Bài viết nghiên cứu xây dựng một lược đồ xấp xỉ Euler-Maruyama cải tiến cho phương trình vi phân ngẫu nhiên không thuần nhất với hệ số khuếch tán liên tục Holder. Kết quả cho thấy lược đồ mới bảo toàn tính chất ổn định mũ và tính dương của nghiệm đúng.
HNUE JOURNAL OF SCIENCE Natural Sciences, 2019, Volume 64, Issue 3, pp 3-17 This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn DOI: 10.18173/2354-1059.2019-0001 XÂY DỰNG LƯỢC ĐỒ XẤP XỈ ỔN ĐỊNH CHO PHNG TRèNH VI PHN NGU NHIấN KHễNG ễTễNễM ă VỚI HỆ SỐ KHUẾCH TÁN LIÊN TỤC HOLDER Lương Đức Trọng Kiều Trung Thủy Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tóm tắt Bài báo nghiên cứu xây dựng lược đồ xấp xỉ Euler-Maruyama cải tiến cho phương trình vi phân ngẫu nhiên khơng vi h s khuch tỏn liờn tc Hăolder Kt qu cho thấy lược đồ bảo tồn tính chất ổn định mũ tính dương nghiệm Từ khố: Liờn tc Hăolder, n nh m, phng trỡnh vi phõn ngẫu nhiên, xấp xỉ Euler-Maruyama Mở đầu Trong báo nghiên cứu phép xấp xỉ tính ổn định nghiệm xấp xỉ cho phương trình vi phân ngẫu nhiên (PTVPNN) khơng có dạng t t σ(s, Xs )dWs , b(s, Xs )ds + Xt = x0 + 0 x0 ∈ R, t ∈ [0, +∞), (1.1) với (Wt )0≤t≤T chuyển động Brown tiêu chuẩn xác định không gian xác suất có lọc (Ω, F, (Ft )t≥0 , P) thỏa mãn điều kiện thông thường b, σ hàm thực đo PTVPNN sử dụng cách rộng rãi để mô nhiều trình ngẫu nhiên thực tế giá trị tài sản, lãi suất tốn tài chính, số lượng cá thể Sinh học hay chuyển động vật thể Vật lí Trong ứng dụng đó, ta thường phải tính tốn kì vọng có dạng E[f (Xt , ≤ t ≤ T )] với f phiếm hàm từ C[0, T ] vào R Trong phần lớn trường hợp, việc tìm biểu thức giải tích để tính E[f (Xt , ≤ t ≤ T )] khó khăn Vì vậy, người ta thường tìm cách xấp xỉ X đại lượng X (n) mơ máy tính Sau kì vọng E[f (Xt , ≤ t ≤ T )] tính thơng qua thuật toán lặp Monte-Carlo Monte-Carlo cải tiến Đối với phương trình có hệ số Lipschitz đủ trơn, có nhiều phép xấp xỉ với tốc độ cao xây dựng phương pháp xấp xỉ Euler-Maruyama, xấp xỉ Milstein, phương pháp toán tử Kusuoka (xem [1, 2]) Tuy nhiên, hệ số phương trình không Ngày nhận bài: 7/3/2019 Ngày sửa bài: 21/3/2019 Ngày nhận đăng: 28/3/2019 Liên hệ: Kiều Trung Thủy, địa e-mail: thuykt@hnue.edu.vn Lương Đức Trọng Kiều Trung Thủy Lipschitz không đủ trơn, phương pháp không áp dụng Ví dụ hệ số phương trình tăng tuyến tính, [3], Hutzenthaler cộng phương pháp xấp xỉ Euler-Maruyama không hội tụ theo nghĩa mạnh yếu Lược đồ Euler dạng ẩn sử dụng cách phổ biến để xấp xỉ nghiệm phương trình có hệ số tăng nhanh Tuy nhiên phép xấp xỉ yêu cầu phải giải hệ phương trình đại số bước xấp xỉ dẫn đến thời gian tính tốn thường lớn Phương pháp Euler khống chế giới thiệu gần Hutzenthaler cộng [4] để xấp xỉ nghiệm phương trình có hệ số tăng tuyến tính thoả mãn điều kiện Lipschitz địa phương Đây phương pháp dạng hiển, khơng đòi hỏi phải giải hệ phương trình đại số trung gian nên có thời gian tính tốn nhanh Khi hệ số phương trình thoả mãn thêm điều kiện Lipschitz phía, phương pháp Euler khống chế đạt tốc độ hội tụ tối ưu 1/2 không gian Lp Gần phương pháp Euler khống chế phát triển mạnh mẽ (xem [3, 5-8]) Trong nhiều ứng dụng, người ta phải làm việc với