Phương trình và hệ phương trình vi phân

Bài Giảng Phương Pháp Số TRong CNHH

PHƯƠNG PHÁP SỐ TRONG CÔNG NGHỆ HÓA HỌC Mã học phần: CH3454 TS. Nguyễn Đặng Bình Thành BM:Máy & TBCN Hóa chất Numerical Methods in Chemical Engineering Tuần 9-10 Chương 3 Phương trình và hệ phương trình vi phân Mở đầu. Các bài toán thường gặp có thể 2 loại: * Bài toán Côsi : là bài toán dạng phương trình vi phân với điều kiện bổ sung (điều kiện ban đầu) đã cho tại không quá một điểm. C - hằng số tích phân, phụ thuộc điều kiện ban đầu - Mỗi giá trị của C 1 nghiệm xác định. - Xác định C cần biết thêm 1 điều kiện ban đầu, ví dụ Ví dụ: Cho phương trình vi phân cấp 1: y’ = 2x + 1; (a) - Nghiệm tổng quát : y = x 2 + x + C; (b) y(x=1) = 2; (c) (b) C = 0; Nghiệm của (a) là y = x 2 + x thoả mãn (a) và (c). Bài toán tìm hàm số y(x) thoả mãn p/t vi phân (a) và điều kiện ban đầu (c) bài toán Côsi. Chương 3 Phương trình và hệ phương trình vi phân Bài toán Côsi đối với phương trình vi phân cấp 1: - Cho khoảng [x 0 , X] - Tìm hàm số y = y(x) xác định trên [x 0 , X] thoả mãn: y’ = f(x,y); Xxx ≤≤ 0 y(x 0 ) = η ; ( 1 ) ( 2 ) Trong đó f(x, y) – hàm đã biết; η - số thực cho trước ( 2 ) - điều kiện Côsi hay điều kiện ban đầu. Chương 3 Phương trình và hệ phương trình vi phân * Bài toán biên. Bài toán giải phương trình vi phân với điều kiện bổ sung được cho tại nhiều hơn 1 điểm. - Cho khoảng [a, b]; - Tìm hàm y = y(x) trên [a, b] thoả mãn: Trong nhiều trường hợp giải gần đúng . y’ + p(x)y’ +q(x,y) = f(x); bxa ≤≤ ( 3 ) với điều kiện y(a) = α; y(b) = β ( 4 ) Chương 3 Phương trình và hệ phương trình vi phân Giải bài toán Côsi. Phương pháp chuỗi Taylo. y’ = f(x, y); Xxx ≤≤ 0 y(x 0 ) = η ; Khai triển nghiệm y(x) tại x = x 0 : ⋅⋅⋅+−+⋅⋅⋅+−+−+= k k xx k xy xx xy xx xy xyxy )( ! )( )( !2 )(" )( !1 )(' )()( 0 0 )( 2 0 0 0 0 0 ( 5 ) );,())(,()(' 0000 η xfxyxfxy == ( 6 ) ( ) ( ) ( ) );(')(,)(,')(,)''(" xyxyx y f xyx x f xyxfyy ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ === Tương tự y’” y (3) (x 0 ) chuỗi ( 5 ). ( ) ( ) );,(,,)(" 0000 ηηη xfx y f x x f xy ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ( 7 ) Chương 3 Phương trình và hệ phương trình vi phân Đã CM được rằng: tổng S n (x) của n số hạng đầu của ( 5 ) nghiệm xấp xỉ của ( 1 ) , ( 2 ); n càng lớn độ chính xác càng cao. 0 xx − đủ bé, chuỗi ( 5 ) nghiệm của ( 1 ), ( 2 ) Với ⋅⋅⋅+−+⋅⋅⋅+−+−+= k k xx k xy xx xy xx xy xyxy )( ! )( )( !2 )(" )( !1 )(' )()( 0 0 )( 2 0 0 0 0 0 ( 5 ) y’ = f(x,y); Xxx ≤≤ 0 y(x 0 ) = η ; ( 1 ) ( 2 ) Chương 3 Phương trình và hệ phương trình vi phân 3.1 Giải phương trình vi phân bằng phương pháp Euler - Là phương pháp số; - Xác định từng giá trị của y(x) theo giá trị cụ thể của x bảng các giá trị x và y(x) tương ứng. Nội dung: - Chia [x 0 , X] n đoạn bằng các nút x i cách đều. x i = x 0 + ih; i = 0, 1, 2, . . ., n; ; )( 0 n xX h − = x i Lưới sai phân trên [x 0 , X] x i – nút của lưới; h - bước của lưới: h = const; - y(x) nghiệm đúng của (1), (2) y’ = f(x,y); Xxx ≤≤ 0 y(x 0 ) = η ; ( 1 ) ( 2 ) Chương 3 Phương trình và hệ phương trình vi phân 3.1 Giải phương trình vi phân bằng phương pháp Euler Thành lập công thức tính: - y(x i ) – giá trị đúng của y(x) tại x i ; - y i – giá trị gần đúng tính được của y(x i ); - Giả sử đã biết u i , cần tính u i+1 tại x i+1 . - Khai triển Taylor tại x i ; h đủ nhỏ bỏ qua các số hạng cuối. );)(()()( 11 iiiii xxxyxyxy − ′ += ++ ;)( 1 hxx ii =− + ( ) ;)(,)( iii xyxfxy = ′ ( ) ;)(,.)()( 1 iiii xyxfhxyxy += + );)(()()( iii xxxyxyxy − ′ += ( 8 ) biết y i - ( ) ;,. 1 iiii yxfhyy += + ( 9 ) (8 a) Chương 3 Phương trình và hệ phương trình vi phân 3.1 Giải phương trình vi phân bằng phương pháp Euler - Điều kiện ban đầu y 0 = η ( ) ;,. 0001 yxfhyy += ( ) ;,. 1112 yxfhyy += . . . . . . . . . . . . . . . . . ( ) ;,. 1 iiii yxfhyy += + Nhận xét: - Đơn giản, không phải giải p/trình nào, thuận tiện lập trình giải trên máy tính - Độ chính xác không cao. y’ = f(x,y); Xxx ≤≤ 0 y(x 0 ) = η ; ( 1 ) ( 2 ) ihxx ii += +1 Chương 3 Phương trình và hệ phương trình vi phân 3.1 Giải phương trình vi phân bằng phương pháp Euler - Đánh giá sai số: Sau khi tính được u tại x i với bước h: u(x i ,h) tính u(x i , h/2) nghiệm sai số : ; 2 ,),()( 2 ,       −≈−       h xyhxyxy h xy iiii (10)