Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến

Bài Giảng Phương Pháp Số TRong CNHH

PHƯƠNG PHÁP SỐ TRONG CÔNG NGHỆ HÓA HỌC Mã học phần: CH3454 TS. Nguyễn Đặng Bình Thành BM:Máy & TBCN Hóa chất Numerical Methods in Chemical Engineering Tuần 5 Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình 1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến Nghiệm thực của phương trình – Ý nghĩa hình học. f(x) = 0; ( 1 ) f – hàm cho trước của đối số x α - nghiệm thực của ( 1 ) f(α) = 0; ( 2 ) - Vẽ đồ thị y = f(x) Hoành độ điểm M nghiệm α. O y x α M f(x) O y x M α g(x) h(x) ~ g(x) = h(x) đồ thị y 1 = g(x) và y 2 = h(x) - hoặc (1) Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình 1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến Sự tồn tại của nghiệm thực Định lý. Nếu có hai số thực a, b (a < b) sao cho f(a) và f(b) trái dấu, tức là f(a).f(b) < 0 ( 3 ) đồng thời f(x) liên tục trên [a, b] thì trong khoảng [a, b] ít nhất có một nghiệm thực của phương trình f(x) = 0. O y x A B a b Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình 1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến Khoảng phân ly nghiệm (tách nghiệm) Định nghĩa: Khoảng [a, b] nào đó gọi là khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x) = 0 nếu nó chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình đó. trong [a, b] : - hàm f(x) đơn điệu O y x A B a b f’(x) không đổi dấu Định lý: Nếu hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trên khoảng [a, b], đồng thời f(a) và f(b) trái dấu thì [a, b] là khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x) = 0. Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình 1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến Các phương pháp xác định gần đúng nghiệm thực của phương trình phi tuyến 1. Phương pháp đồ thị. 2. Phương pháp thử. 3. Phương pháp chia đôi. 4. Phương pháp lặp. 5. Phương pháp tiếp tuyến (phương pháp Newton-Raphson). 6. Phương pháp dây cung. Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình 1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến) Cơ sở : khai triển Taylor: - Hàm F(x) xác định và có đạo hàm đến cấp n+1 tại x o và lân cận x o . - Khai triển Taylor bậc n của F(x) tại x o : );( )!1( )( )( ! )( )(" !2 )( )(')()()( )1( 1 )( 2 cF n xx xF n xx xF xx xFxxxFxF n n o o n n o o o ooo + + + − + − + +⋅⋅⋅+ − +−+= ;10);( <<−+= θθ oo xxxc Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình 1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến) - Giả sử f(x) =0 : - Có nghiệm thực α phân ly trong [a, b]; - Có đạo hàm f’(x) ≠ 0 tại x [a, b]; ∈ - Có đạo hàm cấp hai f’’(x) tại x [a, b]; ∈ - Chọn x o [a,b] khai triển Taylo bậc nhất của f(x) tại x o : ∈ );(")( 2 1 )(')()()( 2 cfxxxfxxxfxf oooo −+−+= Bỏ qua số hạng cuối ;0)(')()( =−+ ooo xfxxxf ; )(' )( 1 o o o xf xf xx −= ; )(' )( 1 1 12 xf xf xx −= ; )(' )( 1 n n nn xf xf xx −= + . . . ;lim α = n x ∞→ n Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình 1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến) Ý nghĩa hình học: thay đường cong y = f(x) bằng tiếp tuyến kẻ từ A(a,f(a)) hay B(b,f(b)),  hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành là nghiệm gần đúng của phương trình. Đặt: - x o = a, nếu tiếp tuyến kẻ từ A; - x o = b, nếu tiếp tuyến kẻ từ B; Phương trình tiếp tuyến của y = f(x) tại [x o , f(x o )] : Giao điểm với trục hoành (x 1 , y 1 = 0) );)((')( ooo xxxfxfy −=− ( a ) );)((')( ooo xxxfxf −=− ( b ) Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình 1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến) Tiếp tục vẽ tiếp tuyến với điểm [ (x 1 , f(x 1 ) ] ; )(' )( 1 o o o xf xf xx −= ; )(' )( 1 n n nn xf xf xx −= + ; )(' )( 1 1 12 xf xf xx −= . . . x y O A B α x o =a x 1 x 2 b Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình 1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến) Tiếp tục vẽ tiếp tuyến với điểm [ (x 1 , f(x 1 ) ] ; )(' )( 1 o o o xf xf xx −= ; )(' )( 1 n n nn xf xf xx −= + ; )(' )( 1 1 12 xf xf xx −= . . . x y O x o =bx 1 x 2 α a A B