - x dx p) 2+x + 2-x x +1 ò3 3x + 1 x2 + x ò3 ( x + 1)2 òx m) 0 xdx ò ò x x + dx + x dx òx l) xdx ò -1 dx + 5x + x2 + c) x + x2 + x + m) x -3 -1 2x x+5+4 ò dx ò x + x dx ò ò dx k) e) f) dx -1 - x + dx dx dx x xdx ò b) x8 - x 4 x a) ò dx x -1 1+ 10 x7 ò d) òx c) -3 k) ò ( x + - x - )dx b) g) dx - x dx dx x5 + 2x3 x2 + ò q) dx r) ò x - x dx s) t) Bài Tính tích phân sau: p /4 a) ị p/ d) ò p/2 g) p/2 - sin x dx + sin x ò b) sin x 2 cos x + sin x dx p/ ò p/2 o) ò + 3cos x p/2 e) cos x(sin x + cos4 x )dx h) l) x sin 2004 x + cos2004 x c) ò dx ò ò tan x cos x + cos x sin x dx cos x + p/2 p) ò sin x cos x dx + cos x ò cos5 xdx p/2 f) p/ p/2 x tan x dx sin dx sin x sin x sin x dx ò p/ 2004 p/2 0 k) ò sin x + sin x dx p i) Trang 100 + cos x p/2 m) q) dx ò sin x dx + 3cos x ò cos3 x dx sin x + p/2 sin x dx + cos x x sin x ò dx Trần Sĩ Tùng p/3 r) Nguyên hàm – Tích phân ò x sin2 xdx sin x cos x p/2 sin xdx x sin x + cos x cos ị s) Bài Tính tích phân sau: a) ị x ln( x + 5)dx p/2 d) ò (esin x + cos x ) cos x dx e g) x +1 ln xdx x ò ( x + 2) p/2 o) x2e x ò b) ò ln( x - x)dx ln e) dx l) ln3 e ò (4 x e p) ò - ln x x e3 x sin x dx e dx ò + 2e -x -3 h) ò ( x + 1)e x dx ò k) e ln x x - x - 1)e2 x dx t) c) ò ( x - 2)e2 x dx e f) òx 1 i) ln x dx dx ò 1+ e m) ò x ln(1 + x ) x2 1 dx q) ò x ln(1 + x )dx dx + ln x ln x dx x e3 ln x dx ò ò1 x + ln x x ln x + 1 Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y = x - x + 2, y = 0, x = 0, x = -1 b) y = , y = 0, x = -2, x = 2-x c) y = - x + x + , y = d) y = e x , y = 2, x = 4 1 f) y = x - x, y = - x + x e) y = x - + , y = 0, x = 2, x = x -1 2x +1 - x2 + x , y = 0, x = h) y = , y=0 g) y = x +1 x +1 x2 + 3x - m) y = , tiệm cận xiên, x = 0, x = x +1 x2 + x - n) y = , y = 0, tiếp tuyến vẽ từ gốc toạ độ x +1 r) ị dx s) t) o) y = x + x + x + , tiếp tuyến giao điểm (C) với trục tung x - x , tiếp tuyến điểm M thuộc đồ thị có hồnh độ x = Bài Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường sau quanh trục: p) y = a) y = x , y = 0, x = 3; Ox b) y = x ln x , y = 0, x = 1, x = e; Ox c) y = xe x , y = 0, x = 1; Ox d) y = - x , y = x + 2; Ox e) y = - x, x = 0; Oy f) x = ye y , x = 0, y = 1; Oy Chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp em học sinh đọc tập tài liệu transitung_tv@yahoo.com Trang 101 Số phức Trần Sĩ Tùng CHƯƠNG IV SỐ PHỨC I SỐ PHỨC Khái niệm số phức · Tập hợp số phức: C · Số phức (dạng đại số) : z = a + bi (a, bỴ R , a phần thực, b phần ảo, i đơn vị ảo, i2 = –1) · z số thực Û phần ảo z (b = 0) z ảo Û phần thực z (a = 0) Số vừa số thực vừa số ảo ìa = a ' · Hai số phức nhau: a + bi = a’ + b’i Û (a, b, a ', b ' ẻ R) ợb = b ' Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b Ỵ R) biểu diễn điểm M(a; b) hay r u = (a; b) mp(Oxy) (mp phức) Cộng trừ số phức: · ( a + bi ) + ( a’ + b’i ) = ( a + a’) + ( b + b’) i · ( a + bi ) - ( a’ + b’i ) = ( a - a’) + ( b - b’) i · Số đối z = a + bi –z = –a – bi r r r r r r · u biểu diễn z, u ' biểu diễn z' u + u ' biểu diễn z + z’ u - u ' biểu diễn z – z’ Nhân hai số phức : · ( a + bi )( a '+ b ' i ) = ( aa '– bb ' ) + ( ab '+ ba ' ) i · k (a + bi ) = ka + kbi (k Ỵ R) Số phức liên hợp số phức z = a + bi z = a - bi ỉz z · z = z ; z ± z ' = z ± z ' ; z.z ' = z.z '; ỗ ÷ = ; è z2 ø z2 · z số thực Û z = z ; z số ảo Û z = - z z z = a2 + b2 Môđun số phức : z = a + bi uuuur · z = a2 + b2 = zz = OM · z ³ 0, "z Î C , z =0Ûz=0 · z.z ' = z z ' Chia hai số phức: · z -1 = z (z ¹ 0) z · z z = z' z' · · z - z' £ z ± z' £ z + z' z' z '.z z ' z = z ' z -1 = = z z.z z Trang 102 · z' = w Û z ' = wz z Trần Sĩ Tùng Số phức Căn bậc hai số phức: ì · z = x + yi bậc hai số phức w = a + bi Û z2 = w Û í x - y = a ỵ xy = b · w = có bậc hai z = · w ¹ có hai bậc hai đối · Hai bậc hai a > ± a · Hai bậc hai a < ± - a i Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = (*) (A, B, C số phức cho trước, A ¹ ) D = B - AC -B ± d , ( d bậc hai D) 2A B · D = : (*) có nghiệm kép: z1 = z2 = 2A Chú ý: Nếu z0 Ỵ C nghiệm (*) z0 nghiệm (*) 10 Dạng lượng giác số phức: · z = r (cos j + i sin j) (r > 0) dạng lượng giác z = a + bi (z ¹ 0) · D ¹ : (*) có hai nghiệm phân biệt z1,2 = ì ïr = a2 + b2 ïï a Û ícos j = r ï b ïsin j = ïỵ r · j acgumen z, j = (Ox , OM ) · z = Û z = cos j + i sin j (j Ỵ R) 11 Nhân, chia số phức dạng lượng giác Cho z = r (cos j + i sin j) , z ' = r '(cos j '+ i sin j ') : · z.z ' = rr ' [ cos(j + j ') + i sin(j + j ')] · z r = [ cos(j - j ') + i sin(j - j ')] z' r ' 12 Công thức Moa–vrơ: n · [r (cos j + i sin j)] = r n (cos nj + i sin nj) , ( n Ỵ N* ) n · ( cos j + i sin j ) = cos nj + i sin nj 13 Căn bậc hai số phức dạng lượng giác: · Số phức z = r (cosj + i sin j ) (r > 0) có hai bậc hai là: ỉ j jử r ỗ cos + i sin ữ ố 2ø é ỉj ỉ ỉj ứ j jư vaứ - r ỗ cos + i sin ữ = r cos ỗ + p ữ + i sin ç + p ÷ ú è 2ø ø è2 øû ë è2 · Mở rộng: Số phức z = r (cosj + i sin j ) (r > 0) có n bậc n là: n ỉ j + k 2p j + k 2p r ỗ cos + i sin ÷ , k = 0,1, , n - n n è ø Trang 103 Số phức Trần Sĩ Tùng VẤN ĐỀ 1: Thực phép toán cộng – trừ – nhân – chia – bậc Áp dụng quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, bậc hai số phức Chú ý tính chất giao hốn, kết hợp phép tốn cộng nhân Bài Tìm số thực x y, biết: a) x + yi - + 2i = x - yi + + 4i b) (2 x + 3) + ( y + 2)i = x - ( y - 4)i c) (2 - x ) - i = + (3 - y )i d) (3 x - 2) + (2 y + 1)i = ( x + 1) - ( y - 5)i e) (2 x + y) + ( y + 2)i = ( x + 2) - ( y - 4)i Baøi Thực phép toán sau: a) (-5 - 7i) - (9 - 3i ) - (11 + 6i ) b) (4 – i ) + (2 + 3i ) – (5 + i ) c) -17i + (4 + i) - (1 - 3i) e) 14i + (1 - 2i) - ( + ) i f) - i + ( - 2i ) d) (-2 + 7i ) + (14 - i ) + (1 - 2i) æ ö æ ö æ3 ö ổ ổ2 g) ỗ - i ữ + ỗ - + 2i ữ - i h) ỗ + i ữ - ỗ - + i ữ i) ( - 3i ) - ỗ - i ÷ ø è è ø è4 ø è ø è3 ø Bài Thực phép tốn sau: a) (2 - 3i)(3 + i ) b) (-2 + 5i )(4 + 8i ) c) (4 + i)(3 - 6i ) d) (2 - 7i )(4 - i )(1 + 2i) e) (2 - 7i )(4 + i ) - (11 - 3i ) f) (3 + 4i )2 g) (2 + i )3 - (3 - i )3 h) (1 + i )2 - (1– i)2 i) (-1 + i )3 - (2i )3 k) (3 + 3i )5 l) (2 - i )6 m) 5i(1 - i )7 n) Bài a) d) g) k) n) ỉ1 ổ1 3ử o) ỗ + i ữ ỗ - 3i ÷ è2 ø è2 ø Thực phép toán sau: 1+ i b) 2-i + 2i (3 + i )(2 + 6i ) 1+ i e) 1- i 1- i (1 + 2i)(-4 + i) (1 - i )(4 + 3i) -i -i 1+ i i l) m i m Baøi Thực phép toán sau: a) (1 - i)100 d) (-3 + 2i )(1 - i)2 (2 + i) + (1 + i)(4 - 3i ) - 2i h) o) 1+ i + 1- i 1- i 1+ i a+i a a-i a b) (1 + i )2009 - (1 - i )2009 e) (1 + 2i) - (1 - i) (3 + 2i) - (2 + i ) æ 3ử p) ỗ - + i ữ ố 2 ø - 3i + 5i 3+ i f) (1 - 2i )(1 + i ) c) i) -2 + 5i (1 + 3i)(-2 - i )(1 + i ) m) p) 2+i 1- i a+i b + 1+ i 2 -i i a c) (1 + i )2010 - (1 - i)2010 f) (1 + i )2 (2i )3 -2 + i c) z+i z-i (1 - 2i)3 (3 + i ) Baøi Cho số phức z = x + yi Tìm phần thực phần ảo số phức sau: z +i iz - Bài Phân tích thành nhân tử, với a, bỴ R: a) z2 - z + 4i b) a) a2 + b) 2a2 + c) 4a + 9b2 d) 3a2 + 5b e) a3 + f) a3 - 27 g) a4 + 16 h) a4 + a2 + Trang 104 Trần Sĩ Tùng Số phức Baøi Tìm bậc hai số phức: a) -1 + 3i b) + 5i c) -1 - 6i d) -5 + 12i e) + 6i f) - 24i g) -40 + 42i h) 11 + 3.i k) - - i l) + 4i m) 33 - 56i i) + i VẤN ĐỀ 2: Giải phương trình tập số phức · Giả sử z = x + yi Giải phương trình ẩn z tìm x, y thoả mãn phương trình · Sử dụng cách giải phương trình bậc Bài Giải phương trình sau (ẩn