Bán kính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ THU BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ THU BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN Chuyên ngành : Lý thuyết Xác suất thống kê toán học Mã số: 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS Nguyễn Hữu Dư Hà Nội - Năm 2013 Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tính ổn định hệ phương trình vi phân 1.1.1 Tính ổn định hệ phương trình vi phân-sai phân thường 1.1.2 Tính ổn định hệ phương trình vi phân-sai phân ngẫu nhiên Khái niệm bán kính ổn định 1.2 Bán kính ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên thời gian rời rạc 2.1 Giới thiệu 2.2 Toán tử input-output 14 2.3 2.4 Tính chất bán kính ổn định Cực đại hóa bán kính ổn định thông tin phản hồi đầu 17 28 Bán kính ổn định hệ tuyến tính với nhiễu ngẫu nhiên thời gian liên tục 31 3.1 Giới thiệu 31 3.2 3.3 Toán tử input-output Các tính chất bán kính ổn định 32 35 Tài liệu tham khảo 38 i Lời nói đầu Vào cuối kỉ XIX mà Lyapunov công bố công trình "Bài tốn tổng qt tính ổn định chuyển động" (The General Problem of Stability of Motion in 1892) đánh dấu nghiên cứu cách có hệ thống lý thuyết ổn định trở thành phận quan trọng lý thuyết nghiên cứu định tính phương trình vi phân Đến nay, kỷ trơi qua, tốn ổn định hệ phương trình vi phân lĩnh vực tốn học nghiên cứu sơi thu nhiều thành tựu rực rỡ lý thuyết lẫn áp dụng lĩnh vực khoa học kỹ thuật công nghệ, sinh thái học, y học Trong tốn liên quan đến tính ổn định tốn nghiên cứu ổn định vững đóng vai trò đặc biệt quan trọng cho phép ta nghiên cứu tính ổn định cấu trúc Vì thế, năm 1986, D.Hinrichsen A.J.Pritchard đưa khái niệm goi bán kính ổn định Khái niệm hình thành hướng nghiên cứu mớivà thu hút ý nhiều nhà tốn học tính thời ứng dụng toán kinh tế- kỹ thuật Tuy nhiên phần lớn cơng trình nghiên cứu dựa giả thiết hệ phát triển môi trường không biến đổi, tức hệ số tham gia vào phương trình hàm tất định Điều rõ ràng khơng phù hợp với thực mơi trường xét ln ln biến động Do việc tính đến yếu tố ngẫu nhiên tham gia vào phát triển mơ hình quan trọng cần thiết Trên ý tưởng vậy, Luận văn này, muốn nghiên cứu bán kính ổn định hệ chịu tác động yếu tố ngẫu nhiên dạng ồn trắng Các cơng thức tính bán kính ổn định đưa chương II chương III Các nội dung Luận văn dựa báo [1, 2] Luận văn chia làm chương: Chương I: Các kiến thức chuẩn bị Nội dung chương đưa số khái niệm tính ổn định, bán kính ổn định số cơng thức tính bán kính ổn định phức phương trình vi phân phương trình sai phân có chịu nhiễu chưa biết có cấu trúc biết Chương II: Bán kính ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên thời gian rời rạc Chương chủ yếu dựa nội dung báo [1] Trong chương này, chúng tơi giải tốn bán kính ổn định µ− phân tích ngẫu nhiên với hệ thời gian rời rạc kĩ thuật MỤC LỤC định thang kiểm tra toán tối ưu hóa thơng tin phản hồi đầu động học, cụ thể tốn µ− tổng hợp Chương III: Bán kính ổn định hệ tuyến tính với nhiễu ngẫu nhiên thời gian liên tục Chương chủ yếu dựa nội dung báo [2] Trong chương này, chúng tơi giải tốn bán kính ổn định hệ tuyến tính với nhiễu ngẫu nhiên thời gian liên tục Lời cảm ơn Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn GS TS Nguyễn Hữu Dư Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt q trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy Qua đây, tơi xin gửi tới thầy Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy