Giải các phương trình sau:... Bài tập rèn luyện.. MỘT VÀI BÀI KHÔNG MẪU MỰC Bài 1... Lập bảng biến thiên ta thấy fx ñồng biến trên 0,1 và nghịch biến trên 1,+∞.. HD: Gọi x là một nghiệm
Trang 1Xét hàm số ( ) x x ( ) x 2 x 2
f x = + −3 2 3x−2 ⇒ f '' x =3 ln 3 2 ln 2+ >0 ⇒ ðồ thị của hàm số này lõm, suy ra phương trình không có quá hai nghiệm (ðịnh lí Rôn)
Ví dụ 5: Chứng minh hệ phương trình
x
2
y
2
y 2007
x 2007
e
e
−
có ñúng hai nghiệm thỏa mãn
x>0, y>0
HD: Dùng tính chất 2 ñể chỉ ra x=y khi ñó xét hàm số ( ) x
2
x
e
● Nếu x< −1 thì ( ) 1
f x <e− −2007<0 suy ra hệ phương trình vô nghiệm
● Nếu x>1 dùng ñịnh lý Rôn và chỉ ra với x0=2 thì f 2( )<0 ñể suy ra ñiều phải chứng minh
Ví dụ 6: Cho a≥ >b 0 Chứng minh rằng:
HD: Bất ñẳng thức
Xét hàm số ( )
x x
1
ln 2
2
f x
x
= với x>0, Suy ra f’ x( )<0 với mọi x>0 nên hàm số nghịch biến vậy với a≥ >b 0 ta có
( ) f(a)≤f b
Bài 1 Giải các phương trình sau:
1) 3x+4x =5x 7) 4x − =3x 1
2) log 12( + x)=log x3 8) ( log x 6 )
log x+3 =log x
3) log 9 2 2 log x 2 log 3 2
3.25 − + 3x 10 5− − + − =3 x 0
x 3 +3 12 7x− = − +x 8x −19x 12+
5) 4 x( −2)log2(x 3− +) log3(x−2)=15 x 1( + )
6) 5x 4x 3x 2x 1x 1x 1x 2x3 5x2 7x 17
Bài 2 Giải các phương trình sau:
Trang 21)
x
2 = +1 3 4) x ( ) x
25 −2 3 x 5− +2x− =7 0
2) 2 3 x− = − +x2 8x 14− 5) 8 x.2− x+23 x− − =x 0
l og x+ −x 1 log x= −6 2x
Bài 3 Bài tập rèn luyện Giải các phương trình sau:
1) 4x +9x =25x
x+2 log x 1+ +4 x 1 log+ x 1+ − =16 0
9 +2 x−2 3 +2x− =5 0
4) x+log x( 2− − = +x 6) 4 log x( +2)
x+3 log x+ +2 4 x+2 log x+ =2 16
DẠNG 7 MỘT VÀI BÀI KHÔNG MẪU MỰC
Bài 1 Giải phương trình: x x ( x ) ( x )
4 −2.2 +2 2 −1 sin 2 + − + =y 1 2 0
4 −2.2 +2 2 −1 sin 2 + − + =y 1 2 0
2
2
x
⇔
+ − =
Bài 2 Giải phương trình: sinx 1+sinx ( ) y
4 −2 cos xy +2 =0
HD: phương trình sinx 1+sinx ( ) y
4 −2 cos xy +2 =0 ( ) 2 y ( )
Ta cĩ sinx ( ) 2
y
2
cos xy 1
≤
( )
2 cos xy 0 2 cos xy 1
Trang 3( )
y
2 2
y 0
cos x.0 1 cos xy 1
=
Thay vào (1) ta ñược x=kπ
Bài 3 Giải phương trình:
2x 1 3 2x
2 3
8
log 4x 4x 4
+ + − =
− +
4x −4x+ =4 2x 1− + ≥3 3 nên ( 2 )
3
log 4x −4x+ ≥4 1 Suy ra
3
8