z): a) (4 - 5i )z = + i ỉ d) z ỗ - i ữ = + i ø è æ + i - 5i - 5i + g) ỗ ữz = 1- i è - i + 3i ø k) z + z = o) (2 - i ) z = + 4i b) (4 + 3i )z = (2 - i )3 e) + 5i = - 4i z 2+i - + 3i z= 1- i 2+i ổ z+iử f) ỗ ÷ =1 è z -iø c) h) (3 - 2i)2 ( z + i) = 3i i) z + z = l) z - 3z = - 12i m) z - z = -1 - 8i p) z - z = q) z + z = - 4i ỉ 1ư r) [(2 - i ) z + + i ] ỗ iz + ữ = 2i ứ ố Bài Giải phương trình sau (ẩn z): q) (1 - i )5 z = (3 + 2i )(1 + 3i) a) z2 - 3.z + = b) 2.z2 - 3.z + = c) 3z2 - z + = d) -3z2 + z - = e) z2 + = f) 7z2 + 3z + = g) z2 + z + = h) z2 - 3z + = Baøi Giải phương trình sau (ẩn z): i) z2 - z + 11 = a) ( z2 + 9)( z2 - z + 1) = b) 3z3 - 24 = c) z - 5z2 - = d) z + z2 - = e) z - 8z2 - = f) z + z - 77 = g) 8z4 + 8z3 = z + h) z3 + z2 + z - = Bài Giải phương trình sau (ẩn x): i) z + z3 + z + = a) 3i x - x - + i = b) x - (3 - i) x + - 3i = c) ix + x + - i = d) x + 2(1 + i) x + + 2i = e) x + (2 - 3i ) x = f) i x + 2i x - = g) x - 2(2 - i ) x + 18 + 4i = h) x + (1 - 3i) x - 2(1 + i ) = i) x - ix + = k) (1 - i ) x - x - (11 + 3i ) = l) x + (1 + i ) x - - i = Baøi Giải phương trình sau (ẩn z): m) x + (-2 + i ) x - 2i = a) z4 + 16 = b) z - = c) ( z + 2)5 + = d) ( z2 + i )( z2 - 2iz - 1) = e) z5 + z4 + z3 + z2 + z + = f) ( z + 3i)(z2 - z + 5) = g) z3 - 3z2 + 5z + 3i - = h) z - 8(1 - i )z2 + 63 - 16i = Trang 105 Số phức Trần Sĩ Tùng i) ( z + - i )2 - 6( z + - i) + 13 = k) z - 24(1 - i)z2 + 308 - 144i = Baøi Tìm hai số phức biết tổng tích chúng là: a) + 3i vaø - + 3i b) 2i vaø - + 4i Baøi Tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận a làm nghiệm: a) a = + 4i b) a = - i d) a = -2 - i e) a = - i c) a = - 5i f) a = -i 5+i g) a = (2 + i )(3 - i ) h) a = i 51 + 2i80 + 3i 45 + 4i 38 i) a = 2-i Baøi Tìm tham số m để phương trình sau có hai nghiệm z1 , z2 thoả mãn điều kiện ra: a) z2 - mz + m + = 0, ñk : z12 + z22 = z1z2 + b) z2 - 3mz + = 0, ñk : z13 + z23 = 18 c) z2 + mz + = 0, ñk : z12 + z22 = Baøi Cho z1 , z2 hai nghiệm phương trình Tính giá trị biểu thức sau: A = z12 + z22 , B = z12 z2 + z1z22 , a) z2 + z + = b) 3z2 + z + = c) 5z2 - z + 11 = d) z2 + z + = e) (1 + i ) z2 - (3 + 2i )z + - i = g) z2 - (5 - 14i )z - 2(12 + 5i) = Bài 10 Giải hệ phương trình sau: ìïz + z = + i a) í 12 22 b) ïỵz1 + z2 = - 2i z1 z2 + : z2 z1 C= f) z2 + (1 - 3i)z - 2(1 + i) = h) (1 - i )z2 - z - (11 + 3i ) = ìïz1.z2 = -5 - 5.i í 2 ïỵz1 + z2 = -5 + 2.i ì z - 12 = ï ï