tham gia giảng dạy lớp cao học Tốn khóa 2010- 2012, lời cảm ơn sâu sắc cơng lao dạy dỗ, dẫn nhiệt tình suốt khóa học thời gian làm luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn tới anh, chị, em học viên đồng khóa em sinh viên năm cuối khoa Toán-Cơ-Tin trường giúp đỡ nhiệt tình để tơi hồn thành luận văn Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè tất người quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ tơi để tơi hồn thành nhiệm vụ Hà nội,ngày tháng .năm 2013 Học viên Nguyễn Thị Thu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tính ổn định hệ phương trình vi phân Chúng dẫn vào mục vài khái niệm định nghĩa lý thuyết ổn định 1.1.1 Tính ổn định hệ phương trình vi phân-sai phân thường Xét hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên dx(t) = f (x(t)), x(0) = x0 , t ∈ R (1.1) hệ phương trình sai phân xt+1 = f (xt ), x(0) = x0 ∈ Rd , t ∈ N x(t) ∈ D ⊆ Rn ký hiệu véctơ trạng thái hệ, D tập mở bao chứa trạng thái ban đầu x(0) f : D → Rn hàm liên tục D Giả sử với điều kiện ban đầu x(0), nghiệm hệ (1.1) tồn [0, ∞) Ngồi f có trạng thái cân xe , tức f (xe ) = • Trạng thái cân hệ gọi ổn định Lyapunov, với ε > 0, tồn δ = δ (ε) > cho, x(0) − xe < δ x(t) − xe < ε, với t ≥ • Trạng thái cân hệ gọi ổn định tiệm cận xe ổn định Lyapunov tồn δ1 > cho x(0) − xe < δ1 lim x(t) − xe = t→∞ • Trạng thái cân hệ gọi ổn định mũ xe ổn định tiệm cận tồn α, β , δ > cho x(0) − xe < δ x(t) − xe ≤ α x(0) − xe e−βt , với t ≥ Chương Kiến thức chuẩn bị Ta giải thích sơ ý nghĩa định nghĩa sau: Tính ổn định Lyapunov trạng thái cân nghĩa cho trước khoảng cách ε > 0, nghiệm xuất phát khoảng cách "đủ gần" với trạng thái cân (trong khoảng δ từ điểm cân bằng) nghiệm mãi "đủ gần" với điểm cân (trong khoảng cách định ε) Chú ý điều với ε > tùy ý Ổn định tiệm cận nghĩa không ổn định Lyapunov mà xuất phát đủ gần phải hội tụ tới trạng thái cân Ổn định mũ nghĩa nghiệm không hội tụ, mà thực tế hội tụ nhanh tốc độ biết α x(0) − xe e−βt Trong trường hợp tổng quát ta sử dụng phép đổi gốc tọa độ, ta hồn tồn giả thiết trạng thái cân xe = 1.1.2 Tính ổn định hệ phương trình vi phân-sai phân ngẫu nhiên Chúng ta xét hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô: dx(t) = a(x(t))dt + σ (x(t))dw(t), (1.2) thỏa thỏa mãn a(·, ·) : Rn → Rn σ (·, ·) : Rn → Rn hàm liên tục W (t) q trình Wiener chiều Chúng ta giả thiết với điều kiện ban đầu x(0) cho, hệ phương trình thỏa mãn điều kiện tồn nghiệm x(t) nghiệm kéo dài khoảng [0, ∞) Chúng không đưa cụ thể điều kiện Độc giả quan tâm xem cơng thức (3.32) [7, Định lí 3.4] Ngồi giả thiết thêm a(0) = 0, σ (0) = 0, ∀t ≥ Với giả thiết này, hệ (1.2) có nghiệm tầm thường x(t) ≡ Tương tự, xét hệ phương trình sai phân ngẫu nhiên xn+1 = f (xn , ξn ), (1.3) với ξn trình ngẫu nhiên nhận giá trị khơng gian metric Y f : Rd ×Y → Rd hàm đo Với điều kiện ban đầu x(0), nghiệm x(n) hệ (1.3) tồn N giải phương pháp quy nạp Chúng ta giả thiết thêm fn (y) = hệ (1.3) có nghiệm tầm thường x(n) ≡ Theo mục trên, khái niệm ổn định thường gặp lý thuyết ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên phát biểu sau: Định nghĩa 1.1.1 Nghiệm tầm thường x(t) = phương trình vi phân ngẫu nhiên gọi • Ổn định theo xác suất (với t ≥ t0 ) với ε > δ > tồn số r ≥ cho t > t0 |x0 | ≤ r: P {|x(t, ω,t0 , x0 ))| > ε} < δ (1.4) Chương Kiến thức chuẩn bị • Ổn định tiệm cận theo xác suất ổn định theo xác suất