8 log 4x 4x 4 ≤
Mặt khác 22x 1+ +23 2x− ≥2 22x 1+.23 2x− =2 22x 1 3 2x+ + − =8 (2)
log x + + −x 1 log x=2x−x
HD: ðiều kiện x>0 Phương trình ( 2 ) 2
log x + + −x 1 log x=2x−x ( )2
3
1
x
Ta có
● x 1 2 x 1 1 3 log3 x 1 1 1
● ( )2
Vậy phương trình
( )
3 2
1
2
2
1
3 x x
x x x
−
Bài 5 Giải phương trình: 2( ) 3
1
x 1
−
HD: ðiều kiện x>2
● x− + ≥2 4 4 ⇒ log2( x− + ≥2 4) 2
3
1
x 1
−
4x 8 2 x+ − = +4 x −x 2 +x.2 + 2 x−
Trang 4HD: ðiều kiện − 2≤ ≤x 2
4 x.2 x 1 2 2 x 0 *
Ta có
3
x≤ 2 ⇒ x.2 ≤ 2.2 < 2.2 =4 Do ñó ( ) 2
* ⇔ − + x 1 2 2 x− =0
5x+ 6x − −x x log x=(x −x) log x+ +5 5 6+ −x x
>
⇔ < ≤
2
x log x 5 6 x x 1 x 0 *
Do x≤3 ⇒ x log x2 ≤3log 32 <log 322 =5 ⇒ x log x 5( 2 − <) 0
* ⇔ 6+ −x x + −1 x =0
Bài 8 Giải phương trình: 3sin x2 +3cos x2 =2x+2−x+2
x -x
sin x 1 sin x 2 2
2
2
2
x -x 2sin x
sin x sin x sin x x -x 2
2 2 sin x
3
3
+
0≤sin x≤1 ⇒ 1 3≤ ≤3 Do ñó VT≤ ≤0 VP
Bài 9 Giải phương trình: 2 log cot x3 =log cos x2
HD: ðặt 2 log cot x3 =log cos x2 =t, ta có
t
t
cos x 4
4
3 cos x 0, cot x 0 cos x 0, cot x 0
cos x 0, cot x 0
t t t
cos x 4
cos x 4
3
cos x 0, cot x 0 cos x 0, cot x 0
cos x 0, cot x 0
=
=
π
3
Tổng quát: Dạng α.loga f x( )=β.logb g x( ) ta ñặt t=α.loga f x( )=β.logb g x( )
Trang 5Bài 10 Giải phương trình: 2 3 ( 2 )
3x −2x =log x + −1 log x
HD: ðiều kiện x>0
f x =3x −2x , g x =log x + −1 log x
f x =3x −2x ⇒ f ' x =6x 6x ; f ' x− = ⇔ =0 x 0, x=1 Lập bảng biến thiên ta thấy f(x) ñồng biến trên (0,1) và nghịch biến trên (1,+∞) Suy ra trên
(0,+∞), maxf x( ) ( )=f 1 =1 hay f x( )≤ ∀ >1, x 0
2
Với x>0, ta có
x 2 côsi log x log 2 1
Suy ra g x( )≥ ∀ >1, x 0
Vậy phương trình
2
log x 1 log x 1
⇔
Bài 11 Giải phương trình: x 1 x2 x ( )2
2 − −2 − = x 1 −
HD: phương trình x 1 ( ) x 2 x ( 2 )
u= −x 1; v=x −x.Khi ñó phương trình có dạng 2u+ =u 2v +v Xét hàm số ( ) t
f t = +2 t, hàm này ñồng biến và liên tục trên ℝ
Bài 12 Giải phương trình: 2009x +2011x =2.2010x
HD: Gọi x là một nghiệm của phương trình ñã cho Ta ñược 0
( )
2009 +2011 =2.2010 ⇔ 2009 −2010 =2010 −2011 *
Xét hàm số ( ) x0 ( )x 0
F t =t − +t 1 Khi ñó (*)⇔ F 2009( ) (=F 2010)
