giáo viên: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG Kiến thức cần nhớ: 1) Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 2) Hệ phương trình đối xứng loại 1: - Dạng: = = 0)y,x(g 0)y,x(f trong đó f(x , y) và g(x , y) là biểu thức đối xứng theo x và y - Cách giải: Dùng ẩn phụ S = x + y, P = xy (điều kiện: S 2 - 4P )0≥ - Chú ý: + Đôi khi phải sử dụng ẩn phụ trước khi tiến hành đặt S, P + Do tính đối xứng nên nếu (x , y) là nghiệm thì (y , x) cũng là nghiệm. 3) Hệ phương trình đối xứng loại 2: - Dạng: = = 0)x,y(f 0)y,x(f (hoán vị vai trò của x và y thì phương trình này thành phương trình kia) - Cách giải: + Trừ vế theo vế ta được một phương trình có thể phân tích thành (x - y)g(x,y) = 0 + Khi đó hệ phương trình đã tương đương với: )II( 0)y,x(f 0)y,x(g )I( 0)y,x(f 0yx = = ∨ = =− - Lưu ý: (II) tương đương với =+ = 0)x,y(f)y,x(f 0)y,x(g (Hệ đối xứng loại 1) Bài tập: Bài 1: Giải hệ phương trình: a) =+ =+ 35yx 30xyyx 33 22 b) =+− =+ 13yyxx 5yx 4224 22 c) =+++ =+++ 9 y 1 x 1 yx 5 y 1 x 1 yx 22 22 d) =+ =+ 5yx 6 13 x y y x e) =++ =++ 37yxyx 481yyxx 22 4224 f) =++ =++ 49) yx 1 1)(yx( 5) xy 1 1)(yx( 22 22 Bài 2: a) Chứng minh rằng với mọi m, hệ phương trình sau luôn có nghiệm: +=+ +=++ mmxyyx 1m2yxyx 222 b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất Bài 3: Tìm a để hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt: =+ +=+ 4)yx( )a1(2yx 2 22 Bài 4: Cho hệ phương trình: =+ −=+ myx m6yx 222 a) Giải hệ khi m = 1 b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm Bài 5: Cho hệ phương trình: +=+ −−=+ 1myx 3mm2xyyx 222 a) Giải hệ phương trình khi m = 3 b) Chứng minh rằng với mọi m, hệ phương trình luôn có nghiệm Bài 6: Cho hệ phương trình: =++ =+++ m)1y)(1x(xy 8yxyx 22 a) Giải hệ khi m = 12 b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm giáo viên: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Bài 7: Giải các hệ phương trình: a) += += x2y3y y2x3x 2 2 b) +=− +=− xy2x2y yx2y2x 22 22 c) =+ =+ y 3 x 1 y2 x 3 y 1 x2 d) += += x8y3y y8x3x 3 3 e) =− =− y x 4x3y x y 4y3x Bài 8: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: −=+ −=+ )1x(myxy )1y(mxxy 2 2 Bài 9: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: +−= +−= myy4yx mxx4xy 232 232 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP Kiến thức cần nhớ: - Dạng: = = 0)y,x(g 0)y,x(f trong đó f(x , y) và g(x , y) là biểu thức đẳng cấp cùng bậc (tổng số mũ của x và y trong cùng một hạng tử bằng nhau) - Cách giải: + Giải hệ với x = 0 (hoặc y = 0) + Với x khác 0 (hoặc y khác 0), đặt y = tx (hoặc x = tx) Ta được hệ phương trình 2 ẩn x và t. + Khử x, ta được phương trình 1 ẩn t. Bài tập: Bài 1: Giải hệ phương trình: a) =− =− 2)yx(xy 7yx 33 b) =+ =− y10)yx(x x3)yx(y2 22 22 c) =+− −=+− 13y3xyx3 1yxy3x 22 22 d) =−− =+− 0y6xy7x5 0y4xy8x3 22 22 Bài 2: Cho hệ phương trình: =− =+− 4xy3y ayxy4x 2 22 a) Giải hệ khi a = 4 b) Chứng minh hệ luôn có nghiệm với mọi a. Bài 3: Cho hệ phương trình: +=++ =++ m17y3xy2x 11yxy2x3 22 22 a) Giải hệ phương trình với m = 0 b) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm giáo viên: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm HỆ PHƯƠNG TRÌNH CĂN THỨC, MŨ, LÔGARIT Phương pháp giải: Phương pháp chung thường hay được sử dụng là: Biến đổi với các tính chất tương ứng, sau đó dưa về hệ phương trình đại số (có thể phải qua bước dùng ẩn phụ). Để ý: Trong hai phương trình của một hệ thường có một phương trình có thể giúp chúng ta rút được một ẩn theo ẩn kia để thế vào phương trình còn lại. Bài tập: Bài 1: Giải các hệ phương trình: a) =+ = − 2)yx(log 115223 