với ε > tồn r = r(ε) cho, |x0 | ≤ r P {|x(t, ω,t0 , x0 ))s| > ε} → 0; t → ∞ • p−ổn định (p > 0), với ε > tồn r > cho: E |x(t, ω,t0 , x0 )| p < ε t ≥ t0 |x0 | < r • p− ổn định tiệm cận, p−ổn định với giá trị |x0 | đủ nhỏ: E |x(t, ω,t0 , x0 )| p → t → ∞ • Ổn định theo nghĩa rộng ổn định với x0 , ε > δ > 0, tồn T = T (x0 , ε, δ ) cho: P {|x(t, ω,t0 , x0 ))| > ε} < δ ; với ∀t > T • p−ổn định mũ tồn số A > α > cho: E |x(t, ω,t0 , x0 )| p ≤ A |x0 | p e−α(t−t0 ) • ổn định xác suất (hay ổn định hầu chắn) lim P {sup |x(t, x0 , x)| > δ } = |x0 |→0 với δ > • ổn định tiệm cận hầu chắn ổn định với xác suất với x0 ∈ Rn ta có: P lim |x(t, x0 , ω)| = = t→∞ Từ định nghĩa suy Nhận xét 1.1.2 i) Từ bất đẳng thức Chebyshev, ta có tính p − ổn định (tiệm cận) nghiệm tầm thường với giá trị p > suy q−ổn định (tiệm cận) với giá trị < q < p ổn định theo xác suất ii) Chúng ta lấy ví dụ điều ngược lại khơng đúng, tức nghiệm phương trình p − ổn định (tiệm cận) với giá trị p không q − ổn định (tiệm cận) với q > p iii) Tính chất p − ổn định tiệm cận với p = gọi ổn định tiệm cận bình phương trung bình Chương Kiến thức chuẩn bị 1.2 Khái niệm bán kính ổn định Trong năm gần khái niệm bán kính ổn định chủ đề quan tâm đáng kể Bán kính ổn định, giới thiệu Hinrichsen Pritchard Chúng ta biết hệ phương trình vi phân dx(t) = Bx(t) (1.5) ổn định tiệm cận σ (B) ⊂ C− = {z ∈ C : Rez < 0} Vì phổ ma trận phụ thuộc liên tục theo chuẩn nên ∆ có chuẩn nhỏ hệ dx(t) = (B + ∆)x(t) ổn định tiệm cận Câu hỏi đặt ∆ phá vỡ tính ổn định hệ Ngưỡng chuẩn nhiễu thực hay phức ∆ cho tính ổn định phương trình bị phá vỡ gọi bán kính ổn định hệ (1.5) Chúng ta phát biểu xác toán Giả sử xét hệ (1.5) Cho D ma trận cấp n × l E ma trân cấp q × n Xét phương trình chịu nhiễu có cấu trúc dx = (B + DΣE)x, (1.6) Σ ma trận nhiễu chưa biết Các ma trận D, E biết chúng xác định "cấu trúc" nhiễu Khi theo [5], bán kính ổn định phức cho −1 −1 max E(tI − B) D (1.7) t∈iR Nếu phương trình ban đầu phương trình sai phân xn+1 = Bxn với nhiễu có cấu trúc dạng xn+1 = (B + DΣE)xn , (1.8) ta có cơng thức tính bán kính ổn định phức −1 max E(ωI − B)−1 D ω∈C:|ω|=1 (1.9) Chương Bán kính ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên thời gian rời rạc αˆi αˆ j v j , ∑i∈N\J Hi j v j ⊥ αˆi αˆ j Khi đó: v j ∈ Ker ∑i∈J ⊥ = Hi j ∩ KerHi j ,j∈J i∈J =0 ⊥ Suy vj ∈ ∩ KerHi j ∩ ∩ KerHi j i∈J i∈N\J = {0} với j ∈ J điều mâu thuẫn với giả thiết (2.41) Do đó: J = N mệnh đề chứng minh Chú ý 2.3.7 Giả sử ma trận Hermitian Hi j , i, j ∈ N khả nghịch khơng Khi giả thiết (2.41) thỏa mãn G liên tục mạnh Đặc biệt, G liên tục mạnh (2.42) luôn trường hợp vô hướng l j = 1, j ∈ N Nếu G khơng liên tục mạnh nhìn chung khơng tồn giá trị nhỏ f Để kết luận trường hợp ta giới thiệu định nghĩa sau đây: Cho Ck , k = 1, , K tập nút thành phần liên tục mạnh G xếp theo cách: với ≤ h < k ≤ K không tồn cung có hướng (i, j) ∈ A cho: i ∈ Ck , j ∈ Ch Khi ∀ h, k ∈ K : h < k ⇒ i ∈ Ck , j ∈ Ch ⇒ Hi j = (2.44) Từ (2.44) N = ∪ Ck ta suy rằng: k∈K N f (α) = max max ∑ h∈K j∈Ch i=1 αi αj K Hi j = max max ∑∑ h∈K j∈Ch i=1 i∈C k αi αj Hi j , α ∈ (0, ∞)N (2.45) Định lí tốn tìm giá trị cực tiểu (2.17) giải việc thu hẹp đối tượng xem xét thành phần hội tụ mạnh G Định lý 2.3.8 Cho µk = max h∈(0,∞)Ck j∈Ck ∑ i∈Ck αi αj Hi j , k ∈ K (2.46) Khi đó: µˆ = max µk Hơn nữa, kˆ thỏa mãn µkˆ = max µk tồn tập J ⊂ Ckˆ với k∈K k∈K δ > 0, vectơ α ∈ (0, ∞)N cho:   αi  Hi j  ∑N i=1 