Bài toán điều khiển H – vô cùng cho một lớp hệ phương trình vi phân không ôtônôm.
Mơc lơc Mét sè kÝ hiƯu sư dơng ln văn Lời nói đầu Chương 1: Cơ sở toán học 1.1 Phương trình vi phân chậm 1.2 Bài toán điều khiển 11 1.3 Bài toán ổn định hoá 15 1.4 Bài toán điều khiển H 17 1.5 Một số bổ đề bổ trợ 18 Chương 2: Giới thiệu số kết toán điều khiển H cho hệ không ôtônôm trễ có trễ với giả thiết điều khiển 2.1 Tính điều khiển điều khiển không ôtônôm H cho hệ tuyến tính liên tục 2.2 Mèi liªn hƯ điều khiển 40 H bền vững cho hệ tun tÝnh kh«ng «t«n«m cã trƠ 3.2 §iỊu khiển 31 H cho lớp hệ phương trình vi phân không ôtônôm 3.1 Điều khiển 24 L2 điều khiển H bền vững cho hệ tuyến tính không ôtônôm cã trÔ Chương 3: Bài toán điều khiển 20 H tính điều khiển hệ tuyến tính liên tục không «t«n«m 2.3 Bµi toán ổn định 20 41 H bền vững cho hệ tuyến tính không ôtônôm có trễ biến thiên 46 3.3 Điều khiển H bền vững cho hệ tuyến tính không ôtônôm có trễ hỗn hợp 53 KÕt luận 62 Tài liệu tham khảo 63 Một số kí hiệu sử dụng luận văn ã R+ tập số thực không âm ã Rn không gian Euclid n chiều với chuẩn tích vô hướng , ã Rnìm tập ma trận cấp n ì m ã L2 ([t, s], Rn ) tập hàm L2 -khả tích [s, t] ã AT ma trận chuyển vị ma trËn A • Q ≥ (Q > 0), kÝ hiệu ma trận Q xác định không âm (tương ứng xác định dương), tức Qx, x ã M (Rn ) tập hàm ma trận đối xứng, xác định không âm Rn , + liên tục ã t [0, ) BM + (0, ) tập hàm ma trận bị chặn, đối xứng, xác định không âm ã Rn , liên tơc trªn t ∈ [0, ∞) BM U + (0, ) không gian hàm ma trận bị chặn, đối xứng, xác định dương ã ( Qx, x > 0) Rn , liªn tơc trªn t ∈ [0, ) C([a, b], Rn ) tập hàm liên tục [a, b] nhận giá trị Rn Lời nói đầu Lý thuyết điều khiển toán học lĩnh vực toán học ứng dụng quan trọng xuất phát triển thập kỉ gần Công cụ lý thuyết điều khiển toán học mô hình phương pháp toán học ứng dụng để giải vấn đề định tính hệ thống điều khiển Rất nhiều toán thực tiễn khoa học, công nghệ, kinh tế mô tả phương trình toán học điều khiển tuý cần đến công cụ toán học tinh vi, tìm lời giải Trong thực tiễn, nhiều toán đề cập vấn đề kĩ thuật, điều khiển thường liên quan đến hệ động lực mô tả phương trình vi phân (PTVP) toán học với thời gian liên tục hay rời rạc dạng x(t) = f (t, x(t), u(t)) ˙ x(k + l) = f (k, x(k), u(k)), k = 0, 1, 2, x(.) biến trạng thái mô tả đối tượng đầu ra, u(.) biến điều khiển mô tả đối tượng đầu vào hệ thống Như vậy, hệ thống điều khiển mô hình toán học mô tả phương trình toán học biểu thị liên hệ vào-ra Một mục đích toán điều khiển hệ thống tìm điều khiển (đầu vào) cho hệ thống (đầu ra) có tính chất mà ta mong muốn Căn vào mục đích cụ thể hệ thống - đầu - người ta xác đinh toán điều khiển khác như: toán điều khiển được, toán ổn định ổn định hoá, toán điều khiển tối ưu Hiện nay, lý thuyết