Vì F(t) liên tục trên [2009, 2010 và có ñạo hàm trong khoảng ] (2009, 2010 , do ñó )
theo ñịnh lí Lagrange tồn tại c∈(2009, 2010) sao cho
0
0
F 2010 F 2009
2010 2009
−
Thử lại x0 =0, x0 =1 thấy ñúng Vậy nghiệm của phương trình là x0 =0, x0=1
Nhận xét: Bài toán tương tự
1) 3cos x−2cos x =co sx ⇔ 3cos x−2cos x =3co sx−2 co sx
Trang 62) log x 3 log x 3
4 +2 =2x ðặt u=log x 3 ⇒ x=3u Phương trình ⇔ 4u+2u =2.3u
Lưu ý: Bài toán trên ta sử dụng ñịnh lí Lagrange: Nếu hàm số y= f x( ) liên tục trên ñoạn
[ ]a b và có ñạo hàm trên khoảng ; ( )a b thì tồn tại một ñiểm ; c∈( )a b; sao cho
( ) ( ) ( )
f c
b a
−
=
Bài 13 Giải phương trình:
2
2
3 2
u=x + +x 1; v=2x −2x+3 u>0, v>0 Suy ra 2
v u− =x − +3x 2
Phương trình ñã cho trở thành log3u v u log u3 log v3 v u
log u u log v v
Xét hàm số f t( )=log t3 +t Ta có f (t)' 1 1 0, t 0
t.ln 3
= + > ∀ > nên hàm số ñồng biến khi t>0 Do ñó phương trình ⇔ f u( ) ( )=f v suy ra u=v hay v u− =0 tức là
2
x − + = ⇔ =3x 2 0 x 1, x=2 Vậy phương trình có nghiệm x=1, x=2
Lưu ý: Với phương trình dạng loga u v u, (u 0, v 0, a 1)
v = − > > > ta thường biến ñổi
loga u−loga v= − ⇔v u loga u+ =u loga v+v Vì hàm số f t( )=loga t+t ñồng biến khi t>0 Suy ra u=v
Bài 14 Giải phương trình: cos x sinx
2 +2 =3
HD: Áp dụng BðT Becnuli mở rộng: tα + −( )1 t α ≤1 với t>0, α∈[ ]0,1
Từ phương trình suy ra: s inx, cos x∈[ ]0,1 Suy ra x k2π; π k2π
2
Theo Becnuli: cos x ( )
2 + −1 2 cos x≤1
sinx
2 + −1 2 sinx≤1 Suy ra cos x sinx ( )
2 +2 ≤ s inx+cos x +2
2 +2 ≤min s inx+cos x +2=min s inx+cos x +2
Mà: min s inx( +cos x)=1 với x k2π; π k2π
2
Do ñó cos x sinx
2 +2 ≤3 Dấu ''='' xảy ra khi và chi khi sinx 1
cosx 0
=
=
sinx 0 cosx 1
=
=
Trang 7x k2π π
2
=
⇔
= +
- HẾT -
Trang 8Ta cĩ thể dùng các phương pháp biến đổi như đối với giải phương trình và sử dụng các cơng thức sau
HÀM SỐ MŨ
● 0< <a 1
f x g x
f x g x
a a f x g x
a a f x g x
> ⇔ <
≥ ⇔ ≤ (nghịch biến)
● a>1
f x g x
f x g x
a a f x g x
a a f x g x
> ⇔ >
HÀM SỐ LOGARIT
● log f x cĩ nghĩa a ( )
( )
0 a 1
< ≠
⇔
>
a
log f x =b ⇔ f x =a
f x g x log f x log g x
0 a 1
< ≠
● 0< <a 1
log f x log g x 0 f x g x log f x log g x 0 f x g x
