Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 29 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
29
Dung lượng
302,41 KB
Nội dung
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệphươngtrìnhviphân về phươngtrìnhviphân cấp cao
Hệ phươngtrìnhviphân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
HỆ PHƯƠNGTRÌNHVI PHÂN
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng
Ngày 8 tháng 3 năm 2011
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆPHƯƠNGTRÌNHVI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệphươngtrìnhviphân về phươngtrìnhviphân cấp cao
Hệ phươngtrìnhviphân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Định nghĩa
Hệ phươngtrìnhviphân chuẩn tắc cấp 1 là hệ có dạng:
dy
1
dx
= f
1
(x, y
1
, , y
n
)
dy
n
dx
= f
n
(x, y
1
, , y
n
)
(1)
trong đó x là biến số độc lập, y
1
, y
2
, , y
n
là các hàm số phải tìm.
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆPHƯƠNGTRÌNHVI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệphươngtrìnhviphân về phươngtrìnhviphân cấp cao
Hệ phươngtrìnhviphân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Cho hệphươngtrìnhviphân (1).
Giả sử các hàm số f
i
(x, y
1
, , y
n
) cùng với các đạo hàm riêng
∂f
i
(x, y
1
, , y
n
)
∂y
j
, i = 1, 2, , n; j = 1, 2, , n, liên tục trong một miền D
trong R
n+1
.
Giả sử
x
0
, y
0
1
, y
0
2
, , y
0
n
là một điểm thuộc D.
Khi đó trong một lân cận nào đó của điểm x = x
0
có một nghiệm duy
nhất của hệ (1) thỏa mãn các điều kiện
y
1
x=x
0
= y
0
1
, y
2
x=x
0
= y
0
2
, , y
n
x=x
0
= y
0
n
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆPHƯƠNGTRÌNHVI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệphươngtrìnhviphân về phươngtrìnhviphân cấp cao
Hệ phươngtrìnhviphân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Các loại nghiệm của hệ chuẩn tắc
Nghiệm tổng quát của hệ (1) là bộ n hàm số
y
i
= ϕ
i
(x, C
1
, C
2
, , C
n
) , i = 1, 2, , n trong đó C
1
, C
2
, , C
n
là các
hằng số tùy ý thỏa mãn các điều kiện sau:
1, Nó thỏa mãn hệ (1) với mọi giá trị của C
1
, C
2
, , C
n
;
2, Với mọi điểm
x
0
, y
0
1
, y
0
2
, , y
0
n
ở đó các điều kiện của định lý tồn tại
và duy nhất nghiệm được thỏa mãn, có thể tìm được một bộ giá trị
C
1
= C
0
1
, C
2
= C
0
2
, , C
n
= C
0
n
sao cho các hàm số
y
i
= ϕ
i
(x, C
1
, C
2
, , C
n
) thỏa mãn các điều kiện ban đầu
y
i
|
x=x
0
= y
0
i
, i = 1, 2, , n
Nghiệm riêng của hệ (1) là nghiệm có được bằng cách cho C
1
, C
2
, , C
n
trong nghiệm tổng quát các giá trị xác định
C
1
= C
0
1
; C
2
= C
0
2
; , C
n
= C
0
n
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆPHƯƠNGTRÌNHVI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệphươngtrìnhviphân về phươngtrìnhviphân cấp cao
Hệ phươngtrìnhviphân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Phương pháp khử
Một hệphươngtrìnhviphân chuẩn tắc cấp một có thể đưa được về một
phương trìnhviphân cấp cao đối với một hàm số chưa biết bằng cách
khử những hàm số chưa biết còn lại từ những phươngtrình của hệ. Giải
phương trìnhviphân cấp cao đó, rồi tìm những hàm số chưa biết còn lại.
Ví dụ 1: Giải hệphương trình
y
= 5y + 4z
z
= 4y + 5z
Lấy đạo hàm hai vế phươngtrình đầu ta được:y
= 5y
+ 4z
Thay z
bởi vế phải của phươngtrình sau, ta được y
= 5y
+ 16y + 20z
Từ phươngtrình đầu suy ra z =
1
4
(y
− 5y). Thế vào phươngtrình trên
ta được y
− 10y
+ 9y = 0
Nghiệm tổng quát của phươngtrình này là: y = C
1
e
x
+ C
2
e
9x
. Tính y
rồi thế vào phươngtrình đầu ta được z = −C
1
e
x
+ C
2
e
9x
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆPHƯƠNGTRÌNHVI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệphươngtrìnhviphân về phươngtrìnhviphân cấp cao
Hệ phươngtrìnhviphân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Phương pháp khử
Ví dụ 2: Giải hệphương trình
dx
dt
= y
dy
dt
= x
Ví dụ 3: Giải hệphương trình
dx
dt
= 3x − 2y
dy
dt
= 2x − y
Ví dụ 4: Giải hệphương trình
y
= y + z
z
= y + z + x
Ví dụ 5: Giải hệphương trình
y
=
y
2
z
z
=
1
2
y
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆPHƯƠNGTRÌNHVI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệphươngtrìnhviphân về phươngtrìnhviphân cấp cao
Hệ phươngtrìnhviphân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Phương pháp lập tổ hợp giải tích
Trong một số trường hợp, có thể tổ hợp các phươngtrình của hệ lại để
được một phươngtrìnhviphân dễ giải.