điều khiển toán học phát triển mạnh theo hai hướng lý thuyết ứng dụng, nhiều nhà toán học nước quan tâm nghiên cứu Có nhiều phương pháp sử dụng lý thuyết điều khiển như: điều khiển tương thích (adaptive control), điều khiển bền vững, điều khiển tối ưu, Trong luận văn sử dụng phương pháp khiển H (bài toán ®iỊu H∞ ) lý thut ®iỊu khiĨn ®Ĩ ®¹t trình điều khiển ổn định bền vững Bài toán điều khiển H kết hợp toán ổn định hoá toán tối ưu hoá Bài toán điều khiển H tìm hàm điều khiển để hệ đà cho ổn định thoả mÃn điều kiện tối ưu mức cho trước Bài toán điều khiển H cho hệ tuyến tính ôtônôm, phương pháp phổ dụng sử dụng hàm Lyapunov-Krasovskii điều kiện ổn định đạt dựa việc giải nghiệm bất đẳng thức ma trận tuyến tính phương trình Riccati đại số Đối với hệ tuyến tính không ôtônôm điều kiện dựa nghiệm phương trình Riccati vi phân Bằng phương pháp đó, [9, 10] tác giả đà đưa điều kiện đủ để giải toán điều khiển H cho hệ tuyến tính không ôtônôm trễ với giả thiết điều khiển hệ điều khiển Luận văn gồm chương: Chương trình bày kiến thức sở phương trình vi phân thường, phương trình vi phân có chậm, tính ổn định phương pháp hàm Lyapunov hệ PTVP chậm Tiếp đến trình bày toán điều khiển được, toán ổn định hoá toán điều khiển H Phần cuối Chương đề cập đến số bổ đề sử dụng nhiều luận văn Trong Chương 2, luận văn giới thiệu số kết đà có điều kiện giải toán điều khiển H∞ cho hƯ tun tÝnh kh«ng «t«n«m kh«ng cã trƠ [9] dựa mối quan hệ điều khiển hoàn toàn điều khiển hệ điều khiển tồn nghiệm phương trình Riccati vi phân (RDE) Cuối chương, luận văn trình bày điều kiện có lời giải toán điều khiển H bền vững cho lớp hệ phương trình vi phân không ôtônôm có trễ Đồng thời kết đưa ví dụ minh hoạ Kết nghiên cứu luận văn trình bày chương chứng minh điều kiện đủ giải toán điều khiển H bền vững cho mét líp hƯ PTVP kh«ng «t«n«m cã trƠ h»ng, trƠ biến thiên hỗn hợp xây dựng hàm điều khiển ngược ổn định dựa nghiệm phương trình vi phân Riccati Trong suốt trình học tập làm luận văn, em đà nhận giúp đỡ tận tình, bảo ân cần, nghiêm túc thầy hướng dẫn, GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Thầy không dạy em tri thức, kĩ cần thiết mà truyền đạt cho em học bổ ích, phương pháp nghiên cứu khoa học Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Ngoài để hoàn thành luận văn này, em nhận động viên, khích lệ thầy cô tổ môn toán Giải tích khoa Toán trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội với quan tâm, tạo điều kiện khoa Toán trường ĐH Khoa học tự nhiên, phòng tối ưu điều khiển Viện Toán Học, nhiều bạn bè Đó nguồn động lực lớn để em có hội học tập, trao đổi nghiên cứu Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô, bạn bè đơn vị nói Vì thời gian lực thân có hạn nên luận văn tránh khỏi thiếu sót hạn chế, em mong nhận góp ý thầy cô bạn Chương Cơ sở toán học Trong chương này, luận văn trình bày khái niệm phương trình vi phân có chậm, tính ổn định phương pháp hàm Lyapunov hệ phương trình vi phân có chậm, sau định nghĩa nêu kết liên quan đến toán điều khiển được, toán ổn định hoá toán điều khiển H mà luận văn nghiên cứu sử dụng 1.1 1.1.1 Phương trình vi phân chậm Phương trình vi phân thường Xét phương trình vi phân x = f (t, x), t ∈ I = [t0 , t0 + b] ˙ x(t ) = x , x ∈ Rn , t ≥ 0 0 (1.1) ®ã f (t, x) : I × D → Rn , D = {x ∈ Rn : x − x0 ≤ a} NghiÖm x(t) phương trình vi phân (1.1) hàm số x(t) khả vi liên tục thoả mÃn: i) (t, x(t)) I ì D, ii) x(t) thoả mÃn phương trình vi phân (1.1) Giả sử hàm f (t, x(t)) liên tục I ì D, nghiệm x(t) cho dạng tích phân sau t x(t) = x0 + f (s, x(s))ds t0 1.1.2 Phương trình vi phân chậm Gi¶ sư tõ h > KÝ hiƯu C = C([h, 0], Rn ) không gian hàm liên tục [h, 0] vào Rn với chuẩn xác định bëi φ = sup−h≤θ≤0 φ(θ) Víi bÊt k× t 0, đặt xt () = x(t + ), h đoạn quỹ đạo x(t) víi chn xt = sups∈[−h,0] x(t + s) Ph¬ng trình vi phân chậm (có trễ) dạng x(t) = f (t, xt ), t ≥ 0, ˙ (1.2) x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0], ®ã f : R+ ì C Rn hàm cho trước Phương trình vi phân có trễ kí hiệu RFDE(f ), (t) C Ví dụ số dạng phương trình vi phân có trễ nghiên cứu luận văn như: Phương trình vi phân tuyến tính không «t«n«m cã trƠ rêi r¹c x(t) = A(t)x(t) + A1 (t)x(t − h), t ≥ 0, ˙ x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0], ®ã h ≥ 0; x(t) Rn ; A(t), A1 (t) Rnìn hàm ma trận liên tục cho trước R+ , C([h, 0], Rn ) hàm ban đầu víi chn φ = sup t∈[−h,0] φ(t) Ph¬ng trình vi phân tuyến tính không ôtônôm có trễ phân phèi ◦ t x(s)ds, t ≥ 0, x(t) = A(t)x(t) + A1 (t) ˙ t−h x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0], ®ã h ≥ 0; x(t) ∈ Rn ; A(t), A1 (t) Rnìn hàm ma trËn liªn tơc cho tríc trªn R+ , φ ∈ C([h, 0], Rn ) hàm ban đầu với chuẩn = sup (t) t[h,0] Phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm có trễ hỗn hợp t x(t) = A(t)x(t) + A1 (t)x(t − h) + A2 (t) ˙ x(s)ds, t ≥ 0, t−k x(t) = φ(t), t ∈ [− max(h, k), 0], ®ã h, k ≥ 0; x(t) ∈ Rn ; A(t), A1 (t), A2 (t) Rnìn hàm ma trận liên tục cho tríc trªn R+ , φ ∈ C([− max(h, k), 0], Rn ) hàm ban đầu với chuẩn = sup (t) t[ max(h,k),0] 1.1.3 Tính ổn định hệ phương trình vi phân chậm Xét hệ phương trình vi phân có chậm (1.2) với giả thiết f (t, 0) ≡ 0, tøc lµ hƯ (1.2) cã nghiƯm không Tương tự toán ổn định hệ phương trình vi phân thường, ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1.1: ã Nghiệm không hệ (1.2) gọi ổn định với số > 0, t0 ≥ 0, tån t¹i sè φ cho bÊt k× nghiƯm x(t0 , φ)(t) th× x(t0 , φ)(t) < ε, ∀t ≥ t0 10 cđa hƯ tho¶ m·n ã Nghiệm không hệ (1.2) gọi ổn định tiệm cận ổn định với t0 tồn = (t0 ) > cho víi mäi φ ∈ C tho¶ m·n