> ⇔ < <
● a>1
log f x log g x 0 f x g x log f x log g x 0 f x g x
> ⇔ < >
Tổng quát ta cĩ:
a 0 log f x log g x f x 0; g x 0
>
a 0 log f x log g x f x 0; g x 0
>
CHUYÊN ĐỀ 2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT
Trang 91 PHệễNG PHAÙP ẹệA VEÀ CUỉNG Cễ SOÁ
Vớ dụ 1 Giải bất phương trỡnh: 2
x x 1
x 2x 1 3
3
ư ư
ư
≥
Lời giải:
- ðiều kiện: x≤0 hoặc x≥2
- Khi đó bất phương trình tương đương với
2 x x 1
3 ư ≥3ư ư ⇔ x ư2x ≥ ư ưx x 1 (1)
+ Nếu x 0≤ thì x 1 1 xư = ư , khi đó bpt ( ) 2
1 ⇔ x ư2x ≥2x 1ư (đúng vì x ≤ 0) + Nếu x 2≥ thì x 1ư = ưx 1, khi đó bpt ( ) 2
1 ⇔ x ư2x ≥1
x 2x 1 0
≤ ư
≥ +
- Kết hợp với điều kiện ta được x 1≥ + 2
Vớ dụ 2 Giải bất phương trỡnh: ( 2 )
x
log 5x ư8x+ >3 2
Lời giải:
- Bất phương trình trên tương đương với
2
2
2 3
5 5
x 1
x 1
x 1
< < < <
< <
⇔ ⇔ < ∨ > ⇔ < ∨ > ⇔
>
>
3 5 3 x 2
<
>
Lưu ý: Với bất phương trỡnh dạng logf x( )g x( )>a, ta xét hai trường hợp của cơ số
( )
0< f x <1 và1< f x( )
Vớ dụ 3 Giải bất phương trỡnh: ( ) 2
log x log x
Lời giải:
- ðiều kiện: x>0
- Ta sử dụng phép biến đổi ( )2 ( ) 3
log x log x log x log x
3 = 3 =x Khi đó bất phương trình tương đương với log x 3 log x 3 log x 3
x +x ≤ ⇔6 x ≤3
- Lấy lôgarit cơ số 3 hai vế, ta được: ( log x 3 )
log x ≤log 3 ⇔ log x.log x≤1 ( )2
1
3
- Vậy phương trình có nghiệm 1 x 3
3≤ ≤
Trang 10Vớ dụ 4 Giải bất phương trỡnh: 1 2
3
1 2x
1 x
+
>
Lời giải:
- Bất phương trình trên tương đương với
2
2
x 0
- Vậy x 0> là nghiệm của bất phương trình
BAỉI TAÄP
Giải cỏc bất phương trỡnh sau:
1)
2 0,7 6
x 4
+
2) log3x xư 2(3 xư )>1
log x 5ư +3log x 5ư +6 log x 5ư ư4 log x 50 2ư + ≤0
2 PHệễNG PHAÙP ẹAậT AÅN PHUẽ
Vớ dụ 1 Giải bất phương trỡnh:
x x 2
x x
2.3 2
1
+
ư
Lời giải:
- ðiều kiện x≠0
- Chia cả tử và mẫu cho x
2 , ta ủược:
x
x x 2
x
x x
3
1 2
+
ư
ư
2
= < ≠
Khi đó bất phương trình tương đương với
2t 4
1 0
t 1ư ư ≤
ư
x
3 2
⇔ ≤ ⇔ < ≤ ⇔ < ≤ ⇔ < ≤
- Vậy bất phương trình có nghiệm 3
2
0< ≤x log 3
ư + <
Lời giải:
- ðiều kiện x>0
- Bất phương trình trên tương đương với
3
2
2
log x log x log 8 9 log 32 log x 4 log x log x 3log x 3 9 5 2 log x 4 log x