Ví dụ 1: Giải hệphương trình
y
= z
z
= y
Cộng hai vế phương trình: y
+ z
= y + z ⇒ y + z = C
1
e
x
Trừ hai vế phương trình: y
− z
= −(y − z) ⇒ y − z = C
2
e
−x
Từ đó suy ra y =
1
2
(C
1
e
x
+ C
2
e
−x
) ; z =
1
2
(C
1
e
x
− C
2
e
−x
)
Ví dụ 2: Giải hệphương trình
y
= y
2
+ yz
z
= z
2
+ yz
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆPHƯƠNGTRÌNHVI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệphươngtrìnhviphân về phươngtrìnhviphân cấp cao
Hệ phươngtrìnhviphân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Định nghĩa
Hệ tuyến tính thuần nhất hệ số hằng là hệ có dạng:
dy
1
dx
= a
11
y
1
+ a
12
y
2
+ + a
1n
y
n
dy
n
dx
= a
n1
y
1
+ a
n2
y
2
+ + a
nn
y
n
(2)
Nếu y
1
, y
2
, , y
n
là nghiệm của hệ (2), dùng ký hiệu vecto
Y có các
thành phần y
1
, y
2
, , y
n
để chỉ nghiệm ấy.
Nếu
Y
1
,
Y
2
, ,
Y
m
là những nghiệm của hệ (2) thì mọi tổ hợp của chúng
dạng
C
1
Y
1
+ C
2
Y
2
+ + C
m
Y
m
cũng là nghiệm của hệ ấy.
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆPHƯƠNGTRÌNHVI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệphươngtrìnhviphân về phươngtrìnhviphân cấp cao
Hệ phươngtrìnhviphân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Phương pháp giải
Tìm nghiệm của hệ dưới dạng
y
1
= p
1
e
λx
, y
2
= p
2
e
λx
, , y
n
= p
n
e
λx
(3)
trong đó p
1
, p
2
, , p
n
, λ là những số phải xác định. Sau khi thế (3) vào
(2), ta được hệphươngtrình sau đối với p
1
, p
2
, , p
n
:
(a
11
− λ) p
1
+ a
12
p
2
+ + a
1n
p
n
= 0
a
21
p
1
+ (a
22
− λ) p
2
+ + a
2n
p
n
= 0
a
n1
p
1
+ a
n2‘
p
2
+ + (a
nn
− λ) p
n
= 0
(4)
Đó là hệ thuần nhất phải có nghiệm khác không, do đó định thức của ma
trận các hệ số phải bằng không.
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆPHƯƠNGTRÌNHVI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệphươngtrìnhviphân về phươngtrìnhviphân cấp cao
Hệ phươngtrìnhviphân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Phương pháp giải
a
11
− λ a
12
a
1n
a
21
a
22
− λ a
2n
a
n1
a
n2‘
a
nn
− λ
= 0 (5)
Phương trình (5) được gọi là phươngtrình đặc trưng của hệ (2). Các
nghiệm của phươngtrình đặc trưng gọi là giá trị riêng của hệ.
Ta xét các khả năng sau:
TH1: Nếu phươngtrình đặc trưng (5) có n nghiệm thực phân biệt
λ
1
, λ
2
, , λ
n
.
Ứng với mỗi giá trị riêng λ
k
, từ hệ (4) ta xác định giá trị riêng
p
1k
, p
2k
, , p
nk
, k = 1, 2, , n Khi đó hệphươngtrìnhviphân có n
nghiệm:
y
11
= p
11
e
λ
1
x
, y
21
= p
21
e
λ
1
x
, , y
n1
= p
n1
e
λ
1
x
y
12
= p
12
e
λ
2
x
, y
22
= p
22
e
λ
2
x
, , y
n2
= p
n2
e
λ
2
x
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆPHƯƠNGTRÌNHVI PHÂN
[...]... Mạnh Tưởng HỆPHƯƠNGTRÌNHVIPHÂN Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệ phương trìnhviphân về phươngtrìnhviphân cấp cao Hệphươngtrìnhviphân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập Phương pháp giải Các hệ số của đa thức phụ thuộc n hằng số tùy ý C1 , C2 , , Cn Dựa vào hệphươngtrình (2) có thể tìm được các hệ số đó bằng phương pháp hệ số bất định TH3: Nếu phươngtrình đặc... PHƯƠNGTRÌNHVIPHÂN (5) Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệphươngtrìnhviphân về phươngtrìnhviphân cấp cao Hệphươngtrìnhviphân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập Phương pháp giải a11 − λ a21 an1 a12 a1n a22 − λ a2n an2‘ ann − λ =0 Phươngtrình (5) được gọi là phươngtrình đặc trưng của hệ (2) Các nghiệm của phươngtrình đặc trưng gọi là giá trị riêng của hệ Ta... Đưa hệ phương trìnhviphân về phươngtrìnhviphân cấp cao Hệphươngtrìnhviphân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập Phương pháp giải a11 − λ a21 an1 a12 a1n a22 − λ a2n an2‘ ann − λ =0 Phươngtrình (5) được gọi là phươngtrình đặc trưng của hệ (2) Các nghiệm của phươngtrình đặc trưng gọi là giá trị riêng của hệ Ta xét các khả năng sau: Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG... + C3 e 3t z = −2C1 e t − 8C2 e 2t − 3C3 e 3t Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆPHƯƠNGTRÌNHVIPHÂN Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệ phương trìnhviphân về phươngtrìnhviphân cấp cao Hệphươngtrìnhviphân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập Ví dụ Ví dụ 2 Giải hệ y =y −z z = y + 3z Giải: Phươngtrình đặc trưng 1−λ 1 −1 3−λ = 0 ⇔ λ2 − 4λ + 4 = 0 ⇔ λ1 = λ2 =... 2x z = (cx + d ) e 2x Thế vào phươngtrình được: 2ax + 2b + a = (a − c)x + b − d 2cx + 2d + c = (a + 3c)x + (b + 3d ) Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆPHƯƠNGTRÌNHVIPHÂN Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệ phương trìnhviphân về phươngtrìnhviphân cấp cao Hệphươngtrìnhviphân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập Ví dụ Đồng nhất hệ số hai vế ta được: 2a =... (C1 x + C2 ) e 2x z = − (C1 x + C1 + C2 ) e 2x Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆPHƯƠNGTRÌNHVIPHÂN Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệ phương trìnhviphân về phươngtrìnhviphân cấp cao Hệphươngtrìnhviphân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập Ví dụ Ví dụ 3 Giải hệ y = 4y − 3z z = 3y + 4z Giải: Phươngtrình đặc trưng 4−λ 3 −3 4−λ = 0 ⇔ λ = 4 ± 3i Với λ1 = 4 + 3i... 4x (C1 cos 3x + C2 sin 3x) z = e 4x (−C1 sin 3x + C2 cos 3x) Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆPHƯƠNGTRÌNHVIPHÂN Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệphươngtrìnhviphân về phươngtrìnhviphân cấp cao Hệphươngtrìnhviphân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập Bài tập Giải các hệphươngtrình sau: dx = −x + y + z dt dy 1 =x −y +z dt dz =x +y... Đưa hệphươngtrìnhviphân về phươngtrìnhviphân cấp cao Hệphươngtrìnhviphân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập Phương pháp giải Hệ nghiệm đó được gọi là hệ nghiệm cơ bản Từ hệ nghiệm cơ bản có thể xây dựng nghiệm tổng quát của hệ bằng cách lấy tổ hợp tuyến tính y1 = C1 y11 + C2 y12 + + Cn y1n y2 = C1 y21 + C2 y22 + + Cn y2n yn = C1 yn1 + C2 yn2 + + Cn ynn TH2: Phương. .. với phươngtrìnhviphân tuyến tính cấp hai hệ số hằng, nghĩa là lấy các nghiệm riêng là phần thực và phần ảo của nghiệm riêng phức tương ứng Ví dụ 1 dx = 6x − 12y − z dt dy Giải hệ = x − 3y − z dt dz = −4x + 12y + 3z dt Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆPHƯƠNGTRÌNHVIPHÂN Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệphươngtrìnhviphân về phươngtrìnhvi phân. .. C1 e t + C2 e 2t + C3 e −t y = C1 e t − 3C3 e −t z = C1 e t + C2 e 2t − 5C3 e −t Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆPHƯƠNGTRÌNHVIPHÂN Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệphươngtrìnhviphân về phươngtrìnhviphân cấp cao Hệphươngtrìnhviphân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập Bài tập dx = 3x + 2z dt x dy y 3 = y + 2z dt z dz = . nghiệm
Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Th.S. nghiệm
Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Định nghĩa
Hệ phương trình vi