φ < δ , ta cã limt→∞ x(t0 , )(t) = ã Nghiệm không hệ (1.2) gọi ổn định mũ tồn sè M > 0, δ > cho mäi nghiƯm cđa hƯ (1.9) tho¶ m·n x(t0 , φ)(t) ≤ M e−δ(t−t0 ) φ , ∀t ≥ t0 1.1.4 Phương pháp hàm Lyapunov Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov phương trình vi phân thường, xét tính ổn định hệ RFDE(f ) (1.2) Định nghĩa 1.1.2: Xét hệ RFED(f ) (1.2) Hàm khả vi liên tục V : R+ ì C R gọi hàm Lyapunov hệ (1.2) tồn số , , λ3 > tho¶ m·n i) ii) λ1 x(t) ≤ V (t, xt ) ≤ λ2 xt , ˙ V (t, xt ) ≤ −λ3 x(t) víi nghiệm x(t) hệ Định lý 1.1.3: Nếu hệ RFDE(f ) (1.2) tồn hàm Lyapunov hệ đà cho ổn định tiệm cận 1.2 Bài toán điều khiển Xét hệ thống điều khiển mô tả phương trình vi phân tuyến tính, kí hiệu [A(t), B(t)], d¹ng x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), t ≥ 0, ˙ 11 (1.3) ®ã β= P Cho η =ε− B1 ω, + 2c1 1−δ t → ∞ ta cã x(t) ∈ L2 ([0, ∞), Rn ) §iỊu kiƯn (1.9) thỏa mÃn Tiếp theo chứng minh điều kiện (1.10) với hàm ban đầu C([h, 0], Rn ) hàm nhiễu chấp nhận (t) Với u(t) = B T (t)P (t)x(t) điều kiÖn (3.9) ta cã z(t) = C T (t)C(t)x(t), x(t) + P (t)B T (t)B(t)P (t)x(t), x(t) T +2 C(t)x(t), C1 (t)x(t − h(t)) + C1 (t)C1 (t)x(t − h(t)), x(t − h(t)) KÕt hỵp víi (3.12) ta ®ỵc ∞ z(t) − γ ω(t) dt ∞ = ∞ z(t) − γ ω(t) ˙ V (t, xt )dt ˙ + V (t, xt ) dt − ∞ − C T (t)C(t)x(t), x(t) + C(t)x(t), C1 (t)x(t − h(t)) ≤ T + C1 (t)C1 (t)x(t − h(t)), x(t − h(t)) − γ ω(t) T − P (t)B1 (t)B1 (t)P (t)x(t), x(t) + P (t)B1 (t)ω(t), x(t) γ + 2c1 − ε) x(t) − 2c1 x(t − h(t)) dt + α +( 1−δ Sư dơng bỉ ®Ị 1.5.1 víi C(t)x(t), C1 (t)x(t − h(t)) − C T (t)C(t)x(t), x(t) T ≤ C1 (t)C1 (t)x(t − h(t)), x(t − h(t)) ≤ c1 x(t − h(t)) , P (t)B1 (t)ω(t), x(t) − γ ω(t) T P (t)B1 (t)B1 (t)P (t)x(t), x(t) , ≤ γ 50 nªn ∞ z(t) − γ ω(t) dt Đặt c0 = = ( P (0) + ta cã sup víi supremum lÊy trªn c0 φ ∞ 2+ (1 + 2c1 )h ) φ 1−δ γ z(t) dt ≤γ ∞ ω(t) dt φ ∈ C([−h, 0], Rn ) hàm nhiễu khác không L2 ([0, ), Rr ) Định lý chứng minh Ví dụ 3.5: Víi γ > cho tríc XÐt hƯ tun tÝnh kh«ng «t«n«m (3.8) víi h(t) = sin2 t vµ a(t) , A(t) = b(t) hàm trễ biến thiên B(t) = B1 (t) = A1 (t) = cos t + 1 0 sin t sin t + 2 3γ cos(t − sin t) , cos t , , 8γ sin(t − sin2 t) 0 0 C(t) = 0 , C1 (t) = 0 0 , 1 √2 e − t sin t cos t D(t) = − cos t sin t , 0 √ 51 ®ã −t (e cos4 t + 1) − 4et , b(t) = e−t sin4 t − 4et a(t) = Ta cã h = , δ = , c1 = vµ ε = tho¶ m·n ε > + 2c1 Nghiệm RDE (3.11) cho P (t) = Khi toán điều khiển t 0 −t e e H∞ bỊn v÷ng cho hệ (3.8) có lời giải Hàm điều khiển ngược xác định u(t) = t −(cos t + 1)e −(sin t + 2)e t x(t) Hơn ta có điều kiện khác để hệ điều khiển (2.1) trễ giải cho A1 (t) = C1 (t) = mà không cần điều kiện hệ [A(t), B(t)] điều khiển hoàn toàn điều khiển hoàn toàn Hệ 3.6: Bài toán điều khiển H bền vững cho hệ (3.8) với A1 (t) = C1 (t) = (hay hÖ (2.1)) cã lời