α j    ∑i∈Cˆ k αi αj µˆ + δ , j ∈ N Hi j = ∑i∈J αi αj (2.47) Hi j ˆ j∈J = µ, Ta thấy nghiệm tốn tìm giá trị cực tiểu (2.17) ln ln quy nghiệm toán tương ứng với thành phần liên tục mạnh G Trong trường hợp G liên tục mạnh, với ε > 0, ta định nghĩa tập X(ε) = α ∈ (0, ∞)N , ∀k ∈ K − : i ∈ Ck ∧ j ∈ Ck+1 ⇒ 24 αi với k ∈ K cho: max rk (zk )i < rk+1 (zk+1 ) j , k = 1, , K − i∈Ck i∈Ck+1 α xác định bởi: αi = rk ε K−k (zk )i , k ∈ K, i ∈ Ck Khi đó: αi (zk )i = k α j (z ) j α ∈ X(ε) ∀ i, j ∈ Ck : (2.49) Bổ đề 2.3.10 Cho trước họ vectơ zk ∈ (0, ∞)Ck , k ∈ K thỏa mãn: max ∑ j∈Ck (zk )i (zk ) j i∈Ck Hi j = µk , k ∈ K (2.50) (ở µk định nghĩa (2.46)), tồn vectơ α ∈ (0, ∞)N cho với δ > : f (α) max µk + δ ∀ k ∈ K, ∀i, j ∈ Ck : k∈K αi (zk )i = k α j (z ) j (2.51) Chứng minh Giả sử zk ∈ (0, ∞)Ck , k ∈ K thỏa mãn (2.50) cho δ > Khi đó: max max k∈K j∈Ck (zk )i (zk ) j ∑ i∈Ck Hi j = max µk k∈K Với ε > 0, theo bổ đề 2.3.9 tồn vectơ α = α(ε) ∈ (0, ∞)N cho (2.49) thỏa mãn Nó kéo theo rằng: k f (α(ε)) = max max k∈K j∈Ck ∑∑ h=1 i∈Ch k−1 ≤ max max ∑∑ k∈K j∈Ch h=1 i∈C h α(ε)i α(ε) j α(ε)i α(ε) j Hi j Hi j + max µk k∈K Nhưng với ε ∈ (0, 1) ta có: i ∈ Ch , j ∈ Ck , h < k ⇒ α(ε)i ≤ε α(ε) j Ta chọn ε ∈ (0, 1) cho: k−1 max max k∈K j∈Ck ∑ ∑ ε 2Hi j ≤δ h=1 i∈Ch Ta thu được: f (α(ε)) ≤ max µk + δ Ta có điều phải chứng minh k∈K 25 Chương Bán kính ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên thời gian rời rạc Chứng minh Định lí 2.3.8 Theo bổ đề 2.3.4 ln tồn họ vectơ zk , k ∈ K thỏa mãn (2.50) Do theo bổ đề 2.3.10 với δ > tồn α ∈ (0, ∞)N cho: f (α) ≤ max µk + δ k∈K Nhưng với α ∈ (0, ∞)N : k f (α) = max max k∈K j∈Ck Từ µˆ = ∑∑ h=1 i∈Ch αi αj k−1 Hi j ≥ max max k∈K j∈Ck ∑∑ h=1 i∈Ch αi αj Hi j ≥ max µk k∈K f (α) ta kết luận: µˆ = max µk Từ điều định lí 2.3.2 suy phần thứ in f k∈K α∈(0,∞)N hai định lí chứng minh Bổ đề 2.3.11 Tồn tập K ⊂ N với δ > 0, vectơ α ∈ (0, ∞)N , cho:    ∑N ( αk )2 Hk j ≤ µˆ + δ , j ∈ N, k=1 α j   ∑ ( αk )2 Hk j = µ, ˆ j ∈ K k∈K α j (2.52) Tính chất bán kính ổn định rK kết phần đầu chương Định lý 2.3.12 Giả sử hệ ban đầu (2.5) l −ổn định, đó: (β ,w) rK (A, (A0i )i∈N , (D j , E j ) j∈N ) = sup α∈(0,∞)N γj max D∗j P(α)D j j∈N α j − 12 , (2.53) đây, P(α) nghiệm (2.25) Chứng minh Cho µˆ xác định (2.32) Nếu µˆ = rK = ∞ Vậy từ (2.31) định lí 2.3.1 ta có (2.53) thỏa mãn Bây giờ, giả sử: µˆ > Kí hiệu: σ (α) σ lớn mà P(α) ∈ Hn+ (K) thỏa mãn (2.25) (2.26) Khi đó: sup σ (α) = µˆ −1 α∈(0,∞)N Theo bổ đề 2.3.11 (2.31), tồn K ⊂ N α K ∈ (0, ∞)K thỏa mãn µˆ = α ∑ ( αkj )2Hk j γj ∗ D j P(α K )D j , j ∈ K αj = k∈K (2.54) Cho σˆ = µˆ −1 , đó, tồn v j ∈ Kl j cho v j = v j, ( ∑ ( k∈K αk ) Hk j )v j αj = v j, γj ∗ D j P(α K )D j v j αj 26 ˆ j ∈ K = µ, (2.55) Chương Bán kính ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên thời gian rời rạc - Xác định ∆ j (.) ∈ D j (K)   ∆ j (z j ) = σˆ z j v j j ∈ K, j ∈ N \ K, z j  ∆ j (z j ) = (2.56) ∈ Kq j Khi đó: ∆ j = σˆ , j ∈ K ∆ = σˆ Ta với δ này, (2.2) ổn định Giả sử ngược lại, với x0 ∈ Kn bất kì, nghiệm x∆ (., x0 ) (2.21) thỏa mãn: ∞ ∑ E( t=0 αj −1 Bây giờ: ∆ j (z j ) = α j ∆ j (α z j ) = σˆ Xác định F(α K ) tương tự với việc Khi đó: x∆ (t, x0 ) ) < ∞ z j v j , z j ∈ Kl j , j ∈ K K xác định F(α) (2.23) zα = F(α K )x∆ (t, x0 ) N α x(t + 1) = Ax(t) + ∑ A0i x(t)wi (t) + σˆ ∑ Dj jvj j∈K i=1 Áp dụng bổ đề 2.2.3 với P(α K ) thay cho P,F(α K ) α z j j (t) β j (t) α thay cho F, D j j thay cho D j , j ∈ K, D j = α 