z - 8i e) í ï z- =1 ïỵ z - ïì z - 2i = z h) í ïỵ z - i = z - ìïz3 + z5 = c) í 12 ïỵz1 (z2 ) = ì z -1 =1 ï ï z-i f) í ï z - 3i = ïỵ z + i ìx + y = c) í ỵ xy = + 4i ì1 1 ï + = - i d) í x y 2 ï x + y = - 2i ỵ ìx + y = - i í 2 ỵ x + y = - 8i ì x + y = -6 ï e) í 1 ïx + y = ỵ ìx + y = - i g) í 2 ỵ x + y = + 2i ìx + y = h) í 3 ỵ x + y = -2 - 3i ì i) í x + y = + 2i ỵx + y = - i ì z1 + z2 + z3 = ï d) íz1 + z2 + z3 = ïz z z = ỵ1 ìïz2 + z2 = + 2i g) í ïỵz1 + z2 = - i Bài 11 Giải hệ phương trình sau: ì x + y = - 2i a) í b) ỵx + y = - i Trang 106 ìï i) íz1 + z2 + z1z2 = ïỵz1 + z2 = 2i ì x + y = + 2i ï f) í 1 17 + = + i ïỵ x y 26 26 Trần Sĩ Tùng Số phức VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm Giả sử số phức z = x + yi biểu diển điểm M(x; y) Tìm tập hợp điểm M tìm hệ thức x y Baøi Xác định tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn số z thỏa mãn điều kiện sau: a) z + z + = d) 2i.z - = z + b) z - z + - i = e) 2i - z = z - g) z + i = z - - 3i h) k) + z = i - z l) z + < z - 3i =1 z+i c) z - z + 2i = z - i f) z + = i) z - + i = m) < z - i < o) z + (1 - 3i) = z + - 2i p) 2i - z = z - n) z - (1 - i )3 = Baøi Xác định tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn số z thỏa mãn điều kiện sau: a) z + 2i số thực b) z - + i số ảo z+i c) số ảo d) số thực dương z -1 z-i e) ( z - i )2 số thực dương f) ( z - + i)2 số ảo g) z £ phần thực lớn i) Phần thực z nhỏ h) z £ phần thực nhỏ –2 k) Phần ảo z lớn VẤN ĐỀ 4: Dạng lượng giác số phức Sử dụng phép tốn số phức dạng lượng giác Bài Tìm acgumen số phức sau: a) - + 3.i b) – 4i p p p p d) cos - i sin e) - sin - i cos 4 8 Baøi Thực phép tính sau: a) ( cos 20o + i sin 20o )( cos 25o + i sin 25o ) c) ( cos120o + i sin120o )( cos 45o + i sin 45o ) e) ( cos18o + i sin18o )( cos 72o + i sin 72o ) g) (cos 45 + i sin 45 ) (cos15 + i sin 15 ) c) - 3.i f) (1 - i )(1 + i) ỉ p pư ỉ p pư b) ỗ cos + i.sin ữ ỗ cos + i.sin ÷ è 6ø è 4ø p pử ổ p pử ổ d) ỗ cos + i sin ữ ỗ cos + i sin ữ 6ø è 4ø è o o cos85 + i sin 85 f) cos 40o + i sin 40o 2(cos 45o + i sin 45o ) h) 3(cos15o + i sin15o ) 2p 2p + i sin ) 3 i) k) p p 2(cos + i sin ) 2 Baøi Viết dạng lượng giác số phức sau: (cos Trang 107 2p 2p ö ổ ỗ cos + i sin ữ 3 ứ ố p pử ổ ỗ cos + i sin ÷ 2ø è Số phức Trần Sĩ Tùng b) + i a) - i 1- i 1+ i f) + 2i i) + i k) 3-i e) c) (1 - i )(1 + i ) d) 2.i.