giải tồn ma trận P BM + (0, ) thoả mÃn phương trình Riccati P (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) − P (t) B(t)B T (t) − T − B1 (t)B1 (t) P (t) + 2C T (t)C(t) + εI = với > Hơn hàm điều khiển ngược xác định bởi: u(t) = B T (t)P (t)x(t), t ≥ 52 (3.14) 3.3 §iỊu khiĨn H cho hệ tuyến tính không ôtônôm có trễ hỗn hợp Xét hệ điều khiển tuyến tính không ôtônôm có trễ rời rạc tích phân t x(t) = A(t)x(t) + A1 (t)x(t − h(t)) + A2 (t) ˙ x(s)ds t−k(t) +B(t)u(t) + B1 (t)ω(t), t ≥ t z(t) = C(t)x(t) + C1 (t)x(t − h(t)) + C2 (t) x(s)ds (3.15) t−k(t) +D(t)u(t), t ≥ 0, x(t) = φ(t), t ∈ [−max(h, k), 0], h ≥ 0, k ≥ x(t) Rn vectơ trạng thái, u(t) Rm hàm điều khiển, (t) Rr hàm vào không chắn, z(t) Rl hàm bị quan sát, A(t), A1 (t), A2 (t) ∈ Rn×n , B(t) ∈ Rn×m , B1 (t) ∈ Rn×r , C(t), C1 (t), C2 (t) ∈ Rl×n , D(t) Rlìm hàm ma trận liên tục cho tríc trªn R+ , φ ∈ C([− max(h, k), 0], Rn ) hàm ban đầu với chuẩn = sup (t) t[ max(h,k),0] Các hàm trễ biến thiên thoả mÃn điệu kiện h(t) h, Gi¶ sư ˙ h(t) ≤ δ < 1, ≤ k(t) ≤ k, ˙ k(t) ≤ θ < B1 (t), C1 (t), C2 (t) liên tục bị chặn DT (t)[C(t), C1 (t), C2 (t), D(t)] = [0, 0, 0, I], ∀t ≥ 0, (3.16) T T c1 = sup C1 (t)C1 (t) , c2 = sup C2 (t)C2 (t) , t∈R+ ε> t∈R+ + 3c1 (1 + 3c2 )k + , 1−δ 1−θ ta cã kÕt sau: 53 (3.17) Định lý 3.7: Bài toán điều khiển tồn ma trận H bền vững cho hệ (3.15) cã lêi gi¶i nÕu P ∈ BM + (0, ) thoả mÃn phương trình P (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) − P (t) B(t)B T (t) − A1 (t)AT (t) 1 T (3.18) −A2 (t)AT (t) − B1 (t)B1 (t) P (t) + 3C T (t)C(t) + I = Hơn hàm điều khiển ổn định bền vững xác định bëi: u(t) = −B T (t)P (t)x(t), Chøng minh Víi hàm điều khiển ngược t u(t) = B T (t)P (t)x(t) hệ đóng x(t) = [A(t) − B(t)B T (t)P (t)]x(t) + A1 (t)x(t − h(t)) ˙ t +A2 (t) x(s)ds + B1 (t)ω(t) t−k(t) XÐt hàm Lyapunov dạng V (t, xt ) = V1 (t, xt ) + V2 (t, xt ) + V3 (t, xt ) ®ã V1 (t, xt ) = P (t)x(t), x(t) + 3c1 t V2 (t, xt ) = x(s) ds − δ t−h(t) (1 + 3c2 )k V3 (t, xt ) = Lấy đạo hµm cđa t t x(ξ) dξds t−k(t) s V1 (.) dọc theo quỹ đạo nghiệm hệ đóng ta cã ˙ V1 (t, xt ) ˙ = P (t)x(t), x(t) + P (t)x(t), x(t) ˙ = − x(t) − P (t)B(t)B T (t)P (t)x(t), x(t) − P (t)A1 (t)AT (t)P (t)x(t), x(t) − P (t)A2 (t)AT (t)P (t)x(t), x(t) 54 − T P (t)B1 (t)B1 (t)P (t)x(t), x(t) − C T (t)C(t)x(t), x(t) γ t +2 P (t)A1 (t)x(t − h(t)), x(t) + P (t)A2 (t) x(s)ds, x(t) t−k(t) +2 P (t)B1 (t)(t), x(t) Từ bổ đề 1.5.1 1.5.2 ta có P (t)A1 (t)x(t − h(t)), x(t) − P (t)A1 (t)AT (t)P (t)x(t), x(t) ≤ x(t − h(t)) , t x(s)ds, x(t) − P (t)A2 (t)AT (t)P (t)x(t), x(t) 2 P (t)A2 (t) t−k t t ≤ x(s)ds, t−k(t) t x(s)ds t−k(t) t ≤ k(t) x(s) ds, x(s) ds ≤ k t−k(t) t−k(t) nªn ˙ V1 (t, xt ) ≤ −ε x(t) − P (t)B(t)B T (t)P (t)x(t), x(t) T − P (t)B1 (t)B1 (t)P (t)x(t), x(t) − C T (t)C(t)x(t), x(t) γ t + x(t − h(t)) x(s) ds + P (t)B1 (t)ω(t), x(t) +k t−k(t) T¬ng tù lấy đạo hàm V2 (.), V3 (.) dọc theo quỹ đạo nghiệm hệ đóng, ta + 3c1 ˙ ˙ x(t) − (1 − h(t)) x(t − h(t)) V2 (t, xt ) = 1−δ + 3c1 ≤ x(t) − (1 − δ) x(t − h(t)) 1−δ + 3c1 ≤ x(t) − (1 + 3c1 ) x(t − h(t)) , 1−δ 55 (1 + 3c2 )k ˙ V3 (t, xt ) = k(t) x(t) 1−θ (1 + 3c2 )k x(t) 1−θ ≤ KÕt hỵp t ˙ − (1 − k(t)) x(s) ds t−k(t) t x(s) ds − (1 + 3c2 )k t−k(t) ˙ ˙ ˙ V1 (.), V2 (.), V3 (.) ta cã ˙ V (t, xt ) + 3c1 (1 + 3c2 )k ≤ + − ε x(t) 1−δ 1−γ T T − P (t)B(t)B (t)P (t)x(t), x(t) − P (t)B1 (t)B1 (t)P (t)x(t), x(t) −3 C T (t)C(t)x(t), x(t) + P (t)B1 (t)ω(t), x(t) t −3c1 x(t − h(t)) x(s) ds − 3c2 k (3.19) t−k(t) + 3c1 (1 + 3c2 )k ≤ + − ε x(t) 1−δ 1−θ LÊy tÝch ph©n hai vÕ cđa (3.19) tõ ®Õn + P (t)B1 (t)(t), x(t) (3.20) t được: V (t, xt ) − V (0, x0 ) + 3c1 (1 + 3c2 )k ≤ + −ε 1−δ 1−θ t x(s) ds t +2 P (s)B1 (s)ω(s), x(s) ds ≤ + 3c1 (1 + 3c2 )k + −ε 1−δ 1−θ t x(s) ds t +2 P B1 ω(s) x(s) ds Ta cã V (t, xt ) ≥ 0, V (0, x0 ) = + 3c1 P (0)x(0), x(0) + 1−δ 0 φ(s) ds −h(0) (1 + 3c2 )k φ(ξ) dξds 1−θ −k(0) s (1 + 3c1 )h (1 + 3c2 )k ≤ [ P (0) + + ] φ 1−δ 2(1 − θ) + 56 = α, t t ω(s)| x(s) ds ≤ t 2 ω(s) ds x(s) ds t 2 ≤ ω x(s) ds , ®ã α = [ P (0) + (1 + 3c1 )h (1 + 3c2 )k + ] φ 1−δ 2(1 − θ) >0 ∞ ω(s) ds ω = Do ®ã + 3c1 (1 + 3c2 )k ε− − 1−δ 1−θ t −2 P x(s) ds B1 ω t x(s) ds − α ≤ 0, ¸p dụng giải bất phương trình bậc hai với t x(s) ds ≤ + 3c1 (1 + 3c2 )k − > ta cã 1−δ 1−θ ε− β + ηα η β+ , + 3c1 (1 + 3c2 )k − Cho t → ∞ ta cã ®ã β = P B1 ω, η = ε − 1−δ 1−θ x(t) ∈ L2 ([0, ∞), Rn ) TiÕp theo chóng ta chøng minh điều kiện (1.10) với hàm ban đầu C([ max(h, k), 0], Rn ) hàm nhiễu khác không chấp nhận (t) Với u(t) = B T (t)P (t)x(t) vµ (3.16) ta cã z(t) = C T (t)C(t)x(t), x(t) + P (t)B T (t)B(t)P (t)x(t), x(t) T + C1 (t)C1 (t)x(t − h(t)), x(t − h(t)) t + T C2 (t)C2 (t) t x(s)ds, x(s)ds t−k(t) t−k(t) 57 t +2 C(t)x(t), C1 (t)x(t − h(t)) + C(t)x(t), C2 (t) x(s)ds t−k(t) t +2 C1 (t)x(t − h(t)), C2 (t) x(s)ds t−k(t) KÕt hỵp víi (3.18) ta z(t) (t) dt ∞ = ∞ z(t) − γ ω(t) ˙ + V (t, xt ) dt − ˙ V (t, xt )dt ∞ − C T (t)C(t)x(t), x(t) ≤ T + C1 (t)C1 (t)x(t − h(t)), x(t − h(t)) t + T C2 (t)C2 (t) t x(s)ds, x(s)ds t−k(t) t−k +2 C(t)x(t), C1 (t)x(t − h(t)) t +2 C(t)x(t), C2 (t) x(s)ds t−k(t) t +2 C1 (t)x(t − h(t)), C2 (t) x(s)ds t−k T − P (t)B1 (t)B1 (t)P (t)x(t), x(t) + P (t)B1 (t)ω(t), x(t) γ t −γ ω(t) − 3c1 x(t − h(t)) x(s) ds − 3c2 k t−k(t) + + 3c1 (1 + 3c2 )k + − ε x(t) 1−δ 1−θ dt + α Lại áp dụng Bổ đề 1.5.1 1.5.2 có C(t)x(t), C1 (t)x(t − h(t)) − C T (t)C(t)x(t), x(t) T ≤ C1 (t)C1 (t)x(t − h(t)), x(t − h(t)) ≤ c1 x(t − h(t)) , 58 t x(s)ds − C T (t)C(t)x(t), x(t) C(t)x(t), C2 (t) t−k(t) t t T ≤ C2 (t)C2 (t) x(s)ds, t−k(t) x(s)ds t−k(t) t x(s) ds, ≤ c2 k t−k(t) t C1 (t)x(t − h(t)), C2 (t) x(s)ds t−k(t) T ≤ C1 (t)C1 (t)x(t − h(t)), x(t − h(t)) t + T C2 (t)C2 (t) t x(s)ds, x(s)ds t−k ≤ c1 x(t − h(t)) t−k t x(s) ds + c2 k t−k(t) T P (t)B1 (t)B1 (t)P (t)x(t), x(t) , γ T C1 (t)C1 (t)x(t − h(t)), x(t − h(t)) ≤ c1 x(t − h(t)) 2 P (t)B1 (t)ω(t), x(t) − γ ω(t) t ≤ t T C2 (t)C2 (t) t t−k(t) Do ®ã x(s) ds, x(s)ds ≤ c2 k x(s)ds, t−k(t) t−k(t) ∞ z(t) − γ ω(t) dt ≤ α Vậy sup c0 với supremum xác định L2 ([0, ∞), Rr ), c0 = VÝ dô 3.8: ∞ 2+ z(t) dt ≤γ ∞ ω(t) dt C([h, 0], Rn ) hàm khác không (t) Định lý chứng minh Xét hệ tuyến tính không ôtônôm (3.17) với hàm giá trị ban đầu t (t) C([1, 0], Rn ), hàm trễ biến thiên h(t) = sin2 t, k(t) = sin2 vµ √ a(t) cos t , , A(t) = A1 (t) = √ b(t) 2(cos t + 1) 59 A(t) = √ (sin t + 1) , B(t) = sin t cos t + sin t √ γ(sin t + ) , B1 (t) = √ γ cos t 0 0 C1 (t) = 0 0 , C(t) = 0 , 1 sin t 0 √3 e 0 sin t cos t C2 (t) = 0 , D(t) = − cos t sin t , 1 √ √ 0 3 , ®ã −1 cos t 15 e (sin4 t − sin2 t + sin t + ) + sin t − 6e− cos t 2 sin t b(t) = e (cos4 t + cos2 t − cos t − 5) − cos t − − 6e− sin t 2 a(t) = h = δ = k = θ = , c1 = 1, c2 = điều kiện (3.16) đạt Cho + 3c1 (1 + 3c2 )k ε = 10 tho¶ m·n ε > + Nghiệm RDE (3.18) cho 1 cos t e P (t) = sin t e Ta có Khi toán điều khiển H bền vững cho hệ (3.17) có lời giải Hàm điều khiển ổn định bền vững ®Þnh nghÜa bëi u(t) = cos t − sin t.e sin t −(cos t + 1)e x(t) Tương tự phần 3.2, có hệ hệ điều khiển không ôtônôm có trễ cố định hệ ôtônôm 60 Hệ qu¶ 3.9: Gi¶ sư h(t) = h, k(t) = k hệ (3.17) có lời giải tồn ma trận Bài toán điều khiển H bền vững cho P thoả mÃn phương trình ma trận P (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) − P (t) B(t)B T (t) − A1 (t)AT (t) T −A2 (t)AT (t) − B1 (t)B1 (t) P (t) + 3C T (t)C(t) + εI = víi ε > + 3c1 + (1 + 3c2 )k Hơn hàm điều khiển ổn định bền vững xác định bởi: u(t) = B T (t)P (t)x(t), t Trường hợp hệ (3.19) hệ ôtônôm, toán điều khiển H (3.19) có lời giải mà không cần điều kiện đạo hàm hàm trễ bị chặn 1, h(t) < 1, k(t) < Với xác định Định lý 3.7, ta có hệ sau: Hệ 3.10: Xét hệ (3.17) hệ ôtônôm Khi toán điều khiển hệ (3.17) có lời giải tồn ma trận P H cho thoả mÃn phương trình Riccati đại số T P A + AT P − P (BB T − A1 AT − A2 AT − B1 B1 )P + 3C T C + I = Hàm điều khiển ổn định bền vững xác định 61 u(t) = −B T P x(t) KÕt luËn LuËn văn đà trình bày toán điều khiển H cho lớp hệ phương trình vi phân không ôtônôm có trễ Ngoài phần giới thiệu nghiên cứu kết toán điều khiển H cho hệ tuyến tính có trễ, luận văn đà phát triển mở rộng kết [9, 10] cho hệ tuyến tính không ôtônôm có trễ hỗn hợp Các kết đạt luận văn mở rộng trường hợp cho hệ tuyến tính: Không ôtônôm Cã nhiƠu ◦ Cã trƠ xt hiƯn c¶ biÕn trạng thái biến quan sát, trễ biến thiên theo thời gian trễ hỗn hợp Trong hai trường hợp sau kết không cần giả thiết