phương trình với hệ số khơng Lipschitz địa phương Ví dụ mơ hình Cox-Ingesoll-Ross cho lãi suất ngắn hạn, hệ số khuếch tán ca phng trỡnh ch liờn tc theo ngha Hăolder Hefter Jentzent với phương trình tốc độ hội tụ theo nghĩa mạnh lược đồ xấp xỉ thấp (xem [9]) Mt khỏc, [10], Gyăongy v Rỏsonyi ó ch hệ số khuếch tán σ liên tc theo ngha Hăolder vi cp 21 + v hệ số trơi b Lipschitz lược đồ Euler-Maruyama hội tụ với tốc độ α không gian L1 Kt qu ca Gyăongy v Rỏsonyi nhn c rt nhiều ý liên tục mở rộng báo [7, 11-13] Bên cạnh toán xấp xỉ nghiệm, toán nghiên cứu ổn định nghiệm có ý nghĩa quan trọng nghiên cứu sâu rộng Ví dụ sinh học, người ta quan tâm đến tồn hay tuyệt chủng lồi tương lai Các kết tính ổn định nghiệm PTVPNN tìm thấy tài liệu kinh điển [14, 15] Trong nhiều trường hợp, ta phải ước tính giá trị nghiệm ổn định tương lai xa đại lượng nhỏ Vậy nên gần có nhiều nghiên cứu nhằm xây dựng nghiệm xấp xỉ có tính chất ổn định nghiệm Trong [16], Saito Mitsui nghiên cứu tính ổn định nghiệm xấp xỉ cho phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính Các kết tiếp tục mở rộng cho PTVPNN tổng quát với hệ số thoả mãn điều kiện Lipschitz Lipschitz địa phương báo [14, 17-19] Do xấp xỉ Euler-Maruyama hay Milstein khơng giữ tính ổn định nghiệm nên người ta nghiên cứu phương pháp khác phương pháp θ-Euler Maruyama ẩn hay Euler khống chế (xem [17, 19-22]) Trong báo xây dựng lớp lược đồ dạng hiển để xấp xỉ nghiệm PTVPNN không với hệ số khuếch tán liên tục Hăolder Cỏc lc ny cú cựng tc hi tụ L1 với lược đồ Euler-Maruyama thông thường (xem [10]) Sau đó, chúng tơi lược đồ cụ thể lớp mà bảo tồn tính chất ổn định mũ nghiệm Hơn nữa, ta điều chỉnh lược đồ để bảo tồn tính chất khơng âm nghiệm Lưu ý hệ số khuếch tán ch liờn tc Hăolder nờn khụng th ỏnh giỏ trc tiếp moment bậc hai nghiệm nghiên cứu trước Do đó, chúng tơi phải đánh giá moment bậc nghiệm thông qua phép xấp xỉ Yamada-Watanabe cho hàm y = |x| Hơn nữa, để đánh Xây dựng lược đồ xấp xỉ ổn định cho phương trình vi phân ngẫu nhiên khơng ơtơnơm với hệ số khuếch tán giá chặt tốc độ hội tụ tiệm cận nghiệm không gian Lp , phát triển phép xấp xỉ cho hàm y = |x|p 2.1 Lược đồ Euler cải tiến Giả thiết Ta đưa số giả thiết cho hệ số b σ phương trình (1.1) A1 Tồn số thực dương L1 cho với x, y ∈ R, với t ∈ [0, +∞), (x − y)(b(t, x) − b(t, y)) ≤ −L1 |x − y|2 A2 Tồn số thực dương L2 α ∈ 0; t ∈ [0, +∞), |b(t, x) − b(t, y)| ≤ L2 |x − y| A3 Tồn số thực dương L3 β ∈ t ∈ [0, +∞), cho với x, y ∈ R, với |σ(t, x) − σ(t, y)| ≤ L2 |x − y|1/2+α ; cho với x ∈ R, với |b(t, x) − b(s, x)| ∨ |σ(t, x) − σ(s, x)| ≤ L3 |t − s|β A4 Tồn số thực dương L cho với x ∈ R, với t ∈ [0, +∞), |b(t, x)|2 ∨ |σ(t, x)|2 ≤ L(1 + |x|2 ) Dưới điều kiện A2-A4, phương trình (1.1) có nghiệm theo nghĩa mạnh (xem [23]) 2.2 Lược đồ Euler cải tiến Với h > 0, xét hàm đo bh , σh : [0, +∞) × R → R thoả mãn: Với T > 0, tồn số M1 , M2 M3 cho với x ∈ R, ta có C1 sup0≤t≤T |bh (t, x)|2 ∨ sup0≤t≤T |σh (t, x)|2 ≤ M1 (1 + |x|2 ); C2 sup0≤t≤T |b(t, x) − bh (t, x)|2 ≤ M2 (1 + |x|2 )h2 ; C3 sup0≤t≤T |σ(t, x) − σh (t, x)|2 ≤ M3 (1 + |x|4 )h Khi đó, ta xấp xỉ X trình X h xác định Xth = x0 + t bh (ηh (s), Xηhh (s) )ds + t σh (ηh (s), Xηhh (s) )dWs , t ∈ [0, +∞), (2.1) ηh (t) = kh t ∈ [kh, (k + 1)h) với k = 0, 1, Điều tương đương với Xth = Xηhh (t) + bh (ηh (t), Xηhh (t) ) (t − ηh (t)) + σh (ηh (t), Xηhh (t) ) Wt − Wηh (t) , t ∈ [0, +∞) (2.2) Lương Đức Trọng Kiều Trung Thủy Sự hội tụ Sự hội tụ lược đồ Euler-Maruyama cải tiến theo chuẩn L1 chuẩn L1 -sup phát biểu định lí sau Định lí 3.1 Giả sử giả thiết A2 - A4 điều kiện C1 - C3 thỏa mãn Khi đó, tồn số C = C(x0 , L2 , L3 , L, T, M1 , M2 , M3 ) không phụ thuộc h cho Chα < α ≤ , h sup E[|Xt∧τ − Xt∧τ |] ≤ (3.1) C 0≤t≤T α = 0, log(1/h) với thời điểm dừng τ Hơn nữa, Ch2α h E sup |Xt − Xt | ≤ C 0≤t≤T log(1/h) < α ≤ , α = (3.2) Lược đồ Euler-Maruyama cải tiến (2.1) hội tụ theo chuẩn L1 chuẩn L1 -sup tốc độ với lược đồ Euler-Maruyama thông thường áp dụng cho PTVPNN với hệ số liờn tc Hăolder (xem [10]) Sau õy, ta s trỡnh bày chứng minh Định lí 3.1 3.1 Ước lượng mô-men Bổ đề 3.1 Giả sử giả thiết A4 điều kiện C1 thỏa mãn (i) Với p > 0, tồn số dương C1 = C1 (p, x0 , T, L) cho E sup |Xt |p ≤ C1 (3.3) 0≤t≤T (ii) Với p ≥ 2, tồn số dương C2 = C2 (p, x0 , T, L, M1 ) C3 = C3 (p, x0 , T, L, M1 ) cho E sup |Xth |p ≤ C2 (3.4) 0≤t≤T sup E |Xth − Xηhh (t) |p ≤ C3 hp/2 (3.5) 0≤t≤T Chứng minh Vì đánh giá (3.3) kết quen thuộc nên bỏ qua chứng minh Đánh giá (3.4) suy từ kết kết hợp với điều kiện C1 Để chứng minh (3.5), ta viết Xth − Xηhh (t) p ≤ 2p−1 p bh (ηh (s), Xηhh (t) )h + σh (ηh (t), Xηhh (t) )(Wt − Wηh (t) ) p/2 ≤ 2p−1 M1 (1 + |Xηhh (t) |2 )p/2 (hp + |Wt − Wηh (t) |p ) Điều với (3.4) suy điều phải chứng minh p Xây dựng lược đồ xấp xỉ ổn định cho phương trình vi phân ngẫu nhiên khơng ôtônôm với hệ số khuếch tán 3.2 Phép xấp xỉ Yamada-Watanabe Ở phần này, chúng tơi trình bày cải tiến kĩ thuật xấp xỉ Yamada Watanabe (xem [10, 24]) Đầu tiên, ý với p ≥ 1, δ > ε > 0, tồn số dương K(p, δ) hàm liên tục ψδε (p, ) : R+ ‘ → R+ cho (i) ε ε/δ ψδε (p, z)dz = pεp−1 , ε ε , ε ; ψδε (p, z) = với z ∈ 0, ; ψδε (p, z) = δ δ (ii) ≤ ψδε (p, z) ≤ K(p, δ)z p−2 với z ∈ p(p − 1)z p−2 với z ∈ (ε, +∞) Ta xấp xỉ hàm x → |x|p hàm φδε xác định |x| y ψδε (p, z)dzdy, φδε (p, x) := 0 x ∈ R Ta dễ dàng kiểm tra φδε có tính chất sau: với x ∈ R T1 φ′δε (p, x) = ∂ x ′ φδε (p, |x|), φ′ δε (p, x) = φδε (p, x); |x| ∂x T2 p|x|p−1 I(ε;+∞)(x) ≤ |φ′δε (p, x)| ≤ pεp−1 I[ ε ;ε] (x) + p|x|p−1 I(ε;+∞)(x); δ T3 φδε (p, x) − pεp ≤ |x|p ≤ εp + φδε (p, x); T4 φ′δε (p, |x|) pδp ≤ ; |x|p ε T5 φ′′δε (p, |x|) = ψδε (|x|) ≤ K(p, δ)|x|p−2 I[ ε ;ε] (|x|) + p(p − 1)|x|p−2 I(ε;+∞)(x), (p) δ ∂2 φ′′δε (p, x) = φδε (p, x) ∂x2 Trong trường hợp p = 1, ta chọn K(1, δ) = Hơn nữa, để đơn giản, ta kí hiệu log δ φδε (x) = φδε (1, x) 3.3 Chứng minh Định lí 3.1 Ở phần này, số kí hiệu chung C, chúng độc lập với h phụ thuộc vào x0 , L2 , L3 , L, T, M1 , M2 , M3 α Lương Đức Trọng Kiều Trung Thủy Đặt Yth = Xt − Xth Sử dụng tính chất T3 cơng thức Itơ, ta có |Yth | ≤ ε + φδε (Yth ) t ≤ε+ φ′δε (Ysh ) b(s, Xs ) − bh (ηh (s), Xηhh (s) ) φ′′ (Y h ) + δε s σ(s, Xs ) − σh (ηh (s), Xηhh (s) ) t + ds φ′δε (Ysh ) σ(s, Xs ) − σh (ηh (s), Xηhh (s) ) dWs Do đó, với thời điểm dừng τ , ta có h | ≤ ε + J1 (t ∧ τ ) + J2 (t ∧ τ ) + J3 (t ∧ τ ), |Yt∧τ (3.6) t J1 (t) = t J2 (t) = t J3 (t) = φ′δε (Ysh ) b(s, Xs ) − bh (ηh (s), Xηhh (s) ) ds, φ′′δε (Ysh ) σ(s, Xs ) − σh (ηh (s), Xηhh (s) ) ds, φ′δε (Ysh ) σ(s, Xs ) − σh (ηh (s), Xηhh (s) ) dWs Đầu tiên, ta ý rằng, < s < t ∧ τ theo tính chất T2 giả thiết A2, A3, ta có φ′δε (Ysh ) b(s, Xs ) − bh (ηh (s), Xηhh (s) ) ≤ b(s, Xs ) − b(s, Xsh ) + b(s, Xsh ) − b(s, Xηhh (s) ) + b(s, Xηhh (s) ) − b(ηh (s), Xηhh (s) ) + b(ηh (s), Xηhh (s) ) − bh (ηh (s), Xηhh (s) ) ≤ L2 |Xs − Xsh | + L2 |Xsh − Xηhh (s) | + L3 |s − ηh (s)|β + b(ηh (s), Xηhh (s) ) − bh (ηh (s), Xηhh (s) ) Do đó, từ điều kiện C2 Bổ đề 3.1, ta suy t∧τ E[ sup |J1 (s ∧ τ )|] ≤ L2 E 0≤s≤t |Ysh |ds + L2 E t∧τ t∧τ t∧τ + L3 hβ E ds + M2 hE 0 t∧τ ≤ L2 E h |Ys∧τ |ds + L2 E t + M2 hE t ≤ L2 E |Xsh − Xηhh (s) |ds t (1 + |Xηhh (s) |)ds |Xsh − Xηhh (s) |ds (1 + |Xηhh (s) |)ds + L3 T hβ √ h |Ys∧τ |ds + C h (3.7) Xây dựng lược đồ xấp xỉ ổn định cho phương trình vi phân ngẫu nhiên không ôtônôm với hệ số khuếch tán Tiếp theo, với < s < t ∧ τ , từ giả thiết A2 A3, ta suy σ(s, Xs ) − σh (ηh (s), Xηhh (s) ) ≤ σ(s, Xs ) − σ(s, Xsh ) 2 + σ(s, Xsh ) − σ(s, Xηhh (s) ) + σ(s, Xηhh (s) ) − σ(ηh (s), Xηhh (s) ) + σ(ηh (s), Xηhh (s) ) − σh (ηh (s), Xηhh (s) ) ≤ 4L22 |Ysh |1+2α + 4L22 |Xsh − Xηhh (s) |1+2α + 4L23 |s − ηh (s)|2β + σ(ηh (s), Xηhh (s) ) − σh (ηh (s), Xηhh (s) ) (3.8) Từ tính chất T5, điều kiện C3 Bổ đề 3.1, ta có log δ E[ sup |J2 (s ∧ τ )|] ≤ 0≤s≤t L22 ε2α T + ≤ log δ L22 ε2α T + ≤ 4C log δ ε2α + t∧τ L22 δ E ε L22 δ ε t E h1/2+α δ +h ε |Xsh − Xηhh (s) |1+2α ds + |Xsh − Xηhh (s) |1+2α ds + δ +1 ε M3 hδ + L23 h2β T ε M3 hδ + L23 h2β T ε (3.9) Kết hợp đánh giá với đánh giá (3.6), (3.7), ta suy h E |Yt∧τ | ≤ ε + L2 t √ 4C h E |Ys∧τ | ds + C h + log δ ε2α + h1/2+α δ +h ε δ +1 ε Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta thu h E |Yt∧τ | ≤ √ 4C ε+C h+ log δ ε2α + h1/2+α δ +h ε δ +1 ε eL2 t (3.10) Mặt khác, sử dụng bất đẳng thức Burkholder-Davis-Gundy, ta có T ∧τ E sup J3 (t ∧ τ ) 0≤t≤T ≤CE T ≤CE 1/2 σ(s, Xs ) − σh (ηh (s), Xηhh (s) ) ds 1/2 h 1+2α |Ys∧τ | ds √ +C h E T T +C E Xsh − Xηhh (s) 1+2α 1/2 ds 1/2 + Chβ , |Xηh (s) |4 + ds ta sử dụng (3.8) cho đánh giá cuối Từ Bổ đề 3.1, T E sup J3 (t ∧ τ ) 0≤t≤T ≤ CE 1/2 h 1+2α |Ys∧τ | ds + Ch(1+2α)/4 (3.11) Lương Đức Trọng Kiều Trung Thủy C log h1 h |] ≤ Nếu α = 0, cách chọn ε = h1/4 δ = h−1/4 (3.10), ta có sup0≤t≤T E[|Yt∧τ Kết hợp điều với (3.6), (3.7), (3.9), (3.11), ta suy E sup0≤t≤T |Yth | ≤ C log h Nếu α ∈ (0, 21 ], theo đánh giá (3.11), bất đẳng thức Young bất đẳng thức Holder, E sup J3 (t ∧ τ ) 0≤t≤T ≤ CE ≤ E sup 0≤t≤T T h |Yt∧τ | h sup |Yt∧τ | +C 0≤t≤T 1/2 h |Ys∧τ |ds T + Ch(1+2α)/4 h E[|Ys∧τ |] 2α ds + Ch(1+2α)/4 Ta kết hợp với đánh giá (3.6), (3.7), (3.9) thu E T h sup |Yt∧τ | ≤ 2ε + 2L2 0≤t≤T T h E[|Ys∧τ |] +C Chọn δ = 2, ε = 2α C log δ ε2α + h1/2+α δ +h ε ds + Ch(1+2α)/4 δ +1 ε (3.12) √ h | ≤ Chα Điều với (3.12) dẫn đến h (3.10), ta có E |Yt∧τ E h E|Ys∧τ |ds + sup |Yth | ≤ Ch2α 0≤t≤T Tính ổn định mũ không gian Lp Trong [22], tác giả tính ổn định mũ nghiệm Xt xấp xỉ Euler-Maruyama theo chuẩn L2 hệ số khuyếch tán σ liên tục Lipschitz