( - i) g) sin j + i cos j h) l) + 0i m) tan +i Baøi Viết dạng đại số số phức sau: p pử ổ b) ỗ cos + i sin ữ 6ø è 3+i e) (1 + i )(1 - 2i ) a) cos 45o + i sin 45o d) (2 + i)6 1+ i g) 2i + h) ( -1 + i ) æ 3p 3p k) + i sin ỗ cos ữ 4 ứ 2ố ổ1+ i l) ỗ ữ ố 1- i ø 60 100 5p +i c) ( cos120o + i sin120o ) f) i æ 1+ i i) (2 - 2i ) ỗ ữ ố 1- i ứ ổ p pử ỗ cos + i sin ÷ m) è 4ø ( 17 - i) Bài Tính: a) ( cos12o + i sin12o ) d) éë ( cos30 + i sin 30 ) ùû 21 16 b) (1 + i ) æ + 3i ữ g) ỗỗ ữ i è ø p p k) (cos - i sin )i (1 + 3i )7 3 Baøi Chứng minh: c) ( - i ) e) (cos15o + i sin15o )5 f) (1 + i )2008 + (1 - i )2008 12 ỉ1 ư÷ h) çç + i i) ÷ 2 è ø 1 l) z2008 + , bieát z + = z z2008 ổ i + 1ử ỗ ữ ố i ø 2008 a) sin 5t = 16sin5 t - 20sin3 t + 5sin t b) cos 5t = 16 cos5 t - 20 cos3 t + cos t c) sin 3t = 3cos2 t - sin3 t d) cos3t = cos3 t - cos t Trang 108 40 Trần Sĩ Tùng Số phức II ÔN TẬP SỐ PHỨC Bài Thực phép tính sau: a) (2 - i )(-3 + 2i)(5 - 4i ) 16 ổ1+ i ổ1- i c) ỗ ữ +ỗ ÷ è 1- i ø è1+ i ø + 7i - 8i + + 3i - 3i b) ỉ -1 + i ổ - i d) ỗ ữ +ỗ ÷ è ø è ø e) (2 - 4i)(5 + 2i) + (3 + 4i )(-6 - i ) f) i -5 (-i )-7 + (-i)13 + i -100 + (-i)94 g) i 2000 + i1999 + i 201 + i82 + i 47 h) + i + i2 + i3 + + i2009 k) + i + i + + i n , (n ³ 1) i) i.i i i 2000 Baøi Cho số phức z1 = + 2i, z2 = -2 + 3i, z3 = - i Tính: a) z1 + z2 + z3 d) z12 + z2 + z3 b) z1z2 + z2 z3 + z3 z1 z z z e) + + z2 z3 z1 c) z1z2 z3 f) Baøi Rút gọn biểu thức sau: z12 + z2 z2 + z32 a) A = z4 + iz3 - (1 + 2i)z2 + 3z + + 3i, với z = + 3i b) B = ( z - z2 + z3 )(2 - z + z2 ), với z = Bài Tìm số thực x, y cho: a) (1 - 2i ) x + (1 + y)i = + i ( - i) b) x -3 y -3 + =i 3+i 3-i x + (3 xy - y )i Bài Tìm bậc hai số phức sau: b) + 4i c) + i a) + 6i c) (4 - 3i ) x + (3 + 2i ) xy = y - ổ1+ i e) ỗ ữ è 1- i ø i) -i 1+ i ổ1- i f) ỗ ữ ỗ -i ÷ è ø k) + 2 g) i 2 l) -2 (1 + i ) i Bài Tìm bậc ba số phức sau: d) - 24i h) i, –i m) 1 + 1+ i 1- i a) -i b) –27 c) + 2i Bài Tìm bậc bốn số phức sau: d) 18 + 6i a) - i 12 b) + i Baøi Giải phương trình sau: d) -7 + 24i a) z3 - 125 = c) -2i b) z + 16 = c) z3 + 64i = d) z3 - 27i = e) z7 - 2iz4 - iz3 - = f) z6 + iz3 + i - = g) z10 + (-2 + i)z5 - 2i = Baøi Gọi u1; u2 hai bậc hai z1 = + 4i v1; v2 hai bậc hai z2 = - 4i Tính u1 + u2 + v1 + v2 ? Bài 10 Giải phương trình sau tập số phức: a) z2 + = b) z2 + z + = Trang 109 c) z2 + z + 10 = Số phức Trần Sĩ Tùng d) z2 - 5z + = e) -2 z2 + 3z - = f) 3z2 - z + = g) ( z + z )( z - z ) = h) z2 + z + = i) z2 = z + k) z + 3z = + 3i l) ( z + 2i ) +2 ( z + 2i ) - = m) z3 = z 2 n) z2 + z = o) iz2 + (1 + 2i)z + = Baøi 11 Giải phương trình sau tập số phức: ỉ 4z + i 4z + i a) ỗ +6 = ÷ -5 z-i è z -i ø p) (1 + i )z2 + + 11i = b) ( z + 5i )( z - ) ( z2 + z + 3) = c) ( z2 + z ) - ( z2 + z ) - 16 = d) z3 - (1 + i ) z2 + ( + i ) z - 3i = e) ( z + i ) ( z2 - z + ) = f) z2 - 2iz + 2i - = g) z2 - (5 - 14i )z - 2(12 + 5i) = h) z2 - 80 z + 4099 - 100i = i) ( z + - i )2 - 6( z + - i) + 13 = k) z2 - (cos j + i sin j)z + i cos j sin j = Bài 12 Giải phương trình sau tập số phức: a) x - (3 + 4i ) x + 5i - = b) x + (1 + i ) x - - i = c) x + x + = e) x - = d) x + x + = Baøi 13 Giải phương trình sau biết chúng có nghiệm ảo: a) z3 - iz2 - 2iz - = ( b) z3 + (i - 3)z2 + (4 - 4i )z - + 4i = ) Bài 14 Tìm m để phương trình sau: ( z + i ) z2 - 2mz + m - 2m = a) Chỉ có nghiệm phức c) Có ba nghiệm phức b) Chỉ có nghiệm thực Bài 15 Tìm m để phương trình sau: z3 + (3 + i )z2 - 3z - (m + i ) = có nghiệm thực Bài 16 Tìm tất số phức z cho ( z - 2)( z + i ) số thực Bài 17 Giải phương trình trùng phương: a) z - 8(1 - i )z2 + 63 - 16i = b) z - 24(1 - i)z2 + 308 - 144i = c) z + 6(1 + i )z2 + + 6i = Baøi 18 Cho z1 , z2 hai nghiệm phương trình: z2 - (1 + i ) z + - 3i = Tính giá trị biểu thức sau: a) z12 + z22 b) z12 z2 + z1z22 ỉ1 ỉ1 2ư 2ử d) z1 ỗỗ + ữữ + z2 ỗỗ + ÷÷ e) z2 z13 + z1z23 è z2 z1 ø è z1 z2 ø c) z13 + z23 f) z1 z2 + z2 z1 Baøi 19 Cho z1 , z2 hai nghiệm phương trình: x - x + = Tính giá trị biểu thức sau: a) x12000 + x22000 b) x11999 + x1999 c) x1n + x2n , n Ỵ N Bài 20 Tìm tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức thoả mãn hệ thức sau: a) z =3 z -i b) z2 + z = Bài 21 Hãy tính tổng S = + z + z2 + z3 + z n -1 biết Baøi 22 Viết dạng lượng giác số phức sau: Trang 110 c) z = z = cos z 2p 2p + i sin n n ... )z2 - z - (11 + 3i ) = ìïz1.z2 = -5 - 5.i í 2 ïỵz1 + z2 = -5 + 2.i ì z - 12 = ï ï z - 8i e) í ï z- =1 ïỵ z - ïì z - 2i = z h) í ïỵ z - i = z - ìïz3 + z5 = c) í 12 ïỵz1 (z2 ) = ì z -1 =1 ï ï z-i... z2 - z + 1) = b) 3z3 - 24 = c) z - 5z2 - = d) z + z2 - = e) z - 8z2 - = f) z + z - 77 = g) 8z4 + 8z3 = z + h) z3 + z2 + z - = Bài Giải phương trình sau (ẩn x): i) z + z3 + z + = a) 3i x - x -. .. 2) - ( y - 4)i Baøi Thực phép toán sau: a) (-5 - 7i) - (9 - 3i ) - (11 + 6i ) b) (4 – i ) + (2 + 3i ) – (5 + i ) c) -1 7i + (4 + i) - (1 - 3i) e) 14i + (1 - 2i) - ( + ) i f) - i + ( - 2i ) d) (-2