điều khiển hệ, toán điều khiển H - vô có lời giải dựa vào giả thiết tồn phương trình vi phân Riccati Luận văn ®· ®a nhiỊu vÝ dơ minh häa cho c¸c kết lý thuyết Phương pháp nghiên cứu sử dụng luận văn phương pháp Đại số tuyến tính, Giải tích Giải tích hàm, Lý thuyết ổn định Lý thuyết điều khiển Công cụ chủ đạo phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii nghiệm phương trình vi phân Riccati liên quan đến hàm Lyapunov Tuy nhiên, khả hạn chế thời gian không cho phép nên số kết chưa đạt mong muốn (ví dụ Định lý 3.4, Định lý 3.7, hàm trễ biến thiên phải thoả mÃn điều kiện đạo hàm bị chỈn bëi 1, ˙ ˙ h(t) ≤ δ < 1, k(t) ≤ γ < 1) Chóng t«i hi väng cã thể giải triệt để vấn đề thời gian không xa 62 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn T Hoàn, Phạm Phu (2003), Cơ sở phương trình vi phân lí thuyết ổn định, NXB Giáo dục [2] Vũ N Phát (2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, NXB Đại học Quốc Gia Hµ Néi TiÕng Anh [3] B.A Francis (1987), A course in H∞ control theory, Springer-Verlag, Berlin [4] B.A.Francis and J.C.Doyle, Linear control theory with an H∞ potimality criterion, SIAM J Control Optim, Vol 25, 815-832 [5] Ikeda M., H Maeda and S Komada (1972), Stabilization of linear systems, SIAM J Control, 10, pp 716-729 [6] B van Keulen (1993), H∞ statespace approach control for distributed parameter systems: A Birkhauser, Boston [7] P.NIAMSUP and VN Phat (2009), "H∞ optimal control of linear time-varying systems via controllability approach", ScienceAsia, Vol.35, 231-242 [8] VN Phat and Q.P.Ha (2009), "H∞ control and exponential stability for a class of nonlinear non-autonomous with time-varying delay", J.Optim Theory Appl., Vol 142, 603-6018 [9] Vu N Phat and Do Q Vinh, (2007) "Controllability and H∞ Control for linear Continuous Time-Varying Uncertain Systems", Differential Equations and Applications, Vol.4, 105-111 [10] Vu N Phat, Do Q Vinh and Nguyen S Bay (2008), "L2 −stabilization and H∞ control for Linear Non-autonomous Time-delay Systems in Hilbert Spaces 63 via Riccati Equations", Advances in Nonlinear Variational Inequalities, Vol 11, Number 2, 75-86 64 ... khiển H cho h? ?? tuyến tính không ôtônôm với giả thiết điều khiển Phần đầu chương 2, luận văn trình bày kết giải toán điều khiển H cho h? ?? phương trình vi phân không ôtônôm trễ dựa mối quan h? ?? tính điều. .. H (bài toán điều H ) lý thuyết điều khiển để đạt trình điều khiển ổn định bền vững Bài toán điều khiển H kết h? ??p toán ổn định hoá toán tối ưu hoá Bài toán điều khiển H tìm h? ?m điều khiển để h? ??... đưa điều kiện đủ để giải toán điều khiển H cho h? ?? tuyến tính không ôtônôm trễ với giả thiết điều khiển h? ?? điều khiển Luận văn gồm chương: Chương trình bày kiến thức sở phương trình vi phân thường,