0, j ∈ N \ K σˆ v j z j j (.) thay cho v j (.), ta có (2.55): ∞ ∑E K zαj (t) K = x , P(α )x σˆ + ∑ ∑ γ j v j , D∗j P(α K )D j v j E t=0 j∈K α j ∞ t=0 ∞ K = x0 , P(α K )x0 + ∑ E zαj (t) α z j j (t) , x0 ∈ Kn t=0 Vì vậy: P(α K ) = mâu thuẫn với µˆ > Do đó: (2.2) khơng ổn định với ∆ Chú ý nhiễu không ổn định (khơng tuyến tính) xây dựng chứng minh thực liệu A, A0i i∈N , D j, E j Hệ 2.3.13 Nếu liệu A, A0i i∈N j∈N thực Do ta có hệ sau: , D j, E j j∈N thực bán kính ổn định thực phức (2.2) trùng nhau, rR = rC Trong phần ta sử dụng tính chất sau bán kính ổn định số hạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính ngặt Chứng minh từ định lí 2.3.12 đối số nhiễu, chứng minh chi tiết xem El Bouhtouri (1997) Mệnh đề 2.3.14 Hệ (2.5) l −ổn định rK > σ tồn α ∈ (0, ∞)N P ∈ Hn+ (K), P cho: N N i=1 j=1 ∗ A∗ PA − P + ∑ λi A0∗ i PAi + ∑ α j Fj Fj ≺ 0, Il j − γ j σ αj (2.57) D∗j PD j 27 0, j ∈ N (2.58) Chương Bán kính ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên thời gian rời rạc 2.4 Cực đại hóa bán kính ổn định thông tin phản hồi đầu Trong phần nghiên cứu làm để bán kính ổn định tăng cường thơng tin phản hồi đầu động học Ta xem xét hệ điều khiển được:   x(t + 1) = Ax(t) + ∑N A0 x(t)wi (t) + ∑N D j ∆ j Fj x(t) β j (t) + Bu(t), t ∈ N, j=1 i=1 i ∑: y(t) = Cx(t), (2.59) (B,C) ∈ Kn×m × K p×n Giống điều tiết chọn hệ thời gian rời rạc tất định:   x(t ˆ + 1) = AK x(t) ˆ + BK y(t), : ∑  K  u(t) = C x(t) + DK y(t), t ∈ N Kˆ (2.60) ˆ nˆ × Kn×p ˆ (AK , BK ,CK , DK ) ∈ Kn× × Km×nˆ × Km×p Hệ vòng lặp đóng chịu nhiễu thu là:  N 0¯ x(t p  ¯ + 1) = A x(t) ¯ + ∑N ¯ i (t) + ∑ j=1 D j ∆ j (F j x(t))β j (t), i=1 Ai x(t)w : ∑  c1 x(0) ¯ = x¯0 ∈ Kn+nˆ , (2.61)   x(t) , x(t) ¯ = x(t) ˆ   A + BDK C BCK , A = BK C AK   Dj D =  , F = Fj Hệ vòng lặp đóng ban đầu là:   0¯ n x(t ¯ + 1) = A x(t) ¯ + ∑N i (t) i=1 Ai x(t)w ∑: c1 x(0) ¯ = x¯0 ∈ Kn+nˆ   Ai 0  , Ai =  0 (2.62) Mục đích để xác định điều kiện tồn điều khiển, làm ổn định hệ ban đầu (theo nghĩa l ) với bán kính ổn định lớn ngưỡng σ > định Theo cách xấp xỉ-LMI thu kết sau Quá trình chứng minh sử dụng mệnh đề 2.3.14 với hệ vòng lặp đóng (2.61), xem chứng minh chi tiết El Bouhtouri(1997) Định lý 2.4.1 Với σ > cho trước, mệnh đề sau tương đương: 28 Chương Bán kính ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên thời gian rời rạc i) Tồn hệ điều tiết ổn định ∑K nˆ chiều cho hệ vòng lặp đóng ban đầu ∑nc1 l −ổn (w,β ) định rK A , (Ai0 )i∈N , (D j , F j ) j∈N > σ ii) Tồn α ∈ (0, ∞)N S, R ∈ Hn+ (K) với S Il j − γ j σ αj R−1 0, rank(S − R−1 ) ≤ nˆ cho: D∗j SD j N N i=1 j=1 0, j ∈ N, ∗ A∗ SA − S + ∑ λi A0∗ i SAi + ∑ α j Fj Fj ≺ 0, kerC, N N i=1 j=1 ∗ R−1 − ∑ λi A0∗ i SAi − ∑ α j Fj Fj A R −1 N −∑ N λi A0∗ i SAi − i=1 ∑ 0, (2.63) (2.64) (2.65) −1 α 2j Fj∗ Fj A∗ − R ≺ ker B∗ (2.66) j=1 Chú ý 2.4.2 i) Điều kiện rank(S − R−1 ) ≤ nˆ thỏa mãn cách tự động với nˆ ≥ n điều kiện (2.63)-(2.66) không phụ thuộc vào n ˆ Vì tồn điều tiết ổn định ∑K với chiều r¯K > σ , tồn điều tiết có chiều nhỏ n ii) Giả sử ta tìm α, R, S với giá trị cho trước σ để mệnh đề ii) định lí Khi điều tiết ổn định dạng (2.60) để đạt r¯K > σ xây dựng bước ngược lại chứng minh định lí trên, xem El Bouhtouri(1997) iii) Áp dụng định lí 2.4.1 với nˆ = S = R−1 xác định mà bán kính ổn định đạt thơng tin phản hồi đầu tĩnh u(t) = DK y(t) iv) Từ định lí 2.4.1 suy thơng tin phản hồi trạng thái động khơng thể làm tăng bán kính ổn định ngoại trừ cấp độ chúng đạt thơng tin phản hồi đầu tĩnh (ở nˆ = 0, p = n,C = In ) v) Trong trường hợp tất định, vài giả thiết thêm vào yếu, bất đẳng thức (2.64)(2.66) đưa vào cơng thức số hạng phương trình Riccati Chúng ta ra, nhìn chung điều khơng thể làm với hệ ngẫu nhiên thời gian rời rạc Phản ví dụ thấy El Bouhtouri (1997) Nếu toán tử cấu trúc D j , E j chọn khơng điều kiện r¯K > σ bị bỏ qn định lí 2.4.1 áp dụng điều kiện ổn định sau: Hệ 2.4.3 Hệ cho trước có dạng:   x(t + 1) = Ax(t) + ∑N A0 x(t)wi (t) + Bu(t) i=1 i (2.67)  y(t) = Cx(t) dãy ngẫu nhiên (w(t))t∈N thỏa mãn giả thiết Khi đó, mệnh đề sau đúng: 29 Chương Bán kính ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên thời gian rời rạc i) Tồn điều tiết ổn định ∑K dạng (2.60) cho (2.67) tồn S, R ∈ Hn+ (K) với S R−1 cho: N A∗ SA − S + ∑ λi A0∗ i SAi ≺ kerC, (2.68) i=1 ∗ A SA − SA R −1 −1 N −∑ λi A0∗ i SAi A∗ − R ≺ kerB∗ i=1 N R−1 − ∑ λi A0∗ i SAi (2.69) i=1 ii) Tồn DK ∈ Km×p cho hệ N x(t + 1) = (A + BDK C)x(t) + ∑ A0i x(t)wi (t) i=1 l −ổn định tồn S ∈ Hn+ (K), S thay R−1 R cho (2.68) (2.69) iii) Tồn điều khiển thông tin ngược (feedback) trạng thái tĩnh, điều kiện ổn định cần đủ để hệ với thời gian liên tục với ồn phụ thuộc trạng thái (với C = In ) đưa Willems and Willems (1976) 30 Chương Bán kính ổn định hệ tuyến tính với nhiễu ngẫu nhiên thời gian liên tục 3.1 Giới thiệu Cho (Ω, F , P) không gian xác suất đầy đủ trình Wiener (w j (t)) ∈ R (Ω, F , P) Xét hệ ngẫu nhiên:   dx(t) = Ax(t)dt + ∑N D j ∆ j (Rx(t))dw j (t) j=1 (3.1)  x(0) = x0 Chúng ta xem (3.1) hệ chịu nhiễu ngẫu nhiên tương ứng với hệ tuyến tính thời gian rời rạc: dx(t) = Ax(t)dt Họ cặp ma trận D j , R nhiễu phi tuyến chưa biết ∆ j , j ∈ N với giả thiết sau: j∈N mô tả cấu trúc hữu hạn H0 : E(w j (t)) = E(w j (t)wk (s)) = 0, j = k, s = t j, k ∈ N; E(w2j (t)) = λ j t, λ j ∈ R+ , j ∈ N, H1 : (Ft )t≥0 họ lọc tiêu chuẩn tạo Ft = σ ( w j (s), s t; j ∈ N ), giả thiết x0 F0 −đo được, E x0 < ∞, x0 độc lập với w j (t), j ∈ N; t ≥ 0, H2 : A ∈ Kn×n , K = R K = C; σ (A) ⊂ C− = {λ ∈ C : Reλ < 0} , R ∈ Kq×n , D j ∈ Kn×l j , j ∈ N, H3 : ∆ j : Kq → Kl j , j ∈ N liên tục Lipschitz ∆ j (0) = - Trên Km , m ∈ N lấy chuẩn Euclide - Độ lớn ∆ j đo chuẩn Lipschitz: ∆ j = in f γ j ≥ 0, y, yˆ ∈ Kq : ∆ j (y) − ∆ j (y) ˆ ≤ γ j y − yˆ 31 Kq Chương Bán kính ổn định hệ tuyến tính với nhiễu ngẫu nhiên thời gian liên tục ∆ = (∆1 , ∆2 , , ∆N ) : − 12 N ∆ := ∑ ∆j j=1 Nhận xét 3.1.1 Với giả thiết H0 − H3 , với T > hệ (3.1) có nghiệm x(t), t ∈ [0, T ]: T E x(t) dt < ∞ Trong chương giải tốn bán kính ổn định hệ tuyến tính với nhiễu ngẫu nhiên thời gian liên tục thông qua khái niệm toán tử input-output chương Định nghĩa 3.1.2 Hệ (3.1) gọi L2 −ổn định với x0 thỏa mãn H1 có: T E x(t) dt < ∞ Định nghĩa 3.1.3 Bán kính ổn định hệ (3.1) với cấu trúc đa nhiễu ngẫu nhiên (D j ) j∈N , R là: ∆ ; (3.1) không L2 − ổn định rK A, (D j ) j∈N , R = in f Ta rút cơng thức tính rK 3.2 Toán tử input-output Với giả thiết H0 − H3 , nghiệm (3.1) thỏa mãn phương trình: N t x(t) = eAt x0 + ∑ j=1 eA(t−s) D j ∆ j (Rx(s)) dw j (s), (3.2) tích phân hiểu theo nghĩa Itơ Cũng giống trường hợp tất định, toán tử inputoutput đóng vai trò quan trọng Ta đặt: V = L2 0, ∞; L2 (Ω, Kl1 ) × × L2 0, ∞; L2 (Ω, KlN ) , H = L2 [0, ∞; L2 (Ω, Kq )] , v = (v1 , , vN ), v h(.) H V N = E , j=1 ∞ = vj ∑ h(t) dt định nghĩa L : V → H bởi: t N (Lv)(t) = ∑ ReA(t−s)D j v j (s)dw j (s) j=1 Chúng ta có kết