5 yx b) =+ =+ 3)x14y11(log 3)y14x11(log y x c) = =+ 9xy 3 4 y 1 x 1 d) =+ =+ 2)x2y3(log 2)y2x3(log y x e) =+ = 322 ylogxylog yx xy g) =− =+ 1xlogylog 27y2x 33 xlogylog 33 h) = + + −= + y 22 24 y4y52 x 1xx 2x3 (D-2002) i) =++ =+++ 4)x5y3(log).y5x3(log 4)x5y3(log)y5x3(log yx yx Bài 2: Giải các hệ phương trình: a) =+ =−− 25yx 1 y 1 log)xy(log 22 4 4 1 (A-2004) b) =− =−+− 3ylog)x9(log3 1y21x 3 3 2 9 (B-2005) Bài 3: Giai hệ phương trình: =+ =+ 35yyxx 30xyyx Bài 4: Giải các hệ phương trình: a) ++=+ += 6y3x3yx )xy(239 22 3log)xy(log 22 (Cao đẳng M-T2004 - Đại học Hùng Vương 2004) Bài 5: Giải hệ phương trình: a) −= + = 4 y x2 x y3x 99 3 1 y2 x y b) = = 183.2 123.2 xy yx c) = = > − − 64x 4x 0x 3y2 2y Bài 6: Cho hệ phương trình: =−+ =− 0ayyx 0ylogxlog 2 1 2 3 3 2 3 a) Giải hệ khi a = 2 b) Xác định a để hệ có nghiệm giáo viên: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÁC Kiến thức cần nhớ: Dùng phương pháp biến đổi tương đương, đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình đơn giản hơn. Thường ta dùng các phép biến đổi sau: 1) Nếu biểu thị một ẩn theo các ẩn còn lại thì dùng phương pháp thế 2) Nếu biến được một phương trình của hệ thành tích thì ta phân tích hệ thành nhiều hệ đơn giản hơn. 3) Nếu biến đổi hệ thành những biểu thức đồng dạng thì đặt ẩn phụ. Bài tập: Bài 1: Cho hệ phương trình: (I) +=++ =+ )2y(mxyy)1x( myx 2 a) Giải hệ khi m = 4 b) Tìm m để hệ có nhiều hơn hai nghiệm Bài 2: Cho hệ phương trình: =++ +−=++− 3bxyyx ayx)yx(ayx 22 22 a) Giải hệ khi a = b = 1 b) Tìm a và b để hệ phương trình có nhiều hơn 4 nghiệm Bài 3: Giai hệ phương trình: =−−+ =−− 33y4x2yx 16y2x3xy 22 Bài 4: Giải hệ phương trình: ++=+ −=− 2yxyx yxyx 3 (Khối B - 2002) Bài 5: Giải hệ phương trình: += −=− 1xy2 y 1 y x 1 x 3 (Khối A - 2003) Bài 6: Giải hệ phương trình: + = + = 2 2 2 2 y 2x x3 x 2y y3 (Khối B - 2003) Bài 7: Giải các hệ phương trình: a) =+ =++ 3yx2 5yyx2x 2 222 b) = +− = −+ 2 5 xy 1 2)yx( 2 9 xy 1 2)yx( c) =−−− =+−+ 3y8x9y2x3 1y4x3yx 22 22 d) = − ++ =−+−−+ 3 yx2 1 yx2 0)yx2(6)yx4(5)yx2( 2222 e) =+ =+ 222 22 x5yx1 x6xyy f) =+− =++ 5xyxy 13xyyx 22 g) =++− =−++ 75y2x 72y5x h) =+ =+ 35yyxx 30xyyx i) =−++ =−+ 027x6xy2x4 0xy5y6x 2 22 k) −=+ =−+ 2|y|y|x|x 0y3xy2x 22 l) ( ) =+ +=+ 6yx xyyx3)yx(2 3 3 3 2 3 2 Bài 8: Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm: =+ =+++ a3yx a2y1x Bài 9: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: −=+ =+ m31yyxx 1yx (Khối D - 2004) giáo viên: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Bà1 10. Giải hệ phương trình: 4 3 2 2 2 2 2 9 2 6 6 x x y x y x x xy x + + = + + = + (B-2008) Bài 11. Giải hệ phương trình: 2 3 2 4 2 5 4 5 (1 2 ) 4 x y x y xy xy x y xy x + + + + = − + + + = − (A-2008) Bài 12. (D-2009). Giải hệ phương trình: ( ) 2 2 ( 1) 3 0 5 1 0 x x y x y x + + − = + − + = Bài 13. (B-2009). Giải hệ phương trình: 2 2 2 1 7 1 13 xy x y x y xy y + + = + + = Bài 14. (A-2010). Giải hệ phương trình: ( ) 2 2 2 4 1 ( 3) 5 2 0 4 2 3 4 7 x x y y x y x + + − − = + + − = . Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG Kiến thức cần nhớ: 1) Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 2) Hệ phương trình đối xứng loại 1: - Dạng: = = 0)y,x(g 0)y,x(f . Cho hệ phương trình: =+ −=+ myx m6yx 222 a) Giải hệ khi m = 1 b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm Bài 5: Cho hệ phương trình: +=+ −−=+ 1myx 3mm2xyyx 222 a) Giải hệ phương. phương trình khi m = 3 b) Chứng minh rằng với mọi m, hệ phương trình luôn có nghiệm Bài 6: Cho hệ phương trình: =++ =+++ m)1y)(1x(xy 8yxyx 22 a) Giải hệ khi m = 12 b) Tìm m để hệ phương trình