địa phương Ở đây, chúng tơi trình bày tính ổn định mũ Xt Xth σ liên tục Hăolder Lu ý rng im khú khn ct yu x gần 0, hệ số khuếch tán σ(t, x) có bậc |x| +α lớn nhiều so với |x| bậc h s khuch tỏn nú liờn tc Hăolder khắc phục khó khăn này, ta sử dụng hàm φδǫ để đánh giá |x|p Kí hiệu T tập thời điểm dừng hữu hạn Định lí sau trình bày tính ổn định mũ nghiệm Xt Định lí 4.1 Giả sử A1 A2 thỏa mãn, b(t, 0) = σ(t, 0) = với t ∈ [0, +∞) (i) (Xt )t≥0 ổn định mũ L1 , nghĩa sup E |Xτ |eL1 τ ≤ |x0 |p τ ∈T Hơn nữa, với q ∈ (0, 1), E sup |Xt |q eL1 qt t≥0 10 ≤ (2 − q)|x0 |q 1−q (4.1) Xây dựng lược đồ xấp xỉ ổn định cho phương trình vi phân ngẫu nhiên khơng ơtơnơm với hệ số khuếch tán (ii) Với p > 1, ta có sup E [|Xτ |p eκτ ] ≤ |x0 |p + τ ∈T p(p − 1)(1 − 2α)L22 |x0 |λ , 2(p − λ)(λL1 − κ) (4.2) λ = (p − + 2α) ∧ κ số dương thỏa mãn κ < λL1 < κ ≤ L2 p(p − 1)(p − + 2α − λ) pL1 − 2(p − λ) Tiếp theo, để xây dựng nghiệm xấp xỉ Euler-Maruyama cải tiến Xth mặt hội tụ đến nghiệm Xt trình bày Định lí 3.1, mặt khác ổn định mũ giả thiết Định lí 4.1, ta xét hệ số bh σh xác định sau: bh (t, x) = b(t, x) σ(t, x) −1 , σh (t, x) = 1/2 2L + h e t (|σ(t, x)| + 1) − L2 L1 h (4.3) L1 giả thiết A1, A2 A4 thoả mãn bh σh thoả mãn điều 2L22 kiện C1–C3 Cụ thể, ta có Nếu h ∈ 0, sup |bh (t, x)|2 ∨ sup |σh (t, x)|2 ≤ 4L(1 + |x|2 ), 0≤t≤T 0≤t≤T sup |b(t, x) − bh (t, x)|2 ≤ 0≤t≤T 4L42 L2 (1 + |x|2 )h2 , L21 sup |σ(t, x) − σh (t, x)|2 ≤ (4L + 2)2 e4L1 T (1 + |x|4 )h 0≤t≤T Định lí 4.2 Giả sử giả thiết A1 A2 thỏa mãn, b(t, 0) = σ(t, 0) = với t ∈ L1 [0, +∞) < h < 2L ∧ 2L Giả sử bh σh xác định (4.3) Khi đó, tồn số dương C = C(x0 , L1 , L2 ) cho E |Xth |2 e2L1 t ≤ C h (4.4) Đặc biệt, với ε > 0, ta có lim E |Xth |2 e(2L1 −ε)t = (4.5) t→+∞ 4.1 Chứng minh Định lí 4.1 Bổ đề 4.1 ([25]) Cho ξ = (ξt )t≥0 q trình ngẫu nhiên dương, tương thích liên tục phải; A trình liên tục, tăng thỏa mãn E[ξτ |F0 ] ≤ E[Aτ |F0 ] h.c.c., với thời điểm dừng bị chặn τ Khi đó, với λ ∈ (0, 1), λ E sup ξt t≥0 ≤ 2−λ 1−λ λ E sup At t≥0 11 Lương Đức Trọng Kiều Trung Thủy Trở lại với chứng minh Định lí 4.1 Áp dụng công thức Itô cho eκt φδε (p, x) với κ > p ≥ 1, tính chất T3, ta thu |Xt |p eκt ≤ εp eκt + φδε (p, Xt ) eκt ≤ εp eκt + pεp + |x0 |p + t + t eκs φ′δε (p, Xs )σ(s, Xs )dWs eκs φ′δε (p, Xs )b(s, Xs ) + φ′′δε (p, Xs )σ (s, Xs ) + κ|Xs |p + κpεp ds (4.6) Theo tính chất T1, T2 giả thiết A1,A2, ta có φ′δε (p, Xs )b(s, Xs ) = φ′δε (p, Xs ) b(s, Xs )I{|Xs |≤ε} + φ′δε (p, |Xs |) Xs b(s, Xs )I{|Xs |>ε} |Xs | ≤ pεp−1 |b(s, Xs )|I{|Xs |≤ε} − pL1 |Xs |p I{|Xs |>ε} ≤ pL2 εp I{|Xs |≤ε} − pL1 |Xs |p (1 − I{|Xs |≤ε} ) ≤ p(L1 + L2 )εp − pL1 |Xs |p (4.7) Từ điều kiện A2 tính chất T5 φ′′δε (p, Xs )σ (s, Xs ) = φ′′δε (p, |Xs |)σ (s, Xs ) ≤ K(p, δ)L22 |Xs |p−1+2α I[ δε ;ε] (|Xs |) + L22 p(p − 1)|Xs |p−1+2α I(ε;+∞) (|Xs |) ≤ K(p, δ)L22 εp−1+2α + L22 p(p − 1)|Xs |p−1+2α (4.8) Kết hợp (4.6), (4.7), (4.8), ta có |Xt |p eκt ≤ εp eκt + pεp + |x0 |p + t eκs φ′δε (Xs )σ(s, Xs )dWs t eκs p(L1 + L2 )εp − pL1 |Xs |p + K(p, δ)L22 εp−1+2α ds t p(p − 1)L2 |Xs |p−1+2α + κ|Xs |p + κpεp ds eκs + + ≤ εp eκt + pεp + |x0 |p + t eκs φ′δε (Xs )σ(s, Xs )dWs eκt − 1 + p(L1 + L2 )εp + K(p, δ)L22 εp−1+2α + κpεp κ t p(p − 1)L2 eκs (κ − pL1 )|Xs |p + + |Xs |p−1+2α ds Phần (i): Xét p = Ta chọn K(1, δ) = 12 (4.9) , κ = L1 , với N > 0, ε > 0, thời điểm log δ Xây dựng lược đồ xấp xỉ ổn định cho phương trình vi phân ngẫu nhiên không ôtônôm với hệ số khuếch tán dừng hữu hạn τ , ta có E[|Xτ ∧N |eL1 (τ ∧T ) ] ≤ εE eL1 (τ ∧N ) + ε + |x0 | + (2L1 + L2 )ε + ≤ ε eL1 N + + |x0 | + (2L1 + L2 )ε + eL1 (τ ∧N ) − L22 ε2α E log δ L1 L22 ε2α log δ eL1 N − L1 Đầu tiên, cho δ ↑ ∞, sau cho ε ↓ 0, ta có E[|Xτ ∧N |eL1 (τ ∧N ) ] ≤ |x0 | Vì h.c.c |Xτ ∧N |eL1 (τ ∧N ) −−−→ Xτ eL1 τ N → ∞ nên theo Bổ đề Fatou, ta thu E |Xτ |eL1 τ ≤ |x0 | (4.10) Điều với Bổ đề 4.1 suy (4.1) Phần (ii): Xét p > Vì < λ < ∧ (p − + 2α) nên sử dụng bất đẳng thức Young, ta có |Xs |p−1+2α ≤ Từ (4.9), p − + 2α − λ − 2α |Xs |λ + |Xs |p p−λ p−λ |Xt |p eκt ≤ εp eκt + pεp + |x0 |p + t eκs φ′δε (Xs )σ(s, Xs )dWs eκt − + p(L1 + L2 + κ)εp + K(p, δ)L22 εp−1+2α κ t p(p − 1)(p − + 2α − λ)L2 |Xs |p ds eκs κ − pL1 + + 2(p − λ) t p(p − 1)(1 − 2α)L22 |Xs |λ ds eκs + 2(p − λ) ≤ εp eκt + pεp + |x0 |p + t eκs φ′δε (Xs )σ(s, Xs )dWs + p(L1 + L2 + κ)εp + K(p, δ)L22 εp−1+2α t p(p − 1)(1 − 2α)L22 eκs + |Xs |λ ds, 2(p − λ) ta sử dụng đánh giá κ ≤ pL1 − thời điểm dừng τ hữu hạn, eκt − κ (4.11) L22 p(p − 1)(p − + 2α − λ) Với N > 0, ε > 0, 2(p − λ) E |Xτ ∧N |p eκ(τ ∧N ) ≤ εp eκN + pεp + |x0 |p + p(L1 + L2 + κ)εp + K(p, δ)L22 εp−1+2α N + eκN − κ p(p − 1)(1 − 2α)L22 E eκs |Xs |λ ds 2(p − λ) 13 Lương Đức Trọng Kiều Trung Thủy Cho ε ↓ 0, ta có E |Xτ ∧N |p eκ(τ ∧N ) ≤ |x0 |p + Từ (4.10) v bt ng thc Hăolder, ta cú E N p(p − 1)(1 − 2α)L22 E eκs |Xs |λ ds 2(p − λ) eκs |Xs |λ ≤ |x0 |λ e(κ−λL1 )s Vì κ < λL1 nên N p(p − 1)(1 − 2α)L22 |x0 |λ e(κ−λL1 )s ds 2(p − λ) p(p − 1)(1 − 2α)L22 |x0 |λ ≤ |x0 |p + 2(p − λ)(λL1 − κ) E |Xτ ∧N |p eκ(τ ∧N ) ≤ |x0 |p + Cho N ↑ ∞ áp dụng Bổ đề Fatou, ta thu (4.2) 4.2 Chứng minh Định lí 4.2 h Từ (2.2) ta viết E |X(k+1)h |2 thành h h h h h )| )| + hE |σh (kh, Xkh ) + h2 E |bh (kh, Xkh bh (kh, Xkh | + 2hE Xkh E |Xkh h )| ≤ h−1/2 e−2L1 kh , ta có Theo giả thiết A1, A2 đánh giá |σh (kh, Xkh h E |X(k+1)h |2 ≤ − Vì − 2L1 h L22 h2 + − L22 L−1 − L22 L−1 h h 2L1 h L22 h2 + − L22 L−1 − L22 L−1 h h 2 ≤ − 2L1 h h < h E |Xkh | + e−4L1 kh (4.12) L1 , nên từ (4.12) ta suy ∧ 2L22 2L1 k−1 h | ≤ (1 − 2L1 h)k |x0 |2 + E |Xkh Sử dụng đánh giá ex ≥ x + 1, ta có E h |Xkh | i=0 e−4L1 (k−1−i)h (1 − 2L1 h)i k−1 −2L1 kh ≤e e−4L1 (k−1−i)h−2L1 ih |x0 | + i=0 Khi đó, sau vài đánh giá đơn giản, ta thu h | ≤ E |Xkh |x0 |2 + e2 e−2L1 kh 2L1 h (4.13) Hơn nữa, từ (2.2), ta có E |Xth |2 ≤ E |Xηhh (t) |2 + h2 E |bh ηh (t), Xηhh (t) |2 + hE |σh (ηh (t), Xηhh (t) )|2 Sử dụng lại đánh giá |bh (t, x)| ≤ 2L2 |x| |σh (t, x)| ≤ h−1/2 e−2L1 t , ta thu E |Xth |2 ≤ 3(1 + 4L22 h2 )E |Xηhh (t) |2 + 3e−4L1 ηh (t) Điều kết hợp với (4.13) dẫn đến (4.4), (4.5) hệ trực tiếp (4.4) Do đó, ta có điều phải chứng minh 14 Xây dựng lược đồ xấp xỉ ổn định cho phương trình vi phân ngẫu nhiên khơng ơtơnơm với hệ số khuếch tán Lược đồ xấp xỉ khơng âm Trong số mơ hình, nghiệm Xt khơng âm Đối với mơ hình này, ta xây dựng nghiệm xấp xỉ khơng âm, ổn định, hội tụ tới nghiệm với tốc độ ˆ h = |X h | nghiệm xấp xỉ thỏa mãn yếu tố Xth Thật vậy, ta X t t Corollary 5.1 Giả sử Xt ≥ hầu chắn với t ≥ Xét lược đồ (2.1) với bh σh xác L1 h ˆh định (4.3) < h < 2L ∧ 2L Đặt Xt = |Xt | (i) Giả sử giả thiết A2–A4 thỏa mãn, tồn số dương C(x0 , L2 , L3 , L, T ) cho Chα < α ≤ , ˆ h − Xt |] ≤ sup E[|X t C 0≤t≤T α = log(1/h) Ch2α ˆ th − Xt | ≤ E sup |X C 0≤t≤T log(1/h) < α ≤ , α = (ii) Giả sử giả thiết A1 A2 thỏa mãn Giả sử b(t, 0) = σ(t, 0) = với t ≥ Khi đó, với ε > 0, ta có ˆ th |2 e(2L1 −ε)t = lim sup E |X t→+∞ ˆ th − Xt | = |Xth | − |Xt | ≤ |Xth − Xt | Chứng minh Phần (i) suy từ Định lí 3.1 ý sau |X Phần (ii) suy trực tiếp từ Định lí 4.2 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] [4] P E Kloeden and E Platen, 1992 Numerical solution of stochastic differential equations Applications of Mathematics (New York), Springer-Verlag, Berlin, Vol G Milstein and M Tretyakov, 2013 Stochastic numerics for mathematical physics Springer Science & Business Media M Hutzenthaler, A Jentzen and P E Kloeden, 2012 Strong convergence of an explicit numerical method for SDEs with nonglobally Lipschitz continuous coefficients Ann Appl Probab., 22 (4), pp 1611-1641 M Hutzenthaler, A Jentzen and P E Kloeden, 2011 Strong and weak divergence in finite time of Euler’s method for stochastic differential equations with non-globally Lipschitz continuous coefficients Proc R Soc Lond Ser A Math Phys Eng Sci., 467 (2130), pp 1563-1576 15 Lương Đức Trọng Kiều Trung Thủy [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [1] [17] [18] [19] [20] [21] [22] 16 S Sabanis, 2013 A note on tamed Euler approximations Electron Commun Probab., 18 S Sabanis, 2016 Euler approximations with varying coefficients: the case of superlinearly growing diffusion coefficients Ann Appl Probab., 26 (4), pp 2083-2105 H L Ngo and D T Luong, 2017 Strong rate of tamed Euler–Maruyama approximation for stochastic differential equations with Hăolder continuous diffusion coefficients Braz J Probab Stat., 31 (1), pp 24-40 X Mao, 2015 The truncated Euler-Maruyama method for stochastic differential equations J Comput Appl Math., 290, pp 370-384 M Hefter and A Jentzen, 2019 On arbitrarily slow convergence rates for strong numerical approximations of Cox-Ingersoll-Ross processes and squared Bessel processes Finance and Stochastics., 23, pp 139-172 I Gyăongy and M Rỏsonyi, 2011 A note on Euler approximations for SDEs with Hăolder continuous diffusion coefficients Stoch Proc Appl., 121, pp 2189-2200 J Bao and C Yuan, 2013 Convergence rate of EM scheme for SDEs Proc Amer Math Soc., 141 (9), pp 3231-3243 H L Ngo and D Taguchi, 2016 On the Euler-Maruyama approximation for one-dimensional stochastic differential equations with irregular coefficients IMA J Numer Anal., 37 (4), pp 1864-1883 H L Ngo and D Taguchi, 2016 Strong rate of convergence for the Euler–Maruyama approximation of stochastic differential equations with irregular coefficients Math Comp., 85 (300), pp 1793-1819 X Mao, 1997 Stochastic differential equations and their applications Horwood Publishing Series in Mathematics & Applications, Horwood