sau: 32 (3.3) Chương Bán kính ổn định hệ tuyến tính với nhiễu ngẫu nhiên thời gian liên tục Định lý 3.2.1 Giả sử có H0 − H3 ∆ < L −1 , L xác định (3.3), hệ (3.1) L2 −ổn định Chứng minh Từ (3.2), ta có: N t At x(t) = e x0 + ∑ j=1 eA(t−s) D j ∆ j (Rx(s)) dw j (s) N ⇔ Rx(t) = ReAt x0 + ∑ t j=1 ReA(t−s) D j ∆ j (Rx(s))dw j (s) (3.4) Đặt y(t) = Rx(t), y0 (t) = ReAt x0 , (3.4) viết sau: y(.) = y0 (.) + L (∆1 (y), , ∆N (y)) (.) (3.5) Nhưng với y, yˆ ∈ H, L(∆1 (y), , ∆N (y))(.) − L(∆1 (y), ˆ , ∆N (y))(.) ˆ ≤ L ∆1 (y)(.) − ∆1 (y)(.), ˆ , ∆N (y)(.) − ∆N (y)(.) ˆ ∑ V − 21 N ≤ L H ∆j y(.) − y(.) ˆ H = L ∆ y(.) − y(.) ˆ H j=1 Vì (3.5) có nghiệm y(.) H theo định lí đảo Bây xác định: N t At x(t) = e x0 + ∑ j=1 eA(t−s) D j ∆ j (y(s)) dw j (s),t Khi dễ thấy x(.) thỏa mãn (3.1), từ x(.) ∈ L2 [0, ∞; L2 (Ω, Kn )] hệ (3.1) L2 −ổn định Ta có hệ trực tiếp định lí trên: rK A, (D j ) j∈N , R ≥ L −1 (3.6) Ta chứng minh đẳng thức (3.6) Nhưng trước chứng minh điều ta mơ tả L qua tốn điều khiển tối ưu sau:   dx(t) = Ax(t)dt + ∑N D j v j (t)dw j (t) j=1 (3.7)  x(0) = x0 ∞ Jρ (x0 , v) = E( v(t) ) − ρ E( Rx(t) ) dt 33 (3.8) Chương Bán kính ổn định hệ tuyến tính với nhiễu ngẫu nhiên thời gian liên tục Mệnh đề 3.2.2 Với giả thiết H0 − H2 ta có: với v ∈ V ⇔ ρ ∈ 0, L Jρ (0, v) ≥ 0, −1 Chứng minh Từ (3.7) với x0 = ta có: N Rx(t) = t ∑ j=1 ReA(t−s) D j v j (s)dw j (s),t ≥ Do đó: Rx(t) = (Lv)(t), v = (v1 , , vN ) ∞ Jρ (0, v) = E( v(t) ) − ρ E( (Lv)(t) ) dt = v(.) Vì vậy: Jρ (0, v) ≥ với v ∈ V ρ L 2 V − ρ (Lv)(.) H ≤ Bây suy công thức tính L Mệnh đề 3.2.3 Giả sử giả thiết H0 − H2 cho Pρ = Pρ∗ ∈ Kn×n giải phương trình Lyapunov: Pρ A + A∗ Pρ + ρ R∗ R = (3.9) Khi đó: L −1 = sup ρ > : Il j − λ j D∗j Pρ D j ≥ 0, j ∈ N := l0 (3.10) Chứng minh Tính tốn đơn giản cho ta: N Jρ (0, v) = ∑ v j (.), Il j − λ j D∗j Pρ D j v j (.) , j=1 đó: Jρ (0, v) ≥ 0,với v ∈ V ρ ≤ l0 Khi (3.10) suy từ mệnh đề Chú ý 3.2.4 i) Thực ρ ≤ l0 điều khiển tối ưu với toán (3.7),(3.8) v(.) = 0, Jρ (x0 , 0) = in f Jρ (x0 , v) = −E Pρ x0 , x0 v∈V ii) Theo định lí Plancherel: L N = sup v =1 v∈V λj ∑ 2π j=1 λj j∈N 2π ∞ −∞ ∞ ≤ max −∞ ∞ R(iωI − A)−1 D j v j (s) R(iωI − A)−1 D j 34 dω dsdω L2 (Ω,Kq ) Chương Bán kính ổn định hệ tuyến tính với nhiễu ngẫu nhiên thời gian liên tục 3.3 Các tính chất bán kính ổn định Định lý 3.3.1 Giả sử H0 − H3 đúng, L xác định (3.3) Pρ xác định (3.9), đó: rK (A, (D j ) j∈N , R) = L −1 = sup ρ > : Il j − λ j D∗j Pρ D j ≥ 0, j ∈ N , (3.11) với K R K C −1 Chứng minh Ta rằng: rK ≥ L −1 Giả sử rằng: L = 0, l0 = L , ε > 0, xây dựng δ với l0 ≤ ∆ < l0 + ε L2 − ổn cho hệ (3.1) không định Lấy ρ = l0 + 21 ε, phải tồn k ∈ N, xk ∈ Klk , xk = cho: − λk D∗k Pρ Dk xk , xk < (3.12) Đặt ∆k (y) = ρ y xk , ∆ j (y) = 0, j = k, ∆ = ∆k = ρ < l0 + ε Hệ (3.1) có dạng:   dx(t) = Ax(t)dt + Dk ∆k (Rx(t))dwk (t),  x(0) = x0 Giả sử hệ L2 − ổn định, có T E x(t) dt < ∞ với x0 thỏa mãn H1 Nhưng lại có: t Rx(t) = ReAt x0 + ρ ReA(t−s) Dk Rx(s) xk dwk (s) Vì vậy: E Rx(t) ReAt x0 =E + ρ λk t ReA(t−s) Dk xk E Rx(s) ds Do đó: ∞ E Rx(t) ∞ dt = E ReAt x0 dt + λk D∗k Pρ Dk xk , xk ∞ E Rx(s) ds Nhưng đó: − λk D∗k Pρ Dk xk , xk ∞ E Rx(t) ∞ dt = E ReAt x0 dt, điều mâu thuẫn với (3.12) Vậy hệ (3.1) khơng ổn định rK < l0 + ε với ε > 35 Chương Bán kính ổn định hệ tuyến tính với nhiễu ngẫu nhiên thời gian liên tục Chú ý 3.3.2 i) Thực bán kính ổn định thực phức xác định qua chuẩn toán tử input-output ngạc nhiên xem xét kết