Publishing Limited, Chichester R Khasminskii, 2011 Stochastic stability of differential equations Springer Science & Business Media, Vol 66 6]SMY Saito and T Mitsui, 1996 Stability analysis of numerical schemes for stochastic differential equations SIAM J Numer Anal., 33, pp 2254-2267 D J Higham, X Mao and A Stuart, 2003 Exponential mean-square stability of numerical solutions to stochastic differential equations LMS J Comput Math., 6, pp 297-313 D J Higham, X Mao and C Yuan, 2007 Almost sure and moment exponential stability in the numerial simulation of stochastic differential equations SIAM J Numer Anal., 45, pp 592-609 X Mao and L Szpruch, 2013 Strong convergence and stability of implicit numerical methods for stochastic differential equations with non-globally Lipschitz continuous coefficients J Comput Appl Math., 238 (15), pp 14-28 D J Higham, 2000 Mean-square and asymptotic stability of the stochastic theta method SIAM J Numer Anal., 38, pp 753-769 L Szpruch and X Zhang, 2015 V-Integrability, Asymptotic Stability And Comparison Theorem of Explicit Numerical Schemes for SDEs, to appear in Math Comp., AMS X Zong, F Wu and C Huang, 2014 Convergence and stability of the semi-tamed Euler scheme for stochastic differential equations with non-Lipschitz continuous coefficients Xây dựng lược đồ xấp xỉ ổn định cho phương trình vi phân ngẫu nhiên không ôtônôm với hệ số khuếch tán Appl Math Comput., 228, pp 240-250 [23] I Karatzas and S Shreve, 2012 Brownian motion and stochastic calculus Springer Science & Business Media, 113 [24] T Yamada and S Watanabe, 1971 On the uniqueness of solutions of stochastic differential equations J Math Kyoto Univ., 11, pp 155-167 [25] D Revuz and M Yor, 2013 Continuous martingales and Brownian motion Springer Science & Business Media, 293 ABSTRACT On stable numerical approximation for non autonomous stochastic differential equations with Hăolder continuous diffusion coefficient Luong Duc Trong and Kieu Trung Thuy Fuculty of Mathematics, Hanoi National University of Education This paper discusses a numerical approximation for time depedent stochastic differential equation with Hăolder continuous diffusion coefficient We introduce a new approximation scheme and study its convergence in L1 -norm An important feature of the new scheme is that it preserves the exponential stability as well as the non-negativity of the exact solution Keywords: Euler-Maruyama approximation.; Exponential stable; Hăolder continuous; Stochastic differential equation 17 ... đánh Xây dựng lược đồ xấp xỉ ổn định cho phương trình vi phân ngẫu nhiên không ôtônôm với hệ số khuếch tán giá chặt tốc độ hội tụ tiệm cận nghiệm không gian Lp , phát triển phép xấp xỉ cho hàm... Hơn nữa, với q ∈ (0, 1), E sup |Xt |q eL1 qt t≥0 10 ≤ (2 − q)|x0 |q 1−q (4.1) Xây dựng lược đồ xấp xỉ ổn định cho phương trình vi phân ngẫu nhiên không ôtônôm với hệ số khuếch tán (ii) Với p >... hợp với (4.13) dẫn đến (4.4), (4.5) hệ trực tiếp (4.4) Do đó, ta có điều phải chứng minh 14 Xây dựng lược đồ xấp xỉ ổn định cho phương trình vi phân ngẫu nhiên không ôtônôm với hệ số khuếch tán