tất định ii) Sự không ổn định ∆ xây dựng chứng minh định lí khơng tuyến tính Ta khơng u cầu (3.11) tuyến tính ∆ thừa nhận Tuy nhiên trường hợp đặc biệt Di = R = IKn (l = li = q = n) A tạo nửa nhóm thu hẹp, nửa nhóm (3.11) với ∆ tuyến tính iii) Khơng khó để phân tích mở rộng với cấu trúc nhiễu dạng: ∑Nj=1 D j ∆ j (R j x(t))dw j (t) iv) Từ bán kính ổn định đặc trưng qua (3.7), (3.8), mong muốn bán kính ổn định tối ưu với "feedback" 36 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau: - Trình bày khái niệm định nghĩa tính ổn định phương trình vi phânsai phân thường, tính ổn định phương trình vi phân-sai phân ngẫu nhiên, định nghĩa cơng thức tính bán kính ổn định số hệ tất định - Luận văn trình bày chứng minh chi tiết kết bán kính ổn định hệ phương trình vi phân thời gian rời rạc, thơng qua khái niệm tốn tử input-output đánh giá cận chứng minh dấu bất đẳng thức xảy Các kết dựa báo số [1] mục tài liệu tham khảo luận văn Tác giả trình bày chứng minh chi tiết bổ đề dùng báo - Luận văn trình bày bán kính ổn định hệ phương trình vi phân thời gian rời rạc, thơng qua khái niệm tốn tử input-output đánh giá cận đến chứng minh dấu bất đẳng thức xảy Các kết dựa báo số [2] mục tài liệu tham khảo luận văn Tác giả trình bày chứng minh chi tiết bổ đề dùng báo Nội dung Luận văn phát triển theo nhiều hướng khác Ở ta xét toán ổn định L2 Nếu ta xét toán ổn định không gian L p với p > điều đáng quan tâm Mặt khác đặt vấn đề đưa cơng thức tính bán kính ổn định cho hệ chịu nhiễu Markov, tức nghiên cứu bán kính ổn định hệ dx = A(ξ (t))x(t), dt ξ (t) q trình Markov nhận khơng q đếm trạng thái Việc nghiên cứu bán kính ổn định hệ chuyển đổi Markov dx(t) = A(ξ (t))x(t)dt + σ (ξ (t))x(t)dWt , toán thú vị 37 Tài liệu tham khảo [1] A.El.Bouhtuori, D Hinrichsen, & A.J Pritchard (2000), Stability radii of discrete-time stochastic systems with respect to blockdiagonal perturbation, Automatica, 36, 10331040 [2] A.El.Bouhtuori, & A.J Pritchard (1992 ), Stability radii of linear systems with respect to stochastic perturbations, Systems & control letters, 19, 29-33 [3] Morozan, T (1983), Stabilization of some stochastic discrete-time control systems, Stochastic analysis and applications 1, 89-116 [4] Morozan, T (1997), Stability radii of some discrete-time systems with independent random parameters, Stochastic analysis and applications 15, 375-386 [5] D Hinrichsen, & A.J pritchard (1990), Stability radii of systems with stochastic uncertainty and their optimization by output feedback.SIAM Joural control 34, 1972-1998 [6] D Hinrichsen, & Son N.K (1991), Stability radii of linear discrete-time systems and symplectic pencils International Journal of Robust and Nonlinear control, 1, 79-97 [7] R Khasminskii (2011), Stochastic stability of differential equations 38 ... ổn định hệ phương trình vi phân 1.1.1 Tính ổn định hệ phương trình vi phân- sai phân thường 1.1.2 Tính ổn định hệ phương trình vi phân- sai phân ngẫu nhiên Khái niệm bán. .. kính ổn định số cơng thức tính bán kính ổn định phức phương trình vi phân phương trình sai phân có chịu nhiễu chưa biết có cấu trúc biết Chương II: Bán kính ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên. .. bán kính ổn định 13 Chương Bán kính ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên thời gian rời rạc trường hợp vấn đề mở hệ ngẫu nhiên (ii) Nếu liệu A, A0i , D j , Fj , i, j ∈ N thực, bán kính ổn định